Simon Fromm

• In dieser Masterarbeit wird der Frage nachgegangen, wie das Thema Grundvorstellungen und Vorstellungsumbrüche zur Multiplikation und Division von Brüchen im Rahmen der Lehrveranstaltung „Didaktik der Arithmetik II“ an der Universität Potsdam gelehrt wird. Ziel des Lehrens und Lernens ist es, das notwendige Professionswissen der Studierenden zu sichern. Dafür wurden Gestaltungsprinzipien für neue Lehrveranstaltungen zur Verzahnung von Fachwissenschaft und Fachdidaktik im Fach Mathematik von der Arbeitsgruppe Mathematikdidaktik der Universität Potsdam entwickelt. Mittels einer qualitativen Inhaltsanalyse wird genauer untersucht, welches fachbezogene Wissen zum Aufgreifen von notwendigen Vorstellungsumbrüchen, Aufbau von Grundvorstellungen und zur Behebung von Fehlvorstellungen in den Lehrveranstaltungen vermittelt wurde und auf welche Art und Weise die Vermittlung des Wissens erfolgte. Weiterhin werden Testdaten zur Bruchrechenkompetenz der Studierenden dahingehend analysiert, ob sich für einen Teil der Studierenden beim Operieren mitIn dieser Masterarbeit wird der Frage nachgegangen, wie das Thema Grundvorstellungen und Vorstellungsumbrüche zur Multiplikation und Division von Brüchen im Rahmen der Lehrveranstaltung „Didaktik der Arithmetik II“ an der Universität Potsdam gelehrt wird. Ziel des Lehrens und Lernens ist es, das notwendige Professionswissen der Studierenden zu sichern. Dafür wurden Gestaltungsprinzipien für neue Lehrveranstaltungen zur Verzahnung von Fachwissenschaft und Fachdidaktik im Fach Mathematik von der Arbeitsgruppe Mathematikdidaktik der Universität Potsdam entwickelt. Mittels einer qualitativen Inhaltsanalyse wird genauer untersucht, welches fachbezogene Wissen zum Aufgreifen von notwendigen Vorstellungsumbrüchen, Aufbau von Grundvorstellungen und zur Behebung von Fehlvorstellungen in den Lehrveranstaltungen vermittelt wurde und auf welche Art und Weise die Vermittlung des Wissens erfolgte. Weiterhin werden Testdaten zur Bruchrechenkompetenz der Studierenden dahingehend analysiert, ob sich für einen Teil der Studierenden beim Operieren mit Brüchen das Vorliegen des Natural Number Bias (NNB) oder weiterer basaler Fehlvorstellungen zeigen lässt. Die qualitativ-quantitative Auswertung der Testdaten zeigt, dass bei einem Teil der Studierenden vor Beginn der Lehreinheit zur Bruchrechnung Fehlvorstellungen vorlagen, die durch den NNB bzw. falsch generalisierte Merkregeln eines kalkülorientierten Unterrichts erklärt werden können. Diese Fehlvorstellungen konnten zum Großteil von den betroffenen Studierenden bis zum Ende der Lehrveranstaltungsreihe abgebaut werden, wie die Ergebnisse des Post-Tests belegen. Allerdings zeigen die Ergebnisse zu den Modellierungsaufgaben des Bruchrechentests sowie die analysierten Rechengeschichten, die passend zu einer vorgegebenen Rechenaufgabe von Studierenden in den Übungen formuliert werden sollten, auch, dass viele Studierende weiterhin Schwierigkeiten mit der Anwendung von relevanten Grundvorstellungen der Multiplikation und Division im Sachkontext besitzen, selbst wenn Studierende in der Lage sind geeignete Grundvorstellungen explizierend zu nennen. Insbesondere erscheinen die Verhältnisvorstellung und die Vorstellung des Aufteilens/Ausmessens im Umgang mit entsprechenden Aufgabenstellungen zur Bruchrechnung bei einem Teil der Studierenden nicht flexibel anwendbar zu sein. Im Sinne des Design-Based-Research Ansatzes konnte im Rahmen dieser Arbeit durch die erfolgte Inhaltsanalyse ein Verbesserungspotenzial für die Lehrveranstaltung identifiziert werden, beispielsweise in Bezug auf die Behandlung von Grundvorstellungen zur Multiplikation/Division rationaler Zahlen. So wird konkret vorgeschlagen, im Rahmen der Behandlung der Grundvorstellungen der Multiplikation auch die Grundvorstellung der Skalierung zu behandeln, da diese ohne notwendigen Vorstellungsumbruch anschlussfähig auf rationale Zahlen als Multiplikatoren anwendbar ist und daher sinnstiftend dazu beitragen könnte, die Fehlvorstellung ‚Multiplikation vergrößert immer‘ auf Basis einer konkreten Vorstellung zu überdenken. Weiterhin sollte die im Rahmen der analysierten Lehrpassagen vertretene Behauptung, dass das ‚Verteilen bei einem Bruch als Divisor scheitert‘ auf Grundlage der in dieser Arbeit theoretisch hergeleiteten Ausführungen differenzierter betrachtet werden.…
• This master thesis pursues the question of how the University of Potsdam’s module "Arithmetic and its Didactics II" teaches the topic of mental models and their discontinuities when it comes to the multiplication and division of fractions. The aim of the module is to equip students with the necessary professional knowledge to teach mathematics themselves. For this purpose, the university’s Mathematical Didactics working group developed a set of design principles that combine scientific content and subject-specific didactics. This thesis applies a qualitative content analysis to evaluate the teaching and learning process by which students acquire the necessary subject-specific understanding pertaining to the development of mental models, conceptual changes, and the elimination of common misconceptions. Furthermore, test data on the students' fractional arithmetic competence is analyzed to determine whether natural number bias (NNB) or other basic misconceptions are present in some of the students when operating withThis master thesis pursues the question of how the University of Potsdam’s module "Arithmetic and its Didactics II" teaches the topic of mental models and their discontinuities when it comes to the multiplication and division of fractions. The aim of the module is to equip students with the necessary professional knowledge to teach mathematics themselves. For this purpose, the university’s Mathematical Didactics working group developed a set of design principles that combine scientific content and subject-specific didactics. This thesis applies a qualitative content analysis to evaluate the teaching and learning process by which students acquire the necessary subject-specific understanding pertaining to the development of mental models, conceptual changes, and the elimination of common misconceptions. Furthermore, test data on the students' fractional arithmetic competence is analyzed to determine whether natural number bias (NNB) or other basic misconceptions are present in some of the students when operating with fractions. The qualitative and quantitative evaluation of the test data shows that some of the students had misconceptions prior to the teaching unit on fractions, which can be explained by the NNB or incorrectly generalized rules from calculus-oriented teaching. As the results of the post-test show, these misconceptions were largely eliminated by the end of the module. However, the results of the modeling tasks in the fractional arithmetic test and an analysis of the word problems that students were asked to develop according to a given arithmetic task during their seminars, also show that many students still struggle to apply relevant mental models of multiplication and division to practical contexts, even where they are able to correctly identify the appropriate mental models. In particular, it appears that a certain part of the cohort is unable to flexibly apply mental models of proportionality and of division as quotitioning or measuring when dealing with the respective fractional calculation exercises. In accordance with the design-based research approach and thanks to its content analysis, this thesis was able to identify potential for improvement in the delivery of the teaching, for example when it comes to the treatment of mental models for the multiplication/division of rational numbers. One particular recommendation is that the mental model of scaling should be included when teaching fundamental models of multiplication, since this can also be applied to rational numbers as multipliers without requiring a discontinuity of mental models: by thus allowing students to apply a concrete understanding, it could therefore make a meaningful contribution to eliminate the misconception that 'multiplication always increases the result'. Furthermore, this thesis’ theoretically-derived explanations permit us a more differentiated understanding of the assertion frequently found in the context of the analyzed teaching passages, namely that 'partitioning as a mental model of division fails when a fraction is used as a divisor'.…