Timo Julian Dörries

• The mobile-immobile model (MIM) has been established in geoscience in the context of contaminant transport in groundwater. Here the tracer particles effectively immobilise, e.g., due to diffusion into dead-end pores or sorption. The main idea of the MIM is to split the total particle density into a mobile and an immobile density. Individual tracers switch between the mobile and immobile state following a two-state telegraph process, i.e., the residence times in each state are distributed exponentially. In geoscience the focus lies on the breakthrough curve (BTC), which is the concentration at a fixed location over time. We apply the MIM to biological experiments with a special focus on anomalous scaling regimes of the mean squared displacement (MSD) and non-Gaussian displacement distributions. As an exemplary system, we have analysed the motion of tau proteins, that diffuse freely inside axons of neurons. Their free diffusion thereby corresponds to the mobile state of the MIM. Tau proteins stochastically bind to microtubules, whichThe mobile-immobile model (MIM) has been established in geoscience in the context of contaminant transport in groundwater. Here the tracer particles effectively immobilise, e.g., due to diffusion into dead-end pores or sorption. The main idea of the MIM is to split the total particle density into a mobile and an immobile density. Individual tracers switch between the mobile and immobile state following a two-state telegraph process, i.e., the residence times in each state are distributed exponentially. In geoscience the focus lies on the breakthrough curve (BTC), which is the concentration at a fixed location over time. We apply the MIM to biological experiments with a special focus on anomalous scaling regimes of the mean squared displacement (MSD) and non-Gaussian displacement distributions. As an exemplary system, we have analysed the motion of tau proteins, that diffuse freely inside axons of neurons. Their free diffusion thereby corresponds to the mobile state of the MIM. Tau proteins stochastically bind to microtubules, which effectively immobilises the tau proteins until they unbind and continue diffusing. Long immobilisation durations compared to the mobile durations give rise to distinct non-Gaussian Laplace shaped distributions. It is accompanied by a plateau in the MSD for initially mobile tracer particles at relevant intermediate timescales. An equilibrium fraction of initially mobile tracers gives rise to non-Gaussian displacements at intermediate timescales, while the MSD remains linear at all times. In another setting bio molecules diffuse in a biosensor and transiently bind to specific receptors, where advection becomes relevant in the mobile state. The plateau in the MSD observed for the advection-free setting and long immobilisation durations persists also for the case with advection. We find a new clear regime of anomalous diffusion with non-Gaussian distributions and a cubic scaling of the MSD. This regime emerges for initially mobile and for initially immobile tracers. For an equilibrium fraction of initially mobile tracers we observe an intermittent ballistic scaling of the MSD. The long-time effective diffusion coefficient is enhanced by advection, which we physically explain with the variance of mobile durations. Finally, we generalize the MIM to incorporate arbitrary immobilisation time distributions and focus on a Mittag-Leffler immobilisation time distribution with power-law tail ~ t^(-1-mu) with 0<mu<1 and diverging mean immobilisation durations. A fit of our model to the BTC of experimental data from tracer particles in aquifers matches the BTC including the power-law tail. We use the fit parameters for plotting the displacement distributions and the MSD. We find Gaussian normal diffusion at short times and long-time power-law decay of mobile mass accompanied by anomalous diffusion at long times. The long-time diffusion is subdiffusive in the advection-free setting, while it is either subdiffusive for 0<mu<1/2 or superdiffusive for 1/2<mu<1 when advection is present. In the long-time limit we show equivalence of our model to a bi-fractional diffusion equation.…
• In den Geowissenschaften wurde das "mobile-immobile model" (MIM) entwickelt, um den Transport von Verunreinigungen in Grundwässern zu beschreiben. Diese Verunreinigungen können in Sackgassenporen diffundieren oder an Oberflächen adsorbieren. Dabei bewegen sich die Verunreinigungen effektiv nicht. Der Grundgedanke des MIMs besteht darin, die Dichte der Verunreinigungen in eine Dichte aus mobilen Partikeln und eine Dichte aus immobilen Partikeln aufzuteilen. Jedes einzelne Teilchen der Verunreinigung wechselt dabei zwischen dem mobilen Zustand, wo es diffundiert und sich durch Advektion bewegt und dem immobilen Zustand, wo es sich nicht bewegt. Je nach Zustand wird die Verunreinigung der mobilen oder der immobilen Dichte zugerechnet. Die Aufenthaltsdauern im mobilen und immobilen Zustand folgen jeweils einer Exponentialverteilung. Dies bedeutet, dass der Wechsel zwischen mobilen und immobilen Zustand durch einen Telegrafenprozess beschrieben werden kann. In den Geowissenschaften liegt der Fokus auf der "breakthrough curve" (BTC), wasIn den Geowissenschaften wurde das "mobile-immobile model" (MIM) entwickelt, um den Transport von Verunreinigungen in Grundwässern zu beschreiben. Diese Verunreinigungen können in Sackgassenporen diffundieren oder an Oberflächen adsorbieren. Dabei bewegen sich die Verunreinigungen effektiv nicht. Der Grundgedanke des MIMs besteht darin, die Dichte der Verunreinigungen in eine Dichte aus mobilen Partikeln und eine Dichte aus immobilen Partikeln aufzuteilen. Jedes einzelne Teilchen der Verunreinigung wechselt dabei zwischen dem mobilen Zustand, wo es diffundiert und sich durch Advektion bewegt und dem immobilen Zustand, wo es sich nicht bewegt. Je nach Zustand wird die Verunreinigung der mobilen oder der immobilen Dichte zugerechnet. Die Aufenthaltsdauern im mobilen und immobilen Zustand folgen jeweils einer Exponentialverteilung. Dies bedeutet, dass der Wechsel zwischen mobilen und immobilen Zustand durch einen Telegrafenprozess beschrieben werden kann. In den Geowissenschaften liegt der Fokus auf der "breakthrough curve" (BTC), was die Konzentrationskurve an einem festen Ort definiert. Der Grundgedanke dieser Arbeit besteht nun darin, das MIM auf biologische Systeme zu übertragen, wo beispielsweise Proteine zwischen einem diffusiven und einem immobilen Zustand wechseln. Dabei fokussieren wir uns auf Messgrößen, die üblicherweise in Experimenten mit einzelnen Molekülen oder Proteinen gemessen werden. Typische Messgrößen stellen die mittlere quadratische Verschiebung (MSD) und die Verschiebungsdichte dar, wobei wir besonderen Fokus auf nicht-lineare MSDs und nicht-Gaußsche Verteilungen legen. Als tragendes Beispiel für MIM in biologischen Systemen identifizieren wir Tau Proteine, welche in Nervenzellen diffundieren und für eine zufällige Dauer an Mikrotubuli binden, wobei sie effektiv unbeweglich werden. In der eindimensionalen Beschreibung des Systems sind die mittleren Bindungsdauern wesentlich länger als die durchschnittlichen Diffusionsdauern. Dadurch entsteht eine exponentielle Ortswahrscheinlichkeitsverteilung begleitet von einem Plateau im MSD auf mittleren Zeitskalen, wenn die Proteine zu Beginn alle mobil sind. Für eine Gleichgewichtsverteilung an mobilen Proteinen zu Beginn ist das MSD linear, wobei die Verteilung einer skalierten Laplaceverteilung entspricht. In anderen Systemen, wie beispielsweise biologischen Molekülen in Biosensoren, spielt Advektion eine wichtige Rolle. Das Plateau, welches wir im MSD für lange mittlere Immobilisierungsdauern finden, besteht auch mit Advektion. Zusätzlich finden wir ein neues Regime mit einem anomalen Skalierungsverhalten des MSDs. Dabei wächst das MSD kubisch unabhängig von der mittleren Immobilisierungsdauer, sofern die Advektionsgeschwindigkeit hinreichend groß ist. Für eine Gleichgewichtsverteilung an mobilen Molekülen finden wir ein ballistisches Regime im MSD. Das Langzeitverhalten vom MSD ist linear, wobei der effektive Diffusionskoeffizient durch Advektion verstärkt wird. Dieser Effekt ist in der Literatur bekannt. Wir bieten hier aber eine physikalische Erklärung über eine Kopplung der Advektion mit der Varianz der gesamten Aufenthaltsdauer im mobilen Zustand. Abschließend erweitern wir das MIM, indem wir über exponentiell verteilte Immobilisierungsdauern hinausgehen und beliebige Verteilungen zulassen. Das entsprechende Modell nennen wir extended MIM (EMIM). Besonderen Fokus legen wir dabei auf eine Mittag-Leffler Verteilung, die sich durch ein Potenzgesetz ~t^(-1-mu) mit 0<mu<1 für lange Immobilisierungsdauern auszeichnet. Solche Verteilungen werden in Experimenten gemessen. Das Potenzgesetz hat zur Folge, dass der Mittelwert divergiert. Wir fitten EMIM zu einer BTC aus einem Experiment, in dem die Konzentration von fluoreszenter Farbe nach Durchlauf eines Grundwasserleiters gemessen wird. Das gemessene Potenzgesetz der BTC kann durch MIM erklärt werden. Wir verwenden die erhaltenen Fitparameter, um das MSD und die Dichten darzustellen. Dabei finden wir ein lineares MSD mit Gaußscher Verteilung zu Beginn und eine nicht-Gaußsche Verteilung im Langzeitverhalten. Im Allgemeinen ist das MSD von EMIM mit der Mittag-Leffler Verteilung subdiffusiv im advektionsfreien Fall. Mit vorhandener Advektion finden wir Subdiffusion für 0<mu<1/2 und Superdiffusion für 1/2<mu<1. Im Langzeitlimes konvergiert EMIM zu einer bifraktionelen Diffusiongleichung.…