Erik Gengel

• Selfsustained oscillations are some of the most commonly observed phenomena in biological systems. They emanate from non-linear systems in a heterogeneous environment and can be described by the theory of dynamical systems. Part of this theory considers reduced models of the oscillator dynamics by means of amplitudes and a phase variable. Such variables are highly attractive for theoretical and experimental studies. Theoretically these variables correspond to an integrable linearization of the generally non-linear system. Experimentally, there exist well established approaches to extract phases from oscillator signals. Notably, one can define phase models also for networks of oscillators. One highly active field examines effects of non-local coupling among oscillators, which is thought to play a key role in networks with strong coupling. The dissertation introduces and expands the knowledge about high-order phase coupling in networks of oscillators. Mathematical calculations consider the Stuart-Landau oscillator. A novel phaseSelfsustained oscillations are some of the most commonly observed phenomena in biological systems. They emanate from non-linear systems in a heterogeneous environment and can be described by the theory of dynamical systems. Part of this theory considers reduced models of the oscillator dynamics by means of amplitudes and a phase variable. Such variables are highly attractive for theoretical and experimental studies. Theoretically these variables correspond to an integrable linearization of the generally non-linear system. Experimentally, there exist well established approaches to extract phases from oscillator signals. Notably, one can define phase models also for networks of oscillators. One highly active field examines effects of non-local coupling among oscillators, which is thought to play a key role in networks with strong coupling. The dissertation introduces and expands the knowledge about high-order phase coupling in networks of oscillators. Mathematical calculations consider the Stuart-Landau oscillator. A novel phase estimation scheme for direct observations of an oscillator dynamics is introduced based on numerics. A numerical study of high-order phase coupling applies a Fourier fit for the Stuart-Landau and for the van-der-Pol oscillator. The numerical approach is finally tested on observation-based phase estimates of the Morris-Lecar neuron. A popular approach for the construction of phases from signals is based on phase demodulation by means of the Hilbert transform. Generally, observations of oscillations contain a small and generic variation of their amplitude. The work presents a way to quantify how much the variations of signal amplitude spoil a phase demodulation procedure. For the ideal case of phase modulated signals, amplitude modulations vanish. However, the Hilbert transform produces artificial variations of the reconstructed amplitude even in this case. The work proposes a novel procedure called Iterative Hilbert Transform Embedding to obtain an optimal demodulation of signals. The text presents numerous examples and tests of application for the method, covering multicomponent signals, observables of highly stable limit cycle oscillations and noisy phase dynamics. The numerical results are supported by a spectral theory of convergence for weak phase modulations.…
• Selbsterhaltende Ozillationen finden sich häufig in biologischen Systemen. Sie emergieren aus nichtlinearen Prozessen in einem heterogenen Umfeld und können durch die Theorie dynamischer Systeme beschrieben werden. Ein Teil dieser Theorie befasst ich mit reduzierten Beschreibungen von Oszillationen anhand von Amplituden-, und Phasenvariablen. Selbige sind für theoretische und experimentelle Anwendungen von großer Bedeutung. Im theoretischen Bereich korrespondieren Phasen und Amplituden zur integrablen Linearisierung eines nichtlinearen Systems. Im experimentellen Bereich existieren weit verbreitete Ansätze, Phasenvariablen aus oszillierenden Signalen zu gewinnen. Phasenmodelle können auch für Netzwerke von Oszillatoren definiert werden. Ein aktives Forschungsgebiet befasst sich in diesem Zusammenhang mit nicht-lokalen Kopplungen zwischen den Oszillatoren. Die Fachwelt geht davon aus, dass solche nicht-lokalen Kopplungen eine entscheidende Rolle spielen, wenn die Kopplungen zwischen den einzelnen Einheiten nicht schwach ist. DieSelbsterhaltende Ozillationen finden sich häufig in biologischen Systemen. Sie emergieren aus nichtlinearen Prozessen in einem heterogenen Umfeld und können durch die Theorie dynamischer Systeme beschrieben werden. Ein Teil dieser Theorie befasst ich mit reduzierten Beschreibungen von Oszillationen anhand von Amplituden-, und Phasenvariablen. Selbige sind für theoretische und experimentelle Anwendungen von großer Bedeutung. Im theoretischen Bereich korrespondieren Phasen und Amplituden zur integrablen Linearisierung eines nichtlinearen Systems. Im experimentellen Bereich existieren weit verbreitete Ansätze, Phasenvariablen aus oszillierenden Signalen zu gewinnen. Phasenmodelle können auch für Netzwerke von Oszillatoren definiert werden. Ein aktives Forschungsgebiet befasst sich in diesem Zusammenhang mit nicht-lokalen Kopplungen zwischen den Oszillatoren. Die Fachwelt geht davon aus, dass solche nicht-lokalen Kopplungen eine entscheidende Rolle spielen, wenn die Kopplungen zwischen den einzelnen Einheiten nicht schwach ist. Die Dissertation gibt eine Einführung in dieses Themengebiet und liefert einen Beitrag zum weiteren Verständnis derartiger Probleme. Mathematische Berechnungen gehen vom Stuart-Landau-Oszillator aus. Eine neue numerische Berechnungsmethode für die Phasendynamik von Oszillatoren wird vorgestellt; sie basiert auf vollständiger Kenntnis des dynamischen Systems. Eine numerische Studie der Phasenkopplungen höherer Ordnung verwendet einen Fourier-Fit. Als Beispiele dienen hier das Stuart-Landau-Modell und der van-der-Pol Oszillator. Die vollständige numerische Prozedur wird final getestet für die datengetriebene Bestimmung der Phasenkopplung dreier Morris-Lecar Neuronen. Eine der beliebtesten Methoden zur Phasenextraktion aus Messdaten basiert auf dem Prinzip der Phasendemodulation. Hierfür verwendet man die Hilbert-Transformation. Im Allgemeinen beinhalten Observablen nichtlinearer Oszillatoren kleine - als generisch anzusehende - Variationen ihrer Amplitude. Die dargelegte Arbeit präsentiert eine Möglichkeit, wie der Einfluss derartiger Variationen die Phasendemodulation behindert. Für den idealen Fall reiner Phasenmodulation in Signalen, gehen Amplitudenvariationen gegen null. Dennnoch reproduziert die Hilbert-Transformation auch in derartigen Fällen nicht die tatsächliche Phase des Signals. Die Dissertation stellt eine neue Methode vor, die dieses spezielle Problem behebt. Diese Methode trägt den Namen Iterative Hilbert-Transformations-Einbettung und erlaubt die optimale Demodulation zu finden. Im Text werden zahlreiche Beispiele vorgestellt, insbesondere Multikomponentensignale, Observablen starrer Grenzzyklen und verrauschte Phasendynamiken. Die numerischen Resultate werden unterstützt durch eine spektrale Theorie der Konvergenz für schwache Phasenmodulationen.…