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Die Bienaymé-Galton-Watson Prozesse können für die Untersuchung von speziellen und sich entwickelnden Populationen verwendet werden. Die Populationen umfassen Individuen, welche sich identisch, zufällig, selbstständig und unabhängig voneinander fortpflanzen und die jeweils nur eine Generation existieren. Die n-te Generation ergibt sich als zufällige Summe der Individuen der (n-1)-ten Generation. Die Relevanz dieser Prozesse begründet sich innerhalb der Historie und der inner- und außermathematischen Bedeutung. Die Geschichte der Bienaymé-Galton-Watson-Prozesse wird anhand der Entwicklung des Konzeptes bis heute dargestellt. Dabei werden die Wissenschaftler:innen verschiedener Disziplinen angeführt, die Erkenntnisse zu dem Themengebiet beigetragen und das Konzept in ihren Fachbereichen angeführt haben. Somit ergibt sich die außermathematische Signifikanz. Des Weiteren erhält man die innermathematische Bedeutsamkeit mittels des Konzeptes der Verzweigungsprozesse, welches auf die Bienaymé-Galton-Watson Prozesse zurückzuführen ist. Die Verzweigungsprozesse stellen eines der aussagekräftigsten Modelle für die Beschreibung des Populationswachstums dar. Darüber hinaus besteht die derzeitige Wichtigkeit durch die Anwendungsmöglichkeit der Verzweigungsprozesse und der Bienaymé-Galton-Watson Prozesse innerhalb der Epidemiologie. Es werden die Ebola- und die Corona-Pandemie als Anwendungsfelder angeführt. Die Prozesse dienen als Entscheidungsstütze für die Politik und ermöglichen Aussagen über die Auswirkungen von Maßnahmen bezüglich der Pandemien. Neben den Prozessen werden ebenfalls der bedingte Erwartungswert bezüglich diskreter Zufallsvariablen, die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion und die zufällige Summe eingeführt. Die Konzepte vereinfachen die Beschreibung der Prozesse und bilden somit die Grundlage der Betrachtungen. Außerdem werden die benötigten und weiterführenden Eigenschaften der grundlegenden Themengebiete und der Prozesse aufgeführt und bewiesen. Das Kapitel erreicht seinen Höhepunkt bei dem Beweis des Kritikalitätstheorems, wodurch eine Aussage über das Aussterben des Prozesses in verschiedenen Fällen und somit über die Aussterbewahrscheinlichkeit getätigt werden kann. Die Fälle werden anhand der zu erwartenden Anzahl an Nachkommen eines Individuums unterschieden. Es zeigt sich, dass ein Prozess bei einer zu erwartenden Anzahl kleiner gleich Eins mit Sicherheit ausstirbt und bei einer Anzahl größer als Eins, die Population nicht in jedem Fall aussterben muss. Danach werden einzelne Beispiele, wie der linear fractional case, die Population von Fibroblasten (Bindegewebszellen) von Mäusen und die Entstehungsfragestellung der Prozesse, angeführt. Diese werden mithilfe der erlangten Ergebnisse untersucht und einige ausgewählte zufällige Dynamiken werden im nachfolgenden Kapitel simuliert. Die Simulationen erfolgen durch ein in Python erstelltes Programm und werden mithilfe der Inversionsmethode realisiert. Die Simulationen stellen beispielhaft die Entwicklungen in den verschiedenen Kritikalitätsfällen der Prozesse dar. Zudem werden die Häufigkeiten der einzelnen Populationsgrößen in Form von Histogrammen angebracht. Dabei lässt sich der Unterschied zwischen den einzelnen Fällen bestätigen und es wird die Anwendungsmöglichkeit der Bienaymé-Galton-Watson Prozesse bei komplexeren Problemen deutlich. Histogramme bekräftigen, dass die einzelnen Populationsgrößen nur endlich oft vorkommen. Diese Aussage wurde von Galton aufgeworfen und in der Extinktions-Explosions-Dichotomie verwendet. Die dargestellten Erkenntnisse über das Themengebiet und die Betrachtung des Konzeptes werden mit einer didaktischen Analyse abgeschlossen. Die Untersuchung beinhaltet die Berücksichtigung der Fundamentalen Ideen, der Fundamentalen Ideen der Stochastik und der Leitidee „Daten und Zufall“. Dabei ergibt sich, dass in Abhängigkeit der gewählten Perspektive die Anwendung der Bienaymé-Galton-Watson Prozesse innerhalb der Schule plausibel ist und von Vorteil für die Schüler:innen sein kann. Für die Behandlung wird exemplarisch der Rahmenlehrplan für Berlin und Brandenburg analysiert und mit dem Kernlehrplan Nordrhein-Westfalens verglichen. Die Konzeption des Lehrplans aus Berlin und Brandenburg lässt nicht den Schluss zu, dass die Bienaymé-Galton-Watson Prozesse angewendet werden sollten. Es lässt sich feststellen, dass die zugrunde liegende Leitidee nicht vollumfänglich mit manchen Fundamentalen Ideen der Stochastik vereinbar ist. Somit würde eine Modifikation hinsichtlich einer stärkeren Orientierung des Lehrplans an den Fundamentalen Ideen die Anwendung der Prozesse ermöglichen. Die Aussage wird durch die Betrachtung und Übertragung eines nordrhein-westfälischen Unterrichtsentwurfes für stochastische Prozesse auf die Bienaymé-Galton-Watson Prozesse unterstützt. Darüber hinaus werden eine Concept Map und ein Vernetzungspentagraph nach von der Bank konzipiert um diesen Aspekt hervorzuheben.
Im Zuge der Covid-19 Pandemie werden zwei Werte täglich diskutiert: Die zuletzt gemeldete Zahl der neu Infizierten und die sogenannte Reproduktionsrate. Sie gibt wieder, wie viele weitere Menschen ein an Corona erkranktes Individuum im Durchschnitt ansteckt. Für die Schätzung dieses Wertes gibt es viele Möglichkeiten - auch das Robert Koch-Institut gibt in seinem täglichen Situationsbericht stets zwei R-Werte an: Einen 4-Tage-R-Wert und einen weniger schwankenden 7-Tage-R-Wert. Diese Arbeit soll eine weitere Möglichkeit vorstellen, einige Aspekte der Pandemie zu modellieren und die Reproduktionsrate zu schätzen.
In der ersten Hälfte der Arbeit werden die mathematischen Grundlagen vorgestellt, die man für die Modellierung benötigt. Hierbei wird davon ausgegangen, dass der Leser bereits ein Basisverständnis von stochastischen Prozessen hat. Im Abschnitt Grundlagen werden Verzweigungsprozesse mit einigen Beispielen eingeführt und die Ergebnisse aus diesem Themengebiet, die für diese Arbeit wichtig sind, präsentiert. Dabei gehen wir zuerst auf einfache Verzweigungsprozesse ein und erweitern diese dann auf Verzweigungsprozesse mit mehreren Typen. Um die Notation zu erleichtern, beschränken wir uns auf zwei Typen. Das Prinzip lässt sich aber auf eine beliebige Anzahl von Typen erweitern.
Vor allem soll die Wichtigkeit des Parameters λ herausgestellt werden. Dieser Wert kann als durchschnittliche Zahl von Nachfahren eines Individuums interpretiert werden und bestimmt die Dynamik des Prozesses über einen längeren Zeitraum. In der Anwendung auf die Pandemie hat der Parameter λ die gleiche Rolle wie die Reproduktionsrate R.
In der zweiten Hälfte dieser Arbeit stellen wir eine Anwendung der Theorie über Multitype Verzweigungsprozesse vor. Professor Yanev und seine Mitarbeiter modellieren in ihrer Veröffentlichung Branching stochastic processes as models of Covid-19 epidemic development die Ausbreitung des Corona Virus' über einen Verzweigungsprozess mit zwei Typen. Wir werden dieses Modell diskutieren und Schätzer daraus ableiten: Ziel ist es, die Reproduktionsrate zu ermitteln. Außerdem analysieren wir die Möglichkeiten, die Dunkelziffer (die Zahl nicht gemeldeter Krankheitsfälle) zu schätzen. Wir wenden die Schätzer auf die Zahlen von Deutschland an und werten diese schließlich aus.