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## On the characterization of particular orthogroups by disjunctions of identities

• In this thesis, we discuss the characterization of orthogroups by so-called disjunctions of identities. The orthogroups are a subclass of the class of completely regular semigroups, a generalization of the concept of a group. Thus there is for all elements of an orthogroup some kind of an inverse element such that both elements commute. Based on a fundamental result by A.H. Clifford, every completely regular semigroup is a semilattice of completely simple semigroups. This allows the description the gross structure of such semigroup. In particular every orthogroup is a semilattice of rectangular groups which are isomorphic to direct products of rectangular bands and groups. Semilattices of rectangular groups coming from various classes are characterized using the concept of an alternative variety, a generalization of the classical idea of a variety by Birkhoff. After starting with some fundamental definitions and results concerning semigroups, we introduce the concept of disjunctions of identities and summarize some necessaryIn this thesis, we discuss the characterization of orthogroups by so-called disjunctions of identities. The orthogroups are a subclass of the class of completely regular semigroups, a generalization of the concept of a group. Thus there is for all elements of an orthogroup some kind of an inverse element such that both elements commute. Based on a fundamental result by A.H. Clifford, every completely regular semigroup is a semilattice of completely simple semigroups. This allows the description the gross structure of such semigroup. In particular every orthogroup is a semilattice of rectangular groups which are isomorphic to direct products of rectangular bands and groups. Semilattices of rectangular groups coming from various classes are characterized using the concept of an alternative variety, a generalization of the classical idea of a variety by Birkhoff. After starting with some fundamental definitions and results concerning semigroups, we introduce the concept of disjunctions of identities and summarize some necessary properties. In particular we present some disjunction of identities which is sufficient for a semigroup for being completely regular. Furthermore we derive from this identity some statements concerning Rees matrix semigroups, a possible representation of completely simple semigroups. A main result of this thesis is the general description of disjunctions of identities such that a completely regular semigroup satisfying the described identity is a semilattice of left groups (right groups / groups). In this case the completely regular semigroup is an orthogroup. Furthermore we define various classes of rectangular groups such that there is an exponent taken from a set of pairwise coprime positive integers. An important result is the characterization of the class of all semilattices of particular rectangular groups (taken from the classes defined before) using a set-theoretic minimal set of disjunctions of identities. Additionally we investigate semilattices of groups (so-called Clifford semigroups). For this purpose we consider abelian groups of particular exponents and prove some well-known results from the theory of Clifford semigroups in an alternative way applying the concept of disjunctions of identities. As a practical application of the results concerning semilattices of left zero semigroups and right zero semigroups we identify a particular transformation semigroup. For more detailed information about the product of two arbitrary elements of a semilattice of semigroups we introduce the concept of strong semilattices of semigroups. It is well-known that a semilattice of groups is a strong semilattice of groups. So we can characterize a strong semilattice of groups of particular pairwise coprime exponents by disjunctions of identities. Additionally we describe the class of all strong semilattices of left zero semigroups and right zero semigroups with the help of such kind of identity, and we relate this statement to the theory of normal bands. A possible extension of the already described semilattices of rectangular groups can be achieved by an auxiliary total order (in terms of chains of semigroups). To this end we present a corresponding characterization due to disjunctions of identities which is obviously minimal. A list of open questions which have arisen during the research for this thesis, but left crude, is attached.
• In dieser Dissertation wird die Charakterisierung von Orthogruppen durch sogenannte Alternatividentitäten diskutiert. Die Orthogruppen bilden eine Unterklasse der Klasse der vollständig regulären Halbgruppen, einer Verallgemeinerung des Konzeptes einer Gruppe. Somit besitzen alle Elemente einer Orthogruppe eine Art inverses Element, mit welchem sie sogar kommutieren. Nach einem elementaren Ergebnis von A.H. Clifford lässt sich jede vollständig reguläre Halbgruppe als Halbverband von vollständig einfachen Halbgruppen darstellen. Dies erlaubt eine grobe Beschreibung der Struktur einer solchen Halbgruppe. Insbesondere lässt sich jede Orthogruppe als Halbverband von rektangulären Gruppen, welche isomorph zu direkten Produkten von rektangulären Bändern und Gruppen sind, beschreiben. Halbverbände rektangulärer Gruppen verschiedener Klassen werden unter Verwendung des Konzeptes der Alternativvarietät, einer Verallgemeinerung des klassischen Begriffs der Varietät nach Birkhoff, charakterisiert. Nach grundlegenden Definitionen und Aussagen zuIn dieser Dissertation wird die Charakterisierung von Orthogruppen durch sogenannte Alternatividentitäten diskutiert. Die Orthogruppen bilden eine Unterklasse der Klasse der vollständig regulären Halbgruppen, einer Verallgemeinerung des Konzeptes einer Gruppe. Somit besitzen alle Elemente einer Orthogruppe eine Art inverses Element, mit welchem sie sogar kommutieren. Nach einem elementaren Ergebnis von A.H. Clifford lässt sich jede vollständig reguläre Halbgruppe als Halbverband von vollständig einfachen Halbgruppen darstellen. Dies erlaubt eine grobe Beschreibung der Struktur einer solchen Halbgruppe. Insbesondere lässt sich jede Orthogruppe als Halbverband von rektangulären Gruppen, welche isomorph zu direkten Produkten von rektangulären Bändern und Gruppen sind, beschreiben. Halbverbände rektangulärer Gruppen verschiedener Klassen werden unter Verwendung des Konzeptes der Alternativvarietät, einer Verallgemeinerung des klassischen Begriffs der Varietät nach Birkhoff, charakterisiert. Nach grundlegenden Definitionen und Aussagen zu Halbgruppen, werden die Alternatividentitäten eingeführt und notwendige theoretische Aspekte erläutert. Insbesondere wird eine Alternatividentität angegeben, welche eine hinreichende Bedingung dafür ist, dass eine Halbgruppe vollständig regulär ist. Weiterhin werden in diesem Kontext Aussagen zu Rees-Matrix-Halbgruppen, einer möglichen Darstellung der vollständig einfachen Halbgruppen, hergeleitet. Ein Hauptresultat der Dissertation ist die allgemeine Beschreibung von Alternatividentitäten, sodass eine vollständig reguläre Halbgruppe ein Halbverband von Linksgruppen (Rechtsgruppen / Gruppen) ist. In diesem Fall ist die vollständig reguläre Halbgruppe sogar eine Orthogruppe. Weiterhin werden verschiedene Klassen von rektangulären Gruppen definiert, die einen bestimmten Exponenten aus einer gegebenen Menge von paarweise teilerfremden natürlichen Zahlen besitzen. Ein wichtiges Ergebnis ist die Charakterisierung der Klasse aller Halbverbände von bestimmten rektangulären Gruppen (aus den vorher definierten Klassen) mittels einer mengentheoretisch minimalen Menge von Alternatividentitäten. Es werden außerdem Halbverbände von Gruppen (sogenannte Clifford-Halbgruppen) näher untersucht. Hierfür werden abelsche Gruppen mit bestimmtem Exponenten betrachtet und teilweise bekannte Resultate aus der Theorie der Clifford-Halbgruppen mittels des Konzeptes der Alternatividentitäten auf alternativem Weg bewiesen. Als konkrete Anwendung der Ergebnisse über Halbverbände von Linksnullhalbgruppen und Rechtsnullhalbgruppen wird die Identifizierung einer speziellen Transformationshalbgruppe dargelegt. Um detailliertere Aussagen über das Produkt zweier beliebiger Elemente eines Halbverbandes von Halbgruppen zu erhalten, wird das Konzept der starken Halbverbände von Halbgruppen eingeführt. Hierbei ist bekannt, dass jeder Halbverband von Gruppen ein starker Halbverband von Gruppen ist. Somit lässt sich ein starker Halbverband von Gruppen mit bestimmten, paarweise teilerfremden Exponenten durch Alternatividentitäten charakterisieren. Zusätzlich wird die Klasse aller starken Halbverbände von Linksnullhalbgruppen und Rechtsnullhalbgruppen durch diese Art von Identitäten beschrieben und in die Theorie der normalen Bänder eingeordnet. Eine mögliche Ergänzung der beschriebenen Halbverbände von rektangulären Gruppen erfolgt durch die zusätzliche Forderung einer totalen Ordnung (im Sinne von Ketten von Halbgruppen). Hierfür wird ebenfalls eine entsprechende Charakterisierung durch Alternatividentitäten präsentiert, welche offensichtlich minimal ist. Eine Auflistung offener Fragen, welche während der Arbeit an der Dissertation entstanden sind, jedoch unbearbeitet bleiben mussten, ist beigefügt.