We consider rough metrics on smooth manifolds and corresponding Laplacians induced by such metrics. We demonstrate that globally continuous heat kernels exist and are Holder continuous locally in space and time. This is done via local parabolic Harnack estimates for weak solutions of operators in divergence form with bounded measurable coefficients in weighted Sobolev spaces.

This paper further improves the Lie group method with Magnus expansion proposed in a previous paper by the authors, to solve some types of direct singular Sturm-Liouville problems. Next, a concrete implementation to the inverse Sturm-Liouville problem algorithm proposed by Barcilon (1974) is provided. Furthermore, computational feasibility and applicability of this algorithm to solve inverse Sturm-Liouville problems of higher order (for n=2,4) are verified successfully. It is observed that the method is successful even in the presence of significant noise, provided that the assumptions of the algorithm are satisfied. In conclusion, this work provides a method that can be adapted successfully for solving a direct (regular/singular) or inverse Sturm-Liouville problem (SLP) of an arbitrary order with arbitrary boundary conditions.

We investigate if kernel regularization methods can achieve minimax convergence rates over a source condition regularity assumption for the target function. These questions have been considered in past literature, but only under specific assumptions about the decay, typically polynomial, of the spectrum of the the kernel mapping covariance operator. In the perspective of distribution-free results, we investigate this issue under much weaker assumption on the eigenvalue decay, allowing for more complex behavior that can reflect different structure of the data at different scales.

Non-local boundary conditions – for example the Atiyah–Patodi–Singer (APS) conditions – for Dirac operators on Riemannian manifolds are rather well-understood, while not much is known for such operators on Lorentzian manifolds. Recently, Bär and Strohmaier [15] and Drago, Große, and Murro [27] introduced APS-like conditions for the spin Dirac operator on Lorentzian manifolds with spacelike and timelike boundary, respectively. While Bär and Strohmaier [15] showed the Fredholmness of the Dirac operator with these boundary conditions, Drago, Große, and Murro [27] proved the well-posedness of the corresponding initial boundary value problem under certain geometric assumptions. In this thesis, we will follow the footsteps of the latter authors and discuss whether the APS-like conditions for Dirac operators on Lorentzian manifolds with timelike boundary can be replaced by more general conditions such that the associated initial boundary value problems are still wellposed. We consider boundary conditions that are local in time and non-local in the spatial directions. More precisely, we use the spacetime foliation arising from the Cauchy temporal function and split the Dirac operator along this foliation. This gives rise to a family of elliptic operators each acting on spinors of the spin bundle over the corresponding timeslice. The theory of elliptic operators then ensures that we can find families of non-local boundary conditions with respect to this family of operators. Proceeding, we use such a family of boundary conditions to define a Lorentzian boundary condition on the whole timelike boundary. By analyzing the properties of the Lorentzian boundary conditions, we then find sufficient conditions on the family of non-local boundary conditions that lead to the well-posedness of the corresponding Cauchy problems. The well-posedness itself will then be proven by using classical tools including energy estimates and approximation by solutions of the regularized problems. Moreover, we use this theory to construct explicit boundary conditions for the Lorentzian Dirac operator. More precisely, we will discuss two examples of boundary conditions – the analogue of the Atiyah–Patodi–Singer and the chirality conditions, respectively, in our setting. For doing this, we will have a closer look at the theory of non-local boundary conditions for elliptic operators and analyze the requirements on the family of non-local boundary conditions for these specific examples.

Die vorliegende Arbeit stellt eine Untersuchung des Fremdverstehens von Lehrkräften im Mathematikunterricht dar. Mit ‚Fremdverstehen‘ soll dabei – in Anlehnung an den Soziologen Alfred Schütz – der Prozess bezeichnet werden, in welchem eine Lehrkraft versucht, das Verhalten einer Schülerin oder eines Schülers zu verstehen, indem sie dieses Verhalten auf ein Erleben zurückführt, das ihm zugrunde gelegen haben könnte. Als ein wesentliches Merkmal des Prozesses stellt Schütz in seiner Theorie des Fremdverstehens heraus, dass das Fremdverstehen eines Menschen immer auch auf seinen eigenen Erlebnissen basiert. Aus diesem Grund wird in der Arbeit ein methodischer Zweischritt vorgenommen: Es werden zunächst die mathematikbezogenen Erlebnisse zweier Lehrkräfte nachgezeichnet, bevor dann ihr Fremdverstehen in konkreten Situationen im Mathematikunterricht rekonstruiert wird. In der ersten Teiluntersuchung (= der Rekonstruktion eigener Erlebnisse der untersuchten Lehrkräfte) erfolgt die Datenerhebung mit Hilfe biographisch-narrativer Interviews, in denen die untersuchten Lehrkräfte angeregt werden, ihre mathematikbezogene Lebensgeschichte zu erzählen. Die Analyse dieser Interviews wird im Sinne der rekonstruktiven Fallanalyse vorgenommen. Insgesamt führt die erste Teiluntersuchung zu textlichen Darstellungen der rekonstruierten mathematikbezogenen Lebensgeschichte der untersuchten Mathematiklehrkräfte. In der zweiten Teiluntersuchung (= der Rekonstruktion des Fremdverstehens der untersuchten Lehrkräfte) werden dann narrative Interviews geführt, in denen die untersuchten Lehrkräfte von ihrem Fremdverstehen in konkreten Situationen im Mathematikunterricht erzählen. Die Analyse dieser Interviews erfolgt mit Hilfe eines dreischrittigen Analyseverfahrens, welches die Autorin eigens zum Zweck der Rekonstruktion von Fremdverstehen entwickelte. Am Ende dieser zweiten Teiluntersuchung werden sowohl das rekonstruierte Fremdverstehen der Lehrkräfte in verschiedenen Unterrichtssituationen dargestellt als auch Strukturen, die sich in ihrem Fremdverstehen abzeichnen. Mit Hilfe einer theoretischen Verallgemeinerung werden schließlich – auf Basis der Ergebnisse der zweiten Teiluntersuchung – Aussagen über fünf Merkmale des Fremdverstehens von Lehrkräften im Mathematikunterricht im Allgemeinen gewonnen. Mit diesen Aussagen vermag die Arbeit eine erste Beschreibung davon hervorzubringen, wie sich das Phänomen des Fremdverstehens von Lehrkräften im Mathematikunterricht ausgestalten kann.