TY - THES A1 - Avila, Gastón T1 - Asymptotic staticity and tensor decompositions with fast decay conditions T1 - Asymptotisch statische Anfangsdaten und Tensor-Zerlegungen mit starken Abfallbedingungen N2 - Corvino, Corvino and Schoen, Chruściel and Delay have shown the existence of a large class of asymptotically flat vacuum initial data for Einstein's field equations which are static or stationary in a neighborhood of space-like infinity, yet quite general in the interior. The proof relies on some abstract, non-constructive arguments which makes it difficult to calculate such data numerically by using similar arguments. A quasilinear elliptic system of equations is presented of which we expect that it can be used to construct vacuum initial data which are asymptotically flat, time-reflection symmetric, and asymptotic to static data up to a prescribed order at space-like infinity. A perturbation argument is used to show the existence of solutions. It is valid when the order at which the solutions approach staticity is restricted to a certain range. Difficulties appear when trying to improve this result to show the existence of solutions that are asymptotically static at higher order. The problems arise from the lack of surjectivity of a certain operator. Some tensor decompositions in asymptotically flat manifolds exhibit some of the difficulties encountered above. The Helmholtz decomposition, which plays a role in the preparation of initial data for the Maxwell equations, is discussed as a model problem. A method to circumvent the difficulties that arise when fast decay rates are required is discussed. This is done in a way that opens the possibility to perform numerical computations. The insights from the analysis of the Helmholtz decomposition are applied to the York decomposition, which is related to that part of the quasilinear system which gives rise to the difficulties. For this decomposition analogous results are obtained. It turns out, however, that in this case the presence of symmetries of the underlying metric leads to certain complications. The question, whether the results obtained so far can be used again to show by a perturbation argument the existence of vacuum initial data which approach static solutions at infinity at any given order, thus remains open. The answer requires further analysis and perhaps new methods. N2 - Corvino, Corvino und Schoen als auch Chruściel und Delay haben die Existenz einer grossen Klasse asymptotisch flacher Anfangsdaten für Einsteins Vakuumfeldgleichungen gezeigt, die in einer Umgebung des raumartig Unendlichen statisch oder stationär aber im Inneren der Anfangshyperfläche sehr allgemein sind. Der Beweis beruht zum Teil auf abstrakten, nicht konstruktiven Argumenten, die Schwierigkeiten bereiten, wenn derartige Daten numerisch berechnet werden sollen. In der Arbeit wird ein quasilineares elliptisches Gleichungssystem vorgestellt, von dem wir annehmen, dass es geeignet ist, asymptotisch flache Vakuumanfangsdaten zu berechnen, die zeitreflektionssymmetrisch sind und im raumartig Unendlichen in einer vorgeschriebenen Ordnung asymptotisch zu statischen Daten sind. Mit einem Störungsargument wird ein Existenzsatz bewiesen, der gilt, solange die Ordnung, in welcher die Lösungen asymptotisch statische Lösungen approximieren, in einem gewissen eingeschränkten Bereich liegt. Versucht man, den Gültigkeitsbereich des Satzes zu erweitern, treten Schwierigkeiten auf. Diese hängen damit zusammen, dass ein gewisser Operator nicht mehr surjektiv ist. In einigen Tensorzerlegungen auf asymptotisch flachen Räumen treten ähnliche Probleme auf, wie die oben erwähnten. Die Helmholtzzerlegung, die bei der Bereitstellung von Anfangsdaten für die Maxwellgleichungen eine Rolle spielt, wird als ein Modellfall diskutiert. Es wird eine Methode angegeben, die es erlaubt, die Schwierigkeiten zu umgehen, die auftreten, wenn ein schnelles Abfallverhalten des gesuchten Vektorfeldes im raumartig Unendlichen gefordert wird. Diese Methode gestattet es, solche Felder auch numerisch zu berechnen. Die Einsichten aus der Analyse der Helmholtzzerlegung werden dann auf die Yorkzerlegung angewandt, die in den Teil des quasilinearen Systems eingeht, der Anlass zu den genannten Schwierigkeiten gibt. Für diese Zerlegung ergeben sich analoge Resultate. Es treten allerdings Schwierigkeiten auf, wenn die zu Grunde liegende Metrik Symmetrien aufweist. Die Frage, ob die Ergebnisse, die soweit erhalten wurden, in einem Störungsargument verwendet werden können um die Existenz von Vakuumdaten zu zeigen, die im räumlich Unendlichen in jeder Ordnung statische Daten approximieren, bleibt daher offen. Die Antwort erfordert eine weitergehende Untersuchung und möglicherweise auch neue Methoden. KW - Einsteins Feldgleichungen KW - Zwangsgleichungen KW - Tensor-Zerlegungen KW - raumartige Unendliche KW - elliptisches Gleichungssystem KW - Einstein's field equations KW - constraint equations KW - tensor decompositions KW - space-like infinity KW - elliptic systems Y1 - 2011 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-54046 ER - TY - THES A1 - Winkler, Michael T1 - Thinning and turbulence in aqueous films N2 - This thesis covers the topic ”Thinning and Turbulence in Aqueous Films”. Experimental studies in two-dimensional systems gained an increasing amount of attention during the last decade. Thin liquid films serve as paradigms of atmospheric convection, thermal convection in the Earth’s mantle or turbulence in magnetohydrodynamics. Recent research on colloids, interfaces and nanofluids lead to advances in the developtment of micro-mixers (lab-on-a-chip devices). In this project a detailed description of a thin film experiment with focus on the particular surface forces is presented. The impact of turbulence on the thinning of liquid films which are oriented parallel to the gravitational force is studied. An experimental setup was developed which permits the capturing of thin film interference patterns under controlled surface and atmospheric conditions. The measurement setup also serves as a prototype of a mixer on the basis of thermally induced turbulence in liquid thin films with thicknesses in the nanometer range. The convection is realized by placing a cooled copper rod in the center of the film. The temperature gradient between the rod and the atmosphere results in a density gradient in the liquid film, so that different buoyancies generate turbulence. In the work at hand the thermally driven convection is characterized by a newly developed algorithm, named Cluster Imaging Velocimetry (CIV). This routine determines the flow relevant vector fields (velocity and deformation). On the basis of these insights the flow in the experiment was investigated with respect to its mixing properties. The mixing characteristics were compared to theoretical models and mixing efficiency of the flow scheme calculated. The gravitationally driven thinning of the liquid film was analyzed under the influence of turbulence. Strong shear forces lead to the generation of ultra-thin domains which consist of Newton black film. Due to the exponential expansion of the thin areas and the efficient mixing, this two-phase flow rapidly turns into the convection of only ultra-thin film. This turbulence driven transition was observed and quantified for the first time. The existence of stable convection in liquid nanofilms was proven for the first time in the context of this work. N2 - Diese Diplomarbeit behandelt das Thema ”Dünnung und Turbulenz in wässrigen Filmen”. Experimente in zweidimensionalen Systemen erfuhren in den vergangenen Jahren zunehmend an Aufmerksamkeit. Dünne Flüssigkeitsschichten dienen als Modell für atmosphärische Konvektion, thermische Konvektion im Erdmantel oder Turbulenz in der Magnetohydrodynamik. Aktuelle Forschung im Bereich der Kolloide, Grenzflächen und Nanofluidik führt zu Fortschritten in der Entwicklung von Mikromixern (”lab-on-a-chip”). In diesem Projekt wird eine detaillierte Beschreibung eines Dünnfilmexperiments mit Fokus auf die besonderen Oberflächenkräfte vorgestellt. Die Auswirkung der Turbulenz auf die Dünnung von parallel zur Gravitationskraft orientierten Flüssigkeitsschichten wurde untersucht. Es wurde ein Experiment entwickelt, welches die Aufnahme von Dünnschichtinterferenzmustern unter kontrollierten Oberflächenbedingungen und Atmosphäre erlaubt. Der Messaufbau dient auch als Prototyp eines Mixers auf Basis von thermisch induzierter Turbulenz in Flüssigkeitsfilmen mit Dicken im Nanometerbereich. Die Konvektion wird durch das Platzieren eines gekühlten Kupferstabs in der Mitte des Films realisiert. Der Temperaturgradient zwischen Stab und äußerer Atmosphäre resultiert in einem Dichtegradienten in dem flüssigen Film, sodass durch unterschiedliche Auftriebskräfte Turbulenz erzeugt wird. In der vorliegenden Arbeit ist die thermisch getriebenen Konvektion an Hand eines neu entwickelten Verfahrens (Cluster Imaging Velocimetry - CIV) zur Ermittlung des strömungsrelevanten Vektorfelder (Geschwindigkeit und Deformation) charakterisiert worden. Auf Basis dieser Erkenntnisse wurde die im Experiment vorherrschende Strömung in Hinsicht auf ihre Mischungseigenschaften im Vergleich zu theoretischen Modellen untersucht und die Mischungseffizienz berechnet. Die gravitationsgetriebene Ausdünnung der Flüssigkeitsschicht unter Einfluss der Turbulenz wurde analysiert. Durch starke Scherkräfte kommt es lokal zur Bildung ultradünner Domänen bestehend aus ”Newton black film”. Diese Zweiphasenströmung geht durch das exponentielle Ausdehnen der dünnen Bereiche und die effiziente Mischung sehr schnell in eine Konvektion von ausschließlich ultradünnem Film im Gleichgewichtszustand über. Dieser turbulenzgetriebene Übergang wurde zum ersten Mal beobachtet und quantifiziert. Die Existenz stabiler Konvektion in flüssigen Nanofilmen ist zum ersten Mal im Rahmen dieser Arbeit belegt worden. KW - wässrige Filme KW - Nanofluid KW - Mischung KW - Konvektion KW - Dünnung KW - Thin Film KW - Nanofluid KW - Mixing KW - Convection KW - Rapid thinning Y1 - 2011 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-53107 ER - TY - THES A1 - Malik, Nishant T1 - Extremes in events and dynamics : a nonlinear data analysis perspective on the past and present dynamics of the Indian summer monsoon N2 - To identify extreme changes in the dynamics of the Indian Summer Monsoon (ISM) in the past, I propose a new approach based on the quantification of fluctuations of a nonlinear similarity measure, to identify regimes of distinct dynamical complexity in short time series. I provide an analytical derivation for the relationship of the new measure with the dynamical invariants such as dimension and Lyapunov exponents of the underlying system. A statistical test is also developed to estimate the significance of the identified transitions. Our method is justified by uncovering bifurcation structures in several paradigmatic models, providing more complex transitions compared with traditional Lyapunov exponents. In a real world situation, we apply the method to identify millennial-scale dynamical transitions in Pleistocene proxy records of the south Asian summer monsoon system. We infer that many of these transitions are induced by the external forcing of solar insolation and are also affected by internal forcing on Monsoonal dynamics, i.e., the glaciation cycles of the Northern Hemisphere and the onset of the tropical Walker circulation. Although this new method has general applicability, it is particularly useful in analysing short palaeo-climate records. Rainfall during the ISM over the Indian subcontinent occurs in form of enormously complex spatiotemporal patterns due to the underlying dynamics of atmospheric circulation and varying topography. I present a detailed analysis of summer monsoon rainfall over the Indian peninsular using Event Synchronization (ES), a measure of nonlinear correlation for point processes such as rainfall. First, using hierarchical clustering I identify principle regions where the dynamics of monsoonal rainfall is more coherent or homogenous. I also provide a method to reconstruct the time delay patterns of rain events. Moreover, further analysis is carried out employing the tools of complex network theory. This study provides valuable insights into the spatial organization, scales, and structure of the 90th and 94th percentile rainfall events during the ISM (June to September). I furthermore analyse the influence of different critical synoptic atmospheric systems and the impact of the steep Himalayan topography on rainfall patterns. The presented method not only helps in visualising the structure of the extremeevent rainfall fields, but also identifies the water vapor pathways and decadal-scale moisture sinks over the region. Furthermore a simple scheme based on complex networks is presented to decipher the spatial intricacies and temporal evolution of monsoonal rainfall patterns over the last six decades. Some supplementary results on the evolution of monsoonal rainfall extremes over the last sixty years are also presented. N2 - Um Extremereignisse in der Dynamik des indischen Sommermonsuns (ISM) in der geologischen Vergangenheit zu identifizieren, schlage ich einen neuartigen Ansatz basierend auf der Quantifikation von Fluktuationen in einem nichtlinearen Ähnlichkeitsmaß vor. Dieser reagiert empfindlich auf Zeitabschnitte mit deutlichen Veränderungen in der dynamischen Komplexität kurzer Zeitreihen. Ein mathematischer Zusammenhang zwischen dem neuen Maß und dynamischen Invarianten des zugrundeliegenden Systems wie fraktalen Dimensionen und Lyapunovexponenten wird analytisch hergeleitet. Weiterhin entwickle ich einen statistischen Test zur Schätzung der Signifikanz der so identifizierten dynamischen Übergänge. Die Stärken der Methode werden durch die Aufdeckung von Bifurkationsstrukturen in paradigmatischen Modellsystemen nachgewiesen, wobei im Vergleich zu den traditionellen Lyapunovexponenten eine Identifikation komplexerer dynamischer Übergänge möglich ist. Wir wenden die neu entwickelte Methode zur Analyse realer Messdaten an, um ausgeprägte dynamische Veränderungen auf Zeitskalen von Jahrtausenden in Klimaproxydaten des südasiatischen Sommermonsunsystems während des Pleistozäns aufzuspüren. Dabei zeigt sich, dass viele dieser Übergänge durch den externen Einfluss der veränderlichen Sonneneinstrahlung, sowie durch dem Klimasystem interne Einflussfaktoren auf das Monsunsystem (Eiszeitzyklen der nördlichen Hemisphäre und Einsatz der tropischenWalkerzirkulation) induziert werden. Trotz seiner Anwendbarkeit auf allgemeine Zeitreihen ist der diskutierte Ansatz besonders zur Untersuchung von kurzen Paläoklimazeitreihen geeignet. Die während des ISM über dem indischen Subkontinent fallenden Niederschläge treten, bedingt durch die zugrundeliegende Dynamik der atmosphärischen Zirkulation und topographische Einflüsse, in äußerst komplexen, raumzeitlichen Mustern auf. Ich stelle eine detaillierte Analyse der Sommermonsunniederschläge über der indischen Halbinsel vor, die auf Ereignissynchronisation (ES) beruht, einem Maß für die nichtlineare Korrelation von Punktprozessen wie Niederschlagsereignissen. Mit hierarchischen Clusteringalgorithmen identifiziere ich zunächst Regionen mit besonders kohärenten oder homogenen Monsunniederschlägen. Dabei können auch die Zeitverzögerungsmuster von Regenereignissen rekonstruiert werden. Darüber hinaus führe ich weitere Analysen auf Basis der Theorie komplexer Netzwerke durch. Diese Studien ermöglichen wertvolle Einsichten in räumliche Organisation, Skalen und Strukturen von starken Niederschlagsereignissen oberhalb der 90% und 94% Perzentilen während des ISM (Juni bis September). Weiterhin untersuche ich den Einfluss von verschiedenen, kritischen synoptischen Systemen der Atmosphäre sowie der steilen Topographie des Himalayas auf diese Niederschlagsmuster. Die vorgestellte Methode ist nicht nur geeignet, die Struktur extremer Niederschlagsereignisse zu visualisieren, sondern kann darüber hinaus über der Region atmosphärische Transportwege von Wasserdampf und Feuchtigkeitssenken auf dekadischen Skalen identifizieren.Weiterhin wird ein einfaches, auf komplexen Netzwerken basierendes Verfahren zur Entschlüsselung der räumlichen Feinstruktur und Zeitentwicklung von Monsunniederschlagsextremen während der vergangenen 60 Jahre vorgestellt. T2 - Extrema in Ereignissen und Dynamiken : historische und heutige Dynamik des Indischen Sommer-Monsuns aus der Perspektive nichtlinearer Datenanalyse KW - nichtlineare Datenanalyse KW - Paläoklimatologie KW - Indischer Sommer-Monsun KW - Extremereignisse KW - komplexe Netzwerke KW - nonlinear time series analysis KW - Paleoclimatology KW - Indian summer monsoon KW - extreme events KW - complex networks Y1 - 2011 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-58016 ER - TY - THES A1 - Kellermann, Thorsten T1 - Accurate numerical relativity simulations of non-vacuumspace-times in two dimensions and applications to critical collapse T1 - Exakte numerisch relativistische Simulationen der Nicht-Vakuum-Raum-Zeit in zwei Dimensionen und deren Anwendung zu Problemen des kritischen Kollaps N2 - This Thesis puts its focus on the physics of neutron stars and its description with methods of numerical relativity. In the first step, a new numerical framework the Whisky2D code will be developed, which solves the relativistic equations of hydrodynamics in axisymmetry. Therefore we consider an improved formulation of the conserved form of these equations. The second part will use the new code to investigate the critical behaviour of two colliding neutron stars. Considering the analogy to phase transitions in statistical physics, we will investigate the evolution of the entropy of the neutron stars during the whole process. A better understanding of the evolution of thermodynamical quantities, like the entropy in critical process, should provide deeper understanding of thermodynamics in relativity. More specifically, we have written the Whisky2D code, which solves the general-relativistic hydrodynamics equations in a flux-conservative form and in cylindrical coordinates. This of course brings in 1/r singular terms, where r is the radial cylindrical coordinate, which must be dealt with appropriately. In the above-referenced works, the flux operator is expanded and the 1/r terms, not containing derivatives, are moved to the right-hand-side of the equation (the source term), so that the left hand side assumes a form identical to the one of the three-dimensional (3D) Cartesian formulation. We call this the standard formulation. Another possibility is not to split the flux operator and to redefine the conserved variables, via a multiplication by r. We call this the new formulation. The new equations are solved with the same methods as in the Cartesian case. From a mathematical point of view, one would not expect differences between the two ways of writing the differential operator, but, of course, a difference is present at the numerical level. Our tests show that the new formulation yields results with a global truncation error which is one or more orders of magnitude smaller than those of alternative and commonly used formulations. The second part of the Thesis uses the new code for investigations of critical phenomena in general relativity. In particular, we consider the head-on-collision of two neutron stars in a region of the parameter space where two final states a new stable neutron star or a black hole, lay close to each other. In 1993, Choptuik considered one-parameter families of solutions, S[P], of the Einstein-Klein-Gordon equations for a massless scalar field in spherical symmetry, such that for every P > P⋆, S[P] contains a black hole and for every P < P⋆, S[P] is a solution not containing singularities. He studied numerically the behavior of S[P] as P → P⋆ and found that the critical solution, S[P⋆], is universal, in the sense that it is approached by all nearly-critical solutions regardless of the particular family of initial data considered. All these phenomena have the common property that, as P approaches P⋆, S[P] approaches a universal solution S[P⋆] and that all the physical quantities of S[P] depend only on |P − P⋆|. The first study of critical phenomena concerning the head-on collision of NSs was carried out by Jin and Suen in 2007. In particular, they considered a series of families of equal-mass NSs, modeled with an ideal-gas EOS, boosted towards each other and varied the mass of the stars, their separation, velocity and the polytropic index in the EOS. In this way they could observe a critical phenomenon of type I near the threshold of black-hole formation, with the putative solution being a nonlinearly oscillating star. In a successive work, they performed similar simulations but considering the head-on collision of Gaussian distributions of matter. Also in this case they found the appearance of type-I critical behaviour, but also performed a perturbative analysis of the initial distributions of matter and of the merged object. Because of the considerable difference found in the eigenfrequencies in the two cases, they concluded that the critical solution does not represent a system near equilibrium and in particular not a perturbed Tolmann-Oppenheimer-Volkoff (TOV) solution. In this Thesis we study the dynamics of the head-on collision of two equal-mass NSs using a setup which is as similar as possible to the one considered above. While we confirm that the merged object exhibits a type-I critical behaviour, we also argue against the conclusion that the critical solution cannot be described in terms of equilibrium solution. Indeed, we show that, in analogy with what is found in, the critical solution is effectively a perturbed unstable solution of the TOV equations. Our analysis also considers fine-structure of the scaling relation of type-I critical phenomena and we show that it exhibits oscillations in a similar way to the one studied in the context of scalar-field critical collapse. N2 - Diese Arbeit legt seinen Schwerpunkt auf die Physik von Neutronensternen und deren Beschreibung mit Methoden der numerischen Relativitätstheorie. Im ersten Schritt wird eine neue numerische Umgebung, der Whisky2D Code entwickelt, dieser löst die relativistischen Gleichungen der Hydrodynamik in Axialymmetrie. Hierzu betrachten wir eine verbesserte Formulierung der sog. "flux conserved formulation" der Gleichungen. Im zweiten Teil wird der neue Code verwendet , um das kritische Verhalten zweier kollidierenden Neutronensternen zu untersuchen. In Anbetracht der Analogie, um Übergänge in der statistischen Physik Phase werden wir die Entwicklung der Entropie der Neutronensterne während des gesamten Prozesses betrachten. Ein besseres Verständnis der Evolution von thermodynamischen Größen, wie der Entropie in kritischer Prozess, sollte zu einem tieferen Verständnis der relativistischen Thermodynamik führen. Der Whisky2D Code, zur Lösung Gleichungen relativistischer Hydrodynamik wurde in einer „flux conserved form“ und in zylindrischen Koordinaten geschrieben. Hierdurch entstehen 1 / r singuläre Terme, wobei r der ist, die entsprechend behandelt werden müssen. In früheren Arbeiten, wird der Operator expandiert und die 1 / r spezifisch Therme auf die rechte Seite geschrieben, so dass die linke Seite eine Form annimmt, die identisch ist mit der kartesischen Formulierung. Wir nennen dies die Standard-Formulierung. Eine andere Möglichkeit ist, die Terme nicht zu expandieren, den und den 1/r Term in die Gleichung hinein zu ziehen. Wir nennen dies die Neue-Formulierung. Die neuen Gleichungen werden mit den gleichen Verfahren wie im kartesischen Fall gelöst. Aus mathematischer Sicht ist keine Unterschiede zwischen den beiden Formulierungen zu erwarten, erst die numerische Sicht zeigt die Unterschiede auf. Versuche zeigen, dass die Neue-Formulierung numerische Fehler um mehrere Größenordnungen reduziert. Der zweite Teil der Dissertation verwendet den neuen Code für die Untersuchung kritischer Phänomene in der allgemeinen Relativitätstheorie. Insbesondere betrachten wir die Kopf-auf-Kollision zweier Neutronensterne in einem Bereich des Parameter Raums, deren zwei mögliche Endzustände entweder einen neuen stabilen Neutronenstern oder ein Schwarzes Loch darstellen. Im Jahr 1993, betrachtete Choptuik Ein-Parameter-Familien von Lösungen, S [P], der Einstein-Klein-Gordon-Gleichung für ein masseloses Skalarfeld in sphärischer Symmetrie, so dass für jedes P> P ⋆, S[P] ein Schwarzes Loch enthalten ist und jedes P