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## Phase Space Reconstruction using the frequency domain : a generalization of actual methods

• Phase Space Reconstruction is a method that allows to reconstruct the phase space of a system using only an one dimensional time series as input. It can be used for calculating Lyapunov-exponents and detecting chaos. It helps to understand complex dynamics and their behavior. And it can reproduce datasets which were not measured. There are many different methods which produce correct reconstructions such as time-delay, Hilbert-transformation, derivation and integration. The most used one is time-delay but all methods have special properties which are useful in different situations. Hence, every reconstruction method has some situations where it is the best choice. Looking at all these different methods the questions are: Why can all these different looking methods be used for the same purpose? Is there any connection between all these functions? The answer is found in the frequency domain : Performing a Fourier transformation all these methods getting a similar shape: Every presented reconstruction method can be described as aPhase Space Reconstruction is a method that allows to reconstruct the phase space of a system using only an one dimensional time series as input. It can be used for calculating Lyapunov-exponents and detecting chaos. It helps to understand complex dynamics and their behavior. And it can reproduce datasets which were not measured. There are many different methods which produce correct reconstructions such as time-delay, Hilbert-transformation, derivation and integration. The most used one is time-delay but all methods have special properties which are useful in different situations. Hence, every reconstruction method has some situations where it is the best choice. Looking at all these different methods the questions are: Why can all these different looking methods be used for the same purpose? Is there any connection between all these functions? The answer is found in the frequency domain : Performing a Fourier transformation all these methods getting a similar shape: Every presented reconstruction method can be described as a multiplication in the frequency domain with a frequency-depending reconstruction function. This structure is also known as a filter. From this point of view every reconstructed dimension can be seen as a filtered version of the measured time series. It contains the original data but applies just a new focus: Some parts are amplified and other parts are reduced. Furthermore I show, that not every function can be used for reconstruction. In the thesis three characteristics are identified, which are mandatory for the reconstruction function. Under consideration of these restrictions one gets a whole bunch of new reconstruction functions. So it is possible to reduce noise within the reconstruction process itself or to use some advantages of already known reconstructions methods while suppressing unwanted characteristics of it.
• Attraktorrekonstruktion („Phase Space Reconstruction“) ist eine Technik, die es ermöglicht, aus einer einzelnen Zeitreihe den vollständigen Phasenraum eines Systems zu rekonstruieren und somit Rückschlüsse auf topologische Eigenschaften dieses dynamischen Systems zu ziehen. Sie findet Verwendung in der Bestimmung von Lyapunov-Exponenten und zur Reproduktion von unbeobachteten Systemgrößen. Es gibt viele verschiedene Methoden zur Attraktorrekonstruktion wie z.B. die Time-Delay-Methode or Rekonstruktion durch Ableitung, Integration oder mithilfe einer Hilbert-Transformation. Zumeist wird der Time-Delay-Ansatz verwendet, es gibt jedoch auch diverse Problemstellungen, in welchen die alternativen Methoden bessere Ergebnisse liefern. Die Kernfragen, die beim Vergleich dieser Methoden entsteht, sind: Wie kommt es, dass alle Ansätze, trotz ihrer teilweise sehr unterschiedlichen Struktur, denselben Zweck erfüllen? Gibt es Übereinstimmungen zwischen all diesen Methoden? Die Antwort lässt sich im Frequenzraum finden: Nach einerAttraktorrekonstruktion („Phase Space Reconstruction“) ist eine Technik, die es ermöglicht, aus einer einzelnen Zeitreihe den vollständigen Phasenraum eines Systems zu rekonstruieren und somit Rückschlüsse auf topologische Eigenschaften dieses dynamischen Systems zu ziehen. Sie findet Verwendung in der Bestimmung von Lyapunov-Exponenten und zur Reproduktion von unbeobachteten Systemgrößen. Es gibt viele verschiedene Methoden zur Attraktorrekonstruktion wie z.B. die Time-Delay-Methode or Rekonstruktion durch Ableitung, Integration oder mithilfe einer Hilbert-Transformation. Zumeist wird der Time-Delay-Ansatz verwendet, es gibt jedoch auch diverse Problemstellungen, in welchen die alternativen Methoden bessere Ergebnisse liefern. Die Kernfragen, die beim Vergleich dieser Methoden entsteht, sind: Wie kommt es, dass alle Ansätze, trotz ihrer teilweise sehr unterschiedlichen Struktur, denselben Zweck erfüllen? Gibt es Übereinstimmungen zwischen all diesen Methoden? Die Antwort lässt sich im Frequenzraum finden: Nach einer Fourier-Transformation besitzen alle genannten Methoden plötzlich eine sehr ähnliche Struktur. Jede Methode transformiert sich im Frequenzraum zu einer einfachen Multiplikation des Eingangssignals mit einer frequenzabhängigen Rekonstruktionsfunktion. Diese Struktur ist in der Datenanalyse auch bekannt als Filter. Aus dieser Perspektive lässt sich jede Rekonstruktionsdimension als gefilterte Zeitreihe der ursprünglichen Zeitreihe interpretieren: Sie enthält den Originaldatensatz, allerdings mit einem verschobenen Fokus: Einige Eigenschaften der Originalzeitreihe werden unterdrückt, während andere Teile verstärkt wiedergegeben werden. Des weiteren zeige ich in der Diplomarbeit, dass nicht jede beliebige Funktion im Frequenzraum zur Rekonstruktion verwendet werden kann. Ich stelle drei Eigenschaften vor, welche jede Rekonstruktionsfunktion erfüllen muss. Unter Beachtung dieser Bedingungen ergeben sich nun diverse Möglichkeiten für neue Rekonstruktionsfunktionen. So ist es z.B. möglich gleichzeitig mit der Rekonstruktion das Ursprungssignal auch zu filtern, oder man kann bereits bestehende Rekonstruktionsfunktionen so abwandeln, dass unerwünschte Nebeneffekte der Rekonstruktion abgemildert oder gar ganz unterdrückt werden.