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Spiele und spieltypische Elemente wie das Sammeln von Treuepunkten sind aus dem Alltag kaum wegzudenken. Zudem werden sie zunehmend in Unternehmen oder in Lernumgebungen eingesetzt. Allerdings ist die Methode Gamification bisher für den pädagogischen Kontext wenig klassifiziert und für Lehrende kaum zugänglich gemacht worden.
Daher zielt diese Bachelorarbeit darauf ab, eine systematische Strukturierung und Aufarbeitung von Gamification sowie innovative Ansätze für die Verwendung spieltypischer Elemente im Unterricht, konkret dem Mathematikunterricht, zu präsentieren. Dies kann eine Grundlage für andere Fachgebiete, aber auch andere Lehrformen bieten und so die Umsetzbarkeit von Gamification in eigenen Lehrveranstaltungen aufzeigen.
In der Arbeit wird begründet, weshalb und mithilfe welcher Elemente Gamification die Motivation und Leistungsbereitschaft der Lernenden langfristig erhöhen, die Sozial- und Personalkompetenzen fördern sowie die Lernenden zu mehr Aktivität anregen kann. Zudem wird Gamification explizit mit grundlegenden mathematikdidaktischen Prinzipien in Verbindung gesetzt und somit die Relevanz für den Mathematikunterricht hervorgehoben.
Anschließend werden die einzelnen Elemente von Gamification wie Punkte, Level, Abzeichen, Charaktere und Rahmengeschichte entlang einer eigens für den pädagogischen Kontext entwickelten Klassifikation „FUN“ (Feedback – User specific elements – Neutral elements) schematisch beschrieben, ihre Funktionen und Wirkung dargestellt sowie Einsatzmöglichkeiten im Unterricht aufgezeigt. Dies beinhaltet Ideen zu lernförderlichem Feedback, Differenzierungsmöglichkeiten und Unterrichtsrahmengestaltung, die in Lehrveranstaltungen aller Art umsetzbar sein können. Die Bachelorarbeit umfasst zudem ein spezifisches Beispiel, einen Unterrichtsentwurf einer gamifizierten Mathematikstunde inklusive des zugehörigen Arbeitsmaterials, anhand dessen die Verwendung von Gamification deutlich wird.
Gamification offeriert oftmals Vorteile gegenüber dem traditionellen Unterricht, muss jedoch wie jede Methode an den Inhalt und die Zielgruppe angepasst werden. Weiterführende Forschung könnte sich mit konkreten motivationalen Strukturen, personenspezifischen Unterschieden sowie mit mathematischen Inhalten wie dem Problemlösen oder dem Wechsel zwischen verschiedenen Darstellungen hinsichtlich gamifizierter Lehrformen beschäftigen.
While patients are known to respond differently to drug therapies, current clinical practice often still follows a standardized dosage regimen for all patients. For drugs with a narrow range of both effective and safe concentrations, this approach may lead to a high incidence of adverse events or subtherapeutic dosing in the presence of high patient variability. Model-informedprecision dosing (MIPD) is a quantitative approach towards dose individualization based on mathematical modeling of dose-response relationships integrating therapeutic drug/biomarker monitoring (TDM) data. MIPD may considerably improve the efficacy and safety of many drug therapies. Current MIPD approaches, however, rely either on pre-calculated dosing tables or on simple point predictions of the therapy outcome. These
approaches lack a quantification of uncertainties and the ability to account for effects that are delayed. In addition, the underlying models are not improved while applied to patient data. Therefore, current approaches are not well suited for informed clinical decision-making based on a differentiated understanding of the individually predicted therapy outcome.
The objective of this thesis is to develop mathematical approaches for MIPD, which (i) provide efficient fully Bayesian forecasting of the individual therapy outcome including associated uncertainties, (ii) integrate Markov decision processes via reinforcement learning (RL) for a comprehensive decision framework for dose individualization, (iii) allow for continuous learning across patients and hospitals. Cytotoxic anticancer chemotherapy with its major dose-limiting toxicity, neutropenia, serves as a therapeutically relevant application example.
For more comprehensive therapy forecasting, we apply Bayesian data assimilation (DA) approaches, integrating patient-specific TDM data into mathematical models of chemotherapy-induced neutropenia that build on prior population analyses. The value of uncertainty quantification is demonstrated as it allows reliable computation of the patient-specific probabilities of relevant clinical quantities, e.g., the neutropenia grade. In view of novel home monitoring devices that increase the amount of TDM data available, the data processing of
sequential DA methods proves to be more efficient and facilitates handling of the variability between dosing events.
By transferring concepts from DA and RL we develop novel approaches for MIPD. While DA-guided dosing integrates individualized uncertainties into dose selection, RL-guided dosing provides a framework to consider delayed effects of dose selections. The combined
DA-RL approach takes into account both aspects simultaneously and thus represents a holistic approach towards MIPD. Additionally, we show that RL can be used to gain insights into important patient characteristics for dose selection. The novel dosing strategies substantially reduce the occurrence of both subtherapeutic and life-threatening neutropenia grades in a simulation study based on a recent clinical study (CEPAC-TDM trial) compared to currently used MIPD approaches.
If MIPD is to be implemented in routine clinical practice, a certain model bias with respect to the underlying model is inevitable, as the models are typically based on data from comparably small clinical trials that reflect only to a limited extent the diversity in real-world patient populations. We propose a sequential hierarchical Bayesian inference framework that enables continuous cross-patient learning to learn the underlying model parameters of the target patient population. It is important to note that the approach only requires summary information of the individual patient data to update the model. This separation of the individual inference from population inference enables implementation across different centers of care.
The proposed approaches substantially improve current MIPD approaches, taking into account new trends in health care and aspects of practical applicability. They enable progress towards more informed clinical decision-making, ultimately increasing patient benefits beyond the current practice.
This thesis focuses on the study of marked Gibbs point processes, in particular presenting some results on their existence and uniqueness, with ideas and techniques drawn from different areas of statistical mechanics: the entropy method from large deviations theory, cluster expansion and the Kirkwood--Salsburg equations, the Dobrushin contraction principle and disagreement percolation.
We first present an existence result for infinite-volume marked Gibbs point processes. More precisely, we use the so-called entropy method (and large-deviation tools) to construct marked Gibbs point processes in R^d under quite general assumptions. In particular, the random marks belong to a general normed space S and are not bounded. Moreover, we allow for interaction functionals that may be unbounded and whose range is finite but random. The entropy method relies on showing that a family of finite-volume Gibbs point processes belongs to sequentially compact entropy level sets, and is therefore tight.
We then present infinite-dimensional Langevin diffusions, that we put in interaction via a Gibbsian description. In this setting, we are able to adapt the general result above to show the existence of the associated infinite-volume measure. We also study its correlation functions via cluster expansion techniques, and obtain the uniqueness of the Gibbs process for all inverse temperatures β and activities z below a certain threshold. This method relies in first showing that the correlation functions of the process satisfy a so-called Ruelle bound, and then using it to solve a fixed point problem in an appropriate Banach space. The uniqueness domain we obtain consists then of the model parameters z and β for which such a problem has exactly one solution.
Finally, we explore further the question of uniqueness of infinite-volume Gibbs point processes on R^d, in the unmarked setting. We present, in the context of repulsive interactions with a hard-core component, a novel approach to uniqueness by applying the discrete Dobrushin criterion to the continuum framework. We first fix a discretisation parameter a>0 and then study the behaviour of the uniqueness domain as a goes to 0. With this technique we are able to obtain explicit thresholds for the parameters z and β, which we then compare to existing results coming from the different methods of cluster expansion and disagreement percolation.
Throughout this thesis, we illustrate our theoretical results with various examples both from classical statistical mechanics and stochastic geometry.
Contributions to the theoretical analysis of the algorithms with adversarial and dependent data
(2021)
In this work I present the concentration inequalities of Bernstein's type for the norms of Banach-valued random sums under a general functional weak-dependency assumption (the so-called $\cC-$mixing). The latter is then used to prove, in the asymptotic framework, excess risk upper bounds of the regularised Hilbert valued statistical learning rules under the τ-mixing assumption on the underlying training sample. These results (of the batch statistical setting) are then supplemented with the regret analysis over the classes of Sobolev balls of the type of kernel ridge regression algorithm in the setting of online nonparametric regression with arbitrary data sequences. Here, in particular, a question of robustness of the kernel-based forecaster is investigated. Afterwards, in the framework of sequential learning, the multi-armed bandit problem under $\cC-$mixing assumption on the arm's outputs is considered and the complete regret analysis of a version of Improved UCB algorithm is given. Lastly, probabilistic inequalities of the first part are extended to the case of deviations (both of Azuma-Hoeffding's and of Burkholder's type) to the partial sums of real-valued weakly dependent random fields (under the type of projective dependence condition).
Im Zuge der Covid-19 Pandemie werden zwei Werte täglich diskutiert: Die zuletzt gemeldete Zahl der neu Infizierten und die sogenannte Reproduktionsrate. Sie gibt wieder, wie viele weitere Menschen ein an Corona erkranktes Individuum im Durchschnitt ansteckt. Für die Schätzung dieses Wertes gibt es viele Möglichkeiten - auch das Robert Koch-Institut gibt in seinem täglichen Situationsbericht stets zwei R-Werte an: Einen 4-Tage-R-Wert und einen weniger schwankenden 7-Tage-R-Wert. Diese Arbeit soll eine weitere Möglichkeit vorstellen, einige Aspekte der Pandemie zu modellieren und die Reproduktionsrate zu schätzen.
In der ersten Hälfte der Arbeit werden die mathematischen Grundlagen vorgestellt, die man für die Modellierung benötigt. Hierbei wird davon ausgegangen, dass der Leser bereits ein Basisverständnis von stochastischen Prozessen hat. Im Abschnitt Grundlagen werden Verzweigungsprozesse mit einigen Beispielen eingeführt und die Ergebnisse aus diesem Themengebiet, die für diese Arbeit wichtig sind, präsentiert. Dabei gehen wir zuerst auf einfache Verzweigungsprozesse ein und erweitern diese dann auf Verzweigungsprozesse mit mehreren Typen. Um die Notation zu erleichtern, beschränken wir uns auf zwei Typen. Das Prinzip lässt sich aber auf eine beliebige Anzahl von Typen erweitern.
Vor allem soll die Wichtigkeit des Parameters λ herausgestellt werden. Dieser Wert kann als durchschnittliche Zahl von Nachfahren eines Individuums interpretiert werden und bestimmt die Dynamik des Prozesses über einen längeren Zeitraum. In der Anwendung auf die Pandemie hat der Parameter λ die gleiche Rolle wie die Reproduktionsrate R.
In der zweiten Hälfte dieser Arbeit stellen wir eine Anwendung der Theorie über Multitype Verzweigungsprozesse vor. Professor Yanev und seine Mitarbeiter modellieren in ihrer Veröffentlichung Branching stochastic processes as models of Covid-19 epidemic development die Ausbreitung des Corona Virus' über einen Verzweigungsprozess mit zwei Typen. Wir werden dieses Modell diskutieren und Schätzer daraus ableiten: Ziel ist es, die Reproduktionsrate zu ermitteln. Außerdem analysieren wir die Möglichkeiten, die Dunkelziffer (die Zahl nicht gemeldeter Krankheitsfälle) zu schätzen. Wir wenden die Schätzer auf die Zahlen von Deutschland an und werten diese schließlich aus.
Die Vielfältigkeit des Winkelbegriffs ist gleichermaßen spannend wie herausfordernd in Hinblick auf seine Zugänge im Mathematikunterricht der Schule. Ausgehend von verschiedenen Vorstellungen zum Winkelbegriff wird in dieser Arbeit ein Lehrgang zur Vermittlung des Winkelbegriffs entwickelt und letztlich in konkrete Umsetzungen für den Schulunterricht überführt.
Dabei erfolgt zunächst eine stoffdidaktische Auseinandersetzung mit dem Winkelbegriff, die von einer informationstheoretischen Winkeldefinition begleitet wird. In dieser wird eine Definition für den Winkelbegriff unter der Fragestellung entwickelt, welche Informationen man über einen Winkel benötigt, um ihn beschreiben zu können. So können die in der fachdidaktischen Literatur auftretenden Winkelvorstellungen aus fachmathematischer Perspektive erneut abgeleitet und validiert werden. Parallel dazu wird ein Verfahren beschrieben, wie Winkel – auch unter dynamischen Aspekten – informationstechnisch verarbeitet werden können, so dass Schlussfolgerungen aus der informationstheoretischen Winkeldefinition beispielsweise in dynamischen Geometriesystemen zur Verfügung stehen.
Unter dem Gesichtspunkt, wie eine Abstraktion des Winkelbegriffs im Mathematikunterricht vonstatten gehen kann, werden die Grundvorstellungsidee sowie die Lehrstrategie des Aufsteigens vom Abstrakten zum Konkreten miteinander in Beziehung gesetzt. Aus der Verknüpfung der beiden Theorien wird ein grundsätzlicher Weg abgeleitet, wie im Rahmen der Lehrstrategie eine Ausgangsabstraktion zu einzelnen Winkelaspekten aufgebaut werden kann, was die Generierung von Grundvorstellungen zu den Bestandteilen des jeweiligen Winkelaspekts und zum Operieren mit diesen Begriffsbestandteilen ermöglichen soll. Hierfür wird die Lehrstrategie angepasst, um insbesondere den Übergang von Winkelsituationen zu Winkelkontexten zu realisieren. Explizit für den Aspekt des Winkelfeldes werden, anhand der Untersuchung der Sichtfelder von Tieren, Lernhandlungen und Forderungen an ein Lernmodell beschrieben, die Schülerinnen und Schüler bei der Begriffsaneignung unterstützen.
Die Tätigkeitstheorie, der die genannte Lehrstrategie zuzuordnen ist, zieht sich als roter Faden durch die weitere Arbeit, wenn nun theoriebasiert Designprinzipien generiert werden, die in die Entwicklung einer interaktiven Lernumgebung münden. Hierzu wird u. a. das Modell der Artifact-Centric Activity Theory genutzt, das das Beziehungsgefüge aus Schülerinnen und Schülern, dem mathematischen Gegenstand und einer zu entwickelnden App als vermittelndes Medium beschreibt, wobei der Einsatz der App im Unterrichtskontext sowie deren regelgeleitete Entwicklung Bestandteil des Modells sind. Gemäß dem Ansatz der Fachdidaktischen Entwicklungsforschung wird die Lernumgebung anschließend in mehreren Zyklen erprobt, evaluiert und überarbeitet. Dabei wird ein qualitatives Setting angewandt, das sich der Semiotischen Vermittlung bedient und untersucht, inwiefern sich die Qualität der von den Schülerinnen und Schülern gezeigten Lernhandlungen durch die Designprinzipien und deren Umsetzung erklären lässt. Am Ende der Arbeit stehen eine finale Version der Designprinzipien und eine sich daraus ergebende Lernumgebung zur Einführung des Winkelfeldbegriffs in der vierten Klassenstufe.
The propagation of test fields, such as electromagnetic, Dirac or linearized gravity, on a fixed spacetime manifold is often studied by using the geometrical optics approximation. In the limit of infinitely high frequencies, the geometrical optics approximation provides a conceptual transition between the test field and an effective point-particle description. The corresponding point-particles, or wave rays, coincide with the geodesics of the underlying spacetime. For most astrophysical applications of interest, such as the observation of celestial bodies, gravitational lensing, or the observation of cosmic rays, the geometrical optics approximation and the effective point-particle description represent a satisfactory theoretical model. However, the geometrical optics approximation gradually breaks down as test fields of finite frequency are considered.
In this thesis, we consider the propagation of test fields on spacetime, beyond the leading-order geometrical optics approximation. By performing a covariant Wentzel-Kramers-Brillouin analysis for test fields, we show how higher-order corrections to the geometrical optics approximation can be considered. The higher-order corrections are related to the dynamics of the spin internal degree of freedom of the considered test field. We obtain an effective point-particle description, which contains spin-dependent corrections to the geodesic motion obtained using geometrical optics. This represents a covariant generalization of the well-known spin Hall effect, usually encountered in condensed matter physics and in optics. Our analysis is applied to electromagnetic and massive Dirac test fields, but it can easily be extended to other fields, such as linearized gravity. In the electromagnetic case, we present several examples where the gravitational spin Hall effect of light plays an important role. These include the propagation of polarized light rays on black hole spacetimes and cosmological spacetimes, as well as polarization-dependent effects on the shape of black hole shadows. Furthermore, we show that our effective point-particle equations for polarized light rays reproduce well-known results, such as the spin Hall effect of light in an inhomogeneous medium, and the relativistic Hall effect of polarized electromagnetic wave packets encountered in Minkowski spacetime.
Geomagnetic field modeling using spherical harmonics requires the inversion for hundreds to thousands of parameters. This large-scale problem can always be formulated as an optimization problem, where a global minimum of a certain cost function has to be calculated. A variety of approaches is known in order to solve this inverse problem, e.g. derivative-based methods or least-squares methods and their variants. Each of these methods has its own advantages and disadvantages, which affect for example the applicability to non-differentiable functions or the runtime of the corresponding algorithm.
In this work, we pursue the goal to find an algorithm which is faster than the established methods and which is applicable to non-linear problems. Such non-linear problems occur for example when estimating Euler angles or when the more robust L_1 norm is applied. Therefore, we will investigate the usability of stochastic optimization methods from the CMAES family for modeling the geomagnetic field of Earth's core. On one hand, basics of core field modeling and their parameterization are discussed using some examples from the literature. On the other hand, the theoretical background of the stochastic methods are provided. A specific CMAES algorithm was successfully applied in order to invert data of the Swarm satellite mission and to derive the core field model EvoMag. The EvoMag model agrees well with established models and observatory data from Niemegk. Finally, we present some observed difficulties and discuss the results of our model.