TY - JOUR A1 - Staniforth, Andrew A1 - Wood, Nigel A1 - Reich, Sebastian T1 - A time-staggered semi-Lagrangian discretization of the rotating shallow-water equations JF - Quarterly journal of the Royal Meteorological Society N2 - A time-staggered semi-Lagrangian discretization of the rotating shallow-water equations is proposed and analysed. Application of regularization to the geopotential field used in the momentum equations leads to an unconditionally stable scheme. The analysis, together with a fully nonlinear example application, suggests that this approach is a promising, efficient, and accurate alternative to traditional schemes. KW - regularization KW - temporal discretization Y1 - 2006 U6 - https://doi.org/10.1256/qj.06.30 SN - 0035-9009 VL - 132 IS - 621C SP - 3107 EP - 3116 PB - Wiley CY - Weinheim ER - TY - GEN A1 - Pornsawad, Pornsarp A1 - Sungcharoen, Parada A1 - Böckmann, Christine T1 - Convergence rate of the modified Landweber method for solving inverse potential problems T2 - Postprints der Universität Potsdam : Mathematisch-Naturwissenschaftliche Reihe N2 - In this paper, we present the convergence rate analysis of the modified Landweber method under logarithmic source condition for nonlinear ill-posed problems. The regularization parameter is chosen according to the discrepancy principle. The reconstructions of the shape of an unknown domain for an inverse potential problem by using the modified Landweber method are exhibited. T3 - Zweitveröffentlichungen der Universität Potsdam : Mathematisch-Naturwissenschaftliche Reihe - 1034 KW - nonlinear operator KW - regularization KW - modified Landweber method KW - discrepancy principle KW - logarithmic source condition Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-471942 SN - 1866-8372 IS - 1034 ER - TY - INPR A1 - Makhmudov, O. I. A1 - Niyozov, I. E. T1 - Regularization of the Cauchy Problem for the System of Elasticity Theory in R up (m) N2 - In this paper we consider the regularization of the Cauchy problem for a system of second order differential equations with constant coefficients. T3 - Preprint - (2005) 22 KW - the Cauchy problem KW - Lame system KW - elliptic system KW - ill-posed problem KW - Carleman matrix KW - regularization KW - Laplace equation Y1 - 2005 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-29983 ER - TY - INPR A1 - Makhmudov, O. I. A1 - Niyozov, I. E. T1 - The Cauchy problem for the Lame system in infinite domains in R up(m) N2 - We consider the problem of analytic continuation of the solution of the multidimensional Lame system in infinite domains through known values of the solution and the corresponding strain tensor on a part of the boundary, i.e,the Cauchy problem. T3 - Preprint - (2005) 20 KW - the Cauchy problem KW - system Lame KW - elliptic system KW - illposed problem KW - Carleman matrix KW - regularization KW - Laplace equation Y1 - 2005 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-29967 ER - TY - INPR A1 - Dyachenko, Evgueniya A1 - Tarkhanov, Nikolai Nikolaevich T1 - Singular perturbations of elliptic operators N2 - We develop a new approach to the analysis of pseudodifferential operators with small parameter 'epsilon' in (0,1] on a compact smooth manifold X. The standard approach assumes action of operators in Sobolev spaces whose norms depend on 'epsilon'. Instead we consider the cylinder [0,1] x X over X and study pseudodifferential operators on the cylinder which act, by the very nature, on functions depending on 'epsilon' as well. The action in 'epsilon' reduces to multiplication by functions of this variable and does not include any differentiation. As but one result we mention asymptotic of solutions to singular perturbation problems for small values of 'epsilon'. T3 - Preprints des Instituts für Mathematik der Universität Potsdam - 3 (2014) 1 KW - singular perturbation KW - pseudodifferential operator KW - ellipticity with parameter KW - regularization KW - asymptotics Y1 - 2014 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-69502 SN - 2193-6943 VL - 3 IS - 1 PB - Universitätsverlag Potsdam CY - Potsdam ER - TY - THES A1 - Samaras, Stefanos T1 - Microphysical retrieval of non-spherical aerosol particles using regularized inversion of multi-wavelength lidar data T1 - Retrieval der Mikrophysik von nichtkugelförmigen Aerosolpartikeln durch regularisierte Inversion von Mehrwellenlängen-Lidardaten N2 - Numerous reports of relatively rapid climate changes over the past century make a clear case of the impact of aerosols and clouds, identified as sources of largest uncertainty in climate projections. Earth’s radiation balance is altered by aerosols depending on their size, morphology and chemical composition. Competing effects in the atmosphere can be further studied by investigating the evolution of aerosol microphysical properties, which are the focus of the present work. The aerosol size distribution, the refractive index, and the single scattering albedo are commonly used such properties linked to aerosol type, and radiative forcing. Highly advanced lidars (light detection and ranging) have reduced aerosol monitoring and optical profiling into a routine process. Lidar data have been widely used to retrieve the size distribution through the inversion of the so-called Lorenz-Mie model (LMM). This model offers a reasonable treatment for spherically approximated particles, it no longer provides, though, a viable description for other naturally occurring arbitrarily shaped particles, such as dust particles. On the other hand, non-spherical geometries as simple as spheroids reproduce certain optical properties with enhanced accuracy. Motivated by this, we adapt the LMM to accommodate the spheroid-particle approximation introducing the notion of a two-dimensional (2D) shape-size distribution. Inverting only a few optical data points to retrieve the shape-size distribution is classified as a non-linear ill-posed problem. A brief mathematical analysis is presented which reveals the inherent tendency towards highly oscillatory solutions, explores the available options for a generalized solution through regularization methods and quantifies the ill-posedness. The latter will improve our understanding on the main cause fomenting instability in the produced solution spaces. The new approach facilitates the exploitation of additional lidar data points from depolarization measurements, associated with particle non-sphericity. However, the generalization of LMM vastly increases the complexity of the problem. The underlying theory for the calculation of the involved optical cross sections (T-matrix theory) is computationally so costly, that would limit a retrieval analysis to an unpractical point. Moreover the discretization of the model equation by a 2D collocation method, proposed in this work, involves double integrations which are further time consuming. We overcome these difficulties by using precalculated databases and a sophisticated retrieval software (SphInX: Spheroidal Inversion eXperiments) especially developed for our purposes, capable of performing multiple-dataset inversions and producing a wide range of microphysical retrieval outputs. Hybrid regularization in conjunction with minimization processes is used as a basis for our algorithms. Synthetic data retrievals are performed simulating various atmospheric scenarios in order to test the efficiency of different regularization methods. The gap in contemporary literature in providing full sets of uncertainties in a wide variety of numerical instances is of major concern here. For this, the most appropriate methods are identified through a thorough analysis on an overall-behavior basis regarding accuracy and stability. The general trend of the initial size distributions is captured in our numerical experiments and the reconstruction quality depends on data error level. Moreover, the need for more or less depolarization points is explored for the first time from the point of view of the microphysical retrieval. Finally, our approach is tested in various measurement cases giving further insight for future algorithm improvements. N2 - Zahlreiche Berichte von relativ schnellen Klimaveränderungen im vergangenen Jahrhundert liefern überzeugende Argumente über die Auswirkungen von Aerosolen und Wolken auf Wetter und Klima. Aerosole und Wolken wurden als Quellen größter Unsicherheit in Klimaprognosen identifiziert. Die Strahlungsbilanz der Erde wird verändert durch die Partikelgröße, ihre Morphologie und ihre chemische Zusammensetzung. Konkurrierende Effekte in der Atmosphäre können durch die Bestimmung von mikrophysikalischen Partikeleigenschaften weiter untersucht werden, was der Fokus der vorliegenden Arbeit ist. Die Aerosolgrößenverteilung, der Brechungsindex der Partikeln und die Einzel-Streu-Albedo sind solche häufig verwendeten Parameter, die mit dem Aerosoltyp und dem Strahlungsantrieb verbunden sind. Hoch entwickelte Lidare (Light Detection and Ranging) haben die Aerosolüberwachung und die optische Profilierung zu einem Routineprozess gemacht. Lidar-Daten wurden verwendet um die Größenverteilung zu bestimmen, was durch die Inversion des sogenannten Lorenz-Mie-Modells (LMM) gelingt. Dieses Modell bietet eine angemessene Behandlung für sphärisch angenäherte Partikeln, es stellt aber keine brauchbare Beschreibung für andere natürlich auftretende beliebig geformte Partikeln -wie z.B. Staubpartikeln- bereit. Andererseits stellt die Einbeziehung einer nicht kugelförmigen Geometrie –wie z.B. einfache Sphäroide- bestimmte optische Eigenschaften mit verbesserter Genauigkeit dar. Angesichts dieser Tatsache erweitern wir das LMM durch die Approximation von Sphäroid-Partikeln. Dazu ist es notwendig den Begriff einer zweidimensionalen Größenverteilung einzuführen. Die Inversion einer sehr geringen Anzahl optischer Datenpunkte zur Bestimmung der Form der Größenverteilung ist als ein nichtlineares schlecht gestelltes Problem bekannt. Eine kurze mathematische Analyse wird vorgestellt, die die inhärente Tendenz zu stark oszillierenden Lösungen zeigt. Weiterhin werden Optionen für eine verallgemeinerte Lösung durch Regularisierungsmethoden untersucht und der Grad der Schlechtgestelltheit quantifiziert. Letzteres wird unser Verständnis für die Hauptursache der Instabilität bei den berechneten Lösungsräumen verbessern. Der neue Ansatz ermöglicht es uns, zusätzliche Lidar-Datenpunkte aus Depolarisationsmessungen zu nutzen, die sich aus der Nicht-sphärizität der Partikeln assoziieren. Die Verallgemeinerung des LMMs erhöht erheblich die Komplexität des Problems. Die zugrundeliegende Theorie für die Berechnung der beteiligten optischen Querschnitte (T-Matrix-Ansatz) ist rechnerisch so aufwendig, dass eine Neuberechnung dieser nicht sinnvoll erscheint. Darüber hinaus wird ein zweidimensionales Kollokationsverfahren für die Diskretisierung der Modellgleichung vorgeschlagen. Dieses Verfahren beinhaltet Doppelintegrationen, die wiederum zeitaufwendig sind. Wir überwinden diese Schwierigkeiten durch Verwendung vorgerechneter Datenbanken sowie einer hochentwickelten Retrieval-Software (SphInX: Spheroidal Inversion eXperiments). Diese Software wurde speziell für unseren Zweck entwickelt und ist in der Lage mehrere Datensatzinversionen gleichzeitig durchzuführen und eine große Auswahl von mikrophysikalischen Retrieval-Ausgaben bereitzustellen. Eine hybride Regularisierung in Verbindung mit einem Minimierungsverfahren wird als Grundlage für unsere Algorithmen verwendet. Synthetische Daten-Inversionen werden mit verschiedenen atmosphärischen Szenarien durchgeführt, um die Effizienz verschiedener Regularisierungsmethoden zu untersuchen. Die Lücke in der gegenwärtigen wissenschaftlichen Literatur gewisse Unsicherheiten durch breitgefächerte numerische Fälle bereitzustellen, ist ein Hauptanliegen dieser Arbeit. Motiviert davon werden die am besten geeigneten Verfahren einer gründlichen Analyse in Bezug auf ihr Gesamtverhalten, d.h. Genauigkeit und Stabilität, unterzogen. Der allgemeine Trend der Anfangsgrößenverteilung wird in unseren numerischen Experimenten erfasst. Zusätzlich hängt die Rekonstruktionsqualität vom Datenfehler ab. Darüber hinaus wird die Anzahl der notwendigen Depolarisationspunkte zum ersten Mal aus der Sicht des mikrophysikalischen Parameter-Retrievals erforscht. Abschließend verwenden wir unsere Software für verschiedene Messfälle, was weitere Einblicke für künftige Verbesserungen des Algorithmus gibt. KW - microphysics KW - retrieval KW - lidar KW - aerosols KW - regularization KW - ill-posed KW - inversion KW - Mikrophysik KW - Retrieval KW - Lidar KW - Aerosole KW - Regularisierung KW - schlecht gestellt KW - Inversion Y1 - 2016 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-396528 ER - TY - JOUR A1 - Pornsawad, Pornsarp A1 - Sungcharoen, Parada A1 - Böckmann, Christine T1 - Convergence rate of the modified Landweber method for solving inverse potential problems JF - Mathematics : open access journal N2 - In this paper, we present the convergence rate analysis of the modified Landweber method under logarithmic source condition for nonlinear ill-posed problems. The regularization parameter is chosen according to the discrepancy principle. The reconstructions of the shape of an unknown domain for an inverse potential problem by using the modified Landweber method are exhibited. KW - nonlinear operator KW - regularization KW - modified Landweber method KW - discrepancy principle KW - logarithmic source condition Y1 - 2020 U6 - https://doi.org/10.3390/math8040608 SN - 2227-7390 VL - 8 IS - 4 PB - MDPI CY - Basel ER - TY - GEN A1 - Böckmann, Christine A1 - Ritter, Christoph A1 - Cappelletti, David T1 - Mathematical tool for a closure study of aerosol microphysical property retrieval using lidar and photometer data T2 - IGARSS 2018 - 2018 IEEE International Geoscience and Remote Sensing Symposium N2 - We present a project combining lidar, photometer and particle counter data with a regularization software tool for a closure study of aerosol microphysical property retrieval. In a first step only lidar data are used to retrieve the particle size distribution (PSD). Secondly, photometer data are added, which results in a good consistency of the retrieved PSDs. Finally, those retrieved PSDs may be compared with the measured PSD from a particle counter. The data here were taken in Ny Alesund, Svalbard, as an example. KW - Aerosol KW - Raman lidar KW - photometer KW - inversion KW - regularization KW - particle microphysics Y1 - 2018 SN - 978-1-5386-7150-4 U6 - https://doi.org/10.1109/IGARSS.2018.8518674 SN - 2153-6996 SP - 5575 EP - 5578 PB - IEEE CY - New York ER - TY - JOUR A1 - Pornsawad, Pornsarp A1 - Sapsakul, Nantawan A1 - Böckmann, Christine T1 - A modified asymptotical regularization of nonlinear ill-posed problems JF - Mathematics N2 - In this paper, we investigate the continuous version of modified iterative Runge–Kutta-type methods for nonlinear inverse ill-posed problems proposed in a previous work. The convergence analysis is proved under the tangential cone condition, a modified discrepancy principle, i.e., the stopping time T is a solution of ∥𝐹(𝑥𝛿(𝑇))−𝑦𝛿∥=𝜏𝛿+ for some 𝛿+>𝛿, and an appropriate source condition. We yield the optimal rate of convergence. KW - nonlinear operator KW - regularization KW - discrepancy principle KW - asymptotic method KW - optimal rate Y1 - 2019 U6 - https://doi.org/10.3390/math7050419 SN - 2227-7390 VL - 7 PB - MDPI CY - Basel, Schweiz ET - 5 ER - TY - GEN A1 - Pornsawad, Pornsarp A1 - Sapsakul, Nantawan A1 - Böckmann, Christine T1 - A modified asymptotical regularization of nonlinear ill-posed problems T2 - Zweitveröffentlichungen der Universität Potsdam : Mathematisch-Naturwissenschaftliche Reihe N2 - In this paper, we investigate the continuous version of modified iterative Runge–Kutta-type methods for nonlinear inverse ill-posed problems proposed in a previous work. The convergence analysis is proved under the tangential cone condition, a modified discrepancy principle, i.e., the stopping time T is a solution of ∥𝐹(𝑥𝛿(𝑇))−𝑦𝛿∥=𝜏𝛿+ for some 𝛿+>𝛿, and an appropriate source condition. We yield the optimal rate of convergence. T3 - Zweitveröffentlichungen der Universität Potsdam : Mathematisch-Naturwissenschaftliche Reihe - 1335 KW - nonlinear operator KW - regularization KW - discrepancy principle KW - asymptotic method KW - optimal rate Y1 - 2019 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-473433 SN - 1866-8372 IS - 1335 ER -