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The XI international conference Stochastic and Analytic Methods in Mathematical Physics was held in Yerevan 2 – 7 September 2019 and was dedicated to the memory of the great mathematician Robert Adol’fovich Minlos, who passed away in January 2018.
The present volume collects a large majority of the contributions presented at the conference on the following domains of contemporary interest: classical and quantum statistical physics, mathematical methods in quantum mechanics, stochastic analysis, applications of point processes in statistical mechanics. The authors are specialists from Armenia, Czech Republic, Denmark, France, Germany, Italy, Japan, Lithuania, Russia, UK and Uzbekistan.
A particular aim of this volume is to offer young scientists basic material in order to inspire their future research in the wide fields presented here.
Concurrent observation technologies have made high-precision real-time data available in large quantities. Data assimilation (DA) is concerned with how to combine this data with physical models to produce accurate predictions. For spatial-temporal models, the ensemble Kalman filter with proper localisation techniques is considered to be a state-of-the-art DA methodology. This article proposes and investigates a localised ensemble Kalman Bucy filter for nonlinear models with short-range interactions. We derive dimension-independent and component-wise error bounds and show the long time path-wise error only has logarithmic dependence on the time range. The theoretical results are verified through some simple numerical tests.
This thesis aims at presenting in an organized fashion the required basics to understand the Glauber dynamics as a way of simulating configurations according to the Gibbs distribution of the Curie-Weiss Potts model. Therefore, essential aspects of discrete-time Markov chains on a finite state space are examined, especially their convergence behavior and related mixing times. Furthermore, special emphasis is placed on a consistent and comprehensive presentation of the Curie-Weiss Potts model and its analysis. Finally, the Glauber dynamics is studied in general and applied afterwards in an exemplary way to the Curie-Weiss model as well as the Curie-Weiss Potts model. The associated considerations are supplemented with two computer simulations aiming to show the cutoff phenomenon and the temperature dependence of the convergence behavior.
Im Jahre 1960 behauptete Yamabe folgende Aussage bewiesen zu haben: Auf jeder kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit (M,g) der Dimension n ≥ 3 existiert eine zu g konform äquivalente Metrik mit konstanter Skalarkrümmung. Diese Aussage ist äquivalent zur Existenz einer Lösung einer bestimmten semilinearen elliptischen Differentialgleichung, der Yamabe-Gleichung. 1968 fand Trudinger einen Fehler in seinem Beweis und infolgedessen beschäftigten sich viele Mathematiker mit diesem nach Yamabe benannten Yamabe-Problem. In den 80er Jahren konnte durch die Arbeiten von Trudinger, Aubin und Schoen gezeigt werden, dass diese Aussage tatsächlich zutrifft. Dadurch ergeben sich viele Vorteile, z.B. kann beim Analysieren von konform invarianten partiellen Differentialgleichungen auf kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeiten die Skalarkrümmung als konstant vorausgesetzt werden.
Es stellt sich nun die Frage, ob die entsprechende Aussage auch auf Lorentz-Mannigfaltigkeiten gilt. Das Lorentz'sche Yamabe Problem lautet somit: Existiert zu einer gegebenen räumlich kompakten global-hyperbolischen Lorentz-Mannigfaltigkeit (M,g) eine zu g konform äquivalente Metrik mit konstanter Skalarkrümmung? Das Ziel dieser Arbeit ist es, dieses Problem zu untersuchen.
Bei der sich aus dieser Fragestellung ergebenden Yamabe-Gleichung handelt es sich um eine semilineare Wellengleichung, deren Lösung eine positive glatte Funktion ist und aus der sich der konforme Faktor ergibt. Um die für die Behandlung des Yamabe-Problems benötigten Grundlagen so allgemein wie möglich zu halten, wird im ersten Teil dieser Arbeit die lokale Existenztheorie für beliebige semilineare Wellengleichungen für Schnitte auf Vektorbündeln im Rahmen eines Cauchy-Problems entwickelt. Hierzu wird der Umkehrsatz für Banachräume angewendet, um mithilfe von bereits existierenden Existenzergebnissen zu linearen Wellengleichungen, Existenzaussagen zu semilinearen Wellengleichungen machen zu können. Es wird bewiesen, dass, falls die Nichtlinearität bestimmte Bedingungen erfüllt, eine fast zeitglobale Lösung des Cauchy-Problems für kleine Anfangsdaten sowie eine zeitlokale Lösung für beliebige Anfangsdaten existiert.
Der zweite Teil der Arbeit befasst sich mit der Yamabe-Gleichung auf global-hyperbolischen Lorentz-Mannigfaltigkeiten. Zuerst wird gezeigt, dass die Nichtlinearität der Yamabe-Gleichung die geforderten Bedingungen aus dem ersten Teil erfüllt, so dass, falls die Skalarkrümmung der gegebenen Metrik nahe an einer Konstanten liegt, kleine Anfangsdaten existieren, so dass die Yamabe-Gleichung eine fast zeitglobale Lösung besitzt. Mithilfe von Energieabschätzungen wird anschließend für 4-dimensionale global-hyperbolische Lorentz-Mannigfaltigkeiten gezeigt, dass unter der Annahme, dass die konstante Skalarkrümmung der konform äquivalenten Metrik nichtpositiv ist, eine zeitglobale Lösung der Yamabe-Gleichung existiert, die allerdings nicht notwendigerweise positiv ist. Außerdem wird gezeigt, dass, falls die H2-Norm der Skalarkrümmung bezüglich der gegebenen Metrik auf einem kompakten Zeitintervall auf eine bestimmte Weise beschränkt ist, die Lösung positiv auf diesem Zeitintervall ist. Hierbei wird ebenfalls angenommen, dass die konstante Skalarkrümmung der konform äquivalenten Metrik nichtpositiv ist. Falls zusätzlich hierzu gilt, dass die Skalarkrümmung bezüglich der gegebenen Metrik negativ ist und die Metrik gewisse Bedingungen erfüllt, dann ist die Lösung für alle Zeiten in einem kompakten Zeitintervall positiv, auf dem der Gradient der Skalarkrümmung auf eine bestimmte Weise beschränkt ist. In beiden Fällen folgt unter den angeführten Bedingungen die Existenz einer zeitglobalen positiven Lösung, falls M = I x Σ für ein beschränktes offenes Intervall I ist. Zum Schluss wird für M = R x Σ ein Beispiel für die Nichtexistenz einer globalen positiven Lösung angeführt.
This thesis is concerned with Data Assimilation, the process of combining model predictions with observations. So called filters are of special interest. One is inter- ested in computing the probability distribution of the state of a physical process in the future, given (possibly) imperfect measurements. This is done using Bayes’ rule. The first part focuses on hybrid filters, that bridge between the two main groups of filters: ensemble Kalman filters (EnKF) and particle filters. The first are a group of very stable and computationally cheap algorithms, but they request certain strong assumptions. Particle filters on the other hand are more generally applicable, but computationally expensive and as such not always suitable for high dimensional systems. Therefore it exists a need to combine both groups to benefit from the advantages of each. This can be achieved by splitting the likelihood function, when assimilating a new observation and treating one part of it with an EnKF and the other part with a particle filter.
The second part of this thesis deals with the application of Data Assimilation to multi-scale models and the problems that arise from that. One of the main areas of application for Data Assimilation techniques is predicting the development of oceans and the atmosphere. These processes involve several scales and often balance rela- tions between the state variables. The use of Data Assimilation procedures most often violates relations of that kind, which leads to unrealistic and non-physical pre- dictions of the future development of the process eventually. This work discusses the inclusion of a post-processing step after each assimilation step, in which a minimi- sation problem is solved, which penalises the imbalance. This method is tested on four different models, two Hamiltonian systems and two spatially extended models, which adds even more difficulties.
Pinned Gibbs processes
(2020)
In this paper, we present the convergence rate analysis of the modified Landweber method under logarithmic source condition for nonlinear ill-posed problems. The regularization parameter is chosen according to the discrepancy principle. The reconstructions of the shape of an unknown domain for an inverse potential problem by using the modified Landweber method are exhibited.