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In dieser Masterarbeit wird der Frage nachgegangen, wie das Thema Grundvorstellungen und Vorstellungsumbrüche zur Multiplikation und Division von Brüchen im Rahmen der Lehrveranstaltung „Didaktik der Arithmetik II“ an der Universität Potsdam gelehrt wird. Ziel des Lehrens und Lernens ist es, das notwendige Professionswissen der Studierenden zu sichern. Dafür wurden Gestaltungsprinzipien für neue Lehrveranstaltungen zur Verzahnung von Fachwissenschaft und Fachdidaktik im Fach Mathematik von der Arbeitsgruppe Mathematikdidaktik der Universität Potsdam entwickelt. Mittels einer qualitativen Inhaltsanalyse wird genauer untersucht, welches fachbezogene Wissen zum Aufgreifen von notwendigen Vorstellungsumbrüchen, Aufbau von Grundvorstellungen und zur Behebung von Fehlvorstellungen in den Lehrveranstaltungen vermittelt wurde und auf welche Art und Weise die Vermittlung des Wissens erfolgte. Weiterhin werden Testdaten zur Bruchrechenkompetenz der Studierenden dahingehend analysiert, ob sich für einen Teil der Studierenden beim Operieren mit Brüchen das Vorliegen des Natural Number Bias (NNB) oder weiterer basaler Fehlvorstellungen zeigen lässt.
Die qualitativ-quantitative Auswertung der Testdaten zeigt, dass bei einem Teil der Studierenden vor Beginn der Lehreinheit zur Bruchrechnung Fehlvorstellungen vorlagen, die durch den NNB bzw. falsch generalisierte Merkregeln eines kalkülorientierten Unterrichts erklärt werden können. Diese Fehlvorstellungen konnten zum Großteil von den betroffenen Studierenden bis zum Ende der Lehrveranstaltungsreihe abgebaut werden, wie die Ergebnisse des Post-Tests belegen. Allerdings zeigen die Ergebnisse zu den Modellierungsaufgaben des Bruchrechentests sowie die analysierten Rechengeschichten, die passend zu einer vorgegebenen Rechenaufgabe von Studierenden in den Übungen formuliert werden sollten, auch, dass viele Studierende weiterhin Schwierigkeiten mit der Anwendung von relevanten Grundvorstellungen der Multiplikation und Division im Sachkontext besitzen, selbst wenn Studierende in der Lage sind geeignete Grundvorstellungen explizierend zu nennen. Insbesondere erscheinen die Verhältnisvorstellung und die Vorstellung des Aufteilens/Ausmessens im Umgang mit entsprechenden Aufgabenstellungen zur Bruchrechnung bei einem Teil der Studierenden nicht flexibel anwendbar zu sein.
Im Sinne des Design-Based-Research Ansatzes konnte im Rahmen dieser Arbeit durch die erfolgte Inhaltsanalyse ein Verbesserungspotenzial für die Lehrveranstaltung identifiziert werden, beispielsweise in Bezug auf die Behandlung von Grundvorstellungen zur Multiplikation/Division rationaler Zahlen. So wird konkret vorgeschlagen, im Rahmen der Behandlung der Grundvorstellungen der Multiplikation auch die Grundvorstellung der Skalierung zu behandeln, da diese ohne notwendigen Vorstellungsumbruch anschlussfähig auf rationale Zahlen als Multiplikatoren anwendbar ist und daher sinnstiftend dazu beitragen könnte, die Fehlvorstellung ‚Multiplikation vergrößert immer‘ auf Basis einer konkreten Vorstellung zu überdenken. Weiterhin sollte die im Rahmen der analysierten Lehrpassagen vertretene Behauptung, dass das ‚Verteilen bei einem Bruch als Divisor scheitert‘ auf Grundlage der in dieser Arbeit theoretisch hergeleiteten Ausführungen differenzierter betrachtet werden.
Das Professionswissen von Lehrkräften gehört zu den bedeutendsten Stellschrauben der Bildung an den Schulen. Seine Kernbereiche sind fachwissenschaftliches Wissen und fachdidaktisches Wissen, welche hauptsächlich in der universitären Ausbildung erworben werden.
Die vorliegende Arbeit verfolgt das Ziel, einen Beitrag zur stetigen Verbesserung und Sicherung der Qualität der Lehrerausbildung an der Universität Potsdam zu leisten, und stellt die Frage: Über welches fachwissenschaftliche und fachdidaktische Wissen verfügen die Lehramtsstudierenden im Fach Mathematik nach Besuch der Lehrveranstaltung Arithmetik und ihre Didaktik I und II? Untersucht wurde exemplarisch das Wissen der Lehramtsstudierenden im Bereich der rationalen Zahlen mit dem Fokus auf dem Verständnis der Dichte von Bruchzahlen. Die Dichte stellt eines der am schwierigsten zu erwerbenden Konzepte im Bruchzahlerwerb dar und fordert ein konzeptionelles Umdenken sowie die Reorganisation bereits erworbener Vorstellungen. Um die Forschungsfrage zu beantworten, wurden in einer qualitativen Studie 112 Lehramtsstudierende hinsichtlich ihres Wissens zu dem Thema Dichte von rationalen Zahlen schriftlich getestet. Um Denkprozesse der Studierenden zu verstehen und Denkhürden zu identifizieren, wurden zusätzlich qualitative Interviews in Form von Gruppendiskussionen geführt. Die Daten wurden mithilfe der Qualitativen Inhaltsanalyse computergestützt ausgewertet.
Es zeigte sich eine große Bandbreite verschiedener Wissensbestände. Die Ergebnisse im fachdidaktischen Wissen blieben hinter den Ergebnissen im fachwissenschaftlichen Wissen zurück. Am schwierigsten fiel den Studierenden die Gegenüberstellung von wesentlichen Eigenschaften der rationalen und natürlichen Zahlen auf der metakognitiven Ebene. Neben positiven Ergebnissen, welche für die Effektivität der Konzeption der Lehrveranstaltung sprechen, zeigten sich diverse Denkhürden. Defizite im Fachwissen wie ein mangelndes Verständnis von äquivalenten Brüchen oder Fehler im Erweitern von Brüchen enthüllen unzulänglich ausgebildete Grundvorstellungen im Bereich der rationalen Zahlen seitens der Studierenden. Schwierigkeiten in den fachdidaktischen Aufgaben wie die Formulierung einer kindgerechten Erklärung oder die anschauliche Darstellung des mathematischen Inhalts auf bildlicher Ebene lassen sich ursächlich auf die Defizite im Fachwissen zurückführen. Zusätzlich stellten sich Einschränkungen seitens der Studierenden in der Motivation und Relevanzzuschreibung heraus.
Die Ergebnisse führen zu gezielten Änderungsvorschlägen bezüglich der Konzeption der Lehrveranstaltung. Es wird empfohlen, verschiedene Lernangebote wie Hausaufgaben und wöchentliche Selbsttests zur individuellen Lernzielkontrolle für alle Teilnehmenden der Lehrveranstaltung verpflichtend zu gestalten und motivationale Aspekte verstärkt aufzugreifen. Zusätzlich wird der Ausbau von konkreten Übungen auf der enaktiven Ebene empfohlen, um den Aufbau von notwendigen Grundvorstellungen im Bereich der rationalen Zahlen zu fördern und somit Denkhürden gezielt zu begegnen.