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The role of trapping in black hole spacetimes

Über die Rolle gefangener lichtartiger Kurven in Raumzeiten mit Schwarzen Löchern

  • In the here presented work we discuss a series of results that are all in one way or another connected to the phenomenon of trapping in black hole spacetimes. First we present a comprehensive review of the Kerr-Newman-Taub-NUT-de-Sitter family of black hole spacetimes and their most important properties. From there we go into a detailed analysis of the bahaviour of null geodesics in the exterior region of a sub-extremal Kerr spacetime. We show that most well known fundamental properties of null geodesics can be represented in one plot. In particular, one can see immediately that the ergoregion and trapping are separated in phase space. We then consider the sets of future/past trapped null geodesics in the exterior region of a sub-extremal Kerr-Newman-Taub-NUT spacetime. We show that from the point of view of any timelike observer outside of such a black hole, trapping can be understood as two smooth sets of spacelike directions on the celestial sphere of the observer. Therefore the topological structure of the trapped set on theIn the here presented work we discuss a series of results that are all in one way or another connected to the phenomenon of trapping in black hole spacetimes. First we present a comprehensive review of the Kerr-Newman-Taub-NUT-de-Sitter family of black hole spacetimes and their most important properties. From there we go into a detailed analysis of the bahaviour of null geodesics in the exterior region of a sub-extremal Kerr spacetime. We show that most well known fundamental properties of null geodesics can be represented in one plot. In particular, one can see immediately that the ergoregion and trapping are separated in phase space. We then consider the sets of future/past trapped null geodesics in the exterior region of a sub-extremal Kerr-Newman-Taub-NUT spacetime. We show that from the point of view of any timelike observer outside of such a black hole, trapping can be understood as two smooth sets of spacelike directions on the celestial sphere of the observer. Therefore the topological structure of the trapped set on the celestial sphere of any observer is identical to that in Schwarzschild. We discuss how this is relevant to the black hole stability problem. In a further development of these observations we introduce the notion of what it means for the shadow of two observers to be degenerate. We show that, away from the axis of symmetry, no continuous degeneration exists between the shadows of observers at any point in the exterior region of any Kerr-Newman black hole spacetime of unit mass. Therefore, except possibly for discrete changes, an observer can, by measuring the black holes shadow, determine the angular momentum and the charge of the black hole under observation, as well as the observer's radial position and angle of elevation above the equatorial plane. Furthermore, his/her relative velocity compared to a standard observer can also be measured. On the other hand, the black hole shadow does not allow for a full parameter resolution in the case of a Kerr-Newman-Taub-NUT black hole, as a continuous degeneration relating specific angular momentum, electric charge, NUT charge and elevation angle exists in this case. We then use the celestial sphere to show that trapping is a generic feature of any black hole spacetime. In the last chapter we then prove a generalization of the mode stability result of Whiting (1989) for the Teukolsky equation for the case of real frequencies. The main result of the last chapter states that a separated solution of the Teukolsky equation governing massless test fields on the Kerr spacetime, which is purely outgoing at infinity, and purely ingoing at the horizon, must vanish. This has the consequence, that for real frequencies, there are linearly independent fundamental solutions of the radial Teukolsky equation which are purely ingoing at the horizon, and purely outgoing at infinity, respectively. This fact yields a representation formula for solutions of the inhomogenous Teukolsky equation, and was recently used by Shlapentokh-Rothman (2015) for the scalar wave equation.show moreshow less
  • In Newtons Gravitationstheorie bewegt sich Licht auf geraden Linien durch den Raum. Entsprechend beeinflussen Massen den Verlauf von Lichtstrahlen nicht. In Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie führt die Präsenz von Massen dazu, dass sich die Raumzeit, sprich das Koordinatensystem für alle physikalischen Vorgänge, verkrümmt. Da das Licht immer den kürzesten Weg nimmt, wird es nun auch abgelenkt wenn es nahe an einem Körper mit grosser Masse vorbeikommt. Der Nachweis der Lichtablenkung durch die Masse der Sonne bei einer Sonnenfinsternis durch Eddington 1919 war der erste direkte Nachweis, dass Einstein mit seiner Allgemeinen Relativitätstheorie richtig liegt. Eine der erstaunlichsten Vorhersagen aus Einsteins Relativitätstheorie ist die Existenz von Schwarzen Löchern. Es wird gemeinhin angenommen, dass Schwarzen Löcher die dichtesten Objekte sind, welche im Universum existieren können. Ein Schwarzes Loch ist eine Raumzeit, die so stark verkrümmt ist, dass ein Bereich existiert aus welchem nicht einmal mehr Licht entfliehenIn Newtons Gravitationstheorie bewegt sich Licht auf geraden Linien durch den Raum. Entsprechend beeinflussen Massen den Verlauf von Lichtstrahlen nicht. In Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie führt die Präsenz von Massen dazu, dass sich die Raumzeit, sprich das Koordinatensystem für alle physikalischen Vorgänge, verkrümmt. Da das Licht immer den kürzesten Weg nimmt, wird es nun auch abgelenkt wenn es nahe an einem Körper mit grosser Masse vorbeikommt. Der Nachweis der Lichtablenkung durch die Masse der Sonne bei einer Sonnenfinsternis durch Eddington 1919 war der erste direkte Nachweis, dass Einstein mit seiner Allgemeinen Relativitätstheorie richtig liegt. Eine der erstaunlichsten Vorhersagen aus Einsteins Relativitätstheorie ist die Existenz von Schwarzen Löchern. Es wird gemeinhin angenommen, dass Schwarzen Löcher die dichtesten Objekte sind, welche im Universum existieren können. Ein Schwarzes Loch ist eine Raumzeit, die so stark verkrümmt ist, dass ein Bereich existiert aus welchem nicht einmal mehr Licht entfliehen kann. Die Grenze dieses Bereiches bezeichnet man als Ereignishorizont. Beobachter, welche den Ereignishorizont überqueren, können danach nicht mehr mit Beobachtern ausserhalb kommunizieren. Die Krümmung der Raumzeit in der Nähe des Ereignishorizontes ist so stark, dass sehr gewisse Lichtstrahlen, ähnlich der Planeten im Sonnensystem, auf Kreisbahnen bewegen. Das heisst, dass das Licht weder ins Schwarze Loch fällt, noch ins unendliche davon läuft. Die Bahn solcher Lichtstrahlen bezeichnet man als gefangene lichtartige Kurven. Solche Kurven existieren nur in einem beschränkten Bereich in der Nähe des Ereignishorizontes. Allerdings ist es an jedem Ort der Raumzeit möglich, lichtartige Kurven durch diesen Punkt zu finden, welche sich in der Zukunft einer gefangenen lichtartigen Kurve beliebig annähern und weder ins Schwarze Loch fallen noch ins unendliche davon laufen. Die Gesamtheit aller möglichen Lichtstrahlen durch einen Punkt kann durch eine Kugel, der Himmelssphäre des Beobachters, bestehend aus allen möglichen Raumrichtungen beschrieben werden. In unserer Arbeit zeigen wir, dass die Strahlen, welche sich in der Zukunft einer gefangenen lichtartigen Kurve annähern, die Himmelssphäre in zwei Bereiche unterteilt. Der eine Teil besteht aus jenen Richtungen, in welche der Lichtstrahl im Schwarzen Loch endet, der andere Teil aus jenen Richtungen in welche der Lichtstrahl ins unendliche davon läuft. Die Richtungen in welcher sich die Lichtstrahlen in der Zukunft einer gefangenen lichtartigen Kurve annähern bilden eine geschlossene Kurve auf der Himmelssphäre. Diese Kurve, zusammen mit den Richtungen unter welchen das Licht im Schwarzen Loch endet, bilden den Schatten des Schwarzen Loches auf der Himmelssphäre des Beobachters. Wir konnten zeigen, dass die Form dieses Schattens Rückschlüsse auf die physikalischen Parameter, wie Ladung und Drehmoment des Schwarzen Loches, sowie die Distanz zwischen Beobachter und Schwarzem Loch zulässt. Ausserdem haben wir gezeigt, dass für masselose Felder (Skalarfelder, elektromagnetische Felder, linearisierte Gravitation) auf Raumzeiten mit einem rotierenden Schwarzen Loch, die sogenannte Modenstabillität gilt. Modenlösungen für partielle Differentialgleichungen sind Lösungen, welche ein Produkt von Lösungen in einzelner Koordinatenrichtungen sind. Modenstäbilität bedeutet nun, dass es zu diesen Feldgleichungen, auf diesen Raumzeiten keine Modenlösungen mit realen Frequenzen gibt, welche nur Energie aus der Raumzeit hinaustragen.show moreshow less

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Metadaten
Author:Claudio Francesco PaganiniORCiD
URN:urn:nbn:de:kobv:517-opus4-414686
Advisor:Lars Andersson
Document Type:Doctoral Thesis
Language:English
Year of first Publication:2018
Year of Completion:2018
Publishing Institution:Universität Potsdam
Granting Institution:Universität Potsdam
Date of final exam:2018/07/13
Release Date:2018/09/19
Tag:Moden Stabilität; Schatten eines Schwarzen Lochs; Schwarzes Loch; Teukolsky Gleichung; gefangene lichtartige Kurven
Teukolsky master equation; black hole; black hole shadows; mode stability; trapping
Pagenumber:v, 138
RVK - Regensburg Classification:US 1080, UH 8500
Organizational units:Extern
Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät / Institut für Physik und Astronomie
Dewey Decimal Classification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 52 Astronomie / 520 Astronomie und zugeordnete Wissenschaften
MSC Classification:58-XX GLOBAL ANALYSIS, ANALYSIS ON MANIFOLDS [See also 32Cxx, 32Fxx, 32Wxx, 46-XX, 47Hxx, 53Cxx](For geometric integration theory, see 49Q15)
83-XX RELATIVITY AND GRAVITATIONAL THEORY
85-XX ASTRONOMY AND ASTROPHYSICS (For celestial mechanics, see 70F15)
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