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Im Jahre 1960 behauptete Yamabe folgende Aussage bewiesen zu haben: Auf jeder kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit (M,g) der Dimension n ≥ 3 existiert eine zu g konform äquivalente Metrik mit konstanter Skalarkrümmung. Diese Aussage ist äquivalent zur Existenz einer Lösung einer bestimmten semilinearen elliptischen Differentialgleichung, der Yamabe-Gleichung. 1968 fand Trudinger einen Fehler in seinem Beweis und infolgedessen beschäftigten sich viele Mathematiker mit diesem nach Yamabe benannten Yamabe-Problem. In den 80er Jahren konnte durch die Arbeiten von Trudinger, Aubin und Schoen gezeigt werden, dass diese Aussage tatsächlich zutrifft. Dadurch ergeben sich viele Vorteile, z.B. kann beim Analysieren von konform invarianten partiellen Differentialgleichungen auf kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeiten die Skalarkrümmung als konstant vorausgesetzt werden.
Es stellt sich nun die Frage, ob die entsprechende Aussage auch auf Lorentz-Mannigfaltigkeiten gilt. Das Lorentz'sche Yamabe Problem lautet somit: Existiert zu einer gegebenen räumlich kompakten global-hyperbolischen Lorentz-Mannigfaltigkeit (M,g) eine zu g konform äquivalente Metrik mit konstanter Skalarkrümmung? Das Ziel dieser Arbeit ist es, dieses Problem zu untersuchen.
Bei der sich aus dieser Fragestellung ergebenden Yamabe-Gleichung handelt es sich um eine semilineare Wellengleichung, deren Lösung eine positive glatte Funktion ist und aus der sich der konforme Faktor ergibt. Um die für die Behandlung des Yamabe-Problems benötigten Grundlagen so allgemein wie möglich zu halten, wird im ersten Teil dieser Arbeit die lokale Existenztheorie für beliebige semilineare Wellengleichungen für Schnitte auf Vektorbündeln im Rahmen eines Cauchy-Problems entwickelt. Hierzu wird der Umkehrsatz für Banachräume angewendet, um mithilfe von bereits existierenden Existenzergebnissen zu linearen Wellengleichungen, Existenzaussagen zu semilinearen Wellengleichungen machen zu können. Es wird bewiesen, dass, falls die Nichtlinearität bestimmte Bedingungen erfüllt, eine fast zeitglobale Lösung des Cauchy-Problems für kleine Anfangsdaten sowie eine zeitlokale Lösung für beliebige Anfangsdaten existiert.
Der zweite Teil der Arbeit befasst sich mit der Yamabe-Gleichung auf global-hyperbolischen Lorentz-Mannigfaltigkeiten. Zuerst wird gezeigt, dass die Nichtlinearität der Yamabe-Gleichung die geforderten Bedingungen aus dem ersten Teil erfüllt, so dass, falls die Skalarkrümmung der gegebenen Metrik nahe an einer Konstanten liegt, kleine Anfangsdaten existieren, so dass die Yamabe-Gleichung eine fast zeitglobale Lösung besitzt. Mithilfe von Energieabschätzungen wird anschließend für 4-dimensionale global-hyperbolische Lorentz-Mannigfaltigkeiten gezeigt, dass unter der Annahme, dass die konstante Skalarkrümmung der konform äquivalenten Metrik nichtpositiv ist, eine zeitglobale Lösung der Yamabe-Gleichung existiert, die allerdings nicht notwendigerweise positiv ist. Außerdem wird gezeigt, dass, falls die H2-Norm der Skalarkrümmung bezüglich der gegebenen Metrik auf einem kompakten Zeitintervall auf eine bestimmte Weise beschränkt ist, die Lösung positiv auf diesem Zeitintervall ist. Hierbei wird ebenfalls angenommen, dass die konstante Skalarkrümmung der konform äquivalenten Metrik nichtpositiv ist. Falls zusätzlich hierzu gilt, dass die Skalarkrümmung bezüglich der gegebenen Metrik negativ ist und die Metrik gewisse Bedingungen erfüllt, dann ist die Lösung für alle Zeiten in einem kompakten Zeitintervall positiv, auf dem der Gradient der Skalarkrümmung auf eine bestimmte Weise beschränkt ist. In beiden Fällen folgt unter den angeführten Bedingungen die Existenz einer zeitglobalen positiven Lösung, falls M = I x Σ für ein beschränktes offenes Intervall I ist. Zum Schluss wird für M = R x Σ ein Beispiel für die Nichtexistenz einer globalen positiven Lösung angeführt.
The Willmore functional is a function that maps an immersed Riemannian manifold to its total mean curvature. Finding closed surfaces that minimizes the Willmore energy, or more generally finding critical surfaces, is a classic problem of differential geometry.
In this thesis we will develop the concept of generalized Willmore functionals for surfaces in Riemannian manifolds. We are guided by models in mathematical physics, such as the Hawking energy of general relativity and the bending energies for thin membranes.
We prove the existence of minimizers under area constraint for these generalized Willmore functionals in a suitable class of generalized surfaces. In particular, we construct minimizers of the bending energy mentioned above for prescribed area and enclosed volume.
Furthermore, we prove that critical surfaces of generalized Willmore functionals with prescribed area are smooth, away from finitely many points. These results and the following are based on the existing theory for the Willmore functional.
This general discussion is succeeded by a detailed analysis of the Hawking energy. In the context of general relativity the surrounding manifold describes the space at a given time, hence we strive to understand the interplay between the Hawking energy and the ambient space. We characterize points in the surrounding manifold for which there are small critical spheres with prescribed area in any neighborhood. These points are interpreted as concentration points of the Hawking energy.
Additionally, we calculate an expansion of the Hawking energy on small, round spheres. This allows us to identify a kind of energy density of the Hawking energy.
It needs to be mentioned that our results stand in contrast to previous expansions of the Hawking energy. However, these expansions are obtained on spheres along the light cone at a given point. At this point it is not clear how to explain the discrepancy.
Finally, we consider asymptotically Schwarzschild manifolds. They are a special case of asymptotically flat manifolds, which serf as models for isolated systems. The Schwarzschild spacetime itself is a classical solution to the Einstein equations and yields a simple description of a black hole.
In these asymptotically Schwarzschild manifolds we construct a foliation of the exterior region by critical spheres of the Hawking energy with prescribed large area. This foliation can be seen as a generalized notion of the center of mass of the isolated system. Additionally, the Hawking energy of grows along the foliation as the area of the surfaces grows.
This thesis is concerned with Data Assimilation, the process of combining model predictions with observations. So called filters are of special interest. One is inter- ested in computing the probability distribution of the state of a physical process in the future, given (possibly) imperfect measurements. This is done using Bayes’ rule. The first part focuses on hybrid filters, that bridge between the two main groups of filters: ensemble Kalman filters (EnKF) and particle filters. The first are a group of very stable and computationally cheap algorithms, but they request certain strong assumptions. Particle filters on the other hand are more generally applicable, but computationally expensive and as such not always suitable for high dimensional systems. Therefore it exists a need to combine both groups to benefit from the advantages of each. This can be achieved by splitting the likelihood function, when assimilating a new observation and treating one part of it with an EnKF and the other part with a particle filter.
The second part of this thesis deals with the application of Data Assimilation to multi-scale models and the problems that arise from that. One of the main areas of application for Data Assimilation techniques is predicting the development of oceans and the atmosphere. These processes involve several scales and often balance rela- tions between the state variables. The use of Data Assimilation procedures most often violates relations of that kind, which leads to unrealistic and non-physical pre- dictions of the future development of the process eventually. This work discusses the inclusion of a post-processing step after each assimilation step, in which a minimi- sation problem is solved, which penalises the imbalance. This method is tested on four different models, two Hamiltonian systems and two spatially extended models, which adds even more difficulties.