Markus Hecher

• In the last decades, there was a notable progress in solving the well-known Boolean satisfiability (Sat) problem, which can be witnessed by powerful Sat solvers. One of the reasons why these solvers are so fast are structural properties of instances that are utilized by the solver’s interna. This thesis deals with the well-studied structural property treewidth, which measures the closeness of an instance to being a tree. In fact, there are many problems parameterized by treewidth that are solvable in polynomial time in the instance size when parameterized by treewidth. In this work, we study advanced treewidth-based methods and tools for problems in knowledge representation and reasoning (KR). Thereby, we provide means to establish precise runtime results (upper bounds) for canonical problems relevant to KR. Then, we present a new type of problem reduction, which we call decomposition-guided (DG) that allows us to precisely monitor the treewidth when reducing from one problem to another problem. This new reduction type will be theIn the last decades, there was a notable progress in solving the well-known Boolean satisfiability (Sat) problem, which can be witnessed by powerful Sat solvers. One of the reasons why these solvers are so fast are structural properties of instances that are utilized by the solver’s interna. This thesis deals with the well-studied structural property treewidth, which measures the closeness of an instance to being a tree. In fact, there are many problems parameterized by treewidth that are solvable in polynomial time in the instance size when parameterized by treewidth. In this work, we study advanced treewidth-based methods and tools for problems in knowledge representation and reasoning (KR). Thereby, we provide means to establish precise runtime results (upper bounds) for canonical problems relevant to KR. Then, we present a new type of problem reduction, which we call decomposition-guided (DG) that allows us to precisely monitor the treewidth when reducing from one problem to another problem. This new reduction type will be the basis for a long-open lower bound result for quantified Boolean formulas and allows us to design a new methodology for establishing runtime lower bounds for problems parameterized by treewidth. Finally, despite these lower bounds, we provide an efficient implementation of algorithms that adhere to treewidth. Our approach finds suitable abstractions of instances, which are subsequently refined in a recursive fashion, and it uses Sat solvers for solving subproblems. It turns out that our resulting solver is quite competitive for two canonical counting problems related to Sat.…
• In den letzten Jahrzehnten konnte ein beachtlicher Fortschritt im Bereich der Aussagenlogik verzeichnet werden. Dieser äußerte sich dadurch, dass für das wichtigste Problem in diesem Bereich, genannt „Sat“, welches sich mit der Fragestellung befasst, ob eine gegebene aussagenlogische Formel erfüllbar ist oder nicht, überwältigend schnelle Computerprogramme („Solver“) entwickelt werden konnten. Interessanterweise liefern diese Solver eine beeindruckende Leistung, weil sie oft selbst Probleminstanzen mit mehreren Millionen von Variablen spielend leicht lösen können. Auf der anderen Seite jedoch glaubt man in der Wissenschaft weitgehend an die Exponentialzeithypothese (ETH), welche besagt, dass man im schlimmsten Fall für das Lösen einer Instanz in diesem Bereich exponentielle Laufzeit in der Anzahl der Variablen benötigt. Dieser vermeintliche Widerspruch ist noch immer nicht vollständig geklärt, denn wahrscheinlich gibt es viele ineinandergreifende Gründe für die Schnelligkeit aktueller Sat Solver. Einer dieser Gründe befasst sichIn den letzten Jahrzehnten konnte ein beachtlicher Fortschritt im Bereich der Aussagenlogik verzeichnet werden. Dieser äußerte sich dadurch, dass für das wichtigste Problem in diesem Bereich, genannt „Sat“, welches sich mit der Fragestellung befasst, ob eine gegebene aussagenlogische Formel erfüllbar ist oder nicht, überwältigend schnelle Computerprogramme („Solver“) entwickelt werden konnten. Interessanterweise liefern diese Solver eine beeindruckende Leistung, weil sie oft selbst Probleminstanzen mit mehreren Millionen von Variablen spielend leicht lösen können. Auf der anderen Seite jedoch glaubt man in der Wissenschaft weitgehend an die Exponentialzeithypothese (ETH), welche besagt, dass man im schlimmsten Fall für das Lösen einer Instanz in diesem Bereich exponentielle Laufzeit in der Anzahl der Variablen benötigt. Dieser vermeintliche Widerspruch ist noch immer nicht vollständig geklärt, denn wahrscheinlich gibt es viele ineinandergreifende Gründe für die Schnelligkeit aktueller Sat Solver. Einer dieser Gründe befasst sich weitgehend mit strukturellen Eigenschaften von Probleminstanzen, die wohl indirekt und intern von diesen Solvern ausgenützt werden. Diese Dissertation beschäftigt sich mit solchen strukturellen Eigenschaften, nämlich mit der sogenannten Baumweite. Die Baumweite ist sehr gut erforscht und versucht zu messen, wie groß der Abstand von Probleminstanzen zu Bäumen ist (Baumnähe). Allerdings ist dieser Parameter sehr generisch und bei Weitem nicht auf Problemstellungen der Aussagenlogik beschränkt. Tatsächlich gibt es viele weitere Probleme, die parametrisiert mit Baumweite in polynomieller Zeit gelöst werden können. Interessanterweise gibt es auch viele Probleme in der Wissensrepräsentation (KR), von denen man davon ausgeht, dass sie härter sind als das Problem Sat, die bei beschränkter Baumweite in polynomieller Zeit gelöst werden können. Ein prominentes Beispiel solcher Probleme ist das Problem QSat, welches sich für die Gültigkeit einer gegebenen quantifizierten, aussagenlogischen Formel (QBF), das sind aussagenlogische Formeln, wo gewisse Variablen existenziell bzw. universell quantifiziert werden können, befasst. Bemerkenswerterweise wird allerdings auch im Zusammenhang mit Baumweite, ähnlich zu Methoden der klassischen Komplexitätstheorie, die tatsächliche Komplexität (Härte) solcher Problemen quantifiziert, wo man die exakte Laufzeitabhängigkeit beim Problemlösen in der Baumweite (Stufe der Exponentialität) beschreibt. Diese Arbeit befasst sich mit fortgeschrittenen, Baumweite-basierenden Methoden und Werkzeugen für Probleme der Wissensrepräsentation und künstlichen Intelligenz (AI). Dabei präsentieren wir Methoden, um präzise Laufzeitresultate (obere Schranken) für prominente Fragmente der Antwortmengenprogrammierung (ASP), welche ein kanonisches Paradigma zum Lösen von Problemen der Wissensrepräsentation darstellt, zu erhalten. Unsere Resultate basieren auf dem Konzept der dynamischen Programmierung, die angeleitet durch eine sogenannte Baumzerlegung und ähnlich dem Prinzip „Teile-und-herrsche“ funktioniert. Solch eine Baumzerlegung ist eine konkrete, strukturelle Zerlegung einer Probleminstanz, die sich stark an der Baumweite orientiert. Des Weiteren präsentieren wir einen neuen Typ von Problemreduktion, den wir als „decomposition-guided (DG)“, also „zerlegungsangeleitet“, bezeichnen. Dieser Reduktionstyp erlaubt es, Baumweiteerhöhungen und -verringerungen während einer Problemreduktion von einem bestimmten Problem zu einem anderen Problem präzise zu untersuchen und zu kontrollieren. Zusätzlich ist dieser neue Reduktionstyp die Basis, um ein lange offen gebliebenes Resultat betreffend quantifizierter, aussagenlogischer Formeln zu zeigen. Tatsächlich sind wir damit in der Lage, präzise untere Schranken, unter der Annahme der Exponentialzeithypothese, für das Problem QSat bei beschränkter Baumweite zu zeigen. Genauer gesagt können wir mit diesem Konzept der DG Reduktionen zeigen, dass das Problem QSat, beschränkt auf Quantifizierungsrang ` und parametrisiert mit Baumweite k, im Allgemeinen nicht besser als in einer Laufzeit, die `-fach exponentiell in der Baumweite und polynomiell in der Instanzgröße ist1, lösen. Dieses Resultat hebt auf nicht-inkrementelle Weise ein bekanntes Ergebnis für Quantifizierungsrang 2 auf beliebige Quantifizierungsränge, allerdings impliziert es auch sehr viele weitere Konsequenzen. Das Resultat über die untere Schranke des Problems QSat erlaubt es, eine neue Methodologie zum Zeigen unterer Schranken einer Vielzahl von Problemen der Wissensrepräsentation und künstlichen Intelligenz, zu etablieren. In weiterer Konsequenz können wir damit auch zeigen, dass die oberen Schranken sowie die DG Reduktionen dieser Arbeit unter der Hypothese ETH „eng“ sind, d.h., sie können wahrscheinlich nicht mehr signifikant verbessert werden. Die Ergebnisse betreffend der unteren Schranken für QSat und die dazugehörige Methodologie konstituieren in gewisser Weise eine Hierarchie von über Baumweite parametrisierte Laufzeitklassen. Diese Laufzeitklassen können verwendet werden, um die Härte von Problemen für das Ausnützen von Baumweite zu quantifizieren und diese entsprechend ihrer Laufzeitabhängigkeit bezüglich Baumweite zu kategorisieren. Schlussendlich und trotz der genannten Resultate betreffend unterer Schranken sind wir im Stande, eine effiziente Implementierung von Algorithmen basierend auf dynamischer Programmierung, die entlang einer Baumzerlegung angeleitet wird, zur Verfügung zu stellen. Dabei funktioniert unser Ansatz dahingehend, indem er probiert, passende Abstraktionen von Instanzen zu finden, die dann im Endeffekt sukzessive und auf rekursive Art und Weise verfeinert und verbessert werden. Inspiriert durch die enorme Effizienz und Effektivität der Sat Solver, ist unsere Implementierung ein hybrider Ansatz, weil sie den starken Gebrauch von Sat Solvern zum Lösen diverser Subprobleme, die während der dynamischen Programmierung auftreten, pflegt. Dabei stellt sich heraus, dass der resultierende Solver unserer Implementierung im Bezug auf Effizienz beim Lösen von zwei kanonischen, Sat-verwandten Zählproblemen mit bestehenden Solvern locker mithalten kann. Tatsächlich sind wir im Stande, Instanzen, wo die oberen Schranken von Baumweite 260 übersteigen, zu lösen. Diese überraschende Beobachtung zeigt daher, dass Baumweite ein wichtiger Parameter sein könnte, der wohl in modernen Designs von Solvern berücksichtigt werden sollte.…