Refine
Year of publication
Document Type
- Article (38)
- Part of Periodical (9)
- Postprint (1)
Is part of the Bibliography
- yes (48) (remove)
Keywords
We develop a method of finding analytical sotutions of the Bogolyubov-de Gennes equations for the excitations of a Bose condensate in the Thomas-Fermi regime in harmonic traps of any asymmetry and introduce a classification of eigenstates. In the case of cylindrical symmetry we emphasize the presence of an accidental degeneracy in the excitation spectrum at certain values of the projection of orbital angular momentum on the symmetry axis and discuss possible consequences of the degeneracy in the context of new signatures of Bose- Einstein condensation
We analyse occupation number fluctuations of an ideal Bose gas in a trap which is isolated from theenvironment with respect to particle exchange (canonical ensemble). We show that in contrast to the predictions of thegrand- canonical ensemble, the counting statistics of particles in the trap ground state changes from monotonously decreasing above the condensation temperature to single-peaked below that temperature. For the exactly solvable case of a harmonic oscillator trapping potential in one spatial dimension we extract a Landau-Ginzburg functional which - despite the non- interacting nature of the system - displays the characteristic behaviour of a weakly interacting Bose gas. We also compare our findings with the usual treatment which is base on the grand-canonical ensemble. We show that for an ideal Bose gas neither are the grand-canonical and canonical ensemble thermodynamically equivalent, nor the grand-canonical ensemble can be viewed as a small system in diffusive contact with a particle reservoir.
Portal Wissen = Zeit
(2014)
„Was ist also 'Zeit'?“ seufzt Augustinus von Hippo im 11. Buch seiner „Confessiones“ melancholisch, und fährt fort „Wenn mich niemand danach fragt, weiß ich es; will ich einem Fragenden es erklären, weiß ich es nicht.“ Auch heute, 1584 Jahre nach Augustinus, erscheint 'Zeit' immer noch rätselhaft. Abhandlungen über das Wesen der Zeit füllen Bibliotheken. Oder eben dieses Heft.
Wesensfragen sind den modernen Wissenschaften allerdings fremd. Zeit ist – zumindest in der Physik – unproblematisch. „Time is defined so that Motion looks simple“ erkärt man kurz und trocken, und verabschiedet sich damit vom Augustinischen Rätsel oder der Newtonschen Vorstellung einer absoluten Zeit, deren mathematischen Fluss man durch irdische Instrumente eh immer nur näherungsweise erfassen kann.
In der Alltagssprache, selbst in den Wissenschaften, reden wir zwar weiterhin vom Fluss der Zeit, aber Zeit ist schon lange keine natürliche Gegebenheit mehr. Zeit ist vielmehr ein konventioneller Ordnungsparameter für Änderung und Bewegung. Geordnet werden Prozesse, indem eine Klasse von Prozessen als Zählsystem dient, um andere Prozesse mit ihnen zu vergleichen und anhand der temporären Kategorien „vorher“, „während“ und „nachher“ anzuordnen.
Zu Galileis Zeiten galt der eigene Pulsschlag als Zeitstandard für den Flug von Kanonenkugeln. Mit zunehmender Verfeinerung der Untersuchungsmethoden erschien das zu unpraktisch: Die Weg-Zeit-Diagramme frei fliegender Kanonenkugeln erweisen sich in diesem Standard ziemlich verwackelt, schlecht reproduzierbar, und keineswegs „simpel“. Heutzutage greift man zu Cäsium-Atomen. Demnach dauert ein Prozess eine Sekunde, wenn ein 133Cs-Atom genau 9 192 631 770 Schwingungen zwischen zwei sogenannten Hyperfeinzuständen des Grundzustands vollführt hat. Und ein Meter ist die Entfernung, die Licht im Vakuum in exakt 1/299 792 458 Sekunden zurücklegt. Glücklicherweise sind diese Daten im General Positioning System GPS hart kodiert, so dass der Nutzer sie nicht jedes Mal aufs Neue eingeben muss, wenn er wissen will, wo er ist. Aber schon morgen muss er sich vielleicht ein Applet runterladen, weil der Zeitstandard durch raffinierte Übergänge in Ytterbium ersetzt wurde.
Der konventionelle Charakter des Zeitbegriffs sollte nicht dazu verführen zu glauben, alles sei irgendwie relativ und daher willkürlich. Die Beziehung eines Pulsschlags zu einer Atomuhr ist absolut, und genauso real, wie die Beziehung einer Sanduhr zum Lauf der Sonne. Die exakten Wissenschaften sind Beziehungswissenschaften. Sie handeln nicht vom Ding an sich, was Newton und Kant noch geträumt haben, sondern von Beziehungen – worauf schon Leibniz und später Mach hingewiesen haben.
Kein Wunder, dass sich für andere Wissenschaften der physikalische Zeit-Standard als ziemlich unpraktisch erweist. Der Psychologie der Zeitwahrnehmung entnehmen wir – und jeder wird das bestätigen können – dass das gefühlte Alter durchaus verschieden ist vom physikalischen Alter. Je älter man ist, desto kürzer erscheinen einem die Jahre.
Unter der einfachen Annahme, dass die gefühlte Dauer umgekehrt proportional zum physikalischen Alter ist, und man als Zwanzigjähriger ein physikalisches Jahr auch psychologisch als ein Jahr empfindet, ergibt sich der erstaunliche Befund, dass man mit 90 Jahren 90 Jahre ist. Und – bei einer angenommenen Lebenserwartung von 90 Jahren – mit 20 (bzw. 40) physikalischen Jahren bereits 67 (bzw. 82) Prozent seiner gefühlten Lebenszeit hinter sich hat.
Bevor man angesichts der „Relativität von Zeit“ selbst in Melancholie versinkt, vielleicht die Fortsetzung des Eingangszitats von Augustinus: „Aber zuversichtlich behaupte ich zu wissen, dass es vergangene Zeit nicht gäbe, wenn nichts verginge, und nicht künftige Zeit, wenn nichts herankäme, und nicht gegenwärtige Zeit wenn nichts seiend wäre.“ Tja – oder mit Bob Dylan „The times they're a changing“.
Ich wünsche Ihnen eine spannende Zeit bei der Lektüre dieser Ausgabe.
Prof. Dr. Martin Wilkens
Professor für Quantenoptik
Portal Wissen = Time
(2014)
“What then is time?”, Augustine of Hippo sighs melancholically in Book XI of “Confessions” and continues, “If no one asks me, I know; if I want to explain it to a questioner, I don’t know.” Even today, 1584 years after Augustine, time still appears mysterious. Treatises about the essence of time fill whole libraries – and this magazine.
However, questions of essence are alien to modern sciences. Time is – at least in physics – unproblematic: “Time is defined so that motion looks simple”, briefly and prosaically phrased, waves goodbye to Augustine’s riddle and to the Newtonian concept of absolute time, whose mathematical flow can only be approximately recorded with earthly instruments anyway.
In our everyday language and even in science we still speak of the flow of time but time has not been a natural condition for quite a while now. It is rather a conventional order parameter for change and movement. Processes are arranged by using a class of processes as a counting system in order to compare other processes and to organize them with the help of the temporary categories “before”, “during”, and “after”.
During Galileo’s time one’s own pulse was seen as the time standard for the flight of cannon balls. More sophisticated examination methods later made this seem too impractical. The distance-time diagrams of free-flying cannon balls turned out to be rather imprecise, difficult to replicate, and in no way “simple”. Nowadays, we use cesium atoms. A process is said to take one second when a caesium-133 atom completes 9,192,631,770 periods of the radiation corresponding to the transition between two hyperfine levels of the ground state. A meter is the length of the path travelled by light in a vacuum in exactly 1/299,792,458 of a second. Fortunately, these data are hard-coded in the Global Positioning System GPS so users do not have to reenter them each time they want to know where they are. In the future, however, they might have to download an app because the time standard has been replaced by sophisticated transitions to ytterbium.
The conventional character of the time concept should not tempt us to believe that everything is somehow relative and, as a result, arbitrary. The relation of one’s own pulse to an atomic clock is absolute and as real as the relation of an hourglass to the path of the sun. The exact sciences are relational sciences. They are not about the thing-initself as Newton and Kant dreamt, but rather about relations as Leibniz and, later, Mach pointed out.
It is not surprising that the physical time standard turned out to be rather impractical for other scientists. The psychology of time perception tells us – and you will all agree – that the perceived age is quite different from the physical age. The older we get the shorter the years seem. If we simply assume that perceived duration is inversely related to physical age and that a 20-year old also perceives a physical year as a psychological one, we come to the surprising discovery that at 90 years we are 90 years old. With an assumed life expectancy of 90 years, 67% (or 82%) of your felt lifetime is behind you at the age of 20 (or 40) physical years.
Before we start to wallow in melancholy in the face of the “relativity of time”, let me again quote Augustine. “But at any rate this much I dare affirm I know: that if nothing passed there would be no past time; if nothing were approaching, there would be no future time; if nothing were, there would be no present time.” Well, – or as Bob Dylan sings “The times they are a-changin”.
I wish you an exciting time reading this issue.
Prof. Martin Wilkens
Professor of Quantum Optics
We compute the shift of the critical temperature Tc with respect to the ideal case for a weakly interacting uniform Bose gas. We work in the framework of the canonical ensemble, extending the criterion of condensation provided by the canonical particle counting statistics for the zero-momentum state of the uniform ideal gas. The perturbative solution of the crossover equation to lowest order in power of the scattering length yields (Tc - Tc0)/Tc0=-0,93ap 1/3, where Tc0 is the transition temperature of the corresponding ideal Bose gas , a is the scattering length, and p is the particle number density. This is at vaiance with the standard grand canonical prediction of a null shift of the critical temperature in the lowest perturbative order. The non-equevalence of statistical ensemble for the ideal Bose gas is thus confirm (at the lowestperturbative level) also in the presence of interactions.
We discuss the exact particle number counting statistics of degenerate ideal Bose gases in the microcanonical, canonical, and grand-canonical ensemble, respectively, for various trapping potentials. We then invoke the Maxwell's Demon ensemble [P. Navez et al., Phys. Rev. Lett.(1997)] and show that for large total number of particles the root-mean-square fluctuation of the condensate occupation scales delta n0 proportional to [T/Tc]r Ns with scaling exponents r=3/2, s=1/2 for the 3D harmonic oscillator trapping potential, and r=1, s=2/3 for the 3D box. We derive an explicit expression for r and s in terms of spatial dimension D and spectral index sigma of the single- particle energy spectrum. Our predictions also apply to systems where Bose-Einstein condensation does not occur. We point out that the condensate fluctuations in the microcanonical and canonical ensemble respect the principle of thermodynamic equivalence.
We present projects for future space missions using new quantum devices based on ultracold atoms. They will enable fundamental physics experiments testing quantum physics, physics beyond the standard model of fundamental particles and interactions, special relativity, gravitation and general relativity.