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Topologische Datenanalyse
(2019)
Bei der Analyse von höherdimensionalen Daten kann deren Gestalt wichtige Informationen über den Datensatz liefern. Bei einer gegebenen Punktwolke, die aus einem unbekannten topologischen Raum ausgewählt wurde, versucht die Topologische Datenanalyse (TDA) den ursprünglichen Raum zu rekonstruieren. Dieser Beitrag soll eine Einführung in die Topologische Datenanalyse geben und konzentriert sich dabei auf zwei wichtige Aspekte: die Persistente Homologie und den Mapper. Dabei werden zuerst die notwendigen theoretischen Grundlagen vorgestellt und anschließend wird die Methodik bei der Visualisierung von Daten eingesetzt.
Die Persistente Homologie ist eines der Standardwerkzeuge in der TDA. Sie findet ihre Anwendung beispielsweise in den Bereichen Formerkennung und -beschreibung. Der Mapper als zweites wichtiges Konzept der TDA wandelt umfangreiche, höherdimensionale Datensätze in Simplizialkomplexe um und kann dadurch geometrische und topologische Eigenschaften der Daten bestimmen. Des Weiteren ist die Mapper-Methode ein brauchbares Werkzeug zur Visualisierungen von mehrdimensionalen Daten, woran statistische Verfahren scheitern.
Untersucht werden die von BulwienGesa erhobenen und aufbereiteten jahresdurchschnittlichen Wiederverkaufspreise von Eigentumswohnungen und Einfamilienhäusern in 401 kreisfreien Städten und Landkreisen für die Jahre 2004–2017. Dabei zeigt sich eine Zunahme der regionalen Streuung im Zeitverlauf vor allem in der auf die Finanzkrise 2007–2009 folgenden Zeit. Im Durchschnitt der Regionen (Landkreise und kreisfreie Städte) steigen die Preise; sie entwickeln sich aber regional stark unterschiedlich (in manchen Regionen stagnieren sie oder sind gefallen). Dies führt auch zur Zunahme der Variationskoeffizienten, also der relativen Streuung der regionalen Preise. Dies deutet auf eine Zunahme der regionalen Disparitäten in der Bundesrepublik Deutschland. Besondere Divergenzen zeigen sich zwischen den alten und den neuen Bundesländern, wie auch zwischen prosperierenden kreisfreien Städten und deren Umland und ökonomisch schwächeren Städten und Landkreisen.