Euklidische und nichteuklidische Elementargeometrien
- Zwei Jahrtausende wurde die Mathematik in der Sprache der Geometrie formuliert; bis ins 18. Jahrhundert wurde Geometrie synonym für Mathematik gebraucht. Auch wenn die Geometrie nicht mehr diese Stellung in der Mathematik besitzt und den Charakter einer Naturwissenschaft verloren hat, so hat sie seitdem doch wesentlich die Entwicklung der Mathematik und Naturwissenschaft beeinflusst, und ihre Sprache bewährt sich auch in Disziplinen, die sich in unserem Jahrhundert herausgebildet haben. Überzeugt von einer verkürzten Wiederholung der Wissenschaftsentwicklung in der Ontogenese der Erkenntnis der Welt, wird man speziell der Elementargeometrie stets einen gebührenden Platz einräumen, wird man immer, wenn nicht gar mit Liebhabern, so doch mit Interessenten an diesem Gegenstand rechnen können, insbesondere unter den aktiven Lehrern und den Lehramtskandidaten. In erster Linie wird ihnen die Lektüre dieses Buches empfohlen. Dabei stehen Phänomene zwar am Anfang, aber es geht vordergründig um begriffliche Präzisierung und einen (evtl. noch zuZwei Jahrtausende wurde die Mathematik in der Sprache der Geometrie formuliert; bis ins 18. Jahrhundert wurde Geometrie synonym für Mathematik gebraucht. Auch wenn die Geometrie nicht mehr diese Stellung in der Mathematik besitzt und den Charakter einer Naturwissenschaft verloren hat, so hat sie seitdem doch wesentlich die Entwicklung der Mathematik und Naturwissenschaft beeinflusst, und ihre Sprache bewährt sich auch in Disziplinen, die sich in unserem Jahrhundert herausgebildet haben. Überzeugt von einer verkürzten Wiederholung der Wissenschaftsentwicklung in der Ontogenese der Erkenntnis der Welt, wird man speziell der Elementargeometrie stets einen gebührenden Platz einräumen, wird man immer, wenn nicht gar mit Liebhabern, so doch mit Interessenten an diesem Gegenstand rechnen können, insbesondere unter den aktiven Lehrern und den Lehramtskandidaten. In erster Linie wird ihnen die Lektüre dieses Buches empfohlen. Dabei stehen Phänomene zwar am Anfang, aber es geht vordergründig um begriffliche Präzisierung und einen (evtl. noch zu erlernenden) folgerichtigen Aufbau, beides beispielhaft in bezug auf Elementarmathematik insgesamt, auch wenn die erworbenen Fähigkeiten in der Schule dann nur zum lokalen Ordnen genutzt werden. Es wird keine Perfektion im logischen Schließen vorausgesetzt und durch die zahlreichen Zeichnungen dem anschaulichen Überbrücken von Klippen sogar Vorschub geleistet, aber es werden metamathematische Betrachtungen eingestreut, und es wird über Beweis- und Konstruktionsaufgaben permanent "Selbsttätigkeit nach den zuvor ausgeführten Beispielen" angeregt und abverlangt. Dabei kann sich der Leser fortwährend und reflektierend an den Regeln des natürlichen Schließens und damit an den wichtigsten Beweisverfahren im Anhang 1.7 orientieren. Logische Strenge wird so als nicht ein für alle mal vorgegeben, sondern als erlern- und steigerbar begriffen. Das erste Kapitel hat die Euklidische Elementargeometrie zum Inhalt, schrittweise aufgebaut auf Grundbegriffen und Axiomen. Dabei steht eine fiktive Erfahrungswelt der Kinder im Hintergrund, beispielsweise bei den Bewegungen von Figuren oder den Geraden als angeordneten Punktmengen. Um die Geometrie relativ lange im Sinne von TARSKI elementar aufbauen zu können, werden z.B. Längen und Winkelgrößen als Äquivalenzklassen betrachtet, sichern zunächst Axiome des Zirkels Konstruktion mit Zeichengeräten und den Beweis von Kongruenzsätzen ab, werden auch Drehwinkel und Schubvektoren (gerichtete Abstände) als Äquivalenzklassen begriffen. Erst im Abschnitt 1.5 wird die Vervielfachung von gerichteten Strecken mit ganzen, rationalen und reellen Zahlen realisiert, wobei der letzte Schritt ein Stetigkeitsaxiom erforderte. Auf dieser nicht mehr ganz elementaren Stufe werden Ähnlichkeit, Flächen- und Rauminhalte sowie die Theorie der Konstruktionen mit Zirkel und Lineal erörtert, insbesondere die Unlösbarkeit gewisser Aufgaben. Das zweite Kapitel bezweckt mit der Darstellung nichteuklidischer Geometrien nicht nur eine Erweiterung bisher gewonnener geometrischer Kenntnisse, sondern eine wesentliche Vertiefung des Raumbegriffes, indem Aufgabenstellungen, die im ersten Kapitel formuliert wurden, unter veränderten Rahmenbedingungen auf Lösbarkeit untersucht werden. Das geschieht zunächst für die Lobacevskijsche Geometrie mit einem Ausblick auf elliptische Geometrie und dann für die Banach- Minkowskischen Geometrien, also ausschließlich für solche Theorien, die DAVID HILBERT in seinem berühmten Vortrag "Mathematische Probleme" 1900 in Paris auf dem 2. Internationalen Mathematikerkongress als "der euklidischen Geometrie nächststehend" bezeichnet hat.…
