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Dieser Beitrag zum Band 17 der HISTORY OF MATHEMATICS (Prag 2001) stellt unter den Untertiteln 1. Messung und Stetigkeit 2. Axiomatische Fixierung der euklidischen Geometrie 3. Verallgemeinerung zur Riemannschen Geometrie 4. Liesche Gruppen 5. Diskontinuierliche Bewegungsgruppen 6. Verallgemeinerte diskontinuierliche Bewegungsggruppen eine erweiterte Fassung des gleichlautenden Beitrags zum Sammelband MATHEMATIK-INTERDISZIPLINÄR (Shaker Verlag, Aachen 2000) dar. Da es sich um das Manuskript eines Vortrages am 2. Mai 2001 vor Lehrerbildnern der Karlsuniversität handelt, wird hier zusätzlich die Ersetzung der Stetigkeitsaxiome durch die Axiome des Zirkels, die zur analytischen Geometrie des dreidimensionalen Raumes über einem euklidischen Zahlkörper führt, diskutiert.
In diesem Beitrag zum Sammelband MATHEMATIK -INTERDISZIPLINÄR wird zunächst der lange Weg von den frühen Bedürfnissen nach Messung über das Eudoxos-Archimedische Axiom bis hin zu HIBERTs Axiomen der Stetigkeit skizziert. Neben der Präzisierung der Euklidischen Raumvorstellung muss man sich in diesem Zusammenhang mit den Zweifeln an ihrer ausschließlichen Nutzung in den Anwendungen auseinandersetzen: Über die Begriffe des Hausdorffschen und des topologischen Raumes werden die Begriffe der C^r -Mannigfaltigkeit und des Riemannschen bzw. des pseudo-Riemannschen Raumes vorgestellt; somit sind die mathematischen Grundlagen der Speziellen und der Allgemeinen Relativitätstheorie von EINSTEIN begründet, wobei der Anlass - Konstanz der (Vakuum-) Lichtgeschwindigkeit nach MICHELSON - und der Beitrag von MINKOWSKI zur Geometrisierung der Physik gestreift wird. Die klassische nichteuklidische Geometrie von GAUSS, LOBACEVSKIJ und J. BOLYAI wird ebenso erwähnt wie die didaktisch begründete späte Behandlung der Stetigkeit in der Schule. Die schon für die klassische Differentialgeometrie wichtige dreimal stetige Differenzierbarkeit der betrachteten Funktionen ist Anlaß, das 5. Hilbertsche Problem "LIEs Begriff der kontinuierlichen Transformationsgruppe ohne die Annahme der Differenzierbarkeit der die Gruppe definierenden Funktionen" mit seiner positiven Lösung im 20. Jh. ebenso wie die Theorie der diskontinuierlichen oder gar schwach diskontinuierlichen Gruppen zu reflektieren.