Stability of Einstein Manifolds

Stabilität von Einstein-Mannigfaltigkeiten

  • This thesis deals with Einstein metrics and the Ricci flow on compact mani- folds. We study the second variation of the Einstein-Hilbert functional on Ein- stein metrics. In the first part of the work, we find curvature conditions which ensure the stability of Einstein manifolds with respect to the Einstein-Hilbert functional, i.e. that the second variation of the Einstein-Hilbert functional at the metric is nonpositive in the direction of transverse-traceless tensors. The second part of the work is devoted to the study of the Ricci flow and how its behaviour close to Einstein metrics is influenced by the variational be- haviour of the Einstein-Hilbert functional. We find conditions which imply that Einstein metrics are dynamically stable or unstable with respect to the Ricci flow and we express these conditions in terms of stability properties of the metric with respect to the Einstein-Hilbert functional and properties of the Laplacian spectrum.
  • Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit Einsteinmetriken und Ricci-Fluss auf kompakten Mannigfaltigkeiten. Wir studieren die zweite Variation des Einstein- Hilbert Funktionals auf Einsteinmetriken. Im ersten Teil der Arbeit finden wir Krümmungsbedingungen, die die Stabilität von Einsteinmannigfaltigkeiten bezüglich des Einstein-Hilbert Funktionals sicherstellen, d.h. die zweite Varia- tion des Einstein-Hilbert Funktionals ist nichtpositiv in Richtung transversaler spurfreier Tensoren. Der zweite Teil der Arbeit widmet sich dem Studium des Ricci-Flusses und wie dessen Verhalten in der Nähe von Einsteinmetriken durch das Variationsver- halten des Einstein-Hilbert Funktionals beeinflusst wird. Wir finden Bedinun- gen, die dynamische Stabilität oder Instabilität von Einsteinmetriken bezüglich des Ricci-Flusses implizieren und wir drücken diese Bedingungen in Termen der Stabilität der Metrik bezüglich des Einstein-Hilbert Funktionals und Eigen- schaften des Spektrums des Laplaceoperators aus.

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Metadaten
Author:Klaus Kröncke
URN:urn:nbn:de:kobv:517-opus-69639
Advisor:Christian Bär
Document Type:Doctoral Thesis
Language:English
Year of Completion:2013
Publishing Institution:Universität Potsdam
Granting Institution:Universität Potsdam
Date of final exam:2013/12/20
Release Date:2014/02/13
Tag:Einstein-Hilbert-Wirkung; Einstein-Mannigfaltigkeiten; Ricci-Fluss; Variationsstabilität
Einstein manifolds; Einstein-Hilbert action; Ricci flow; variational stability
RVK - Regensburg Classification:SK 370
RVK - Regensburg Classification:SK 350
Organizational units:Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät / Institut für Mathematik
Dewey Decimal Classification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 510 Mathematik
Licence (German):License LogoCreative Commons - Namensnennung, Nicht kommerziell, Keine Bearbeitung 3.0 Deutschland
Notes extern:MSC - Klassifikation: 47A75 , 58J05 , 53C21 , 53C44 , 53C25