Matthias Ohliger

• We investigate properties of quantum mechanical systems in the light of quantum information theory. We put an emphasize on systems with infinite-dimensional Hilbert spaces, so-called continuous-variable systems'', which are needed to describe quantum optics beyond the single photon regime and other Bosonic quantum systems. We present methods to obtain a description of such systems from a series of measurements in an efficient manner and demonstrate the performance in realistic situations by means of numerical simulations. We consider both unconditional quantum state tomography, which is applicable to arbitrary systems, and tomography of matrix product states. The latter allows for the tomography of many-body systems because the necessary number of measurements scales merely polynomially with the particle number, compared to an exponential scaling in the generic case. We also present a method to realize such a tomography scheme for a system of ultra-cold atoms in optical lattices. Furthermore, we discuss in detail the possibilities andWe investigate properties of quantum mechanical systems in the light of quantum information theory. We put an emphasize on systems with infinite-dimensional Hilbert spaces, so-called continuous-variable systems'', which are needed to describe quantum optics beyond the single photon regime and other Bosonic quantum systems. We present methods to obtain a description of such systems from a series of measurements in an efficient manner and demonstrate the performance in realistic situations by means of numerical simulations. We consider both unconditional quantum state tomography, which is applicable to arbitrary systems, and tomography of matrix product states. The latter allows for the tomography of many-body systems because the necessary number of measurements scales merely polynomially with the particle number, compared to an exponential scaling in the generic case. We also present a method to realize such a tomography scheme for a system of ultra-cold atoms in optical lattices. Furthermore, we discuss in detail the possibilities and limitations of using continuous-variable systems for measurement-based quantum computing. We will see that the distinction between Gaussian and non-Gaussian quantum states and measurements plays an crucial role. We also provide an algorithm to solve the large and interesting class of naturally occurring Hamiltonians, namely frustration free ones, efficiently and use this insight to obtain a simple approximation method for slightly frustrated systems. To achieve this goals, we make use of, among various other techniques, the well developed theory of matrix product states, tensor networks, semi-definite programming, and matrix analysis.…
• Die stürmische Entwicklung der Quanteninformationstheorie in den letzten Jahren brachte einen neuen Blickwinkel auf quantenmechanische Probleme. Insbesondere die fundamentale Eigenschaft der Verschränkung von Quantenzuständen spielt hierbei eine Schlüsselrolle. Einstein, Podolsky und Rosen haben 1935 versucht die Unvollständigkeit der Quantenmechanik zu demonstrieren, indem sie zeigten, dass sie keine lokale, realistische Therie ist und der Ausgang einer Messung an einem Ort von Messungen abhängen kann, die an beliebig weit entfernten Orten gemacht wurden. John Bell stellte 1964 eine, später nach ihm benannte, Ungleichung auf, die eine Grenze an mögliche Korrelationen von Messergebnissen in lokalen, realistischen Theorien gibt. Die Vorhersagen der Quatenmechanik verletzen diese Ungleichung, eine Tatsache, die 1981 von Alain Aspect und anderen auch experimentell bestätigt wurde. Solche nicht-lokalen Quantenzustände werden verschränkt'' genannt. In neuerer Zeit wurde Verschränkung nicht mehr nur als mysteriöse Eigenschaft derDie stürmische Entwicklung der Quanteninformationstheorie in den letzten Jahren brachte einen neuen Blickwinkel auf quantenmechanische Probleme. Insbesondere die fundamentale Eigenschaft der Verschränkung von Quantenzuständen spielt hierbei eine Schlüsselrolle. Einstein, Podolsky und Rosen haben 1935 versucht die Unvollständigkeit der Quantenmechanik zu demonstrieren, indem sie zeigten, dass sie keine lokale, realistische Therie ist und der Ausgang einer Messung an einem Ort von Messungen abhängen kann, die an beliebig weit entfernten Orten gemacht wurden. John Bell stellte 1964 eine, später nach ihm benannte, Ungleichung auf, die eine Grenze an mögliche Korrelationen von Messergebnissen in lokalen, realistischen Theorien gibt. Die Vorhersagen der Quatenmechanik verletzen diese Ungleichung, eine Tatsache, die 1981 von Alain Aspect und anderen auch experimentell bestätigt wurde. Solche nicht-lokalen Quantenzustände werden verschränkt'' genannt. In neuerer Zeit wurde Verschränkung nicht mehr nur als mysteriöse Eigenschaft der Quantenmechanik sondern auch als Resource für Aufgaben der Informationsverarbeitung gesehen. Ein Computer, der sich diese Eigenschaften der Quantenmechanik zu nutze macht, ein sogenannter Quantencomputer, würde es erlauben gewisse Aufgaben schnell zu lösen für die normale'' Computer zu lange brauchen. Das wichtigste Beispiel hierfür ist die Zerlegung von großen Zahlen in ihre Primfaktoren, für die Shor 1993 einen Quantenalgorithmus präsentierte. In dieser Arbeit haben wir uns mit den Eigenschaften von Quantensystemen, die durch sogenannte kontinuierliche Variablen beschrieben werden, beschäftigt. Diese sind nicht nur theoretisch sonder auch experimentell von besonderem Interesse, da sie quantenoptische Systeme beschreiben, die sich verhältnismäßig leicht im Labor präparieren, manipulieren und messen lassen. Wenn man eine vollständige Beschreibung eines Quantenzustandes erhalten will, braucht man, auf Grund der Heisenberg'schen Unschärferelation, mehrere Kopien von ihm an denen man dann Messungen durchführt. Wir haben eine Methode, compressed-sensing genannt, eingeführt um die Anzahl der nötigen Messungen substantiell zu reduzieren. Wir haben die theoretische Effizienz dieser Methode bewiesen und durch numerische Simulationen auch ihre Praktikabilität demonstriert. Desweiteren haben wir beschrieben, wie man compressed-sensing für die schon erwähnten optischen Systemen sowie für ultrakalte Atome experimentell realisieren kann. Ein zweites Hauptthema dieser Arbeit war messbasiertes Quantenrechnen. Das Standardmodell des Quantenrechnens basiert auf sogenannten Gattern, die eine genaue Kontrolle der Wechselwirkung zwischen den Bestandteilen des Quantencomputers erfordern. Messbasiertes Quantenrechnen hingegen kommt mit der Präparation eines geeigneten Quantenzustands, Resource genannt, gefolgt von einfachen Messungen auf diesem Zustand aus. Wir haben gezeigt, dass Systeme mit kontinuierlichen Variablen eine vorteilhafte Realisierung eines Quantencomputers in diesem Paradigma erlauben, es jedoch auch wichtige Beschränkungen gibt, die kompliziertere Zustandspräparationen und Messungen nötig machen.…