Institut für Mathematik
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Die Vielfältigkeit des Winkelbegriffs ist gleichermaßen spannend wie herausfordernd in Hinblick auf seine Zugänge im Mathematikunterricht der Schule. Ausgehend von verschiedenen Vorstellungen zum Winkelbegriff wird in dieser Arbeit ein Lehrgang zur Vermittlung des Winkelbegriffs entwickelt und letztlich in konkrete Umsetzungen für den Schulunterricht überführt.
Dabei erfolgt zunächst eine stoffdidaktische Auseinandersetzung mit dem Winkelbegriff, die von einer informationstheoretischen Winkeldefinition begleitet wird. In dieser wird eine Definition für den Winkelbegriff unter der Fragestellung entwickelt, welche Informationen man über einen Winkel benötigt, um ihn beschreiben zu können. So können die in der fachdidaktischen Literatur auftretenden Winkelvorstellungen aus fachmathematischer Perspektive erneut abgeleitet und validiert werden. Parallel dazu wird ein Verfahren beschrieben, wie Winkel – auch unter dynamischen Aspekten – informationstechnisch verarbeitet werden können, so dass Schlussfolgerungen aus der informationstheoretischen Winkeldefinition beispielsweise in dynamischen Geometriesystemen zur Verfügung stehen.
Unter dem Gesichtspunkt, wie eine Abstraktion des Winkelbegriffs im Mathematikunterricht vonstatten gehen kann, werden die Grundvorstellungsidee sowie die Lehrstrategie des Aufsteigens vom Abstrakten zum Konkreten miteinander in Beziehung gesetzt. Aus der Verknüpfung der beiden Theorien wird ein grundsätzlicher Weg abgeleitet, wie im Rahmen der Lehrstrategie eine Ausgangsabstraktion zu einzelnen Winkelaspekten aufgebaut werden kann, was die Generierung von Grundvorstellungen zu den Bestandteilen des jeweiligen Winkelaspekts und zum Operieren mit diesen Begriffsbestandteilen ermöglichen soll. Hierfür wird die Lehrstrategie angepasst, um insbesondere den Übergang von Winkelsituationen zu Winkelkontexten zu realisieren. Explizit für den Aspekt des Winkelfeldes werden, anhand der Untersuchung der Sichtfelder von Tieren, Lernhandlungen und Forderungen an ein Lernmodell beschrieben, die Schülerinnen und Schüler bei der Begriffsaneignung unterstützen.
Die Tätigkeitstheorie, der die genannte Lehrstrategie zuzuordnen ist, zieht sich als roter Faden durch die weitere Arbeit, wenn nun theoriebasiert Designprinzipien generiert werden, die in die Entwicklung einer interaktiven Lernumgebung münden. Hierzu wird u. a. das Modell der Artifact-Centric Activity Theory genutzt, das das Beziehungsgefüge aus Schülerinnen und Schülern, dem mathematischen Gegenstand und einer zu entwickelnden App als vermittelndes Medium beschreibt, wobei der Einsatz der App im Unterrichtskontext sowie deren regelgeleitete Entwicklung Bestandteil des Modells sind. Gemäß dem Ansatz der Fachdidaktischen Entwicklungsforschung wird die Lernumgebung anschließend in mehreren Zyklen erprobt, evaluiert und überarbeitet. Dabei wird ein qualitatives Setting angewandt, das sich der Semiotischen Vermittlung bedient und untersucht, inwiefern sich die Qualität der von den Schülerinnen und Schülern gezeigten Lernhandlungen durch die Designprinzipien und deren Umsetzung erklären lässt. Am Ende der Arbeit stehen eine finale Version der Designprinzipien und eine sich daraus ergebende Lernumgebung zur Einführung des Winkelfeldbegriffs in der vierten Klassenstufe.
Entdeckendes Lernen
(2017)
Trotz der nachweislichen Popularität des Entdeckenden Lernens in der deutschsprachigen Mathematikdidaktik finden sich aktuell keine kritischen Beiträge, die dazu beitragen könnten, dieses grundlegende Unterrichtskonzept zu hinterfragen und auszuschärfen. In diesem Diskussionsbeitrag werden zunächst die Theorie und einige Umsetzungsbeispiele des Entdeckenden Lernens herausgearbeitet, um aufzuzeigen, dass das Entdeckende Lernen einem vagen Sammelbegriff gleicht, unter dem oft fragwürdige Unterrichtsumgebungen legitimiert werden. Anschließend werden an Hand erkenntnistheoretischer, lerntheoretischer, didaktischer und soziokultureller Betrachtungen Probleme des Entdeckenden Lernens im Mathematikunterricht und Möglichkeiten ihrer Überwindung thematisiert. Dabei zeigt sich, dass die Konzeption des Entdeckenden Lernens hinter dem aktuellen mathematikdidaktischen Erkenntnisstand zurückfällt und Lehrer sowie Schüler mit unmöglichen Forderungen konfrontiert, dass lerntheoretische Vorteile des Entdeckenden Lernens oft nicht nachweisbar sind, dass die Idee des Entdeckens auf einem problematischen platonistischen Verständnis von Erkenntnis beruht und dass Entdeckendes Lernen bildungsferne Schüler zu benachteiligen droht. Abschließend werden Forschungsdesiderata abgeleitet, deren Bearbeitung dazu beitragen könnte, die aufgezeigten Problemfelder zu überwinden.
Europa Universalis IV
(2020)
Im Jahre 1960 behauptete Yamabe folgende Aussage bewiesen zu haben: Auf jeder kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit (M,g) der Dimension n ≥ 3 existiert eine zu g konform äquivalente Metrik mit konstanter Skalarkrümmung. Diese Aussage ist äquivalent zur Existenz einer Lösung einer bestimmten semilinearen elliptischen Differentialgleichung, der Yamabe-Gleichung. 1968 fand Trudinger einen Fehler in seinem Beweis und infolgedessen beschäftigten sich viele Mathematiker mit diesem nach Yamabe benannten Yamabe-Problem. In den 80er Jahren konnte durch die Arbeiten von Trudinger, Aubin und Schoen gezeigt werden, dass diese Aussage tatsächlich zutrifft. Dadurch ergeben sich viele Vorteile, z.B. kann beim Analysieren von konform invarianten partiellen Differentialgleichungen auf kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeiten die Skalarkrümmung als konstant vorausgesetzt werden.
Es stellt sich nun die Frage, ob die entsprechende Aussage auch auf Lorentz-Mannigfaltigkeiten gilt. Das Lorentz'sche Yamabe Problem lautet somit: Existiert zu einer gegebenen räumlich kompakten global-hyperbolischen Lorentz-Mannigfaltigkeit (M,g) eine zu g konform äquivalente Metrik mit konstanter Skalarkrümmung? Das Ziel dieser Arbeit ist es, dieses Problem zu untersuchen.
Bei der sich aus dieser Fragestellung ergebenden Yamabe-Gleichung handelt es sich um eine semilineare Wellengleichung, deren Lösung eine positive glatte Funktion ist und aus der sich der konforme Faktor ergibt. Um die für die Behandlung des Yamabe-Problems benötigten Grundlagen so allgemein wie möglich zu halten, wird im ersten Teil dieser Arbeit die lokale Existenztheorie für beliebige semilineare Wellengleichungen für Schnitte auf Vektorbündeln im Rahmen eines Cauchy-Problems entwickelt. Hierzu wird der Umkehrsatz für Banachräume angewendet, um mithilfe von bereits existierenden Existenzergebnissen zu linearen Wellengleichungen, Existenzaussagen zu semilinearen Wellengleichungen machen zu können. Es wird bewiesen, dass, falls die Nichtlinearität bestimmte Bedingungen erfüllt, eine fast zeitglobale Lösung des Cauchy-Problems für kleine Anfangsdaten sowie eine zeitlokale Lösung für beliebige Anfangsdaten existiert.
Der zweite Teil der Arbeit befasst sich mit der Yamabe-Gleichung auf global-hyperbolischen Lorentz-Mannigfaltigkeiten. Zuerst wird gezeigt, dass die Nichtlinearität der Yamabe-Gleichung die geforderten Bedingungen aus dem ersten Teil erfüllt, so dass, falls die Skalarkrümmung der gegebenen Metrik nahe an einer Konstanten liegt, kleine Anfangsdaten existieren, so dass die Yamabe-Gleichung eine fast zeitglobale Lösung besitzt. Mithilfe von Energieabschätzungen wird anschließend für 4-dimensionale global-hyperbolische Lorentz-Mannigfaltigkeiten gezeigt, dass unter der Annahme, dass die konstante Skalarkrümmung der konform äquivalenten Metrik nichtpositiv ist, eine zeitglobale Lösung der Yamabe-Gleichung existiert, die allerdings nicht notwendigerweise positiv ist. Außerdem wird gezeigt, dass, falls die H2-Norm der Skalarkrümmung bezüglich der gegebenen Metrik auf einem kompakten Zeitintervall auf eine bestimmte Weise beschränkt ist, die Lösung positiv auf diesem Zeitintervall ist. Hierbei wird ebenfalls angenommen, dass die konstante Skalarkrümmung der konform äquivalenten Metrik nichtpositiv ist. Falls zusätzlich hierzu gilt, dass die Skalarkrümmung bezüglich der gegebenen Metrik negativ ist und die Metrik gewisse Bedingungen erfüllt, dann ist die Lösung für alle Zeiten in einem kompakten Zeitintervall positiv, auf dem der Gradient der Skalarkrümmung auf eine bestimmte Weise beschränkt ist. In beiden Fällen folgt unter den angeführten Bedingungen die Existenz einer zeitglobalen positiven Lösung, falls M = I x Σ für ein beschränktes offenes Intervall I ist. Zum Schluss wird für M = R x Σ ein Beispiel für die Nichtexistenz einer globalen positiven Lösung angeführt.
Audience Response Systeme (ARS) stellen eine Ergänzung der Hochschullehre dar, um die Teilnehmeraktivierung zu stärken und die Studierenden unmittelbar in das Vorlesungsgeschehen einzubinden. Es existiert eine Fülle an Lösungen, die entweder ohne dedizierte Hardware auskommen (sogenannte Software-Clicker) oder die Anschaffung meist kommerzieller Hardware- Lösungen voraussetzen. An dieser Stelle versucht Hands. UP eine integrative Brücke zu schlagen. Auf Grundlage einer Kosten- und Aufwandsschätzung ausgewählter ARS-Lösungen soll die Notwendigkeit hochschulübergreifender Kooperationen hinsichtlich einer adäquate Weiterentwicklung und des Einsatzes von ARS in der Lehre motiviert werden.
In 2015 the second conference „Cloud Storage Deployment in Academics“ took place. Interest regarding this issue was again high and topics established in 2014 like data security and scalability were complemented by new ones like federations or technical integration in existing infrastructures. This is caused by the advances in the establishment of cloud-based storage systems. This publication contains the contributions of the conference „Cloud Storage Deployment in Academics 2015“, which took place in may 2015 at TU Berlin.
Neue Medien“ war über viele Jahre hinweg das Codewort für Computer, die den Einzug in den Schulunterricht schaffen sollten – wenn es nach den Befürwortern ging. Die Widerstände, gerade in der Grundschule, waren groß und vielfältig. Es ist verständlich, dass kurz nach der spielerischen Heranführung an Bildung im Kindergarten, in einer Zeit, in der die Schülerinnen und Schüler auch das soziale Miteinander einüben müssen und auch fein- und grobmotorische Fähigkeiten erwerben sollen, das vereinzelnde Sitzen vor einem Bildschirm nicht zu den obersten Prioritäten gehört – und auch unserer Meinung nach nicht gehören sollte. In den letzten Jahren hat sich der Begriff der neuen Medien aber verändert, und das, was bisher damit verbunden wurde, ist mit der „Digitalisierung“ nicht nur des Schulunterrichts, sondern des ganzen Lebens, zu einem Dreh- und Angelpunkt der Bildung geworden. Statt klobigen Computern mit Bildschirmen, die das Miteinander schon über die Ausstattung der Computerräume in die falsche Bahn lenken, haben mobile Geräte in der Hand der Schülerinnen und Schüler übernommen. Diese können nun gemeinsam an einem Gerät arbeiten, sie können direkt mit den Bildschirminhalten interagieren, sie können die Kameras, Mikrophone und Sensoren nutzen, um authentische Daten zu erfassen und zu verarbeiten, sie können auch außerhalb des Klassenraums oder der Schule damit arbeiten und haben inzwischen fast jederzeit das ganze Wissen des Internets mit dabei. Schwerpunkt dieses Bandes ist daher der Umgang mit Tablets und den darauf laufenden „Apps“ im Mathematikunterricht. In fünf Beiträgen werden konkrete Unterrichtsvorschläge gemacht, die als Blaupausen für App-gestützten Unterricht dienen können. Ergänzt wird dieser Band durch einen allgemeinen Leitfaden zur Beurteilung von Apps für den Mathematikunterricht samt Beispielen.
Die Lehre von wissenschaftlichem Arbeiten stellt einen zentralen Aspekt in forschungsorientierten Studiengängen wie der Informatik dar. Trotz diverser Angebote werden mittel- und langfristig Mängel in der
Arbeitsqualität von Studierenden sichtbar. Dieses Paper analysiert daher das Profil der Studierenden, deren Anwendung des wissenschaftlichen Arbeitens, und das Angebot von Proseminaren zum Thema „Einführung in das wissenschaftliche Arbeiten“ einer deutschen Universität. Die Ergebnisse mehrerer Erhebungen zeigen dabei diverse Probleme bei Studierenden auf, u. a. bei dem Prozessverständnis, dem Zeitmanagement und der Kommunikation.
In diesem Artikel werden die Ergebnisse einer explorativen Datenanalyse über die Studierendenperformance in Klausur- und Hausaufgaben eines Einführungskurses der Theoretischen Informatik vorgestellt. Da bisher empirisch wenig untersucht ist, welche Probleme Studierenden in den Einführungskursen haben und die Durchfallquoten in diesen Kursen sehr hoch sind, soll auf diesem Weg ein Überblick gegeben werden. Die Ergebnisse zeigen, dass alle Studierenden unabhängig von ihrer Klausurnote die niedrigste Performance in den Klausur- und Hausaufgaben aufweisen, in denen formale Beweise gefordert sind. Dieses Ergebnis stärkt die Vermutung, dass didaktische
Ansätze und Maßnahmen sich insbesondere auf das Erlernen formaler Beweismethoden fokussieren sollten, um Informatik-Studierende nachhaltiger dabei zu unterstützen, in Theoretischer Informatik erfolgreich zu sein.
Was ist Data Science?
(2018)
In Zusammenhang mit den Entwicklungen der vergangenen Jahre, insbesondere in den Bereichen Big Data, Datenmanagement und Maschinenlernen, hat sich der Umgang mit Daten und deren Analyse wesentlich weiterentwickelt. Mittlerweile wird die Datenwissenschaft als eigene Disziplin angesehen, die auch immer stärker durch entsprechende Studiengänge an Hochschulen repräsentiert wird. Trotz dieser zunehmenden Bedeutung ist jedoch oft unklar, welche konkreten Inhalte mit ihr in Verbindung stehen, da sie in verschiedensten Ausprägungen auftritt. In diesem Beitrag werden daher die hinter der Data Science stehenden informatischen Inhalte durch eine qualitative Analyse der Modulhandbücher etablierter Studiengänge aus diesem Bereich ermittelt und so ein Beitrag zur Charakterisierung dieser Disziplin geleistet. Am Beispiel der Entwicklung eines Data-Literacy-Kompetenzmodells, die als Ausblick skizziert wird, wird die Bedeutung dieser Charakterisierung für die weitere Forschung expliziert.
Empirische Untersuchungen von Lückentext-Items zur Beherrschung der Syntax einer Programmiersprache
(2018)
Lückentext-Items auf der Basis von Programmcode können eingesetzt werden, um Kenntnisse in der Syntax einer Programmiersprache zu prüfen, ohne dazu komplexe Programmieraufgaben zu stellen, deren Bearbeitung weitere Kompetenzen erfordert. Der vorliegende Beitrag dokumentiert den Einsatz von insgesamt zehn derartigen Items in einer universitären Erstsemestervorlesung zur Programmierung mit Java. Es werden sowohl Erfahrungen mit der Konstruktion der Items als auch empirische Daten aus dem Einsatz diskutiert. Der Beitrag zeigt dadurch insbesondere die Herausforderungen bei der Konstruktion valider Instrumente zur Kompetenzmessung in der Programmierausbildung auf. Die begrenzten und teilweise vorläufigen Ergebnisse zur Qualität der erzeugten Items legen trotzdem nahe, dass Erstellung und Einsatz entsprechender Items möglich ist und einen Beitrag zur Kompetenzmessung leisten kann.
In der dualen IT-Ausbildung als Verbindung von beruflicher und akademischer Qualifikation werden die berufstypischen Werkzeuge, wie z. B. Laptops, ebenso in den Lehr-Lern-Prozessen der akademischen Unterrichtseinheiten eingesetzt. Im Prüfungswesen wird oft auf klassische Papierklausuren zurückgegriffen. Unterrichtseinheiten mit hohem Blended-Learning-Anteil ohne E-Prüfung werden dabei als „nicht konsistent“ wahrgenommen. In diesem Artikel wird eine empirische Studie dargelegt, die untersucht, welche Einflüsse aus der persönlichen Lernbiografie bei den Lehrenden in einer dualen IT-Ausbildung dazu führen können, die Möglichkeiten eines E-Assessments als summative Modulprüfung anzunehmen oder abzulehnen. Beispielhaft wurden in der dargelegten Studie Interviews mit Dozenten geführt und diese hinsichtlich der Verbindung zwischen Lernbiografie, Gestaltung der Didaktik der Lehr-Lern-Prozesse, Zufriedenheit und Veränderungsbereitschaft untersucht.
Im Rahmen eines Informatikstudiums wird neben theoretischen Grundlagen und Programmierfähigkeiten auch gezielt vermittelt, wie moderne Software in der Praxis entwickelt wird. Dabei wird oftmals eine Form der Projektarbeit gewählt, um Studierenden möglichst realitätsnahe Erfahrungen zu ermöglichen. Die Studierenden entwickeln einzeln oder in kleineren Teams Softwareprodukte für ausgewählte Problemstellungen. Neben fachlichen Inhalte stehen durch gruppendynamische Prozesse auch überfachliche Kompetenzen im Fokus. Dieser Beitrag präsentiert eine Interviewstudie mit Dozierenden von Softwareprojektpraktika an der RWTH Aachen und konzentriert sich auf die Ausgestaltung der Veranstaltungen sowie Förderung von überfachlichen Kompetenzen nach einem Kompetenzprofil für Softwareingenieure.
Um beim Berufseinstieg erfolgreich als Informatiker wirken zu können, reicht es oft nicht aus nur separierte Kenntnisse über technische und theoretische Grundlagen, Programmiersprachen, Werkzeuge und Selbst- und Zeitmanagement zu besitzen. Vielmehr sollten Absolventen diese Kenntnisse praktisch miteinander verzahnt einsetzen können. An der Universität wird Studierenden leider selten die Möglichkeit geboten, diese verschiedenen Bereiche der Informatik miteinander integriert auszuüben. Dafür entwickeln wir seit über zwei Dekaden ein Lehr- und Lernkonzept zur Unterstützung praktischer Softwareentwicklungsveranstaltungen und setzen dieses um. Dadurch bieten wir angehenden SoftwareentwicklerInnen und ProjektmanagerInnen eine Umgebung, in der sie neues, praktisch relevantes Wissen erwerben können, sich selbst praktisch erproben und ihr Wissen konkret einsetzen können. Hier legen wir einen Schwerpunkt auf das Arbeiten im Team. Das hier vorgestellte Konzept kann auf ähnliche Lehrveranstaltungen übertragen und aufgrund seiner Modularisierung verändert und erweitert werden.
Vorlesungs-Pflege
(2018)
Ähnlich zu Alterungsprozessen bei Software degenerieren auch Vorlesungen, wenn sie nicht hinreichend gepflegt werden. Die Gründe hierfür werden ebenso beleuchtet wie mögliche Indikatoren und Maßnahmen – der Blick ist dabei immer der eines Informatikers. An drei Vorlesungen wird erläutert, wie der Degeneration von Lehrveranstaltungen
gegengewirkt werden kann. Mangels hinreichend großer empirischer Daten liefert das Paper keine unumstößlichen Wahrheiten. Ein Ziel ist es vielmehr Kollegen, die ähnliche Phänomene beobachten, einen ersten Anker für einen
inneren Diskurs zu bieten. Ein langfristiges Ziel ist die Sammlung eines Katalogs an Maßnahmen zur Pflege von Informatikvorlesungen.
Um für ein Leben in der digitalen Gesellschaft vorbereitet zu sein, braucht jeder heute in verschiedenen Situationen umfangreiche informatische Grundlagen. Die Bedeutung von Informatik nimmt nicht nur in immer mehr
Bereichen unseres täglichen Lebens zu, sondern auch in immer mehr Ausbildungsrichtungen. Um junge Menschen auf ihr zukünftiges Leben und/oder ihre zukünftige berufliche Tätigkeit vorzubereiten, bieten verschiedene Hochschulen Informatikmodule für Studierende anderer Fachrichtungen an. Die Materialien jener Kurse bilden einen umfangreichen Datenpool, um die für Studierende anderer Fächer bedeutenden Aspekte der Informatik mithilfe eines empirischen Ansatzes zu identifizieren. Im Folgenden werden 70 Module zu informatischer Bildung für Studierende anderer Fachrichtungen analysiert. Die Materialien – Publikationen, Syllabi und Stundentafeln – werden zunächst mit einer qualitativen Inhaltsanalyse nach Mayring untersucht und anschließend quantitativ ausgewertet. Basierend auf der Analyse werden Ziele, zentrale Themen und Typen eingesetzter Werkzeuge identifiziert.
Raum und Form
(2017)
Gilles Blanchards Vortrag gewährt Einblicke in seine Arbeiten zur Entwicklung und Analyse statistischer Eigenschaften von Lernalgorithmen. In vielen modernen Anwendungen, beispielsweise bei der Schrifterkennung oder dem Spam- Filtering, kann ein Computerprogramm auf der Basis vorgegebener Beispiele automatisch lernen, relevante Vorhersagen für weitere Fälle zu treffen. Mit der mathematischen Analyse der Eigenschaften solcher Methoden beschäftigt sich die Lerntheorie, die mit der Statistik eng zusammenhängt. Dabei spielt der Begriff der Komplexität der erlernten Vorhersageregel eine wichtige Rolle. Ist die Regel zu einfach, wird sie wichtige Einzelheiten ignorieren. Ist sie zu komplex, wird sie die vorgegebenen Beispiele "auswendig" lernen und keine Verallgemeinerungskraft haben. Blanchard wird erläutern, wie Mathematische Werkzeuge dabei helfen, den richtigen Kompromiss zwischen diesen beiden Extremen zu finden.
Laudatio Hans Kaiser
(1993)
Mathematik : 8. Schuljahr
(1994)
WIP-Projekt "Kosmologie"
(1994)
Jahresbericht 1993
(1994)
Aufgaben zur Kosmologie
(1994)