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Das Eigene und das Fremde
(2023)
Die vorliegende Arbeit stellt eine Untersuchung des Fremdverstehens von Lehrkräften im Mathematikunterricht dar. Mit ‚Fremdverstehen‘ soll dabei – in Anlehnung an den Soziologen Alfred Schütz – der Prozess bezeichnet werden, in welchem eine Lehrkraft versucht, das Verhalten einer Schülerin oder eines Schülers zu verstehen, indem sie dieses Verhalten auf ein Erleben zurückführt, das ihm zugrunde gelegen haben könnte. Als ein wesentliches Merkmal des Prozesses stellt Schütz in seiner Theorie des Fremdverstehens heraus, dass das Fremdverstehen eines Menschen immer auch auf seinen eigenen Erlebnissen basiert. Aus diesem Grund wird in der Arbeit ein methodischer Zweischritt vorgenommen: Es werden zunächst die mathematikbezogenen Erlebnisse zweier Lehrkräfte nachgezeichnet, bevor dann ihr Fremdverstehen in konkreten Situationen im Mathematikunterricht rekonstruiert wird. In der ersten Teiluntersuchung (= der Rekonstruktion eigener Erlebnisse der untersuchten Lehrkräfte) erfolgt die Datenerhebung mit Hilfe biographisch-narrativer Interviews, in denen die untersuchten Lehrkräfte angeregt werden, ihre mathematikbezogene Lebensgeschichte zu erzählen. Die Analyse dieser Interviews wird im Sinne der rekonstruktiven Fallanalyse vorgenommen. Insgesamt führt die erste Teiluntersuchung zu textlichen Darstellungen der rekonstruierten mathematikbezogenen Lebensgeschichte der untersuchten Mathematiklehrkräfte. In der zweiten Teiluntersuchung (= der Rekonstruktion des Fremdverstehens der untersuchten Lehrkräfte) werden dann narrative Interviews geführt, in denen die untersuchten Lehrkräfte von ihrem Fremdverstehen in konkreten Situationen im Mathematikunterricht erzählen. Die Analyse dieser Interviews erfolgt mit Hilfe eines dreischrittigen Analyseverfahrens, welches die Autorin eigens zum Zweck der Rekonstruktion von Fremdverstehen entwickelte. Am Ende dieser zweiten Teiluntersuchung werden sowohl das rekonstruierte Fremdverstehen der Lehrkräfte in verschiedenen Unterrichtssituationen dargestellt als auch Strukturen, die sich in ihrem Fremdverstehen abzeichnen. Mit Hilfe einer theoretischen Verallgemeinerung werden schließlich – auf Basis der Ergebnisse der zweiten Teiluntersuchung – Aussagen über fünf Merkmale des Fremdverstehens von Lehrkräften im Mathematikunterricht im Allgemeinen gewonnen. Mit diesen Aussagen vermag die Arbeit eine erste Beschreibung davon hervorzubringen, wie sich das Phänomen des Fremdverstehens von Lehrkräften im Mathematikunterricht ausgestalten kann.
Die Vielfältigkeit des Winkelbegriffs ist gleichermaßen spannend wie herausfordernd in Hinblick auf seine Zugänge im Mathematikunterricht der Schule. Ausgehend von verschiedenen Vorstellungen zum Winkelbegriff wird in dieser Arbeit ein Lehrgang zur Vermittlung des Winkelbegriffs entwickelt und letztlich in konkrete Umsetzungen für den Schulunterricht überführt.
Dabei erfolgt zunächst eine stoffdidaktische Auseinandersetzung mit dem Winkelbegriff, die von einer informationstheoretischen Winkeldefinition begleitet wird. In dieser wird eine Definition für den Winkelbegriff unter der Fragestellung entwickelt, welche Informationen man über einen Winkel benötigt, um ihn beschreiben zu können. So können die in der fachdidaktischen Literatur auftretenden Winkelvorstellungen aus fachmathematischer Perspektive erneut abgeleitet und validiert werden. Parallel dazu wird ein Verfahren beschrieben, wie Winkel – auch unter dynamischen Aspekten – informationstechnisch verarbeitet werden können, so dass Schlussfolgerungen aus der informationstheoretischen Winkeldefinition beispielsweise in dynamischen Geometriesystemen zur Verfügung stehen.
Unter dem Gesichtspunkt, wie eine Abstraktion des Winkelbegriffs im Mathematikunterricht vonstatten gehen kann, werden die Grundvorstellungsidee sowie die Lehrstrategie des Aufsteigens vom Abstrakten zum Konkreten miteinander in Beziehung gesetzt. Aus der Verknüpfung der beiden Theorien wird ein grundsätzlicher Weg abgeleitet, wie im Rahmen der Lehrstrategie eine Ausgangsabstraktion zu einzelnen Winkelaspekten aufgebaut werden kann, was die Generierung von Grundvorstellungen zu den Bestandteilen des jeweiligen Winkelaspekts und zum Operieren mit diesen Begriffsbestandteilen ermöglichen soll. Hierfür wird die Lehrstrategie angepasst, um insbesondere den Übergang von Winkelsituationen zu Winkelkontexten zu realisieren. Explizit für den Aspekt des Winkelfeldes werden, anhand der Untersuchung der Sichtfelder von Tieren, Lernhandlungen und Forderungen an ein Lernmodell beschrieben, die Schülerinnen und Schüler bei der Begriffsaneignung unterstützen.
Die Tätigkeitstheorie, der die genannte Lehrstrategie zuzuordnen ist, zieht sich als roter Faden durch die weitere Arbeit, wenn nun theoriebasiert Designprinzipien generiert werden, die in die Entwicklung einer interaktiven Lernumgebung münden. Hierzu wird u. a. das Modell der Artifact-Centric Activity Theory genutzt, das das Beziehungsgefüge aus Schülerinnen und Schülern, dem mathematischen Gegenstand und einer zu entwickelnden App als vermittelndes Medium beschreibt, wobei der Einsatz der App im Unterrichtskontext sowie deren regelgeleitete Entwicklung Bestandteil des Modells sind. Gemäß dem Ansatz der Fachdidaktischen Entwicklungsforschung wird die Lernumgebung anschließend in mehreren Zyklen erprobt, evaluiert und überarbeitet. Dabei wird ein qualitatives Setting angewandt, das sich der Semiotischen Vermittlung bedient und untersucht, inwiefern sich die Qualität der von den Schülerinnen und Schülern gezeigten Lernhandlungen durch die Designprinzipien und deren Umsetzung erklären lässt. Am Ende der Arbeit stehen eine finale Version der Designprinzipien und eine sich daraus ergebende Lernumgebung zur Einführung des Winkelfeldbegriffs in der vierten Klassenstufe.
Im Jahre 1960 behauptete Yamabe folgende Aussage bewiesen zu haben: Auf jeder kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit (M,g) der Dimension n ≥ 3 existiert eine zu g konform äquivalente Metrik mit konstanter Skalarkrümmung. Diese Aussage ist äquivalent zur Existenz einer Lösung einer bestimmten semilinearen elliptischen Differentialgleichung, der Yamabe-Gleichung. 1968 fand Trudinger einen Fehler in seinem Beweis und infolgedessen beschäftigten sich viele Mathematiker mit diesem nach Yamabe benannten Yamabe-Problem. In den 80er Jahren konnte durch die Arbeiten von Trudinger, Aubin und Schoen gezeigt werden, dass diese Aussage tatsächlich zutrifft. Dadurch ergeben sich viele Vorteile, z.B. kann beim Analysieren von konform invarianten partiellen Differentialgleichungen auf kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeiten die Skalarkrümmung als konstant vorausgesetzt werden.
Es stellt sich nun die Frage, ob die entsprechende Aussage auch auf Lorentz-Mannigfaltigkeiten gilt. Das Lorentz'sche Yamabe Problem lautet somit: Existiert zu einer gegebenen räumlich kompakten global-hyperbolischen Lorentz-Mannigfaltigkeit (M,g) eine zu g konform äquivalente Metrik mit konstanter Skalarkrümmung? Das Ziel dieser Arbeit ist es, dieses Problem zu untersuchen.
Bei der sich aus dieser Fragestellung ergebenden Yamabe-Gleichung handelt es sich um eine semilineare Wellengleichung, deren Lösung eine positive glatte Funktion ist und aus der sich der konforme Faktor ergibt. Um die für die Behandlung des Yamabe-Problems benötigten Grundlagen so allgemein wie möglich zu halten, wird im ersten Teil dieser Arbeit die lokale Existenztheorie für beliebige semilineare Wellengleichungen für Schnitte auf Vektorbündeln im Rahmen eines Cauchy-Problems entwickelt. Hierzu wird der Umkehrsatz für Banachräume angewendet, um mithilfe von bereits existierenden Existenzergebnissen zu linearen Wellengleichungen, Existenzaussagen zu semilinearen Wellengleichungen machen zu können. Es wird bewiesen, dass, falls die Nichtlinearität bestimmte Bedingungen erfüllt, eine fast zeitglobale Lösung des Cauchy-Problems für kleine Anfangsdaten sowie eine zeitlokale Lösung für beliebige Anfangsdaten existiert.
Der zweite Teil der Arbeit befasst sich mit der Yamabe-Gleichung auf global-hyperbolischen Lorentz-Mannigfaltigkeiten. Zuerst wird gezeigt, dass die Nichtlinearität der Yamabe-Gleichung die geforderten Bedingungen aus dem ersten Teil erfüllt, so dass, falls die Skalarkrümmung der gegebenen Metrik nahe an einer Konstanten liegt, kleine Anfangsdaten existieren, so dass die Yamabe-Gleichung eine fast zeitglobale Lösung besitzt. Mithilfe von Energieabschätzungen wird anschließend für 4-dimensionale global-hyperbolische Lorentz-Mannigfaltigkeiten gezeigt, dass unter der Annahme, dass die konstante Skalarkrümmung der konform äquivalenten Metrik nichtpositiv ist, eine zeitglobale Lösung der Yamabe-Gleichung existiert, die allerdings nicht notwendigerweise positiv ist. Außerdem wird gezeigt, dass, falls die H2-Norm der Skalarkrümmung bezüglich der gegebenen Metrik auf einem kompakten Zeitintervall auf eine bestimmte Weise beschränkt ist, die Lösung positiv auf diesem Zeitintervall ist. Hierbei wird ebenfalls angenommen, dass die konstante Skalarkrümmung der konform äquivalenten Metrik nichtpositiv ist. Falls zusätzlich hierzu gilt, dass die Skalarkrümmung bezüglich der gegebenen Metrik negativ ist und die Metrik gewisse Bedingungen erfüllt, dann ist die Lösung für alle Zeiten in einem kompakten Zeitintervall positiv, auf dem der Gradient der Skalarkrümmung auf eine bestimmte Weise beschränkt ist. In beiden Fällen folgt unter den angeführten Bedingungen die Existenz einer zeitglobalen positiven Lösung, falls M = I x Σ für ein beschränktes offenes Intervall I ist. Zum Schluss wird für M = R x Σ ein Beispiel für die Nichtexistenz einer globalen positiven Lösung angeführt.