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- critical and subcritical Dawson-Watanabe process (1)
- criticality theorem (1)
- cusp (1)
- cusped bar (1)
- das Cauchyproblem (1)
- das Goursatproblem (1)
- das charakteristische Cauchyproblem (1)
- dbar-Neumann problem (1)
- de Rham complex (1)
- de Sitter model ; Fundamental solutions ; Decay estimates (1)
- decay of eigenfunctions (1)
- deformation quantization (1)
- degenerate elliptic equations (1)
- degenerate elliptic systems (1)
- density of a measure (1)
- design elements (1)
- design research (1)
- determinant (1)
- determinantal point processes (1)
- determinantische Punktprozesse (1)
- die linearisierte Einsteingleichung (1)
- difference operator (1)
- differential geometry (1)
- differential-algebraic equations (1)
- diffusion process (1)
- dimension functional (1)
- dimension independent bound (1)
- direct and indirect climate observations (1)
- direkte und indirekte Klimaobservablen (1)
- discontinuous Robin condition (1)
- discontinuous drift (1)
- discrete Witten complex (1)
- discrete saymptotic types (1)
- diskontinuierliche Drift (1)
- diskreter Witten-Laplace-Operator (1)
- distorted Brownian motion (1)
- division algebras (1)
- division of spaces (1)
- division trees (1)
- divisors (1)
- domains with singularities (1)
- doppelsemigroup (1)
- duale IT-Ausbildung (1)
- duality formulae (1)
- dynamical system (1)
- dynamical system representation (1)
- e-Assessment (1)
- e-Learning (1)
- edge Sobolev spaces (1)
- edge algebra (1)
- edge boundary value problems (1)
- edge quantizations (1)
- edge spaces (1)
- edge symbol (1)
- edge- and corner-degenerate symbols (1)
- elastic bar (1)
- elasticity (1)
- electrodynamics (1)
- elliptic boundary conditions (1)
- elliptic complex (1)
- elliptic functions (1)
- elliptic morphism (1)
- elliptic operators in subspaces (1)
- elliptic operators on non-compact manifolds (1)
- elliptic problem (1)
- elliptic problems (1)
- elliptic quasicomplexes (1)
- elliptic systems (1)
- ellipticity in the edge calculus (1)
- ellipticity of cone operators (1)
- ellipticity of corners operators (1)
- ellipticity with interface conditions (1)
- ellipticity with parameter (1)
- ellipticity with respect to interior and edge symbols (1)
- elliptische Gleichungen (1)
- elliptische Quasi-Komplexe (1)
- empirical Wasserstein distance (1)
- energetic space (1)
- enlargement of filtration (1)
- entropy (1)
- equation of motion (1)
- equivalence (1)
- ergodic rates (1)
- erste Variation (1)
- estimation of regression (1)
- exact simulation method (1)
- exakte Simulation (1)
- exercise collection (1)
- existence (1)
- exponential function (1)
- exponential stability (1)
- exterior tensor product (1)
- extinction probability (1)
- feedback (1)
- fibre coordinates (1)
- fibroblasts (1)
- filter (1)
- filtering (1)
- finiteness theorem (1)
- finsler distance (1)
- first boundary value problem (1)
- first variation (1)
- fixational eye movements (1)
- fixed point formula (1)
- flocking (1)
- foliated diffusion (1)
- force unification (1)
- forschungsorientiertes Lernen (1)
- fractions (1)
- free algebra (1)
- fully non-linear degenerate parabolic equations (1)
- functor geometry (1)
- fundamental ideas (1)
- fundamental solution (1)
- game (1)
- game-based (1)
- gamification (1)
- gauge group (1)
- generalized Laplace operator (1)
- geodesic distance (1)
- geodätischer Abstand (1)
- geomagnetism (1)
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- geometric reproduction distribution (1)
- geordnete Gruppen von Conrad-Typ (1)
- global exact boundary controllability (1)
- global solution (1)
- global solutions (1)
- global-hyperbolisch (1)
- globally hyperbolic (1)
- globally hyperbolic spacetime (1)
- good-inner function (1)
- goodness of fit (1)
- goodness-of-fit (1)
- goodness-of-fit testing (1)
- graph theory (1)
- graphs (1)
- gravitation (1)
- gravitational wave (1)
- guiding idea “Daten und Zufall” (1)
- hard core interaction (1)
- heat asymptotics (1)
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- ill-posed problems (1)
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- jump processes (1)
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- knots (1)
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- komplexe mechanistische Systeme (1)
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- limit theorem (1)
- limit theorem for integrated squared difference (1)
- linear fractional case (1)
- linking of subject science and didactic (1)
- linksgeordnete Gruppen (1)
- localisation (1)
- locality principle (1)
- locally indicable (1)
- logarithmic residue (1)
- logarithmic source condition (1)
- logic (1)
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- logistische Regression (1)
- lokal indizierbar (1)
- low-lying eignvalues (1)
- lumping (1)
- macromolecular decay (1)
- magnetic (1)
- magnetic field modeling (1)
- magnetisch (1)
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- manifold (1)
- manifold with boundary (1)
- manifold with edge (1)
- manifolds with cusps (1)
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- matching of asymptotic expansions (1)
- mathematical modeling (1)
- mathematical modelling (1)
- mathematical physics (1)
- mathematics (1)
- mathematische Physik (1)
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- mechanistic modeling (1)
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- microlocal analysis (1)
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- mixed elliptic problems (1)
- mixed problems (1)
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- nonlinear equations (1)
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- nonparametric regression estimation (1)
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- normal reflection (1)
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- numerical approximation (1)
- numerical extension (1)
- offene Wissenschaft (1)
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- operators on manifolds with edges (1)
- operators on manifolds with singularities (1)
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- order reduction (1)
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- p-Laplace Operator (1)
- p-branes (1)
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- parameter-dependent pseudodifferential operators (1)
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- parity condition (1)
- parity conditions (1)
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- quasilinear equation (1)
- question of origin (1)
- random sum (1)
- random variable (1)
- random walk (1)
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- regularisation (1)
- regularization methods (1)
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- rektifizierbare Varifaltigkeit (1)
- relative cohomology (1)
- relative index formulas (1)
- relative η-invariant (1)
- removable set (1)
- removable sets (1)
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- sampling (1)
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- scattering amplitude (1)
- scattering theory (1)
- schlecht gestellt (1)
- seismic source inversion (1)
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- semiclassics (1)
- semiconductors (1)
- semigroup (1)
- semipermeable barriers (1)
- semiprocess (1)
- sequences of microsaccades (1)
- series representation (1)
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- soft matter (1)
- space-time Gibbs field (1)
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- specific entropy (1)
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- stable limit cycle (1)
- stark Hughes-frei (1)
- state estimation (1)
- statistical inference (1)
- statistical inverse problem (1)
- statistical machine learning (1)
- statistical model selection (1)
- statistische Inferenz (1)
- statistisches maschinelles Lernen (1)
- step process (1)
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- stochastic interacting particles (1)
- stochastic mechanics (1)
- stochastics (1)
- stochastische Anordnung (1)
- stochastische Differentialgleichungen (1)
- stochastische Mechanik (1)
- stochastische Zellulare Automaten (1)
- stochastisches interagierendes System (1)
- stopping rules (1)
- strongly Hughes-free (1)
- strongly pseudoconvex domains (1)
- structure formation (1)
- structured numbers (1)
- strukturierte Zahlen (1)
- subRiemannian geometry (1)
- supergeometry (1)
- survival analysis (1)
- symmetry group (1)
- symplectic (canonical) transformations (1)
- symplectic manifold (1)
- symplectic methods (1)
- symplectic reduction (1)
- system Lame (1)
- systems of partial differential equations (1)
- systems pharmacology (1)
- tangles (1)
- teacher training mathematics (1)
- teaching (1)
- terrigener Staub (1)
- terrigenous dust (1)
- test ability (1)
- tetration (1)
- the Dirichlet problem (1)
- the Goursat problem (1)
- the characteristic Cauchy problem (1)
- the first boundary value problem (1)
- the linearised Einstein equation (1)
- time reversal (1)
- time series (1)
- time series with heavy tails (1)
- time symmetry (1)
- tomogrphy (1)
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- transition path theory (1)
- travel time tomography (1)
- two-level interacting processes (1)
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- unendlich teilbare Punktprozesse (1)
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Institute
- Institut für Mathematik (519) (remove)
Übungsbuch zur Stochastik
(2023)
Dieses Buch stellt Übungen zu den Grundbegriffen und Grundsätzen der Stochastik und ihre Lösungen zur Verfügung. So wie man Tonleitern in der Musik trainiert, so berechnet man Übungsaufgaben in der Mathematik. In diesem Sinne soll dieses Übungsbuch vor allem als Vorlage dienen für das eigenständige, eigenverantwortliche Lernen und Üben.
Die Schönheit und Einzigartigkeit der Wahrscheinlichkeitstheorie besteht darin, dass sie eine Vielzahl von realen Phänomenen modellieren kann. Daher findet man hier Aufgaben mit Verbindungen zur Geometrie, zu Glücksspielen, zur Versicherungsmathematik, zur Demographie und vielen anderen Themen.
Aus dem Inhalt: 1 Abraham Wald (1902-1950) 2 Einführung der Grundbegriffe. Einige technische bekannte Ergebnisse 2.1 Martingal und Doob-Ungleichung 2.2 Brownsche Bewegung und spezielle Martingale 2.3 Gleichgradige Integrierbarkeit von Prozessen 2.4 Gestopptes Martingal 2.5 Optionaler Stoppsatz von Doob 2.6 Lokales Martingal 2.7 Quadratische Variation 2.8 Die Dichte der ersten einseitigen Überschreitungszeit der Brown- schen Bewegung 2.9 Waldidentitäten für die Überschreitungszeiten der Brownschen Bewegung 3 Erste Waldidentität 3.1 Burkholder, Gundy und Davis Ungleichungen der gestoppten Brown- schen Bewegung 3.2 Erste Waldidentität für die Brownsche Bewegung 3.3 Verfeinerungen der ersten Waldidentität 3.4 Stärkere Verfeinerung der ersten Waldidentität für die Brown- schen Bewegung 3.5 Verfeinerung der ersten Waldidentität für spezielle Stoppzeiten der Brownschen Bewegung 3.6 Beispiele für lokale Martingale für die Verfeinerung der ersten Waldidentität 3.7 Überschreitungszeiten der Brownschen Bewegung für nichtlineare Schranken 4 Zweite Waldidentität 4.1 Zweite Waldidentität für die Brownsche Bewegung 4.2 Anwendungen der ersten und zweitenWaldidentität für die Brown- schen Bewegung 5 Dritte Waldidentität 5.1 Dritte Waldidentität für die Brownsche Bewegung 5.2 Verfeinerung der dritten Waldidentität 5.3 Eine wichtige Voraussetzung für die Verfeinerung der drittenWal- didentität 5.4 Verfeinerung der dritten Waldidentität für spezielle Stoppzeiten der Brownschen Bewegung 6 Waldidentitäten im Mehrdimensionalen 6.1 Erste Waldidentität im Mehrdimensionalen 6.2 Zweite Waldidentität im Mehrdimensionalen 6.3 Dritte Waldidentität im Mehrdimensionalen 7 Appendix
Die Bienaymé-Galton-Watson Prozesse können für die Untersuchung von speziellen und sich entwickelnden Populationen verwendet werden. Die Populationen umfassen Individuen, welche sich identisch, zufällig, selbstständig und unabhängig voneinander fortpflanzen und die jeweils nur eine Generation existieren. Die n-te Generation ergibt sich als zufällige Summe der Individuen der (n-1)-ten Generation. Die Relevanz dieser Prozesse begründet sich innerhalb der Historie und der inner- und außermathematischen Bedeutung. Die Geschichte der Bienaymé-Galton-Watson-Prozesse wird anhand der Entwicklung des Konzeptes bis heute dargestellt. Dabei werden die Wissenschaftler:innen verschiedener Disziplinen angeführt, die Erkenntnisse zu dem Themengebiet beigetragen und das Konzept in ihren Fachbereichen angeführt haben. Somit ergibt sich die außermathematische Signifikanz. Des Weiteren erhält man die innermathematische Bedeutsamkeit mittels des Konzeptes der Verzweigungsprozesse, welches auf die Bienaymé-Galton-Watson Prozesse zurückzuführen ist. Die Verzweigungsprozesse stellen eines der aussagekräftigsten Modelle für die Beschreibung des Populationswachstums dar. Darüber hinaus besteht die derzeitige Wichtigkeit durch die Anwendungsmöglichkeit der Verzweigungsprozesse und der Bienaymé-Galton-Watson Prozesse innerhalb der Epidemiologie. Es werden die Ebola- und die Corona-Pandemie als Anwendungsfelder angeführt. Die Prozesse dienen als Entscheidungsstütze für die Politik und ermöglichen Aussagen über die Auswirkungen von Maßnahmen bezüglich der Pandemien. Neben den Prozessen werden ebenfalls der bedingte Erwartungswert bezüglich diskreter Zufallsvariablen, die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion und die zufällige Summe eingeführt. Die Konzepte vereinfachen die Beschreibung der Prozesse und bilden somit die Grundlage der Betrachtungen. Außerdem werden die benötigten und weiterführenden Eigenschaften der grundlegenden Themengebiete und der Prozesse aufgeführt und bewiesen. Das Kapitel erreicht seinen Höhepunkt bei dem Beweis des Kritikalitätstheorems, wodurch eine Aussage über das Aussterben des Prozesses in verschiedenen Fällen und somit über die Aussterbewahrscheinlichkeit getätigt werden kann. Die Fälle werden anhand der zu erwartenden Anzahl an Nachkommen eines Individuums unterschieden. Es zeigt sich, dass ein Prozess bei einer zu erwartenden Anzahl kleiner gleich Eins mit Sicherheit ausstirbt und bei einer Anzahl größer als Eins, die Population nicht in jedem Fall aussterben muss. Danach werden einzelne Beispiele, wie der linear fractional case, die Population von Fibroblasten (Bindegewebszellen) von Mäusen und die Entstehungsfragestellung der Prozesse, angeführt. Diese werden mithilfe der erlangten Ergebnisse untersucht und einige ausgewählte zufällige Dynamiken werden im nachfolgenden Kapitel simuliert. Die Simulationen erfolgen durch ein in Python erstelltes Programm und werden mithilfe der Inversionsmethode realisiert. Die Simulationen stellen beispielhaft die Entwicklungen in den verschiedenen Kritikalitätsfällen der Prozesse dar. Zudem werden die Häufigkeiten der einzelnen Populationsgrößen in Form von Histogrammen angebracht. Dabei lässt sich der Unterschied zwischen den einzelnen Fällen bestätigen und es wird die Anwendungsmöglichkeit der Bienaymé-Galton-Watson Prozesse bei komplexeren Problemen deutlich. Histogramme bekräftigen, dass die einzelnen Populationsgrößen nur endlich oft vorkommen. Diese Aussage wurde von Galton aufgeworfen und in der Extinktions-Explosions-Dichotomie verwendet. Die dargestellten Erkenntnisse über das Themengebiet und die Betrachtung des Konzeptes werden mit einer didaktischen Analyse abgeschlossen. Die Untersuchung beinhaltet die Berücksichtigung der Fundamentalen Ideen, der Fundamentalen Ideen der Stochastik und der Leitidee „Daten und Zufall“. Dabei ergibt sich, dass in Abhängigkeit der gewählten Perspektive die Anwendung der Bienaymé-Galton-Watson Prozesse innerhalb der Schule plausibel ist und von Vorteil für die Schüler:innen sein kann. Für die Behandlung wird exemplarisch der Rahmenlehrplan für Berlin und Brandenburg analysiert und mit dem Kernlehrplan Nordrhein-Westfalens verglichen. Die Konzeption des Lehrplans aus Berlin und Brandenburg lässt nicht den Schluss zu, dass die Bienaymé-Galton-Watson Prozesse angewendet werden sollten. Es lässt sich feststellen, dass die zugrunde liegende Leitidee nicht vollumfänglich mit manchen Fundamentalen Ideen der Stochastik vereinbar ist. Somit würde eine Modifikation hinsichtlich einer stärkeren Orientierung des Lehrplans an den Fundamentalen Ideen die Anwendung der Prozesse ermöglichen. Die Aussage wird durch die Betrachtung und Übertragung eines nordrhein-westfälischen Unterrichtsentwurfes für stochastische Prozesse auf die Bienaymé-Galton-Watson Prozesse unterstützt. Darüber hinaus werden eine Concept Map und ein Vernetzungspentagraph nach von der Bank konzipiert um diesen Aspekt hervorzuheben.
Given a system of entire functions in Cn with at most countable set of common zeros, we introduce the concept of zeta-function associated with the system. Under reasonable assumptions on the system, the zeta-function is well defined for all s ∈ Zn with sufficiently large components. Using residue theory we get an integral representation for the zeta-function which allows us to construct an analytic extension of the zeta-function to an infinite cone in Cn.
Zahlen in den Fingern
(2023)
Die Debatte über den Einsatz von digitalen Werkzeugen in der mathematischen Frühförderung ist hoch aktuell. Lernspiele werden konstruiert, mit dem Ziel, mathematisches, informelles Wissen aufzubauen und so einen besseren Schulstart zu ermöglichen. Doch allein die digitale und spielerische Aufarbeitung führt nicht zwingend zu einem Lernerfolg. Daher ist es umso wichtiger, die konkrete Implementation der theoretischen Konstrukte und Interaktionsmöglichkeiten mit den Werkzeugen zu analysieren und passend aufzubereiten.
In dieser Masterarbeit wird dazu exemplarisch ein mathematisches Lernspiel namens „Fingu“ für den Einsatz im vorschulischen Bereich theoretisch und empirisch im Rahmen der Artifact-Centric Activity Theory (ACAT) untersucht. Dazu werden zunächst die theoretischen Hintergründe zum Zahlensinn, Zahlbegriffserwerb, Teil-Ganze-Verständnis, der Anzahlwahrnehmung und -bestimmung, den Anzahlvergleichen und der Anzahldarstellung mithilfe von Fingern gemäß der Embodied Cognition sowie der Verwendung von digitalen Werkzeugen und Multi-Touch-Geräten umfassend beschrieben. Anschließend wird die App Fingu erklärt und dann theoretisch entlang des ACAT-Review-Guides analysiert. Zuletzt wird die selbstständig durchgeführte Studie mit zehn Vorschulkindern erläutert und darauf aufbauend Verbesserungs- und Entwicklungsmöglichkeiten der App auf wissenschaftlicher Grundlage beigetragen. Für Fingu lässt sich abschließend festhalten, dass viele Prozesse wie die (Quasi-)Simultanerfassung oder das Zählen gefördert werden können, für andere wie das Teil-Ganze-Verständnis aber noch Anpassungen und/oder die Begleitung durch Erwachsene nötig ist.
Die Lehre von wissenschaftlichem Arbeiten stellt einen zentralen Aspekt in forschungsorientierten Studiengängen wie der Informatik dar. Trotz diverser Angebote werden mittel- und langfristig Mängel in der
Arbeitsqualität von Studierenden sichtbar. Dieses Paper analysiert daher das Profil der Studierenden, deren Anwendung des wissenschaftlichen Arbeitens, und das Angebot von Proseminaren zum Thema „Einführung in das wissenschaftliche Arbeiten“ einer deutschen Universität. Die Ergebnisse mehrerer Erhebungen zeigen dabei diverse Probleme bei Studierenden auf, u. a. bei dem Prozessverständnis, dem Zeitmanagement und der Kommunikation.
This is an introduction to Wiener measure and the Feynman-Kac formula on general Riemannian manifolds for Riemannian geometers with little or no background in stochastics. We explain the construction of Wiener measure based on the heat kernel in full detail and we prove the Feynman-Kac formula for Schrödinger operators with bounded potentials. We also consider normal Riemannian coverings and show that projecting and lifting of paths are inverse operations which respect the Wiener measure.