@phdthesis{Ludewig2016,
  author    = {Ludewig, Matthias},
  title     = {Path integrals on manifolds with boundary and their asymptotic expansions},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:517-opus4-94387},
  school      = {Universit{\"a}t Potsdam},
  pages     = {146},
  year      = {2016},
  abstract  = {It is "scientific folklore" coming from physical heuristics that solutions to the heat equation on a Riemannian manifold can be represented by a path integral. However, the problem with such path integrals is that they are notoriously ill-defined. One way to make them rigorous (which is often applied in physics) is finite-dimensional approximation, or time-slicing approximation: Given a fine partition of the time interval into small subintervals, one restricts the integration domain to paths that are geodesic on each subinterval of the partition. These finite-dimensional integrals are well-defined, and the (infinite-dimensional) path integral then is defined as the limit of these (suitably normalized) integrals, as the mesh of the partition tends to zero. In this thesis, we show that indeed, solutions to the heat equation on a general compact Riemannian manifold with boundary are given by such time-slicing path integrals. Here we consider the heat equation for general Laplace type operators, acting on sections of a vector bundle. We also obtain similar results for the heat kernel, although in this case, one has to restrict to metrics satisfying a certain smoothness condition at the boundary. One of the most important manipulations one would like to do with path integrals is taking their asymptotic expansions; in the case of the heat kernel, this is the short time asymptotic expansion. In order to use time-slicing approximation here, one needs the approximation to be uniform in the time parameter. We show that this is possible by giving strong error estimates. Finally, we apply these results to obtain short time asymptotic expansions of the heat kernel also in degenerate cases (i.e. at the cut locus). Furthermore, our results allow to relate the asymptotic expansion of the heat kernel to a formal asymptotic expansion of the infinite-dimensional path integral, which gives relations between geometric quantities on the manifold and on the loop space. In particular, we show that the lowest order term in the asymptotic expansion of the heat kernel is essentially given by the Fredholm determinant of the Hessian of the energy functional. We also investigate how this relates to the zeta-regularized determinant of the Jacobi operator along minimizing geodesics.},
  language  = {en}
}
@phdthesis{Lewandowski2019,
  author    = {Lewandowski, Max},
  title     = {Hadamard states for bosonic quantum field theory on globally hyperbolic spacetimes},
  doi       = {10.25932/publishup-43938},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:517-opus4-439381},
  school      = {Universit{\"a}t Potsdam},
  pages     = {v, 69},
  year      = {2019},
  abstract  = {Quantenfeldtheorie auf gekr{\"u}mmten Raumzeiten ist eine semiklassische N{\"a}herung einer Quantentheorie der Gravitation, im Rahmen derer ein Quantenfeld unter dem Einfluss eines klassisch modellierten Gravitationsfeldes, also einer gekr{\"u}mmten Raumzeit, beschrieben wird. Eine der bemerkenswertesten Vorhersagen dieses Ansatzes ist die Erzeugung von Teilchen durch die gekr{\"u}mmte Raumzeit selbst, wie zum Beispiel durch Hawkings Verdampfen schwarzer L{\"o}cher und den Unruh Effekt. Andererseits deuten diese Aspekte bereits an, dass fundamentale Grundpfeiler der Theorie auf dem Minkowskiraum, insbesondere ein ausgezeichneter Vakuumzustand und damit verbunden der Teilchenbegriff, f{\"u}r allgemeine gekr{\"u}mmte Raumzeiten keine sinnvolle Entsprechung besitzen. Gleichermaßen ben{\"o}tigen wir eine alternative Implementierung von Kovarianz in die Theorie, da gekr{\"u}mmte Raumzeiten im Allgemeinen keine nicht-triviale globale Symmetrie aufweisen. Letztere Problematik konnte im Rahmen lokal-kovarianter Quantenfeldtheorie gel{\"o}st werden, wohingegen die Abwesenheit entsprechender Konzepte f{\"u}r Vakuum und Teilchen in diesem allgemeinen Fall inzwischen sogar in Form von no-go-Aussagen manifestiert wurde. Beim algebraischen Ansatz f{\"u}r eine Quantenfeldtheorie werden zun{\"a}chst Observablen eingef{\"u}hrt und erst anschließend Zust{\"a}nde via Zuordnung von Erwartungswerten. Obwohl die Observablen unter physikalischen Gesichtspunkten konstruiert werden, existiert dennoch eine große Anzahl von m{\"o}glichen Zust{\"a}nden, von denen viele, aus physikalischen Blickwinkeln betrachtet, nicht sinnvoll sind. Dieses Konzept von Zust{\"a}nden ist daher noch zu allgemein und bedarf weiterer physikalisch motivierter Einschr{\"a}nkungen. Beispielsweise ist es nat{\"u}rlich, sich im Falle freier Quantenfeldtheorien mit linearen Feldgleichungen auf quasifreie Zust{\"a}nde zu konzentrieren. Dar{\"u}ber hinaus ist die Renormierung von Erwartungswerten f{\"u}r Produkte von Feldern von zentraler Bedeutung. Dies betrifft insbesondere den Energie-Impuls-Tensor, dessen Erwartungswert durch distributionelle Bil{\"o}sungen der Feldgleichungen gegeben ist. Tats{\"a}chlich liefert J. Hadamard Theorie hyperbolischer Differentialgleichungen Bil{\"o}sungen mit festem singul{\"a}ren Anteil, so dass ein geeignetes Renormierungsverfahren definiert werden kann. Die sogenannte Hadamard-Bedingung an Bidistributionen steht f{\"u}r die Forderung einer solchen Singularit{\"a}tenstruktur und sie hat sich etabliert als nat{\"u}rliche Verallgemeinerung der f{\"u}r flache Raumzeiten formulierten Spektralbedingung. Seit Radzikowskis wegweisenden Resultaten l{\"a}sst sie sich außerdem lokal ausdr{\"u}cken, n{\"a}mlich als eine Bedingung an die Wellenfrontenmenge der Bil{\"o}sung. Diese Formulierung schl{\"a}gt eine Br{\"u}cke zu der von Duistermaat und H{\"o}rmander entwickelten mikrolokalen Analysis, die seitdem bei der {\"U}berpr{\"u}fung der Hadamard-Bedingung sowie der Konstruktion von Hadamard Zust{\"a}nden vielfach Verwendung findet und rasante Fortschritte auf diesem Gebiet ausgel{\"o}st hat. Obwohl unverzichtbar f{\"u}r die Analyse der Charakteristiken von Operatoren und ihrer Parametrizen sind die Methoden und Aussagen der mikrolokalen Analysis ungeeignet f{\"u}r die Analyse von nicht-singul{\"a}ren Strukturen und zentrale Aussagen sind typischerweise bis auf glatte Anteile formuliert. Beispielsweise lassen sich aus Radzikowskis Resultaten nahezu direkt Existenzaussagen und sogar ein konkretes Konstruktionsschema f{\"u}r Hadamard Zust{\"a}nde ableiten, die {\"u}brigen Eigenschaften (Bil{\"o}sung, Kausalit{\"a}t, Positivit{\"a}t) k{\"o}nnen jedoch auf diesem Wege nur modulo glatte Funktionen gezeigt werden. Es ist das Ziel dieser Dissertation, diesen Ansatz f{\"u}r lineare Wellenoperatoren auf Schnitten in Vektorb{\"u}ndeln {\"u}ber global-hyperbolischen Lorentz-Mannigfaltigkeiten zu vollenden und, ausgehend von einer lokalen Hadamard Reihe, Hadamard Zust{\"a}nde zu konstruieren. Beruhend auf Wightmans L{\"o}sung f{\"u}r die d'Alembert-Gleichung auf dem Minkowski-Raum und der Herleitung der avancierten und retardierten Fundamentall{\"o}sung konstruieren wir lokal Parametrizen in Form von Hadamard-Reihen und f{\"u}gen sie zu globalen Bil{\"o}sungen zusammen. Diese besitzen dann die Hadamard-Eigenschaft und wir zeigen anschließend, dass glatte Bischnitte existieren, die addiert werden k{\"o}nnen, so dass die verbleibenden Bedingungen erf{\"u}llt sind.},
  language  = {en}
}