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Die Erweiterung des natürlichen Zahlbereichs um die positiven Bruchzahlen und die negativen ganzen Zahlen geht für Schülerinnen und Schüler mit großen gedanklichen Hürden und einem Umbruch bis dahin aufgebauter Grundvorstellungen einher. Diese Masterarbeit trägt wesentliche Veränderungen auf der Vorstellungs- und Darstellungsebene für beide Zahlbereiche zusammen und setzt sich mit den kognitiven Herausforderungen für Lernende auseinander. Auf der Grundlage einer Diskussion traditioneller sowie alternativer Lehrgänge der Zahlbereichserweiterung wird eine Unterrichtskonzeption für den Mathematikunterricht entwickelt, die eine parallele Einführung der Bruchzahlen und der negativen Zahlen vorschlägt. Die Empfehlungen der Unterrichtkonzeption erstrecken sich über den Zeitraum von der ersten bis zur siebten Klassenstufe, was der behutsamen Weiterentwicklung und Modifikation des Zahlbegriffs viel Zeit einräumt, und enthalten auch didaktische Überlegungen sowie konkrete Hinweise zu möglichen Aufgabenformaten.
Das Professionswissen von Lehrkräften gehört zu den bedeutendsten Stellschrauben der Bildung an den Schulen. Seine Kernbereiche sind fachwissenschaftliches Wissen und fachdidaktisches Wissen, welche hauptsächlich in der universitären Ausbildung erworben werden.
Die vorliegende Arbeit verfolgt das Ziel, einen Beitrag zur stetigen Verbesserung und Sicherung der Qualität der Lehrerausbildung an der Universität Potsdam zu leisten, und stellt die Frage: Über welches fachwissenschaftliche und fachdidaktische Wissen verfügen die Lehramtsstudierenden im Fach Mathematik nach Besuch der Lehrveranstaltung Arithmetik und ihre Didaktik I und II? Untersucht wurde exemplarisch das Wissen der Lehramtsstudierenden im Bereich der rationalen Zahlen mit dem Fokus auf dem Verständnis der Dichte von Bruchzahlen. Die Dichte stellt eines der am schwierigsten zu erwerbenden Konzepte im Bruchzahlerwerb dar und fordert ein konzeptionelles Umdenken sowie die Reorganisation bereits erworbener Vorstellungen. Um die Forschungsfrage zu beantworten, wurden in einer qualitativen Studie 112 Lehramtsstudierende hinsichtlich ihres Wissens zu dem Thema Dichte von rationalen Zahlen schriftlich getestet. Um Denkprozesse der Studierenden zu verstehen und Denkhürden zu identifizieren, wurden zusätzlich qualitative Interviews in Form von Gruppendiskussionen geführt. Die Daten wurden mithilfe der Qualitativen Inhaltsanalyse computergestützt ausgewertet.
Es zeigte sich eine große Bandbreite verschiedener Wissensbestände. Die Ergebnisse im fachdidaktischen Wissen blieben hinter den Ergebnissen im fachwissenschaftlichen Wissen zurück. Am schwierigsten fiel den Studierenden die Gegenüberstellung von wesentlichen Eigenschaften der rationalen und natürlichen Zahlen auf der metakognitiven Ebene. Neben positiven Ergebnissen, welche für die Effektivität der Konzeption der Lehrveranstaltung sprechen, zeigten sich diverse Denkhürden. Defizite im Fachwissen wie ein mangelndes Verständnis von äquivalenten Brüchen oder Fehler im Erweitern von Brüchen enthüllen unzulänglich ausgebildete Grundvorstellungen im Bereich der rationalen Zahlen seitens der Studierenden. Schwierigkeiten in den fachdidaktischen Aufgaben wie die Formulierung einer kindgerechten Erklärung oder die anschauliche Darstellung des mathematischen Inhalts auf bildlicher Ebene lassen sich ursächlich auf die Defizite im Fachwissen zurückführen. Zusätzlich stellten sich Einschränkungen seitens der Studierenden in der Motivation und Relevanzzuschreibung heraus.
Die Ergebnisse führen zu gezielten Änderungsvorschlägen bezüglich der Konzeption der Lehrveranstaltung. Es wird empfohlen, verschiedene Lernangebote wie Hausaufgaben und wöchentliche Selbsttests zur individuellen Lernzielkontrolle für alle Teilnehmenden der Lehrveranstaltung verpflichtend zu gestalten und motivationale Aspekte verstärkt aufzugreifen. Zusätzlich wird der Ausbau von konkreten Übungen auf der enaktiven Ebene empfohlen, um den Aufbau von notwendigen Grundvorstellungen im Bereich der rationalen Zahlen zu fördern und somit Denkhürden gezielt zu begegnen.