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Synchronization of oscillatory networks in terms of global variables

Synchronisation in Netzwerken von Oszillatoren via globaler Variabler

  • Synchronization of large ensembles of oscillators is an omnipresent phenomenon observed in different fields of science like physics, engineering, life sciences, etc. The most simple setup is that of globally coupled phase oscillators, where all the oscillators contribute to a global field which acts on all oscillators. This formulation of the problem was pioneered by Winfree and Kuramoto. Such a setup gives a possibility for the analysis of these systems in terms of global variables. In this work we describe nontrivial collective dynamics in oscillator populations coupled via mean fields in terms of global variables. We consider problems which cannot be directly reduced to standard Kuramoto and Winfree models. In the first part of the thesis we adopt a method introduced by Watanabe and Strogatz. The main idea is that the system of identical oscillators of particular type can be described by a low-dimensional system of global equations. This approach enables us to perform a complete analytical analysis for a special but vast setSynchronization of large ensembles of oscillators is an omnipresent phenomenon observed in different fields of science like physics, engineering, life sciences, etc. The most simple setup is that of globally coupled phase oscillators, where all the oscillators contribute to a global field which acts on all oscillators. This formulation of the problem was pioneered by Winfree and Kuramoto. Such a setup gives a possibility for the analysis of these systems in terms of global variables. In this work we describe nontrivial collective dynamics in oscillator populations coupled via mean fields in terms of global variables. We consider problems which cannot be directly reduced to standard Kuramoto and Winfree models. In the first part of the thesis we adopt a method introduced by Watanabe and Strogatz. The main idea is that the system of identical oscillators of particular type can be described by a low-dimensional system of global equations. This approach enables us to perform a complete analytical analysis for a special but vast set of initial conditions. Furthermore, we show how the approach can be expanded for some nonidentical systems. We apply the Watanabe-Strogatz approach to arrays of Josephson junctions and systems of identical phase oscillators with leader-type coupling. In the next parts of the thesis we consider the self-consistent mean-field theory method that can be applied to general nonidentical globally coupled systems of oscillators both with or without noise. For considered systems a regime, where the global field rotates uniformly, is the most important one. With the help of this approach such solutions of the self-consistency equation for an arbitrary distribution of frequencies and coupling parameters can be found analytically in the parametric form, both for noise-free and noisy cases. We apply this method to deterministic Kuramoto-type model with generic coupling and an ensemble of spatially distributed oscillators with leader-type coupling. Furthermore, with the proposed self-consistent approach we fully characterize rotating wave solutions of noisy Kuramoto-type model with generic coupling and an ensemble of noisy oscillators with bi-harmonic coupling. Whenever possible, a complete analysis of global dynamics is performed and compared with direct numerical simulations of large populations.show moreshow less
  • Die Synchronisation einer großen Menge von Oszillatoren ist ein omnipräsentes Phänomen, das in verschiedenen Forschungsgebieten wie Physik, Ingenieurwissenschaften, Medizin und Weiteren beobachtet wird. In der einfachsten Situation ist von einer Menge Phasenoszillatoren jeder mit dem Anderen gekoppelt und trägt zu einem gemeinsamen Feld (dem sogenannten mean field) bei, das auf alle Oszillatoren wirkt. Dieser Formulierung wurde von Winfree und Kuramoto der Weg bereitet und sie birgt die Möglichkeit einer Analyse des Systems mithilfe von globalen Variablen. In dieser Arbeit beschreiben wir mithilfe globaler Variablen die nicht-triviale kollektive Dynamik von Oszillatorpopulationen, welche mit einem mean field verbunden sind. Wir beschäftigen uns mit Problemen die nicht direkt auf die Standardmodelle von Kuramoto und Winfree reduziert werden können. Im ersten Teil der Arbeit verwenden wir eine Methode die auf Watanabe und Stro- gatz zurückgeht. Die Hauptidee ist, dass ein System von identischen Oszillatoren eines bestimmten Typs durchDie Synchronisation einer großen Menge von Oszillatoren ist ein omnipräsentes Phänomen, das in verschiedenen Forschungsgebieten wie Physik, Ingenieurwissenschaften, Medizin und Weiteren beobachtet wird. In der einfachsten Situation ist von einer Menge Phasenoszillatoren jeder mit dem Anderen gekoppelt und trägt zu einem gemeinsamen Feld (dem sogenannten mean field) bei, das auf alle Oszillatoren wirkt. Dieser Formulierung wurde von Winfree und Kuramoto der Weg bereitet und sie birgt die Möglichkeit einer Analyse des Systems mithilfe von globalen Variablen. In dieser Arbeit beschreiben wir mithilfe globaler Variablen die nicht-triviale kollektive Dynamik von Oszillatorpopulationen, welche mit einem mean field verbunden sind. Wir beschäftigen uns mit Problemen die nicht direkt auf die Standardmodelle von Kuramoto und Winfree reduziert werden können. Im ersten Teil der Arbeit verwenden wir eine Methode die auf Watanabe und Stro- gatz zurückgeht. Die Hauptidee ist, dass ein System von identischen Oszillatoren eines bestimmten Typs durch ein niedrig-dimensionales System von globalen Gleichungen beschrieben werden kann. Dieser Ansatz versetzt uns in die Lage eine vollständige analytische Untersuchung für eine spezielle jedoch große Menge an Anfangsbedingungen durchzuführen. Wir zeigen des Weiteren wie der Ansatz auf nicht-identische Systeme erweitert werden kann. Wir wenden die Methode von Watanabe und Strogatz auf Reihen von Josephson-Kontakten und auf identische Phasenoszillatoren mit einer Anführer-Kopplung an. Im nächsten Teil der Arbeit betrachten wir eine selbst-konsistente mean-field-Methode, die auf allgemeine nicht-identische global gekoppelte Phasenoszillatoren mit oder ohne Rauschen angewendet werden kann. Für die betrachteten Systeme gibt es ein Regime, in dem die globalen Felder gleichförmig rotieren. Dieses ist das wichtigste Regime. Es kann mithilfe unseres Ansatzes als Lösung einer Selbstkonsistenzgleichung für beliebige Verteilungen der Frequenzen oder Kopplungsstärken gefunden werden. Die Lösung liegt in einer analytischen, parametrischen Form sowohl für den Fall mit Rauschen, als auch für den Fall ohne Rauschen, vor. Die Methode wird auf ein deterministisches System der Kuramoto-Art mit generischer Kopplung und auf ein Ensemble von räumlich verteilten Oszillatoren mit Anführer-Kopplung angewendet. Zuletzt sind wir in der Lage, die Rotierende-Wellen-Lösungen der Kuramoto-artigen Modelle mit generischer Kopplung, sowie ein Ensemble von verrauschten Oszillatoren mit bi-harmonischer Kopplung, mithilfe des von uns vorgeschlagenen selbst-konsistenten Ansatzes vollständig zu charakterisieren. Wann immer es möglich war, wurde eine vollständige Untersuchung der globalen Dynamik durchgeführt und mit numerischen Ergebnissen von großen Populationen verglichen.show moreshow less

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Metadaten
Author details:Vladimir Vlasov
URN:urn:nbn:de:kobv:517-opus4-78182
Supervisor(s):Arkadij Pikovskij
Publication type:Doctoral Thesis
Language:English
Publication year:2015
Publishing institution:Universität Potsdam
Granting institution:Universität Potsdam
Date of final exam:2015/06/30
Release date:2015/08/04
Tag:Synchronisation; komplexe Netzwerke
complex networks; global description; synchronization
Number of pages:82
RVK - Regensburg classification:UG 1080, UG 3900
Organizational units:Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät / Institut für Physik und Astronomie
DDC classification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 53 Physik / 530 Physik
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