Refine
Has Fulltext
- yes (519) (remove)
Year of publication
Document Type
- Preprint (374)
- Doctoral Thesis (63)
- Postprint (32)
- Article (31)
- Monograph/Edited Volume (7)
- Master's Thesis (7)
- Bachelor Thesis (2)
- Conference Proceeding (2)
- Course Material (1)
Language
- English (475)
- German (40)
- French (3)
- Multiple languages (1)
Keywords
- random point processes (19)
- statistical mechanics (19)
- stochastic analysis (19)
- index (11)
- boundary value problems (10)
- elliptic operators (9)
- Fredholm property (8)
- cluster expansion (8)
- K-theory (7)
- manifolds with singularities (7)
- pseudodifferential operators (7)
- regularization (6)
- relative index (6)
- Atiyah-Patodi-Singer theory (5)
- index theory (5)
- infinite-dimensional Brownian diffusion (5)
- Boundary value problems (4)
- Cauchy problem (4)
- Markov processes (4)
- Modellierung (4)
- Probabilistic Cellular Automata (4)
- Toeplitz operators (4)
- differential operators (4)
- elliptic operator (4)
- ellipticity (4)
- manifold with singularities (4)
- reciprocal class (4)
- surgery (4)
- 'eta' invariant (3)
- Atiyah-Bott condition (3)
- Dirac operator (3)
- Fredholm operators (3)
- Hodge theory (3)
- Lefschetz number (3)
- Mathematikunterricht (3)
- Wahrscheinlichkeitstheorie (3)
- boundary value problem (3)
- conical singularities (3)
- conormal symbol (3)
- counting process (3)
- elliptic complexes (3)
- eta invariant (3)
- index of elliptic operators in subspaces (3)
- inversion (3)
- local time (3)
- reciprocal processes (3)
- reversible measure (3)
- spectral flow (3)
- star product (3)
- stochastic differential equations (3)
- the Cauchy problem (3)
- Alterung (2)
- Atiyah-Bott obstruction (2)
- Brownian bridge (2)
- Canonical Gibbs measure (2)
- Carleman matrix (2)
- Chemotaxis (2)
- Cluster expansion (2)
- Corona (2)
- Dirac operators (2)
- Diracoperator (2)
- Eigenvalues (2)
- Geomagnetismus (2)
- Gibbs field (2)
- Gibbs measure (2)
- Gibbs point processes (2)
- Heat equation (2)
- Kompetenzen (2)
- Kunststofflichtwellenleiter (2)
- Lagrangian submanifolds (2)
- Langzeitverhalten (2)
- Laplace equation (2)
- Lefschetz fixed point formula (2)
- Levy measure (2)
- Lichtwellenleiter (2)
- Malliavin calculus (2)
- Markov chain (2)
- Markov chains (2)
- Markovprozesse (2)
- Mathematikdidaktik (2)
- Mathematische Physik (2)
- Mellin transform (2)
- Navier-Stokes equations (2)
- Neumann problem (2)
- POF (2)
- Perturbed complexes (2)
- Pseudo-differential operators (2)
- Randwertprobleme (2)
- Riemann-Hilbert problem (2)
- Riemannian manifold (2)
- Spin Geometry (2)
- Stochastic Differential Equation (2)
- Stochastik (2)
- Streuung (2)
- TIMSS (2)
- Teamarbeit (2)
- Temperatur (2)
- Tunneleffekt (2)
- Unterrichtsmethode (2)
- Verzweigungsprozess (2)
- Videostudie (2)
- Vietnam (2)
- WKB method (2)
- Wellengleichung (2)
- Wiener measure (2)
- Zaremba problem (2)
- aerosol size distribution (2)
- analytic continuation (2)
- asymptotic expansion (2)
- birth-death-mutation-competition point process (2)
- boundary layer (2)
- branching process (2)
- censoring (2)
- coupling (2)
- curvature (2)
- data assimilation (2)
- detailed balance equation (2)
- didactics of mathematics (2)
- discrepancy principle (2)
- duality formula (2)
- edge singularities (2)
- edge-degenerate operators (2)
- elliptic boundary value problems (2)
- elliptic families (2)
- elliptic family (2)
- elliptic system (2)
- eta-invariant (2)
- evolution equation (2)
- exact simulation (2)
- geodesics (2)
- geometry (2)
- hard core potential (2)
- heat equation (2)
- holomorphic solution (2)
- homotopy classification (2)
- ill-posed problem (2)
- index formulas (2)
- infinite divisibility (2)
- infinitely divisible point processes (2)
- integral formulas (2)
- linking coefficients (2)
- long-time behaviour (2)
- manifolds with conical singularities (2)
- manifolds with edges (2)
- mathematics education (2)
- mathematische Modellierung (2)
- maximum likelihood estimator (2)
- modeling (2)
- modelling optical fibres waveguides pof scattering temperature aging ageing (2)
- modn-index (2)
- molecular motor (2)
- monodromy matrix (2)
- monotone coupling (2)
- non-Markov drift (2)
- nonlinear operator (2)
- optische Fasern (2)
- p-Laplace operator (2)
- parameter estimation (2)
- path integral (2)
- pseudo-differential boundary value problems (2)
- pseudodiferential operators (2)
- pseudodifferential operator (2)
- quantization (2)
- random walks on graphs (2)
- reciprocal characteristics (2)
- regularizer (2)
- regularizers (2)
- reziproke Klassen (2)
- root functions (2)
- singular partial differential equation (2)
- singular perturbation (2)
- skew Brownian motion (2)
- small parameter (2)
- spectral theorem (2)
- star-product (2)
- stochastic bridge (2)
- stochastic ordering (2)
- symmetry conditions (2)
- teaching methods (2)
- time duality (2)
- tunneling (2)
- wave equation (2)
- weighted edge spaces (2)
- weighted spaces (2)
- (co)boundary operator (1)
- (sub-) tropical Africa (1)
- (sub-) tropisches Afrika (1)
- 1st Eigenvalue (1)
- 26D15 (1)
- 31C20 (1)
- 35B09 (1)
- 35R02 (1)
- 39A12 (primary) (1)
- 4-Mannigfaltigkeiten (1)
- 58E35 (secondary) (1)
- ACAT (1)
- APS problem (1)
- Activity Theory (1)
- Aerosole (1)
- Analyse (1)
- Andere Fachrichtungen (1)
- Anfangsrandwertproblem (1)
- Angle (1)
- Approximate likelihood (1)
- Asymptotische Entwicklung (1)
- Atiyah-Singer theorem (1)
- Attractive Dynamics (1)
- Aufgabensammlung (1)
- Aussterbewahrscheinlichkeit (1)
- Averaging principle (1)
- Bayesian Inference (1)
- Bayesian inference (1)
- Bayesian inversion (1)
- Bayessche Inferenz (1)
- Beltrami equation (1)
- Bewegungsgleichung (1)
- Beweisaufgaben (1)
- Bienaymé-Galton-Watson Prozess (1)
- Bienaymé-Galton-Watson process (1)
- Big Data (1)
- Blended Learning (1)
- Blended learning (1)
- Borel Funktionen (1)
- Borel functions (1)
- Bose-Einstein condensation (1)
- Boundary Value Problems (1)
- Boundary value methods (1)
- Boundary value problems for first order systems (1)
- Boundary-contact problems (1)
- Bounds (1)
- Boutet de Monvel's calculus (1)
- Boutet de Monvels Kalkül (1)
- Brownian motion (1)
- Brownian motion with discontinuous drift (1)
- Bruchzahlen (1)
- C-Test (1)
- C0−semigroup (1)
- CCR-algebra (1)
- Calculus of Variation (1)
- Calculus of conormal symbols (1)
- Calderón projections (1)
- Capture into resonance (1)
- Carleman formulas (1)
- Case-Cohort-Design (1)
- Casped plates (1)
- Categories of stratified spaces (1)
- Cauchy Riemann operator (1)
- Cauchy data spaces (1)
- Cauchy horizon (1)
- Cauchyhorizont (1)
- Censoring (1)
- Chern character (1)
- Clifford algebra (1)
- Cluster Entwicklung (1)
- Cluster-Expansion (1)
- Clusteranalyse (1)
- Coarea Formel (1)
- Codeverständnis (1)
- Conradian ordered groups (1)
- Core Field Modeling (1)
- Corner boundary value problems (1)
- Coupling (1)
- Covid-19 (1)
- Cox model (1)
- Cox-Modell (1)
- Crack theory (1)
- Cross-effects (1)
- Curie-Weiss Potts Model (1)
- Curie-Weiss Potts Modell (1)
- DLR equation (1)
- DLR equations (1)
- DLR-Gleichungen (1)
- Data Assimilation (1)
- Data Literacy (1)
- Data Science (1)
- Data-Driven Methods (1)
- Daten Assimilation (1)
- Datenassimilation (1)
- Datengetriebene Methoden (1)
- Degenerationsprozesse (1)
- Delaney–Dress tiling theory (1)
- Deligne Cohomology (1)
- Deligne Kohomologie (1)
- Design Research (1)
- Detektion multipler Übergänge (1)
- Determinantal point processes (1)
- Determinante (1)
- Dichte eines Maßes (1)
- Didaktik der Mathematik (1)
- Differential Geometrie (1)
- Differential Geometry (1)
- Differentialgeometrie (1)
- Differentialoperatoren (1)
- Differenzenoperator (1)
- Diffusionsprozess (1)
- Digital Tools (1)
- Digitale Werkzeuge (1)
- Diophantine Approximation (1)
- Dirac Operator (1)
- Dirac-harmonic maps (1)
- Dirac-harmonische Abbildungen (1)
- Dirac-type operator (1)
- Dirichlet form (1)
- Dirichlet problem (1)
- Dirichlet to Neumann operator (1)
- Dirichlet-to-Neumann operator (1)
- Dispositional learning analytics (1)
- Disziplinierung (1)
- Divisionsbäume (1)
- Doblin (1)
- Dobrushin criterion (1)
- Dobrushin-Kriterium (1)
- Doeblin (1)
- Duality formula (1)
- Dualitätsformeln (1)
- Dubrovinring (1)
- Döblin (1)
- EM (1)
- ERgodicity of Markov Chains (1)
- Edge-degenerate operators (1)
- Eichtheorie (1)
- Einstein manifolds (1)
- Einstein-Hilbert action (1)
- Einstein-Hilbert-Wirkung (1)
- Einstein-Mannigfaltigkeiten (1)
- Elastizität (1)
- Elektrodynamik (1)
- Elliptic complexes (1)
- Elliptic equation with order degeneration (1)
- Elliptic operators (1)
- Elliptic operators in domains with edges (1)
- Elliptische Komplexe (1)
- Elliptizität (1)
- Empirische Untersuchung (1)
- Entropiemethode (1)
- Entropy method (1)
- Entstehungsfragestellung (1)
- Epidemiologie (1)
- Epidemiology (1)
- Estimation for branching processes (1)
- Euler equations (1)
- Euler operator (1)
- Euler's theta functions (1)
- Euler-Lagrange equations (1)
- Evolution Strategies (1)
- Evolutionsgleichung (1)
- Evolutionsstrategien (1)
- Explorative Datenanalyse (1)
- Extremal problem (1)
- Eyring-Kramers Formel (1)
- Feedback (1)
- Feller Diffusionsprozesse (1)
- Feller diffusion processes (1)
- Fertigkeiten (1)
- Feynman-Kac formula (1)
- Fibroblasten (1)
- Filterung (1)
- Finite difference method (1)
- Finsler-Abstand (1)
- Finsler-distance (1)
- Fischer-Riesz equations (1)
- Fitness (1)
- Fixationsbewegungen der Augen (1)
- Flocking (1)
- Form (1)
- Formale Sprachen und Automaten (1)
- Formative assessment (1)
- Forschung (1)
- Foucault (1)
- Fourier Integraloperatoren (1)
- Fourth order Sturm-Liouville problem (1)
- Fredholm Komplexe (1)
- Fredholm complexes (1)
- Fredholm operator (1)
- Frühförderung (1)
- Fundamentale Ideen (1)
- Funktorgeometrie (1)
- G-index (1)
- G-trace (1)
- Gamification (1)
- Gauge theory (1)
- Gaussian Loop Processes (1)
- Gaussian processes (1)
- Gauß-Prozesse (1)
- Gaußsche Loopprozess (1)
- Generalized translation operator (1)
- Geodäten (1)
- Geomagnetism (1)
- Geometric Analysis (1)
- Geometrie (1)
- Geometrieunterricht (1)
- Geometrische Analysis (1)
- Geometrische Reproduktionsverteilung (1)
- Gerben (1)
- Gerbes (1)
- Gestaltungsprinzipien (1)
- Gevrey classes (1)
- Gibbs measures (1)
- Gibbs perturbation (1)
- Gibbs state (1)
- Gibbssche Punktprozesse (1)
- Girsanov formula (1)
- Glauber Dynamics (1)
- Glauber Dynamik (1)
- Global Analysis (1)
- Global Differentialgeometry (1)
- Globale Differentialgeometrie (1)
- Goursat problem (1)
- Gradient flow (1)
- Gradientenfluss (1)
- Graphentheorie (1)
- Gravitation (1)
- Gravitationswelle (1)
- Green and Mellin edge operators (1)
- Green formula (1)
- Green operator (1)
- Green's operator (1)
- Grenzwertsatz (1)
- Grundvorstellungen (1)
- Grushin operator (1)
- Gutzwiller formula (1)
- HIV (1)
- HIV Erkrankung (1)
- Habitus (1)
- Hamilton-Jacobi theory (1)
- Hamiltonian group action (1)
- Hardy‘s inequality (1)
- Hauptfaserbündel (1)
- Heat Flow (1)
- Hermeneutik (1)
- Higher-order Sturm-Liouville problem (1)
- Historie der Verzweigungsprozesse (1)
- Hochschulkurse (1)
- Hochschullehre (1)
- Holonomie (1)
- Holonomy (1)
- Hughes-free (1)
- Hughes-frei (1)
- Hyperbolic-parabolic system (1)
- Hypoelliptic operators (1)
- Hypoellipticity (1)
- Hölder-type source condition (1)
- Ill-posed problem (1)
- Index Theorie (1)
- Index theory (1)
- Infinite dimensional manifolds (1)
- Infinite-dimensional SDE (1)
- Informatik (1)
- Informatik für alle (1)
- Informationskompetenz (1)
- Inhalte (1)
- Inhaltsanalyse (1)
- Innovation (1)
- Instabilität des Prozesses (1)
- Integrability (1)
- Interacting Diffusion Processes (1)
- Interacting Particle Systems (1)
- Interacting particle systems (1)
- Inverse Probleme (1)
- Inverse Problems (1)
- Inverse Sturm-Liouville problem (1)
- Inverses Sturm-Liouville-Problem (1)
- Inversion (1)
- Irrfahrten auf Graphen (1)
- K-Means Verfahren (1)
- KS model (1)
- Kalman Filter (1)
- Kalman filter (1)
- Kanten-Randwertprobleme (1)
- Kern Methoden (1)
- Kernfeldmodellierung (1)
- Kirkwood--Salsburg equations (1)
- Kirkwood-Salsburg-Gleichungen (1)
- Kollaboration (1)
- Kolmogorov-Gleichung (1)
- Kolmogorov-Smirnov type tests (1)
- Kombinationstherapie (1)
- Kompetenzmessung (1)
- Konfidenzintervall (1)
- Kontinuumsgrenzwert (1)
- Kontrolltheorie (1)
- Konvergenzrate (1)
- Kopplung (1)
- Korn’s weighted inequality (1)
- Kritikalitätstheorem (1)
- Kulturelle Aktivität (1)
- Kähler-Mannigfaltigkeit (1)
- L2 metrics (1)
- L2-Metrik (1)
- Lagrange Distributionen (1)
- Lagrangian system (1)
- Lame system (1)
- Lamé system (1)
- Langevin Dynamics (1)
- Langevin diffusions (1)
- Langevin-Diffusions (1)
- Laplace expansion (1)
- Laplace-Beltrami operator (1)
- Laufzeittomographie (1)
- Learning analytics (1)
- Learning dispositions (1)
- Lehre (1)
- Lehrevaluation (1)
- Lehrkräftebildung Mathematik (1)
- Lehrpotential (1)
- Lehrtext (1)
- Leistungstests (1)
- Leitidee „Daten und Zufall“ (1)
- Lernen (1)
- Lernspiele (1)
- Levy Maß (1)
- Levy process (1)
- Lidar (1)
- Liouville theorem (1)
- Lipschitz domains (1)
- Logarithmic Sobolev inequality (1)
- Logik (1)
- Logrank test (1)
- Lokalitätsprinzip (1)
- Loop space (1)
- Lorentzgeometrie (1)
- Lorentzian Geometry (1)
- Lumping (1)
- Lévy diffusion approximation (1)
- Lévy diffusions on manifolds (1)
- Lévy measure (1)
- Lévy type processes (1)
- Lückentext (1)
- Lφ spectrum (1)
- MCMC (1)
- MCMC-Verfahren (1)
- Magnetfeldmodellierung (1)
- Magnus expansion (1)
- Mannigfaltigkeit (1)
- Mannigfaltigkeiten mit Kante (1)
- Mannigfaltigkeiten mit Singularitäten (1)
- Markierte Gibbs-Punkt-Prozesse (1)
- Markov-Ketten (1)
- Markov-field property (1)
- Markovketten (1)
- Martin-Dynkin boundary (1)
- Maslov and Conley–Zehnder index (1)
- Mathematical Physics (1)
- Mathematics Tasks (1)
- Mathematics textbooks (1)
- Mathematik (1)
- Mathematikaufgaben (1)
- Mehrtyp-Verzweigungsprozesse (1)
- Mellin-Symbole (1)
- Mellin-Symbols (1)
- Meromorphic operator functions (1)
- Metastabilität (1)
- Methode (1)
- Microdialyse (1)
- Mikrophysik (1)
- Mikrosakkaden (1)
- Mikrosakkadensequenzen (1)
- Milnor Moore theorem (1)
- Minimax Optimalität (1)
- Mischzeiten (1)
- Mixing Times (1)
- Modellreduktion (1)
- Moduli spaces (1)
- Modulraum (1)
- Monte Carlo testing (1)
- Montel theorem (1)
- Morse-Smale property (1)
- Motivation (1)
- Multidimensional nonisentropic hydrodynamic model (1)
- Multitype branching processes (1)
- Multiwavelength LIDAR (1)
- Multizeta-Abbildungen (1)
- NLME (1)
- Navier-Stokes-Gleichungen (1)
- Navier-Stoks equations (1)
- Newton Polytope (1)
- Newton method (1)
- Newton polytopes (1)
- Non-linear (1)
- Non-proportional hazards (1)
- Nonlinear (1)
- Nonlinear Laplace operator (1)
- Normalenbündel (1)
- Numerov's method (1)
- Objektive Hermeneutik (1)
- Onkologie (1)
- Operators on manifolds with conical singularities (1)
- Operators on manifolds with edge (1)
- Operators on manifolds with edge and conical exit to infinity (1)
- Operators on manifolds with second order singularities (1)
- Operatortheorie (1)
- Optimierung (1)
- Optimization (1)
- Orbifolds (1)
- Ordnungs-Filtrierung (1)
- PBPK (1)
- PISA (1)
- Papangelou Process (1)
- Papangelou-Prozess (1)
- Parameter Schätzung (1)
- Parametrices (1)
- Partial Differential Equations (1)
- Partial Integration (1)
- Partielle Differential Gleichungen (1)
- Peano phenomena (1)
- Perron's method (1)
- Pfadintegrale (1)
- Pharmakokinetik (1)
- Pharmakometrie (1)
- Physik (1)
- Plio-Pleistocene (1)
- Plio-Pleistozän (1)
- Poincaré Birkhoff Witt theorem (1)
- Point Processes (1)
- Point process (1)
- Poisson bridge (1)
- Polya Process (1)
- Polyascher Prozess (1)
- Polymere (1)
- Pontrjagin duality (1)
- Populationen (1)
- Populations Analyse (1)
- Prinicipal Fibre Bundles (1)
- Professionswissen (1)
- Programmierausbildung (1)
- Projekte (1)
- Proportional hazards (1)
- Pseudo-Differentialoperatoren (1)
- Pseudodifferential operators (1)
- Pseudodifferentialoperatoren auf dem Torus (1)
- Punktprozess (1)
- Punktprozesse (1)
- Quantenfeldtheorie (1)
- Quantifizierung von Unsicherheit (1)
- Quantizer (1)
- Quasiconformal mapping (1)
- Quasilinear equations (1)
- Quasilinear hyperbolic system (1)
- Quotientenschiefkörper (1)
- Rahmenlehrplan (1)
- Ramified Cauchy problem (1)
- Randbedingungen (1)
- Random Field Ising Model (1)
- Raumzeiten mit zeitartigen Rand (1)
- Re-Engineering (1)
- Realistic Mathematics Education (1)
- Rechnen (1)
- Reciprocal process (1)
- Reflektierende Randbedingungen (1)
- Regularisierung (1)
- Reihendarstellungen (1)
- Reinforcement Learning (1)
- Rektifizierbarkeit höherer Ordnung (1)
- Renormalized integral (1)
- Reproduktionsrate (1)
- Resampling (1)
- Retrieval (1)
- Ricci flow (1)
- Ricci-Fluss (1)
- Riemann-Roch theorem (1)
- Riemannsche Geometrie (1)
- Risikoanalyse (1)
- Risk analysis (1)
- Runge-Kutta methods (1)
- SPDEs (1)
- SPECT (1)
- Sakkadendetektion (1)
- Saturation model (1)
- Satz von Milnor Moore (1)
- Satz von Poincaré Birkhoff Witt (1)
- Schrödinger Problem (1)
- Schrödinger problem (1)
- Schulbuch (1)
- Schwarzes Loch (1)
- Schätzung von Verzweigungsprozessen (1)
- Second order elliptic equations (1)
- Seiberg-Witten theory (1)
- Seiberg-Witten-Invariante (1)
- Sekundarstufe I (1)
- Selbstassemblierung (1)
- Semi-klasische Abschätzung (1)
- Semiklassik (1)
- Semiklassische Spektralasymptotik (1)
- Simulation (1)
- Simulationsstudien (1)
- Skew Diffusionen (1)
- Skorokhod' s invariance principle (1)
- Sobolev problem (1)
- Sobolev spaces with double weights on singular cones (1)
- Software Engineering (1)
- Softwareentwicklung (1)
- Space (1)
- Space-Time Cluster Expansions (1)
- Spectral Geometry (1)
- Spektraltheorie (1)
- Spezifikationstests (1)
- Spiel (1)
- Spin Geometrie (1)
- Spin Hall effekte (1)
- Stichprobenentnahme aus einem statistischen Modell (1)
- Stochastic Ordering (1)
- Stochastic differential equations (1)
- Stochastische Analysis (1)
- Stochastische Zellulare Automaten (1)
- Streuamplitude (1)
- Streutheorie (1)
- Strings (1)
- Strukturbildung (1)
- Strukturverbesserung (1)
- Studiengänge (1)
- Studierendenperformance (1)
- Sturm-Liouville problem (1)
- Sturm-Liouville problems (1)
- Sturm-Liouville-Problem (1)
- Sturm-Liouville-Problem höherer Ordnung (1)
- Submanifolds (1)
- Supergeometrie (1)
- Surface potentials with asymptotics (1)
- Survival models with covariates (1)
- System of nonlocal PDE of first order (1)
- Systeme interagierender Partikel (1)
- Systempharmakologie (1)
- Testfähigkeit (1)
- Tests (1)
- Tetration (1)
- Textbook analysis (1)
- Textbook research (1)
- Theoretische Informatik (1)
- Tikhonov regularization (1)
- Two-level interacting process (1)
- Two-sample tests (1)
- Tätigkeitstheorie (1)
- Uncertainty Quantification (1)
- Unendlichdimensionale Mannigfaltigkeit (1)
- Variationsrechnung (1)
- Variationsrechung (1)
- Variationsstabilität (1)
- Varifaltigkeit (1)
- Verknüpfung Fachwissenschaft und Fachdidaktik (1)
- Verzweigungsprozesse (1)
- Vincent (1)
- Viscosity solutions (1)
- Vitali theorem (1)
- Volterra symbols (1)
- Wahrscheinlichkeitsverteilung (1)
- Wartung von Lehrveranstaltungen (1)
- Wasserstein distance (1)
- Wave operator (1)
- Waveletanalyse (1)
- Weak Mixing Condition (1)
- Wechselwirkende Teilchensysteme (1)
- Weyl algebras bundle (1)
- Weyl symbol (1)
- Winkel (1)
- Wissenschaftliches Arbeiten (1)
- Wolfgang (1)
- Wärmefluss (1)
- Wärmekern (1)
- Wärmeleitungsgleichung (1)
- Yamabe problem (1)
- Yamabe-Problem (1)
- Zahlbereichserweiterung (1)
- Zahlerwerb (1)
- Zellmotilität (1)
- Zufallsvariable (1)
- Zustandsschätzung (1)
- Zählprozesse (1)
- absorbing boundary (1)
- absorbing set (1)
- absorption (1)
- accelerated life time model (1)
- aerosol distribution (1)
- aerosols (1)
- amoeboid motion (1)
- amöboide Bewegung (1)
- analytic index (1)
- angewandte Mathematik (1)
- anisotropic spaces (1)
- applied mathematics (1)
- approximate differentiability (1)
- approximative Differenzierbarkeit (1)
- aptitude tests (1)
- asymptotic behavior (1)
- asymptotic method (1)
- asymptotic methods (1)
- asymptotic stable (1)
- asymptotical normal distribution (1)
- asymptotics (1)
- asymptotics of solutions (1)
- asymptotische Entwicklung (1)
- asymptotische Normalverteilung (1)
- attenuated Radon transform (1)
- bar with variable cross-section (1)
- basic ideas ('Grundvorstellungen') (1)
- bayessche Inferenz (1)
- bedingter Erwartungswert (1)
- bending of an orthotropic cusped plate (1)
- black hole (1)
- boun- dedness (1)
- boundary conditions (1)
- boundary regularity (1)
- boundary values problems (1)
- bounds (1)
- branching processes (1)
- bridge (1)
- bridges of random walks (1)
- bundles (1)
- calculation (1)
- calculus of variations (1)
- canonical Marcus integration (1)
- canonical discretization schemes (1)
- cell motility (1)
- characteristic boundary point (1)
- characteristic points (1)
- classical and quantum reduction (1)
- classical solution (1)
- cluster analysis (1)
- coarea formula (1)
- coated and absorbing aerosols (1)
- coercivity (1)
- cohomology (1)
- collegial supervision (1)
- comparison principle (1)
- completeness (1)
- complex systems (1)
- composition operator (1)
- compound Poisson processes (1)
- compressible Euler equations (1)
- conditional Wiener measure (1)
- conditional expectation value (1)
- conditioned (1)
- conditioned Feller diffusion (1)
- confidence interval (1)
- congruence (1)
- conjugate gradient (1)
- connections (1)
- conormal asymptotic expansions (1)
- conormal asymptotics (1)
- conormal symbols (1)
- conservation laws (1)
- consistency (1)
- constitutive relations (1)
- constrained Hamiltonian systems (1)
- contact transformations (1)
- continuity in Sobolev spaces with double weights (1)
- continuous time Markov Chains (1)
- continuous time Markov chain (1)
- control theory (1)
- corner Sobolev spaces with double weights (1)
- corona virus (1)
- coupled solution (1)
- coupling methods (1)
- covering (1)
- critical and subcritical Dawson-Watanabe process (1)
- criticality theorem (1)
- cusp (1)
- cusped bar (1)
- das Cauchyproblem (1)
- das Goursatproblem (1)
- das charakteristische Cauchyproblem (1)
- dbar-Neumann problem (1)
- de Rham complex (1)
- de Sitter model ; Fundamental solutions ; Decay estimates (1)
- decay of eigenfunctions (1)
- deformation quantization (1)
- degenerate elliptic equations (1)
- degenerate elliptic systems (1)
- density of a measure (1)
- design elements (1)
- design research (1)
- determinant (1)
- determinantal point processes (1)
- determinantische Punktprozesse (1)
- die linearisierte Einsteingleichung (1)
- difference operator (1)
- differential geometry (1)
- differential-algebraic equations (1)
- diffusion process (1)
- dimension functional (1)
- dimension independent bound (1)
- direct and indirect climate observations (1)
- direkte und indirekte Klimaobservablen (1)
- discontinuous Robin condition (1)
- discontinuous drift (1)
- discrete Witten complex (1)
- discrete saymptotic types (1)
- diskontinuierliche Drift (1)
- diskreter Witten-Laplace-Operator (1)
- distorted Brownian motion (1)
- division algebras (1)
- division of spaces (1)
- division trees (1)
- divisors (1)
- domains with singularities (1)
- doppelsemigroup (1)
- duale IT-Ausbildung (1)
- duality formulae (1)
- dynamical system (1)
- dynamical system representation (1)
- e-Assessment (1)
- e-Learning (1)
- edge Sobolev spaces (1)
- edge algebra (1)
- edge boundary value problems (1)
- edge quantizations (1)
- edge spaces (1)
- edge symbol (1)
- edge- and corner-degenerate symbols (1)
- elastic bar (1)
- elasticity (1)
- electrodynamics (1)
- elliptic boundary conditions (1)
- elliptic complex (1)
- elliptic functions (1)
- elliptic morphism (1)
- elliptic operators in subspaces (1)
- elliptic operators on non-compact manifolds (1)
- elliptic problem (1)
- elliptic problems (1)
- elliptic quasicomplexes (1)
- elliptic systems (1)
- ellipticity in the edge calculus (1)
- ellipticity of cone operators (1)
- ellipticity of corners operators (1)
- ellipticity with interface conditions (1)
- ellipticity with parameter (1)
- ellipticity with respect to interior and edge symbols (1)
- elliptische Gleichungen (1)
- elliptische Quasi-Komplexe (1)
- empirical Wasserstein distance (1)
- energetic space (1)
- enlargement of filtration (1)
- entropy (1)
- equation of motion (1)
- equivalence (1)
- ergodic rates (1)
- erste Variation (1)
- estimation of regression (1)
- exact simulation method (1)
- exakte Simulation (1)
- exercise collection (1)
- existence (1)
- exponential function (1)
- exponential stability (1)
- exterior tensor product (1)
- extinction probability (1)
- feedback (1)
- fibre coordinates (1)
- fibroblasts (1)
- filter (1)
- filtering (1)
- finiteness theorem (1)
- finsler distance (1)
- first boundary value problem (1)
- first variation (1)
- fixational eye movements (1)
- fixed point formula (1)
- flocking (1)
- foliated diffusion (1)
- force unification (1)
- forschungsorientiertes Lernen (1)
- fractions (1)
- free algebra (1)
- fully non-linear degenerate parabolic equations (1)
- functor geometry (1)
- fundamental ideas (1)
- fundamental solution (1)
- game (1)
- game-based (1)
- gamification (1)
- gauge group (1)
- generalized Laplace operator (1)
- geodesic distance (1)
- geodätischer Abstand (1)
- geomagnetism (1)
- geometric optics approximation (1)
- geometric reproduction distribution (1)
- geordnete Gruppen von Conrad-Typ (1)
- global exact boundary controllability (1)
- global solution (1)
- global solutions (1)
- global-hyperbolisch (1)
- globally hyperbolic (1)
- globally hyperbolic spacetime (1)
- good-inner function (1)
- goodness of fit (1)
- goodness-of-fit (1)
- goodness-of-fit testing (1)
- graph theory (1)
- graphs (1)
- gravitation (1)
- gravitational wave (1)
- guiding idea “Daten und Zufall” (1)
- hard core interaction (1)
- heat asymptotics (1)
- heat kernel (1)
- heavy-tailed distributions (1)
- hermeneutics (1)
- heterogeneity (1)
- high dimensional (1)
- higher operations (1)
- higher order rectifiability (1)
- higher singularities (1)
- higher-order Sturm–Liouville problems (1)
- history of branching processes (1)
- hitting times (1)
- host-parasite stochastic particle system (1)
- hyperbolic dynamical system (1)
- hyperbolic operators (1)
- hyperbolic tilings (1)
- hyperequational theory (1)
- hypoelliptic estimate (1)
- höhere Operationen (1)
- höhere Singularitäten (1)
- ill-posed (1)
- ill-posed problems (1)
- illposed problem (1)
- indecomposable varifold (1)
- index formula (1)
- index of elliptic operator (1)
- index of stability (1)
- infinite-dimensional diffusion (1)
- initial boundary value problem (1)
- instability of the process (1)
- integral Fourier operators (1)
- integral representation method (1)
- integration by parts formula (1)
- integration by parts on path space (1)
- interacting particle systems (1)
- interaction matrix (1)
- interassociativity (1)
- interfaces with conical singularities (1)
- intrinsic diameter (1)
- intrinsischer Diameter (1)
- invariant (1)
- inverse Probleme (1)
- inverse Sturm–Liouville problems (1)
- inverse ill-posed problem (1)
- inverse problems (1)
- isoperimetric inequality (1)
- isoperimetrische Ungleichung (1)
- isotopic tiling theory (1)
- jump process (1)
- jump processes (1)
- k-means clustering (1)
- kanten- und ecken-entartete Symbole (1)
- kernel estimator of the hazard rate (1)
- kernel method (1)
- kernel methods (1)
- kernel-based Bayesian inference (1)
- kernel-basierte Bayes'sche Inferenz (1)
- kleine Parameter (1)
- knots (1)
- kollegiale Supervision (1)
- komplexe Systeme (1)
- komplexe mechanistische Systeme (1)
- konstitutive Gleichungen (1)
- large-scale mechanistic systems (1)
- lattice packing and covering (1)
- lattice point (1)
- learning (1)
- least squares estimator (1)
- left ordered groups (1)
- lidar (1)
- lifespan (1)
- limit theorem (1)
- limit theorem for integrated squared difference (1)
- linear fractional case (1)
- linking of subject science and didactic (1)
- linksgeordnete Gruppen (1)
- localisation (1)
- locality principle (1)
- locally indicable (1)
- logarithmic residue (1)
- logarithmic source condition (1)
- logic (1)
- logistic regression analysis (1)
- logistische Regression (1)
- lokal indizierbar (1)
- low-lying eignvalues (1)
- lumping (1)
- macromolecular decay (1)
- magnetic (1)
- magnetic field modeling (1)
- magnetisch (1)
- makromolekularer Zerfall (1)
- manifold (1)
- manifold with boundary (1)
- manifold with edge (1)
- manifolds with cusps (1)
- manifolds with edge (1)
- mapping class groups (1)
- mapping degree (1)
- maps on surfaces (1)
- marked Gibbs point processes (1)
- matching of asymptotic expansions (1)
- mathematical modeling (1)
- mathematical modelling (1)
- mathematical physics (1)
- mathematics (1)
- mathematische Physik (1)
- mean curvature (1)
- mechanistic modeling (1)
- mechanistische Modellierung (1)
- meromorphe Fortsetzung (1)
- meromorphic continuation (1)
- meromorphic family (1)
- metaplectic operators (1)
- metastability (1)
- method (1)
- microdialysis (1)
- microlocal analysis (1)
- microlokale Analysis (1)
- microphysics (1)
- microsaccades (1)
- middle school (1)
- mild solution (1)
- minimax convergence rates (1)
- minimax optimality (1)
- minimax rate (1)
- mit Anwendungen in der Laufzeittomographie, Seismischer Quellinversion und Magnetfeldmodellierung (1)
- mittlere Krümmung (1)
- mixed elliptic problems (1)
- mixed problems (1)
- mixture of bridges (1)
- mod k index (1)
- model order reduction (1)
- model selection (1)
- model-informed precision dosing (1)
- modellinformierte Präzisionsdosierung (1)
- modified Landweber method (1)
- moduli space of flat connections (1)
- modulo n index (1)
- molecular weaving (1)
- mollifier method (1)
- moment map (1)
- monotone method (1)
- monotone random (1)
- monotonicity (1)
- monotonicity conditions (1)
- motivation (1)
- multi-change point detection (1)
- multilayered coated and absorbing aerosol (1)
- multiple characteristics (1)
- multiplicative Lévy noise (1)
- multiplicative noise (1)
- multitype measure-valued branching processes (1)
- multiwavelength Lidar (1)
- multiwavelength lidar (1)
- multizeta functions (1)
- negative Zahlen (1)
- negative numbers (1)
- networks (1)
- new recursive algorithm (1)
- nicht-lineare gemischte Modelle (NLME) (1)
- nichtlineare Modelle (1)
- nichtlineare partielle Differentialgleichung (1)
- non-coercive boundary conditions (1)
- non-linear integro-differential equations (1)
- non-regular drift (1)
- non-uniqueness (1)
- nondegenerate condition (1)
- nonhomogeneous boundary value problems (1)
- nonlinear (1)
- nonlinear equations (1)
- nonlinear invers problem (1)
- nonlinear optimization (1)
- nonlinear partial differential equations (1)
- nonlinear semigroup (1)
- nonlocal problem (1)
- nonparametric regression (1)
- nonparametric regression estimation (1)
- nonsmooth curves (1)
- norm estimates with respect to a parameter (1)
- normal bundle (1)
- normal reflection (1)
- number (1)
- numerical approximation (1)
- numerical extension (1)
- offene Wissenschaft (1)
- oncology (1)
- open science (1)
- operator algebras on manifolds with singularities (1)
- operators on manifolds with conical and edge singularities (1)
- operators on manifolds with edges (1)
- operators on manifolds with singularities (1)
- optimal rate (1)
- order filtration (1)
- order reduction (1)
- p-Branen (1)
- p-Laplace Operator (1)
- p-branes (1)
- parallelizable spheres (1)
- parameter-dependent cone operators (1)
- parameter-dependent ellipticity (1)
- parameter-dependent pseudodifferential operators (1)
- parametrices (1)
- parity condition (1)
- parity conditions (1)
- part-whole concept (1)
- partial algebras (1)
- partial least squares (1)
- partial ordering (1)
- partielle Integration (1)
- partielle Integration auf dem Pfadraum (1)
- periodic Gaussian process (1)
- periodic Ornstein-Uhlenbeck process (1)
- periodic entanglement (1)
- permanental- (1)
- pharmacokinetics (1)
- pharmacometrics (1)
- physics (1)
- physiologie-basierte Pharmacokinetic (PBPK) (1)
- point process (1)
- polydisc (1)
- polyhedra and polytopes (1)
- polymer (1)
- popPBPK (1)
- popPK (1)
- population analysis (1)
- populations (1)
- porous medium equation (1)
- poset (1)
- principal symbolic hierarchies (1)
- probability distribution (1)
- probability generating function (1)
- probability theory (1)
- problem of classification (1)
- professional knowledge (1)
- profile likelihood (1)
- propor-tional hazard mode (1)
- pseudo-diferential operators (1)
- pseudo-differential equation (1)
- pseudo-differential operators (1)
- pseudo-differentialboundary value problems (1)
- pseudo-differentielle Gleichungen (1)
- pseudodifferential boundary value problems (1)
- pseudodifferential subspace (1)
- pseudodifferential subspaces (1)
- pseudodifferentiale Operatoren (1)
- quantizer (1)
- quantum field theory (1)
- quasilinear Fredholm operator (1)
- quasilinear equation (1)
- question of origin (1)
- random sum (1)
- random variable (1)
- random walk (1)
- random walk on Abelian group (1)
- rectifiable varifold (1)
- reflecting boundary (1)
- regular figures (1)
- regularisation (1)
- regularization methods (1)
- reinforcement learning (1)
- rejection sampling (1)
- rektifizierbare Varifaltigkeit (1)
- relative cohomology (1)
- relative index formulas (1)
- relative η-invariant (1)
- removable set (1)
- removable sets (1)
- reproducing kernel Hilbert space (1)
- reproduction rate (1)
- rescaled lattice (1)
- residue (1)
- retrieval (1)
- reziproke Invarianten (1)
- saccade detection (1)
- sampling (1)
- scaled lattice (1)
- scattering amplitude (1)
- scattering theory (1)
- schlecht gestellt (1)
- seismic source inversion (1)
- seismische Quellinversion (1)
- self-assembly (1)
- semi-classical difference operator (1)
- semi-classical spectral estimates (1)
- semiclassical spectral asymptotics (1)
- semiclassics (1)
- semiconductors (1)
- semigroup (1)
- semipermeable barriers (1)
- semiprocess (1)
- sequences of microsaccades (1)
- series representation (1)
- shock wave (1)
- simulation (1)
- singular drifts (1)
- singular integral equations (1)
- singular manifolds (1)
- singular point (1)
- singuläre Mannigfaltigkeiten (1)
- skew diffusion (1)
- skew diffusions (1)
- skew field of fraction (1)
- small noise asymptotic (1)
- socialisation (1)
- soft matter (1)
- space-time Gibbs field (1)
- spacetimes with timelike boundary (1)
- specific entropy (1)
- spectral boundary value problems (1)
- spectral independence (1)
- spectral kernel function (1)
- spectral resolution (1)
- spin Hall effect (1)
- spirallike function (1)
- stability and accuracy (1)
- stable limit cycle (1)
- stark Hughes-frei (1)
- state estimation (1)
- statistical inference (1)
- statistical inverse problem (1)
- statistical machine learning (1)
- statistical model selection (1)
- statistische Inferenz (1)
- statistisches maschinelles Lernen (1)
- step process (1)
- stochastic Burgers equations (1)
- stochastic bridges (1)
- stochastic interacting particles (1)
- stochastic mechanics (1)
- stochastics (1)
- stochastische Anordnung (1)
- stochastische Differentialgleichungen (1)
- stochastische Mechanik (1)
- stochastische Zellulare Automaten (1)
- stochastisches interagierendes System (1)
- stopping rules (1)
- strongly Hughes-free (1)
- strongly pseudoconvex domains (1)
- structure formation (1)
- structured numbers (1)
- strukturierte Zahlen (1)
- subRiemannian geometry (1)
- supergeometry (1)
- survival analysis (1)
- symmetry group (1)
- symplectic (canonical) transformations (1)
- symplectic manifold (1)
- symplectic methods (1)
- symplectic reduction (1)
- system Lame (1)
- systems of partial differential equations (1)
- systems pharmacology (1)
- tangles (1)
- teacher training mathematics (1)
- teaching (1)
- terrigener Staub (1)
- terrigenous dust (1)
- test ability (1)
- tetration (1)
- the Dirichlet problem (1)
- the Goursat problem (1)
- the characteristic Cauchy problem (1)
- the first boundary value problem (1)
- the linearised Einstein equation (1)
- time reversal (1)
- time series (1)
- time series with heavy tails (1)
- time symmetry (1)
- tomogrphy (1)
- trace (1)
- transition path theory (1)
- travel time tomography (1)
- two-level interacting processes (1)
- ultracontractivity (1)
- unendlich teilbare Punktprozesse (1)
- unendliche Teilbarkeit (1)
- uniform compact attractor (1)
- unzerlegbare Varifaltigkeit (1)
- variable projection method (1)
- variational calculus (1)
- variational principle (1)
- variational stability (1)
- varifold (1)
- vibration (1)
- video study (1)
- viral fitness (1)
- wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion (1)
- wavelet analysis (1)
- weak boundary values (1)
- weiche Materie (1)
- weighted Hölder spaces (1)
- weighted Sobolev space (1)
- weighted Sobolev spaces with discrete saymptotics (1)
- weighted spaces with asymptotics (1)
- zero-noise limit (1)
- zufällige Summe (1)
- η-invariant (1)
- ∂-operator (1)
Institute
- Institut für Mathematik (519) (remove)
Übungsbuch zur Stochastik
(2023)
Dieses Buch stellt Übungen zu den Grundbegriffen und Grundsätzen der Stochastik und ihre Lösungen zur Verfügung. So wie man Tonleitern in der Musik trainiert, so berechnet man Übungsaufgaben in der Mathematik. In diesem Sinne soll dieses Übungsbuch vor allem als Vorlage dienen für das eigenständige, eigenverantwortliche Lernen und Üben.
Die Schönheit und Einzigartigkeit der Wahrscheinlichkeitstheorie besteht darin, dass sie eine Vielzahl von realen Phänomenen modellieren kann. Daher findet man hier Aufgaben mit Verbindungen zur Geometrie, zu Glücksspielen, zur Versicherungsmathematik, zur Demographie und vielen anderen Themen.
Aus dem Inhalt: 1 Abraham Wald (1902-1950) 2 Einführung der Grundbegriffe. Einige technische bekannte Ergebnisse 2.1 Martingal und Doob-Ungleichung 2.2 Brownsche Bewegung und spezielle Martingale 2.3 Gleichgradige Integrierbarkeit von Prozessen 2.4 Gestopptes Martingal 2.5 Optionaler Stoppsatz von Doob 2.6 Lokales Martingal 2.7 Quadratische Variation 2.8 Die Dichte der ersten einseitigen Überschreitungszeit der Brown- schen Bewegung 2.9 Waldidentitäten für die Überschreitungszeiten der Brownschen Bewegung 3 Erste Waldidentität 3.1 Burkholder, Gundy und Davis Ungleichungen der gestoppten Brown- schen Bewegung 3.2 Erste Waldidentität für die Brownsche Bewegung 3.3 Verfeinerungen der ersten Waldidentität 3.4 Stärkere Verfeinerung der ersten Waldidentität für die Brown- schen Bewegung 3.5 Verfeinerung der ersten Waldidentität für spezielle Stoppzeiten der Brownschen Bewegung 3.6 Beispiele für lokale Martingale für die Verfeinerung der ersten Waldidentität 3.7 Überschreitungszeiten der Brownschen Bewegung für nichtlineare Schranken 4 Zweite Waldidentität 4.1 Zweite Waldidentität für die Brownsche Bewegung 4.2 Anwendungen der ersten und zweitenWaldidentität für die Brown- schen Bewegung 5 Dritte Waldidentität 5.1 Dritte Waldidentität für die Brownsche Bewegung 5.2 Verfeinerung der dritten Waldidentität 5.3 Eine wichtige Voraussetzung für die Verfeinerung der drittenWal- didentität 5.4 Verfeinerung der dritten Waldidentität für spezielle Stoppzeiten der Brownschen Bewegung 6 Waldidentitäten im Mehrdimensionalen 6.1 Erste Waldidentität im Mehrdimensionalen 6.2 Zweite Waldidentität im Mehrdimensionalen 6.3 Dritte Waldidentität im Mehrdimensionalen 7 Appendix
Die Bienaymé-Galton-Watson Prozesse können für die Untersuchung von speziellen und sich entwickelnden Populationen verwendet werden. Die Populationen umfassen Individuen, welche sich identisch, zufällig, selbstständig und unabhängig voneinander fortpflanzen und die jeweils nur eine Generation existieren. Die n-te Generation ergibt sich als zufällige Summe der Individuen der (n-1)-ten Generation. Die Relevanz dieser Prozesse begründet sich innerhalb der Historie und der inner- und außermathematischen Bedeutung. Die Geschichte der Bienaymé-Galton-Watson-Prozesse wird anhand der Entwicklung des Konzeptes bis heute dargestellt. Dabei werden die Wissenschaftler:innen verschiedener Disziplinen angeführt, die Erkenntnisse zu dem Themengebiet beigetragen und das Konzept in ihren Fachbereichen angeführt haben. Somit ergibt sich die außermathematische Signifikanz. Des Weiteren erhält man die innermathematische Bedeutsamkeit mittels des Konzeptes der Verzweigungsprozesse, welches auf die Bienaymé-Galton-Watson Prozesse zurückzuführen ist. Die Verzweigungsprozesse stellen eines der aussagekräftigsten Modelle für die Beschreibung des Populationswachstums dar. Darüber hinaus besteht die derzeitige Wichtigkeit durch die Anwendungsmöglichkeit der Verzweigungsprozesse und der Bienaymé-Galton-Watson Prozesse innerhalb der Epidemiologie. Es werden die Ebola- und die Corona-Pandemie als Anwendungsfelder angeführt. Die Prozesse dienen als Entscheidungsstütze für die Politik und ermöglichen Aussagen über die Auswirkungen von Maßnahmen bezüglich der Pandemien. Neben den Prozessen werden ebenfalls der bedingte Erwartungswert bezüglich diskreter Zufallsvariablen, die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion und die zufällige Summe eingeführt. Die Konzepte vereinfachen die Beschreibung der Prozesse und bilden somit die Grundlage der Betrachtungen. Außerdem werden die benötigten und weiterführenden Eigenschaften der grundlegenden Themengebiete und der Prozesse aufgeführt und bewiesen. Das Kapitel erreicht seinen Höhepunkt bei dem Beweis des Kritikalitätstheorems, wodurch eine Aussage über das Aussterben des Prozesses in verschiedenen Fällen und somit über die Aussterbewahrscheinlichkeit getätigt werden kann. Die Fälle werden anhand der zu erwartenden Anzahl an Nachkommen eines Individuums unterschieden. Es zeigt sich, dass ein Prozess bei einer zu erwartenden Anzahl kleiner gleich Eins mit Sicherheit ausstirbt und bei einer Anzahl größer als Eins, die Population nicht in jedem Fall aussterben muss. Danach werden einzelne Beispiele, wie der linear fractional case, die Population von Fibroblasten (Bindegewebszellen) von Mäusen und die Entstehungsfragestellung der Prozesse, angeführt. Diese werden mithilfe der erlangten Ergebnisse untersucht und einige ausgewählte zufällige Dynamiken werden im nachfolgenden Kapitel simuliert. Die Simulationen erfolgen durch ein in Python erstelltes Programm und werden mithilfe der Inversionsmethode realisiert. Die Simulationen stellen beispielhaft die Entwicklungen in den verschiedenen Kritikalitätsfällen der Prozesse dar. Zudem werden die Häufigkeiten der einzelnen Populationsgrößen in Form von Histogrammen angebracht. Dabei lässt sich der Unterschied zwischen den einzelnen Fällen bestätigen und es wird die Anwendungsmöglichkeit der Bienaymé-Galton-Watson Prozesse bei komplexeren Problemen deutlich. Histogramme bekräftigen, dass die einzelnen Populationsgrößen nur endlich oft vorkommen. Diese Aussage wurde von Galton aufgeworfen und in der Extinktions-Explosions-Dichotomie verwendet. Die dargestellten Erkenntnisse über das Themengebiet und die Betrachtung des Konzeptes werden mit einer didaktischen Analyse abgeschlossen. Die Untersuchung beinhaltet die Berücksichtigung der Fundamentalen Ideen, der Fundamentalen Ideen der Stochastik und der Leitidee „Daten und Zufall“. Dabei ergibt sich, dass in Abhängigkeit der gewählten Perspektive die Anwendung der Bienaymé-Galton-Watson Prozesse innerhalb der Schule plausibel ist und von Vorteil für die Schüler:innen sein kann. Für die Behandlung wird exemplarisch der Rahmenlehrplan für Berlin und Brandenburg analysiert und mit dem Kernlehrplan Nordrhein-Westfalens verglichen. Die Konzeption des Lehrplans aus Berlin und Brandenburg lässt nicht den Schluss zu, dass die Bienaymé-Galton-Watson Prozesse angewendet werden sollten. Es lässt sich feststellen, dass die zugrunde liegende Leitidee nicht vollumfänglich mit manchen Fundamentalen Ideen der Stochastik vereinbar ist. Somit würde eine Modifikation hinsichtlich einer stärkeren Orientierung des Lehrplans an den Fundamentalen Ideen die Anwendung der Prozesse ermöglichen. Die Aussage wird durch die Betrachtung und Übertragung eines nordrhein-westfälischen Unterrichtsentwurfes für stochastische Prozesse auf die Bienaymé-Galton-Watson Prozesse unterstützt. Darüber hinaus werden eine Concept Map und ein Vernetzungspentagraph nach von der Bank konzipiert um diesen Aspekt hervorzuheben.
Given a system of entire functions in Cn with at most countable set of common zeros, we introduce the concept of zeta-function associated with the system. Under reasonable assumptions on the system, the zeta-function is well defined for all s ∈ Zn with sufficiently large components. Using residue theory we get an integral representation for the zeta-function which allows us to construct an analytic extension of the zeta-function to an infinite cone in Cn.
Zahlen in den Fingern
(2023)
Die Debatte über den Einsatz von digitalen Werkzeugen in der mathematischen Frühförderung ist hoch aktuell. Lernspiele werden konstruiert, mit dem Ziel, mathematisches, informelles Wissen aufzubauen und so einen besseren Schulstart zu ermöglichen. Doch allein die digitale und spielerische Aufarbeitung führt nicht zwingend zu einem Lernerfolg. Daher ist es umso wichtiger, die konkrete Implementation der theoretischen Konstrukte und Interaktionsmöglichkeiten mit den Werkzeugen zu analysieren und passend aufzubereiten.
In dieser Masterarbeit wird dazu exemplarisch ein mathematisches Lernspiel namens „Fingu“ für den Einsatz im vorschulischen Bereich theoretisch und empirisch im Rahmen der Artifact-Centric Activity Theory (ACAT) untersucht. Dazu werden zunächst die theoretischen Hintergründe zum Zahlensinn, Zahlbegriffserwerb, Teil-Ganze-Verständnis, der Anzahlwahrnehmung und -bestimmung, den Anzahlvergleichen und der Anzahldarstellung mithilfe von Fingern gemäß der Embodied Cognition sowie der Verwendung von digitalen Werkzeugen und Multi-Touch-Geräten umfassend beschrieben. Anschließend wird die App Fingu erklärt und dann theoretisch entlang des ACAT-Review-Guides analysiert. Zuletzt wird die selbstständig durchgeführte Studie mit zehn Vorschulkindern erläutert und darauf aufbauend Verbesserungs- und Entwicklungsmöglichkeiten der App auf wissenschaftlicher Grundlage beigetragen. Für Fingu lässt sich abschließend festhalten, dass viele Prozesse wie die (Quasi-)Simultanerfassung oder das Zählen gefördert werden können, für andere wie das Teil-Ganze-Verständnis aber noch Anpassungen und/oder die Begleitung durch Erwachsene nötig ist.
Die Lehre von wissenschaftlichem Arbeiten stellt einen zentralen Aspekt in forschungsorientierten Studiengängen wie der Informatik dar. Trotz diverser Angebote werden mittel- und langfristig Mängel in der
Arbeitsqualität von Studierenden sichtbar. Dieses Paper analysiert daher das Profil der Studierenden, deren Anwendung des wissenschaftlichen Arbeitens, und das Angebot von Proseminaren zum Thema „Einführung in das wissenschaftliche Arbeiten“ einer deutschen Universität. Die Ergebnisse mehrerer Erhebungen zeigen dabei diverse Probleme bei Studierenden auf, u. a. bei dem Prozessverständnis, dem Zeitmanagement und der Kommunikation.
This is an introduction to Wiener measure and the Feynman-Kac formula on general Riemannian manifolds for Riemannian geometers with little or no background in stochastics. We explain the construction of Wiener measure based on the heat kernel in full detail and we prove the Feynman-Kac formula for Schrödinger operators with bounded potentials. We also consider normal Riemannian coverings and show that projecting and lifting of paths are inverse operations which respect the Wiener measure.
We prove a local in time existence and uniqueness theorem of classical solutions of the coupled Einstein{Euler system, and therefore establish the well posedness of this system. We use the condition that the energy density might vanish or tends to zero at infinity and that the pressure is a certain function of the energy density, conditions which are used to describe simplified stellar models. In order to achieve our goals we are enforced, by the complexity of the problem, to deal with these equations in a new type of weighted Sobolev spaces of fractional order. Beside their construction, we develop tools for PDEs and techniques for hyperbolic and elliptic equations in these spaces. The well posedness is obtained in these spaces.
We define weak boundary values of solutions to those nonlinear differential equations which appear as Euler-Lagrange equations of variational problems. As a result we initiate the theory of Lagrangian boundary value problems in spaces of appropriate smoothness. We also analyse if the concept of mapping degree of current importance applies to the study of Lagrangian problems.
Als ich anfing, ein Thema für meine Promotion zu erarbeiten, fand ich Massentests ziemlich beeindruckend. TIMSS: über 500000 Schüler getestet. PISA: 180000 Schüler getestet. Ich wollte diese Datenbasis nutzen, um Erkenntnisse für die Gestaltung von Unterricht zu gewinnen. Leider kam ich damit nicht weit. Je tiefer ich mich mit den Tests und den dahinterstehenden Theorien befasste, desto deutlicher schälte sich heraus, dass mit diesen Tests keine neue Erkenntnis generiert werden kann. Fast alle Schlussfolgerungen, die aus den Tests gezogen werden, konnten gar nicht aus den Tests selbst gewonnen werden. Ich konzentrierte mich zunehmend auf die Testaufgaben, weil die Geltung der Aussage eines Tests an der Aufgabe erzeugt wird: In der Aufgabe gerinnt das, was die Tester als „mathematische Leistungsfähigkeit“ konstruieren. Der Schüler wiederum hat nur die Aufgabe vor sich. Es gibt nur „gelöst“ (ein Punkt) und „ungelöst“ (kein Punkt). Damit der Schüler den Punkt bekommt, muss er an der richtigen Stelle ankreuzen, oder er muss etwas hinschrei-ben, wofür der Auswerter einen Punkt gibt. In der Dissertation wird untersucht, was die Aufgaben testen, was also alles in das Konstrukt von „mathematischer Leistungsfähigkeit“ einfließt, und ob es das ist, was der Test testen soll. Es stellte sich durchaus erstaunliches heraus: - Oftmals gibt es so viele Möglichkeiten, zur gewünschten Lösung (die nicht in jedem Fall die richtige Lösung ist) zu gelangen, dass man nicht benennen kann, welche Fähigkeit die Aufgabe eigentlich misst. Das Konstrukt „mathematische Leistungsfähigkeit“ wird damit zu einem zufälligen. - Es werden Komponenten von Testfähigkeit mitgemessen: Viele Aufgaben enthalten Irritationen, welche von testerfahrenen Schülern leichter überwunden werden können als von testunerfahrenen. Es gibt Aufgaben, die gelöst werden können, ohne dass man über die Fähigkeit verfügt, die getestet werden soll. Umgekehrt gibt es Aufgaben, die man eventuell nicht lösen kann, obwohl man über diese Fähigkeit verfügt. Als Kernkompetenz von Testfähigkeit stellt sich heraus, weder das gestellte mathematische Problem noch die angeblichen realen Proble-me ernst zu nehmen, sondern sich statt dessen auf das zu konzentrieren, was die Tester angekreuzt oder hinge-schrieben sehen wollen. Prinzipiell erweist es sich als günstig, mittelmäßig zu arbeiten, auf intellektuelle Tiefe in der Auseinandersetzung mit den Aufgaben also zu verzichten. - Man kann bei Multiple-Choice-Tests raten. Die PISA-Gruppe behauptet zwar, dieses Problem technisch über-winden zu können, dies erweist sich aber als Fehleinschätzung. - Sowohl bei TIMSS als auch bei PISA stellt sich heraus, dass die vorgeblich verwendeten didaktischen und psychologischen Theorien lediglich theoretische Mäntel für eine theoriearme Testerstellung sind. Am Beispiel der Theorie der mentalen Situationsmodelle (zur Bearbeitung von realitätsnahen Aufgaben) wird dies ausführlich exemplarisch ausgearbeitet. Das Problem reproduziert sich in anderen Theoriefeldern. Die Tests werden nicht durch Operationalisierungen von Messkonstrukten erstellt, sondern durch systematisches Zusammenstückeln von Aufgaben. - Bei PISA sollte „Mathematical Literacy“ getestet werden. Verkürzt sollte das die Fähigkeit sein, „die Rolle, die Mathematik in der Welt spielt, zu erkennen und zu verstehen, begründete mathematische Urteile abzugeben und sich auf eine Weise mit der Mathematik zu befassen, die den Anforderungen des gegenwärtigen und künftigen Lebens einer Person als eines konstruktiven, engagierten und reflektierten Bürgers entspricht“ (PISA-Eigendarstellung). Von all dem kann angesichts der Aufgaben keine Rede sein. - Bei der Untersuchung des PISA-Tests drängte sich ein mathematikdidaktischer Habitus auf, der eine separate Untersuchung erzwang. Ich habe ihn unter dem Stichwort der „Abkehr von der Sache“ zusammengefasst. Er ist geprägt von Zerstörungen des Mathematischen bei gleichzeitiger Überbetonung des Fachsprachlichen und durch Verwerfungen des Mathematischen und des Realen bei realitätsnahen Aufgaben. Letzteres gründet in der Nicht-beachtung der Authentizität sowohl des Realen als auch des Mathematischen. Die Arbeit versammelt neben den Untersuchungen zu TIMSS und PISA ein ausführliches Kapitel über das Prob-lem des Testens und eine Darstellung der Methodologie und Praxis der Objektiven Hermeneutik.
Was misst TIMSS?
(2001)
Bei der Erstellung und Interpretation mathematischer Leistungstests steht die Frage, was eine Aufgabe mißt. Der Artikel stellt mit der strukturalen oder objektiven Hermeneutik eine Methode vor, mit der die verschiedenen Dimensionen der von einer Aufgabe erfassten Fähigkeiten herausgearbeitet werden können. Dabei werden fachliche Anforderungen, Irritationsmomente und das durch die Aufgabe transportierte Bild vom jeweiligen Fach ebenso erfasst wie Momente, die man eher als Testfähigkeit bezeichnen würde.Am Beispiel einer TIMSS-Aufgabe wird diskutiert, dass das von den Testerstellern benutzte theoretische Konstrukt kaum geeignet ist, nachhaltig zu beschreiben, was eine Aufgabe misst.
Um für ein Leben in der digitalen Gesellschaft vorbereitet zu sein, braucht jeder heute in verschiedenen Situationen umfangreiche informatische Grundlagen. Die Bedeutung von Informatik nimmt nicht nur in immer mehr
Bereichen unseres täglichen Lebens zu, sondern auch in immer mehr Ausbildungsrichtungen. Um junge Menschen auf ihr zukünftiges Leben und/oder ihre zukünftige berufliche Tätigkeit vorzubereiten, bieten verschiedene Hochschulen Informatikmodule für Studierende anderer Fachrichtungen an. Die Materialien jener Kurse bilden einen umfangreichen Datenpool, um die für Studierende anderer Fächer bedeutenden Aspekte der Informatik mithilfe eines empirischen Ansatzes zu identifizieren. Im Folgenden werden 70 Module zu informatischer Bildung für Studierende anderer Fachrichtungen analysiert. Die Materialien – Publikationen, Syllabi und Stundentafeln – werden zunächst mit einer qualitativen Inhaltsanalyse nach Mayring untersucht und anschließend quantitativ ausgewertet. Basierend auf der Analyse werden Ziele, zentrale Themen und Typen eingesetzter Werkzeuge identifiziert.
Was ist Data Science?
(2018)
In Zusammenhang mit den Entwicklungen der vergangenen Jahre, insbesondere in den Bereichen Big Data, Datenmanagement und Maschinenlernen, hat sich der Umgang mit Daten und deren Analyse wesentlich weiterentwickelt. Mittlerweile wird die Datenwissenschaft als eigene Disziplin angesehen, die auch immer stärker durch entsprechende Studiengänge an Hochschulen repräsentiert wird. Trotz dieser zunehmenden Bedeutung ist jedoch oft unklar, welche konkreten Inhalte mit ihr in Verbindung stehen, da sie in verschiedensten Ausprägungen auftritt. In diesem Beitrag werden daher die hinter der Data Science stehenden informatischen Inhalte durch eine qualitative Analyse der Modulhandbücher etablierter Studiengänge aus diesem Bereich ermittelt und so ein Beitrag zur Charakterisierung dieser Disziplin geleistet. Am Beispiel der Entwicklung eines Data-Literacy-Kompetenzmodells, die als Ausblick skizziert wird, wird die Bedeutung dieser Charakterisierung für die weitere Forschung expliziert.
Vorlesungs-Pflege
(2018)
Ähnlich zu Alterungsprozessen bei Software degenerieren auch Vorlesungen, wenn sie nicht hinreichend gepflegt werden. Die Gründe hierfür werden ebenso beleuchtet wie mögliche Indikatoren und Maßnahmen – der Blick ist dabei immer der eines Informatikers. An drei Vorlesungen wird erläutert, wie der Degeneration von Lehrveranstaltungen
gegengewirkt werden kann. Mangels hinreichend großer empirischer Daten liefert das Paper keine unumstößlichen Wahrheiten. Ein Ziel ist es vielmehr Kollegen, die ähnliche Phänomene beobachten, einen ersten Anker für einen
inneren Diskurs zu bieten. Ein langfristiges Ziel ist die Sammlung eines Katalogs an Maßnahmen zur Pflege von Informatikvorlesungen.
Parabolic equations on manifolds with singularities require a new calculus of anisotropic pseudo-differential operators with operator-valued symbols. The paper develops this theory along the lines of sn abstract wedge calculus with strongly continuous groups of isomorphisms on the involved Banach spaces. The corresponding pseodo-diferential operators are continuous in anisotropic wedge Sobolev spaces, and they form an alegbra. There is then introduced the concept of anisotropic parameter-dependent ellipticity, based on an order reduction variant of the pseudo-differential calculus. The theory is appled to a class of parabolic differential operators, and it is proved the invertibility in Sobolev spaces with exponential weights at infinity in time direction.
In this paper, we discuss the viscosity solutions of the weakly coupled systems of fully nonlinear second order degenerate parabolic equations and their Cauchy-Dirichlet problem. We prove the existence, uniqueness and continuity of viscosity solution by combining Perron's method with the technique of coupled solutions. The results here generalize those in [2] and [3].
In this thesis, we discuss the formulation of variational problems on supermanifolds. Supermanifolds incorporate bosonic as well as fermionic degrees of freedom. Fermionic fields take values in the odd part of an appropriate Grassmann algebra and are thus showing an anticommutative behaviour. However, a systematic treatment of these Grassmann parameters requires a description of spaces as functors, e.g. from the category of Grassmann algberas into the category of sets (or topological spaces, manifolds). After an introduction to the general ideas of this approach, we use it to give a description of the resulting supermanifolds of fields/maps. We show that each map is uniquely characterized by a family of differential operators of appropriate order. Moreover, we demonstrate that each of this maps is uniquely characterized by its component fields, i.e. by the coefficients in a Taylor expansion w.r.t. the odd coordinates. In general, the component fields are only locally defined. We present a way how to circumvent this limitation. In fact, by enlarging the supermanifold in question, we show that it is possible to work with globally defined components. We eventually use this formalism to study variational problems. More precisely, we study a super version of the geodesic and a generalization of harmonic maps to supermanifolds. Equations of motion are derived from an energy functional and we show how to decompose them into components. Finally, in special cases, we can prove the existence of critical points by reducing the problem to equations from ordinary geometric analysis. After solving these component equations, it is possible to show that their solutions give rise to critical points in the functor spaces of fields.
The International Project for the Evaluation of Educational Achievement (IEA) was formed in the 1950s (Postlethwaite, 1967). Since that time, the IEA has conducted many studies in the area of mathematics, such as the First International Mathematics Study (FIMS) in 1964, the Second International Mathematics Study (SIMS) in 1980-1982, and a series of studies beginning with the Third International Mathematics and Science Study (TIMSS) which has been conducted every 4 years since 1995. According to Stigler et al. (1999), in the FIMS and the SIMS, U.S. students achieved low scores in comparison with students in other countries (p. 1). The TIMSS 1995 “Videotape Classroom Study” was therefore a complement to the earlier studies conducted to learn “more about the instructional and cultural processes that are associated with achievement” (Stigler et al., 1999, p. 1). The TIMSS Videotape Classroom Study is known today as the TIMSS Video Study. From the findings of the TIMSS 1995 Video Study, Stigler and Hiebert (1999) likened teaching to “mountain ranges poking above the surface of the water,” whereby they implied that we might see the mountaintops, but we do not see the hidden parts underneath these mountain ranges (pp. 73-78). By watching the videotaped lessons from Germany, Japan, and the United States again and again, they discovered that “the systems of teaching within each country look similar from lesson to lesson. At least, there are certain recurring features [or patterns] that typify many of the lessons within a country and distinguish the lessons among countries” (pp. 77-78). They also discovered that “teaching is a cultural activity,” so the systems of teaching “must be understood in relation to the cultural beliefs and assumptions that surround them” (pp. 85, 88). From this viewpoint, one of the purposes of this dissertation was to study some cultural aspects of mathematics teaching and relate the results to mathematics teaching and learning in Vietnam. Another research purpose was to carry out a video study in Vietnam to find out the characteristics of Vietnamese mathematics teaching and compare these characteristics with those of other countries. In particular, this dissertation carried out the following research tasks: - Studying the characteristics of teaching and learning in different cultures and relating the results to mathematics teaching and learning in Vietnam - Introducing the TIMSS, the TIMSS Video Study and the advantages of using video study in investigating mathematics teaching and learning - Carrying out the video study in Vietnam to identify the image, scripts and patterns, and the lesson signature of eighth-grade mathematics teaching in Vietnam - Comparing some aspects of mathematics teaching in Vietnam and other countries and identifying the similarities and differences across countries - Studying the demands and challenges of innovating mathematics teaching methods in Vietnam – lessons from the video studies Hopefully, this dissertation will be a useful reference material for pre-service teachers at education universities to understand the nature of teaching and develop their teaching career.
In this paper we establish the regularity, exponential stability of global (weak) solutions and existence of uniform compact attractors of semiprocesses, which are generated by the global solutions, of a two-parameter family of operators for the nonlinear 1-d non-autonomous viscoelasticity. We employ the properties of the analytic semigroup to show the compactness for the semiprocess generated by the global solutions.
We analyze a general class of difference operators containing a multi-well potential and a small parameter. We decouple the wells by introducing certain Dirichlet operators on regions containing only one potential well, and we treat the eigenvalue problem as a small perturbation of these comparison problems. We describe tunneling by a certain interaction matrix similar to the analysis for the Schrödinger operator, and estimate the remainder, which is exponentially small and roughly quadratic compared with the interaction matrix.
This article assesses the distance between the laws of stochastic differential equations with multiplicative Lévy noise on path space in terms of their characteristics. The notion of transportation distance on the set of Lévy kernels introduced by Kosenkova and Kulik yields a natural and statistically tractable upper bound on the noise sensitivity. This extends recent results for the additive case in terms of coupling distances to the multiplicative case. The strength of this notion is shown in a statistical implementation for simulations and the example of a benchmark time series in paleoclimate.
Toeplitz operators, and ellipticity of boundary value problems with global projection conditions
(2003)
Ellipticity of (pseudo-) differential operators A on a compact manifold X with boundary (or with edges) Y is connected with boundary (or edge) conditions of trace and potential type, formulated in terms of global projections on Y together with an additional symbolic structure. This gives rise to operator block matrices A with A in the upper left corner. We study an algebra of such operators, where ellipticity is equivalent to the Fredhom property in suitable scales of spaces: Sobolev spaces on X plus closed subspaces of Sobolev spaces on Y which are the range of corresponding pseudo-differential projections. Moreover, we express parametrices of elliptic elements within our algebra and discuss spectral boundary value problems for differential operators.
This work is an introduction to anisotropic spaces, which have an ω-weight of analytic functions and are generalizations of Lipshitz classes in the polydisc. We prove that these classes form an algebra and are invariant with respect to monomial multiplication. These operators are bounded in these (Lipshitz and Djrbashian) spaces. As an application, we show a theorem about the division by good-inner functions in the mentioned classes is proved.
Studying the influence of the updating scheme for MCMC algorithm on spatially extended models is a well known problem. For discrete-time interacting particle systems we study through simulations the effectiveness of a synchronous updating scheme versus the usual sequential one. We compare the speed of convergence of the associated Markov chains from the point of view of the time-to-coalescence arising in the coupling-from-the-past algorithm. Unlike the intuition, the synchronous updating scheme is not always the best one. The distribution of the time-to-coalescence for these spatially extended models is studied too.
Data assimilation has been an active area of research in recent years, owing to its wide utility. At the core of data assimilation are filtering, prediction, and smoothing procedures. Filtering entails incorporation of measurements' information into the model to gain more insight into a given state governed by a noisy state space model. Most natural laws are governed by time-continuous nonlinear models. For the most part, the knowledge available about a model is incomplete; and hence uncertainties are approximated by means of probabilities. Time-continuous filtering, therefore, holds promise for wider usefulness, for it offers a means of combining noisy measurements with imperfect model to provide more insight on a given state.
The solution to time-continuous nonlinear Gaussian filtering problem is provided for by the Kushner-Stratonovich equation. Unfortunately, the Kushner-Stratonovich equation lacks a closed-form solution. Moreover, the numerical approximations based on Taylor expansion above third order are fraught with computational complications. For this reason, numerical methods based on Monte Carlo methods have been resorted to. Chief among these methods are sequential Monte-Carlo methods (or particle filters), for they allow for online assimilation of data. Particle filters are not without challenges: they suffer from particle degeneracy, sample impoverishment, and computational costs arising from resampling.
The goal of this thesis is to:— i) Review the derivation of Kushner-Stratonovich equation from first principles and its extant numerical approximation methods, ii) Study the feedback particle filters as a way of avoiding resampling in particle filters, iii) Study joint state and parameter estimation in time-continuous settings, iv) Apply the notions studied to linear hyperbolic stochastic differential equations.
The interconnection between Itô integrals and stochastic partial differential equations and those of Stratonovich is introduced in anticipation of feedback particle filters. With these ideas and motivated by the variants of ensemble Kalman-Bucy filters founded on the structure of the innovation process, a feedback particle filter with randomly perturbed innovation is proposed. Moreover, feedback particle filters based on coupling of prediction and analysis measures are proposed. They register a better performance than the bootstrap particle filter at lower ensemble sizes.
We study joint state and parameter estimation, both by means of extended state spaces and by use of dual filters. Feedback particle filters seem to perform well in both cases. Finally, we apply joint state and parameter estimation in the advection and wave equation, whose velocity is spatially varying. Two methods are employed: Metropolis Hastings with filter likelihood and a dual filter comprising of Kalman-Bucy filter and ensemble Kalman-Bucy filter. The former performs better than the latter.
We study mixed boundary value problems for an elliptic operator A on a manifold X with boundary Y , i.e., Au = f in int X, T±u = g± on int Y±, where Y is subdivided into subsets Y± with an interface Z and boundary conditions T± on Y± that are Shapiro-Lopatinskij elliptic up to Z from the respective sides. We assume that Z ⊂ Y is a manifold with conical singularity v. As an example we consider the Zaremba problem, where A is the Laplacian and T− Dirichlet, T+ Neumann conditions. The problem is treated as a corner boundary value problem near v which is the new point and the main difficulty in this paper. Outside v the problem belongs to the edge calculus as is shown in [3]. With a mixed problem we associate Fredholm operators in weighted corner Sobolev spaces with double weights, under suitable edge conditions along Z \ {v} of trace and potential type. We construct parametrices within the calculus and establish the regularity of solutions.
Mixed elliptic boundary value problems are characterised by conditions which have a jump along an interface of codimension 1 on the boundary. We study such problems in weighted edge Sobolev spaces and show the Fredholm property and the existence of parametrices under additional conditions of trace and potential type on the interface. Our methods from the calculus of boundary value problems on a manifold with edges will be illustrated by the Zaremba problem and other mixed problems for the Laplace operator.
We study an elliptic differential operator on a manifold with conical singularities, acting as an unbounded operator on a weighted Lp-space. Under suitable conditions we show that the resolvent (λ - A )-¹ exists in a sector of the complex plane and decays like 1/|λ| as |λ| -> ∞. Moreover, we determine the structure of the resolvent with enough precision to guarantee existence and boundedness of imaginary powers of A. As an application we treat the Laplace-Beltrami operator for a metric with striaght conical degeneracy and establish maximal regularity for the Cauchy problem u - Δu = f, u(0) = 0.
The quantum cosmological wavefunction for a quadratic gravity theory derived from the heterotic string effective action is obtained near the inflationary epoch and during the initial Planck era. Neglecting derivatives with respect to the scalar field, the wavefunction would satisfy a third-order differential equation near the inflationary epoch which has a solution that is singular in the scale factor limit a(t) → 0. When scalar field derivatives are included, a sixth-order differential equation is obtained for the wavefunction and the solution by Mellin transform is regular in the a → 0 limit. It follows that inclusion of the scalar field in the quadratic gravity action is necessary for consistency of the quantum cosmology of the theory at very early times.
When trying to extend the Hodge theory for elliptic complexes on compact closed manifolds to the case of compact manifolds with boundary one is led to a boundary value problem for
the Laplacian of the complex which is usually referred to as Neumann problem. We study the Neumann problem for a larger class of sequences of differential operators on
a compact manifold with boundary. These are sequences of small curvature, i.e., bearing the property that the composition of any two neighbouring operators has order less than two.
The classical Navier-Stokes equations of hydrodynamics are usually written in terms of vector analysis. More promising is the formulation of these equations in the language of differential forms of degree one. In this way the study of Navier-Stokes equations includes the analysis of the de Rham complex. In particular, the Hodge theory for the de Rham complex enables one to eliminate the pressure from the equations. The Navier-Stokes equations constitute a parabolic system with a nonlinear term which makes sense only for one-forms. A simpler model of dynamics of incompressible viscous fluid is given by Burgers' equation. This work is aimed at the study of invariant structure of the Navier-Stokes equations which is closely related to the algebraic structure of the de Rham complex at step 1. To this end we introduce Navier-Stokes equations related to any elliptic quasicomplex of first order differential operators. These equations are quite similar to the classical Navier-Stokes equations including generalised velocity and pressure vectors. Elimination of the pressure from the generalised Navier-Stokes equations gives a good motivation for the study of the Neumann problem after Spencer for elliptic quasicomplexes. Such a study is also included in the work.We start this work by discussion of Lamé equations within the context of elliptic quasicomplexes on compact manifolds with boundary. The non-stationary Lamé equations form a hyperbolic system. However, the study of the first mixed problem for them gives a good experience to attack the linearised Navier-Stokes equations. On this base we describe a class of non-linear perturbations of the Navier-Stokes equations, for which the solvability results still hold.
We consider a mixed problem for a degenerate differentialoperator equation of higher order. We establish some embedding theorems in weighted Sobolev spaces and show existence and uniqueness of the generalized solution of this problem. We also give a description of the spectrum for the corresponding operator.
This thesis bridges two areas of mathematics, algebra on the one hand with the Milnor-Moore theorem (also called Cartier-Quillen-Milnor-Moore theorem) as well as the Poincaré-Birkhoff-Witt theorem, and analysis on the other hand with Shintani zeta functions which generalise multiple zeta functions.
The first part is devoted to an algebraic formulation of the locality principle in physics and generalisations of classification theorems such as Milnor-Moore and Poincaré-Birkhoff-Witt theorems to the locality framework. The locality principle roughly says that events that take place far apart in spacetime do not infuence each other. The algebraic formulation of this principle discussed here is useful when analysing singularities which arise from events located far apart in space, in order to renormalise them while keeping a memory of the fact that they do not influence each other. We start by endowing a vector space with a symmetric relation, named the locality relation, which keeps track of elements that are "locally independent". The pair of a vector space together with such relation is called a pre-locality vector space. This concept is extended to tensor products allowing only tensors made of locally independent elements. We extend this concept to the locality tensor algebra, and locality symmetric algebra of a pre-locality vector space and prove the universal properties of each of such structures. We also introduce the pre-locality Lie algebras, together with their associated locality universal enveloping algebras and prove their universal property. We later upgrade all such structures and results from the pre-locality to the locality context, requiring the locality relation to be compatible with the linear structure of the vector space. This allows us to define locality coalgebras, locality bialgebras, and locality Hopf algebras. Finally, all the previous results are used to prove the locality version of the Milnor-Moore and the Poincaré-Birkhoff-Witt theorems. It is worth noticing that the proofs presented, not only generalise the results in the usual (non-locality) setup, but also often use less tools than their counterparts in their non-locality counterparts.
The second part is devoted to study the polar structure of the Shintani zeta functions. Such functions, which generalise the Riemman zeta function, multiple zeta functions, Mordell-Tornheim zeta functions, among others, are parametrised by matrices with real non-negative arguments. It is known that Shintani zeta functions extend to meromorphic functions with poles on afine hyperplanes. We refine this result in showing that the poles lie on hyperplanes parallel to the facets of certain convex polyhedra associated to the defining matrix for the Shintani zeta function. Explicitly, the latter are the Newton polytopes of the polynomials induced by the columns of the underlying matrix. We then prove that the coeficients of the equation which describes the hyperplanes in the canonical basis are either zero or one, similar to the poles arising when renormalising generic Feynman amplitudes. For that purpose, we introduce an algorithm to distribute weight over a graph such that the weight at each vertex satisfies a given lower bound.
We develop the method of Fischer-Riesz equations for general boundary value problems elliptic in the sense of Douglis-Nirenberg. To this end we reduce them to a boundary problem for a (possibly overdetermined) first order system whose classical symbol has a left inverse. For such a problem there is a uniquely determined boundary value problem which is adjoint to the given one with respect to the Green formula. On using a well elaborated theory of approximation by solutions of the adjoint problem, we find the Cauchy data of solutions of our problem.
For a sequence of Hilbert spaces and continuous linear operators the curvature is defined to be the composition of any two consecutive operators. This is modeled on the de Rham resolution of a connection on a module over an algebra. Of particular interest are those sequences for which the curvature is "small" at each step, e.g., belongs to a fixed operator ideal. In this context we elaborate the theory of Fredholm sequences and show how to introduce the Lefschetz number.
We give a brief survey on some new developments on elliptic operators on manifolds with polyhedral singularities. The material essentially corresponds to a talk given by the author during the Conference “Elliptic and Hyperbolic Equations on Singular Spaces”, October 27 - 31, 2008, at the MSRI, University of Berkeley.
The quantization of contact transformations of the cosphere bundle over a manifold with conical singularities is described. The index of Fredholm operators given by this quantization is calculated. The answer is given in terms of the Epstein-Melrose contact degree and the conormal symbol of the corresponding operator.