TY - JOUR A1 - Mickelsson, Jouko A1 - Paycha, Sylvie T1 - The logarithmic residue density of a generalized Laplacian JF - Journal of the Australian Mathematical Society N2 - We show that the residue density of the logarithm of a generalized Laplacian on a closed manifold definesan invariant polynomial-valued differential form. We express it in terms of a finite sum of residues ofclassical pseudodifferential symbols. In the case of the square of a Dirac operator, these formulas providea pedestrian proof of the Atiyah–Singer formula for a pure Dirac operator in four dimensions and for atwisted Dirac operator on a flat space of any dimension. These correspond to special cases of a moregeneral formula by Scott and Zagier. In our approach, which is of perturbative nature, we use either aCampbell–Hausdorff formula derived by Okikiolu or a noncommutative Taylor-type formula. KW - residue KW - index KW - Dirac operators Y1 - 2011 U6 - https://doi.org/10.1017/S144678871100108X SN - 0263-6115 SN - 1446-8107 VL - 90 IS - 1 SP - 53 EP - 80 PB - Cambridge Univ. Press CY - Cambridge ER - TY - CHAP A1 - Kortenkamp, Ulrich ED - Abshagen, Maike ED - Barzel, Bärbel ED - Kramer, Jürg ED - Riecke-Baulecke, Thomas ED - Rösken-Winter, Bettina ED - Selter, Christoph T1 - Raum und Form T2 - Basiswissen Lehrerbildung: Mathematik unterrichten Y1 - 2017 SP - 99 EP - 112 PB - Kallmeyer CY - Seelze ER - TY - CHAP A1 - Kiy, Alexander A1 - Lucke, Ulrike A1 - Sass, K. ED - Pongratz, Hans J. ED - Keil, R. T1 - Gewusst was: Mit einer E-Learning-Toolbox die persönliche virtuelle Umgebung gestalten T2 - DeLFI 2015 - die 13. E-Learning Fachtagung Informatik der Gesellschaft für Informatik e.V. : 1.-4. September 2015 München, Deutschland T2 - Known what: Shaping the personal virtual environment with an eLearning toolbox Y1 - 2015 UR - http://www.scopus.com/inward/record.url?eid=2-s2.0-85018699969&partnerID=MN8TOARS SN - 978-3-88579-641-1 SN - 1617-5468 IS - 247 SP - 43 EP - 55 PB - Gesellschaft für Informatik e.V. CY - Bonn ER - TY - THES A1 - Dahl, Dorothee Sophie T1 - Zahlen in den Fingern T1 - Numbers and fingers BT - eine Analyse des Lernspiels Fingu in Bezug auf den frühkindlichen Zahlerwerb im Rahmen der Artifact-Centric Activity Theory BT - an analysis of the learning game Fingu in relation to early numeracy acquisition within the framework of the artifact-centric activity theory N2 - Die Debatte über den Einsatz von digitalen Werkzeugen in der mathematischen Frühförderung ist hoch aktuell. Lernspiele werden konstruiert, mit dem Ziel, mathematisches, informelles Wissen aufzubauen und so einen besseren Schulstart zu ermöglichen. Doch allein die digitale und spielerische Aufarbeitung führt nicht zwingend zu einem Lernerfolg. Daher ist es umso wichtiger, die konkrete Implementation der theoretischen Konstrukte und Interaktionsmöglichkeiten mit den Werkzeugen zu analysieren und passend aufzubereiten. In dieser Masterarbeit wird dazu exemplarisch ein mathematisches Lernspiel namens „Fingu“ für den Einsatz im vorschulischen Bereich theoretisch und empirisch im Rahmen der Artifact-Centric Activity Theory (ACAT) untersucht. Dazu werden zunächst die theoretischen Hintergründe zum Zahlensinn, Zahlbegriffserwerb, Teil-Ganze-Verständnis, der Anzahlwahrnehmung und -bestimmung, den Anzahlvergleichen und der Anzahldarstellung mithilfe von Fingern gemäß der Embodied Cognition sowie der Verwendung von digitalen Werkzeugen und Multi-Touch-Geräten umfassend beschrieben. Anschließend wird die App Fingu erklärt und dann theoretisch entlang des ACAT-Review-Guides analysiert. Zuletzt wird die selbstständig durchgeführte Studie mit zehn Vorschulkindern erläutert und darauf aufbauend Verbesserungs- und Entwicklungsmöglichkeiten der App auf wissenschaftlicher Grundlage beigetragen. Für Fingu lässt sich abschließend festhalten, dass viele Prozesse wie die (Quasi-)Simultanerfassung oder das Zählen gefördert werden können, für andere wie das Teil-Ganze-Verständnis aber noch Anpassungen und/oder die Begleitung durch Erwachsene nötig ist. N2 - The current debate about the use of digital tools in early mathematical education has a lot of relevance these days. Educational games are designed with the aim of building mathematical informal knowledge and thus enabling a better start to school. But digital and playful implementation alone does not necessarily lead to learning. Therefore, it is important to analyze the media in detail and with regard to the theoretical constructs. In this master's thesis, a mathematical learning game called “Fingu” for preschool children is analyzed theoretically and empirically within the framework of the Artifact-Centric Activity Theory (ACAT). First, the theoretical background is described, that is the number sense, number concept acquisition, part-whole understanding, number perception and determination, number comparisons and number representation using fingers according to embodied cognition as well as the use of digital tools and multi-touch. The app itself is explained and then analyzed theoretically using the ACAT review guide. Finally, the conducted study with ten preschool children is presented. Based on those results and the scientific basis, possible improvements and development of the app are explained. For Fingu, it can be concluded that many processes such as perceptual or conceptual subitizing or counting can be improved, but for others such as part-whole understanding, adjustments and/or adult support are still necessary. KW - Zahlerwerb KW - Frühförderung KW - Lernspiele KW - Videostudie KW - ACAT KW - number KW - part-whole concept Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-607629 ER - TY - JOUR A1 - Clavier, Pierre J. T1 - Borel-Écalle resummation of a two-point function JF - Annales Henri Poincaré : a journal of theoretical and mathematical physics / ed. jointly by the Institut Henri Poincaré and by the Swiss Physical Society N2 - We provide an overview of the tools and techniques of resurgence theory used in the Borel-ecalle resummation method, which we then apply to the massless Wess-Zumino model. Starting from already known results on the anomalous dimension of the Wess-Zumino model, we solve its renormalisation group equation for the two-point function in a space of formal series. We show that this solution is 1-Gevrey and that its Borel transform is resurgent. The Schwinger-Dyson equation of the model is then used to prove an asymptotic exponential bound for the Borel transformed two-point function on a star-shaped domain of a suitable ramified complex plane. This proves that the two-point function of the Wess-Zumino model is Borel-ecalle summable. Y1 - 2021 U6 - https://doi.org/10.1007/s00023-021-01057-w SN - 1424-0637 SN - 1424-0661 VL - 22 IS - 6 SP - 2103 EP - 2136 PB - Springer CY - Cham ER - TY - THES A1 - Schanner, Maximilian Arthus T1 - Correlation based modeling of the archeomagnetic field T1 - Korrelationsbasierte Modellierung des archäomagnetischen Feldes N2 - The geomagnetic main field is vital for live on Earth, as it shields our habitat against the solar wind and cosmic rays. It is generated by the geodynamo in the Earth’s outer core and has a rich dynamic on various timescales. Global models of the field are used to study the interaction of the field and incoming charged particles, but also to infer core dynamics and to feed numerical simulations of the geodynamo. Modern satellite missions, such as the SWARM or the CHAMP mission, support high resolution reconstructions of the global field. From the 19 th century on, a global network of magnetic observatories has been established. It is growing ever since and global models can be constructed from the data it provides. Geomagnetic field models that extend further back in time rely on indirect observations of the field, i.e. thermoremanent records such as burnt clay or volcanic rocks and sediment records from lakes and seas. These indirect records come with (partially very large) uncertainties, introduced by the complex measurement methods and the dating procedure. Focusing on thermoremanent records only, the aim of this thesis is the development of a new modeling strategy for the global geomagnetic field during the Holocene, which takes the uncertainties into account and produces realistic estimates of the reliability of the model. This aim is approached by first considering snapshot models, in order to address the irregular spatial distribution of the records and the non-linear relation of the indirect observations to the field itself. In a Bayesian setting, a modeling algorithm based on Gaussian process regression is developed and applied to binned data. The modeling algorithm is then extended to the temporal domain and expanded to incorporate dating uncertainties. Finally, the algorithm is sequentialized to deal with numerical challenges arising from the size of the Holocene dataset. The central result of this thesis, including all of the aspects mentioned, is a new global geomagnetic field model. It covers the whole Holocene, back until 12000 BCE, and we call it ArchKalmag14k. When considering the uncertainties that are produced together with the model, it is evident that before 6000 BCE the thermoremanent database is not sufficient to support global models. For times more recent, ArchKalmag14k can be used to analyze features of the field under consideration of posterior uncertainties. The algorithm for generating ArchKalmag14k can be applied to different datasets and is provided to the community as an open source python package. N2 - Das geomagnetische Hauptfeld ist essenziell für das Leben auf der Erde, da es unseren Lebensraum gegen den Sonnenwind und kosmische Strahlung abschirmt. Es wird vom Geodynamo im Erdkern erzeugt und zeigt eine komplexe Dynamik auf unterschiedlichen Zeitskalen. Globale Modelle des Magnetfelds werden zur Studie der Wechselwirkung von einströmenden geladenen Teilchen genutzt, aber auch um Kerndynamiken zu untersuchen und um sie in numerische Simulationen des Geodynamos einzuspeisen. Moderne Satellitenmissionen, wie SWARM und CHAMP, stützen hochauflösende Rekonstruktionen des globalen Felds. Seit dem 19. Jahrhundert wird ein globales Netzwerk von magnetischen Observatorien aufgebaut. Es wächst stetig und globale Modelle können aus den Daten, die es liefert, konstruiert werden. Geomagnetische Feldmodelle, die weiter in der Zeit zurückreichen, basieren auf indirekten Beobachtungen des Felds, d.h. auf thermoremanenten Daten, wie gebrannten Tonen oder vulkanischen Gesteinen, und auf Sedimentdaten aus Seen und Meeren. Diese indirekten Beobachtungen werden mit (teilweise sehr hohen) Unsicherheiten geliefert, die aus den komplexen Datierungs- und Messmethoden resultieren. Ziel dieser Arbeit ist die Entwicklung einer neuen Modellierungsmethode für das globale geomagnetische Feld während des Holozäns, welche die Unsicherheiten berücksichtigt und realistische Schätzungen für die Verlässlichkeit des Modells liefert. Dabei werden lediglich thermoremanente Daten betrachtet. Diesem Ziel wird sich zunächst genähert, indem ein Schnappschuss-Modell konstruiert wird, um die unregelmäßige räumliche Verteilung der Daten und die nichtlineare Beziehung zwischen Daten und Magnetfeld zu untersuchen. In einem Bayesianischen Rahmen wird ein auf Gaussprozessen basierender Algorithmus entwickelt und zunächst auf diskretisierte Daten angewendet. Dieser Algorithmus wird dann um eine zeitabhängige Komponente ergänzt und erweitert, um Datierungsfehler zu berücksichtigen. Zuletzt wird der Algorithmus sequenzialisiert, um mit numerischen Herausforderungen umzugehen, die aufgrund der Größe des Holozän-Datensatzes bestehen. Das zentrale Ergebnis dieser Arbeit, welches alle genannten Aspekte beinhaltet, ist ein neues globales geomagnetisches Feldmodell. Es deckt das gesamte Holozän ab, bis ins Jahr 12000 BCE, und wir nennen es ArchKalmag14k. Bei Betrachtung der Unsicherheiten, die gemeinsam mit dem Modell ermittelt werden, wird deutlich, dass die thermoremanente Datenbasis nicht ausreicht, um globale Modelle vor dem Jahr 6000 BCE zu stützen. Für jüngere Zeiträume kann ArchKalmag14k genutzt werden, um Merkmale des Erdmagnetfelds unter Berücksichtigung der a posteriori Unsicherheiten zu analysieren. Der Algorithmus, mit dem ArchKalmag14k erzeugt wurde, kann auf weitere Datensätze angewendet werden und wird als quelloffenes python-Paket zur Verfügung gestellt. KW - geomagnetism KW - applied mathematics KW - Gaussian processes KW - Kalman filter KW - Gauß-Prozesse KW - Kalman Filter KW - angewandte Mathematik KW - Geomagnetismus Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-555875 ER - TY - THES A1 - Dahl, Dorothee Sophie T1 - Let's have FUN! Gamification im Mathematikunterricht N2 - Spiele und spieltypische Elemente wie das Sammeln von Treuepunkten sind aus dem Alltag kaum wegzudenken. Zudem werden sie zunehmend in Unternehmen oder in Lernumgebungen eingesetzt. Allerdings ist die Methode Gamification bisher für den pädagogischen Kontext wenig klassifiziert und für Lehrende kaum zugänglich gemacht worden. Daher zielt diese Bachelorarbeit darauf ab, eine systematische Strukturierung und Aufarbeitung von Gamification sowie innovative Ansätze für die Verwendung spieltypischer Elemente im Unterricht, konkret dem Mathematikunterricht, zu präsentieren. Dies kann eine Grundlage für andere Fachgebiete, aber auch andere Lehrformen bieten und so die Umsetzbarkeit von Gamification in eigenen Lehrveranstaltungen aufzeigen. In der Arbeit wird begründet, weshalb und mithilfe welcher Elemente Gamification die Motivation und Leistungsbereitschaft der Lernenden langfristig erhöhen, die Sozial- und Personalkompetenzen fördern sowie die Lernenden zu mehr Aktivität anregen kann. Zudem wird Gamification explizit mit grundlegenden mathematikdidaktischen Prinzipien in Verbindung gesetzt und somit die Relevanz für den Mathematikunterricht hervorgehoben. Anschließend werden die einzelnen Elemente von Gamification wie Punkte, Level, Abzeichen, Charaktere und Rahmengeschichte entlang einer eigens für den pädagogischen Kontext entwickelten Klassifikation „FUN“ (Feedback – User specific elements – Neutral elements) schematisch beschrieben, ihre Funktionen und Wirkung dargestellt sowie Einsatzmöglichkeiten im Unterricht aufgezeigt. Dies beinhaltet Ideen zu lernförderlichem Feedback, Differenzierungsmöglichkeiten und Unterrichtsrahmengestaltung, die in Lehrveranstaltungen aller Art umsetzbar sein können. Die Bachelorarbeit umfasst zudem ein spezifisches Beispiel, einen Unterrichtsentwurf einer gamifizierten Mathematikstunde inklusive des zugehörigen Arbeitsmaterials, anhand dessen die Verwendung von Gamification deutlich wird. Gamification offeriert oftmals Vorteile gegenüber dem traditionellen Unterricht, muss jedoch wie jede Methode an den Inhalt und die Zielgruppe angepasst werden. Weiterführende Forschung könnte sich mit konkreten motivationalen Strukturen, personenspezifischen Unterschieden sowie mit mathematischen Inhalten wie dem Problemlösen oder dem Wechsel zwischen verschiedenen Darstellungen hinsichtlich gamifizierter Lehrformen beschäftigen. N2 - Games and game-typical elements such as collecting points are an indispensable part of everyday life. In addition, they are used increasingly in companies or in learning environments. However, the method of gamification has been little classified for the pedagogical context and it has hardly been made accessible to teachers so far. Therefore, this bachelor’s thesis aims to present a systematic structure and reconditioning of gamification as well as innovative approaches for the implementation of game-typical elements in educational contexts, specifically in teaching mathematics. This thesis can provide a basis for other subject areas, but also for other forms of teaching and thus demonstrate the feasibility of gamification in own courses. The paper explains why and with which elements gamification can increase learners' motivation and willingness to perform in the long term, promote social and personal competences and encourage learners to become more active. Moreover, gamification is explicitly linked to basic mathematics didactic principles and thus emphasizes its relevance for mathematics teaching. Afterwards the individual elements of gamification such as points, levels, badges, characters and frame story are described schematically according to the classification “FUN” (Feedback – User specific elements – Neutral elements), developed especially for the educational context in the thesis. This includes ideas for learn-enhancing feedback, opportunities for differentiation and the design of teaching frameworks that can be implemented in courses of all kinds. The bachelor’s thesis also includes a specific example, a lesson plan for a gamified mathematics lesson including the associated working material, which illustrates the use of gamification. Gamification often offers advantages over traditional teaching, but like any method, it must be adapted to the content and the target group. Further research could focus on specific motivational structures, individual differences of students, and mathematical contents such as problem solving or changing representations regarding gamified teaching. KW - Gamification KW - Spiel KW - Motivation KW - Methode KW - Unterrichtsmethode KW - Feedback KW - Innovation KW - Lernen KW - Mathematikdidaktik KW - Mathematikunterricht KW - gamification KW - game KW - game-based KW - motivation KW - learning KW - feedback KW - method KW - teaching KW - teaching methods KW - didactics of mathematics Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-515937 ER - TY - THES A1 - Fabian, Melina T1 - Grundvorstellungen bei Zahlbereichserweiterungen T1 - Basic ideas ('Grundvorstellungen') for numerical extensions BT - von N nach Q+ oder von N nach Z? N2 - Die Erweiterung des natürlichen Zahlbereichs um die positiven Bruchzahlen und die negativen ganzen Zahlen geht für Schülerinnen und Schüler mit großen gedanklichen Hürden und einem Umbruch bis dahin aufgebauter Grundvorstellungen einher. Diese Masterarbeit trägt wesentliche Veränderungen auf der Vorstellungs- und Darstellungsebene für beide Zahlbereiche zusammen und setzt sich mit den kognitiven Herausforderungen für Lernende auseinander. Auf der Grundlage einer Diskussion traditioneller sowie alternativer Lehrgänge der Zahlbereichserweiterung wird eine Unterrichtskonzeption für den Mathematikunterricht entwickelt, die eine parallele Einführung der Bruchzahlen und der negativen Zahlen vorschlägt. Die Empfehlungen der Unterrichtkonzeption erstrecken sich über den Zeitraum von der ersten bis zur siebten Klassenstufe, was der behutsamen Weiterentwicklung und Modifikation des Zahlbegriffs viel Zeit einräumt, und enthalten auch didaktische Überlegungen sowie konkrete Hinweise zu möglichen Aufgabenformaten. N2 - The extension of the natural number range to include the positive fractions and the negative integers is accompanied by great mental hurdles for students and an upheaval of previously established basic concepts. This Master's thesis brings together essential changes at the level of imagination and representation for both number ranges and deals with the cognitive challenges for learners. Based on a discussion of traditional as well as alternative courses of number range extension, a teaching conception for mathematics lessons is developed that proposes a parallel introduction of fractions and negative numbers. The recommendations of the teaching conception cover the period from the first to the seventh grade, which allows a lot of time for the careful further development and modification of the number concept, and also contain didactic considerations as well as concrete hints on possible task formats. KW - Mathematikdidaktik KW - Zahlbereichserweiterung KW - Grundvorstellungen KW - negative Zahlen KW - Bruchzahlen KW - fractions KW - basic ideas ('Grundvorstellungen') KW - didactics of mathematics KW - numerical extension KW - negative numbers Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-565930 ER - TY - BOOK ED - Ladel, Silke ED - Kortenkamp, Ulrich ED - Etzold, Heiko T1 - Mathematik mit digitalen Medien - konkret BT - ein Handbuch für Lehrpersonen der Primarstufe T3 - Lernen, Lehren und Forschen mit digitalen Medien in der Primarstufe ; 4 N2 - Neue Medien“ war über viele Jahre hinweg das Codewort für Computer, die den Einzug in den Schulunterricht schaffen sollten – wenn es nach den Befürwortern ging. Die Widerstände, gerade in der Grundschule, waren groß und vielfältig. Es ist verständlich, dass kurz nach der spielerischen Heranführung an Bildung im Kindergarten, in einer Zeit, in der die Schülerinnen und Schüler auch das soziale Miteinander einüben müssen und auch fein- und grobmotorische Fähigkeiten erwerben sollen, das vereinzelnde Sitzen vor einem Bildschirm nicht zu den obersten Prioritäten gehört – und auch unserer Meinung nach nicht gehören sollte. In den letzten Jahren hat sich der Begriff der neuen Medien aber verändert, und das, was bisher damit verbunden wurde, ist mit der „Digitalisierung“ nicht nur des Schulunterrichts, sondern des ganzen Lebens, zu einem Dreh- und Angelpunkt der Bildung geworden. Statt klobigen Computern mit Bildschirmen, die das Miteinander schon über die Ausstattung der Computerräume in die falsche Bahn lenken, haben mobile Geräte in der Hand der Schülerinnen und Schüler übernommen. Diese können nun gemeinsam an einem Gerät arbeiten, sie können direkt mit den Bildschirminhalten interagieren, sie können die Kameras, Mikrophone und Sensoren nutzen, um authentische Daten zu erfassen und zu verarbeiten, sie können auch außerhalb des Klassenraums oder der Schule damit arbeiten und haben inzwischen fast jederzeit das ganze Wissen des Internets mit dabei. Schwerpunkt dieses Bandes ist daher der Umgang mit Tablets und den darauf laufenden „Apps“ im Mathematikunterricht. In fünf Beiträgen werden konkrete Unterrichtsvorschläge gemacht, die als Blaupausen für App-gestützten Unterricht dienen können. Ergänzt wird dieser Band durch einen allgemeinen Leitfaden zur Beurteilung von Apps für den Mathematikunterricht samt Beispielen. Y1 - 2018 UR - https://www.wtm-verlag.de/s-ladel-u-kortenkamp-h-etzold-hrsg-mathematik-mit-digitalen-medien-konkret-ein-handbuch-fuer-lehrpersonen-der-primarstufe/ UR - https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:101:1-2018091520104053653215 SN - 978-3-95987-078-8 PB - WTM-Verlag CY - Münster ER - TY - THES A1 - Hannes, Sebastian T1 - Boundary Value Problems for the Lorentzian Dirac Operator N2 - The index theorem for elliptic operators on a closed Riemannian manifold by Atiyah and Singer has many applications in analysis, geometry and topology, but it is not suitable for a generalization to a Lorentzian setting. In the case where a boundary is present Atiyah, Patodi and Singer provide an index theorem for compact Riemannian manifolds by introducing non-local boundary conditions obtained via the spectral decomposition of an induced boundary operator, so called APS boundary conditions. Bär and Strohmaier prove a Lorentzian version of this index theorem for the Dirac operator on a manifold with boundary by utilizing results from APS and the characterization of the spectral flow by Phillips. In their case the Lorentzian manifold is assumed to be globally hyperbolic and spatially compact, and the induced boundary operator is given by the Riemannian Dirac operator on a spacelike Cauchy hypersurface. Their results show that imposing APS boundary conditions for these boundary operator will yield a Fredholm operator with a smooth kernel and its index can be calculated by a formula similar to the Riemannian case. Back in the Riemannian setting, Bär and Ballmann provide an analysis of the most general kind of boundary conditions that can be imposed on a first order elliptic differential operator that will still yield regularity for solutions as well as Fredholm property for the resulting operator. These boundary conditions can be thought of as deformations to the graph of a suitable operator mapping APS boundary conditions to their orthogonal complement. This thesis aims at applying the boundary conditions found by Bär and Ballmann to a Lorentzian setting to understand more general types of boundary conditions for the Dirac operator, conserving Fredholm property as well as providing regularity results and relative index formulas for the resulting operators. As it turns out, there are some differences in applying these graph-type boundary conditions to the Lorentzian Dirac operator when compared to the Riemannian setting. It will be shown that in contrast to the Riemannian case, going from a Fredholm boundary condition to its orthogonal complement works out fine in the Lorentzian setting. On the other hand, in order to deduce Fredholm property and regularity of solutions for graph-type boundary conditions, additional assumptions for the deformation maps need to be made. The thesis is organized as follows. In chapter 1 basic facts about Lorentzian and Riemannian spin manifolds, their spinor bundles and the Dirac operator are listed. These will serve as a foundation to define the setting and prove the results of later chapters. Chapter 2 defines the general notion of boundary conditions for the Dirac operator used in this thesis and introduces the APS boundary conditions as well as their graph type deformations. Also the role of the wave evolution operator in finding Fredholm boundary conditions is analyzed and these boundary conditions are connected to notion of Fredholm pairs in a given Hilbert space. Chapter 3 focuses on the principal symbol calculation of the wave evolution operator and the results are used to proof Fredholm property as well as regularity of solutions for suitable graph-type boundary conditions. Also sufficient conditions are derived for (pseudo-)local boundary conditions imposed on the Dirac operator to yield a Fredholm operator with a smooth solution space. In the last chapter 4, a few examples of boundary conditions are calculated applying the results of previous chapters. Restricting to special geometries and/or boundary conditions, results can be obtained that are not covered by the more general statements, and it is shown that so-called transmission conditions behave very differently than in the Riemannian setting. N2 - Der Indexsatz für elliptische Operatoren auf geschlossenen Riemannschen Mannigfaltigkeiten von Atiyah und Singer hat zahlreiche Anwendungen in Analysis, Geometrie und Topologie, ist aber ungeeignet für eine Verallgemeinerung auf Lorentz-Mannigfaltigkeiten. Durch die Einführung nicht-lokaler Randbedingungen, gewonnen aus der Spektralzerlegung eines induzierten Randoperators, beweisen Atiyah, Patodi und Singer (APS) einen Indexsatz für den Fall kompakter Riemannscher Mannigfaltigkeiten mit Rand. Aufbauend auf diesem Resultat und mit Hilfe der Charakterisierung des Spektralflusses durch Philipps gelangen Bär und Strohmaier zu einem Indexsatz für den Dirac-Operator auf global hyperbolischen Lorentz-Mannigfaltigkeiten mit kompakten und raumartigen Cauchy-Hyperflächen. Ihr Ergebnis zeigt unter anderem, dass der Dirac Operator auf solchen Mannigfaltigkeiten und unter APS Randbedingungen ein Fredholm-Operator mit glattem Kern ist und das sein Index sich aus einer zum Riemannschen Fall analogen Formel berechnen lässt. Zurück im Riemannschen Setup zeigen Bär und Ballmann eine allgemeine Charakterisierung von Randbedingungen für elliptische Differentialoperatoren erster Ordnung die sowohl die Regularität von Lösungen, als auch Fredholm-Eigenschaft des resultierenden Operators garantieren. Die dort entwickelten Randbedingungen können als Deformation auf den Graphen einer geeigneten Abbildung der APS-Randbedingung auf ihr orthogonales Komplement verstanden werden. Die vorliegende Arbeit hat das Ziel die von Bär und Ballmann beschriebenen Randbedingungen auf den Dirac-Operator von global hyperbolischen Lorentz-Mannigfaltigkeiten zu übertragen um eine allgemeinere Klasse von Randbedingungen zu finden unter denen der resultierende Dirac-Operator Fredholm ist und einen glatten Lösungsraum hat. Weiterhin wird analysiert wie sich derartige Deformation von APS-Randbedingungen auf den Index solcher Operatoren auswirken und wie dieser aus den bekannten Resultaten für den APS-Index berechnet werden kann. Es wird unter anderem gezeigt, dass im Gegensatz zum Riemannschen Fall beim Übergang von Randbedingungen zu ihrem orthogonalen Komplement die Fredholm-Eigenschaft des Operators erhalten bleibt. Andererseits sind zusätzliche Annahme nötig um die Regularität von Lösungen, sowie die Fredholm-Eigenschaft für Graph-Deformationen im Fall von Lorentz-Mannigfaltigkeiten zu erhalten. Die Arbeit ist dabei wie folgt aufgebaut. In Kapitel 1 werden grundlegende Fakten zu Lorentzschen und Riemannschen Spin-Mannigfaltigkeiten, ihren Spinor-Bündeln und Dirac-Operatoren zusammengetragen. Diese Informationen dienen als Ausgangspunkt zur Definition und Analyse von Randbedingungen in späteren Kapiteln der Arbeit. Kapitel 2 definiert allgemein den Begriff der Randbedingung wie er in dieser Arbeit verwendet wird und führt zudem den sogenannten ''wave-evolution-Operator'' ein, der eine wichtige Rolle im Finden und Analysieren von Fredholm-Randbedingungen für den Dirac-Operator spielen wird. Zuletzt wird der Zusammenhang zwischen Fredholm-Paaren eines Hilbert-Raumes und Fredholm-Randbedingungen für den Dirac-Operator erklärt. Kapitel 3 beschäftigt sich mit der Berechnung des Hauptsymbols des wave-evolution-Operators und die dort erzielten Resultate werden verwendet um Fredholm-Eigenschaft, sowie Regularität von Lösungen für geeignete Deformationen von APS-Randbedingungen zu beweisen. Weiterhin werden hinreichende Bedingungen für (pseudo-)lokale Randbedingungen abgeleitet, die Fredholm-Eigenschaft und Regularität für den resultierenden Dirac-Operator garantieren. Kapitel 4 zeigt, aufbauend auf den Ergebnissen der Kapitel 1-3, einige Beispiele von lokalen und nicht-lokalen Randbedingungen für den Dirac-Operator. Unter gewissen Einschränkungen an die Geometrie der zugrunde liegenden Mannigfaltigkeit bzw. den gestellten Randbedingungen können Ergebnisse erzielt werden die in den allgemeineren Resultaten der vorangehenden Kapitel nicht enthalten sind. Zuletzt werden sogenannte Transmission-Bedingungen analysiert und die Unterschiede dieser Randbedingungen zum Riemannschen Fall aufgezeigt. T2 - Randwertprobleme für den Lorentschen Diracoperator KW - Dirac Operator KW - Boundary Value Problems KW - Lorentzian Geometry KW - Randwertprobleme KW - Diracoperator KW - Lorentzgeometrie Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-548391 ER - TY - THES A1 - Engelhardt, Max Angel Ronan T1 - Zwischen Simulation und Beweis - eine mathematische Analyse des Bienaymé-Galton-Watson-Prozesses und sein Einsatz innerhalb des Mathematikunterrichts T1 - Between simulation and proof - a mathematical analysis of the Bienaymé-Galton-Watson-process and its application in mathematics lessons N2 - Die Bienaymé-Galton-Watson Prozesse können für die Untersuchung von speziellen und sich entwickelnden Populationen verwendet werden. Die Populationen umfassen Individuen, welche sich identisch, zufällig, selbstständig und unabhängig voneinander fortpflanzen und die jeweils nur eine Generation existieren. Die n-te Generation ergibt sich als zufällige Summe der Individuen der (n-1)-ten Generation. Die Relevanz dieser Prozesse begründet sich innerhalb der Historie und der inner- und außermathematischen Bedeutung. Die Geschichte der Bienaymé-Galton-Watson-Prozesse wird anhand der Entwicklung des Konzeptes bis heute dargestellt. Dabei werden die Wissenschaftler:innen verschiedener Disziplinen angeführt, die Erkenntnisse zu dem Themengebiet beigetragen und das Konzept in ihren Fachbereichen angeführt haben. Somit ergibt sich die außermathematische Signifikanz. Des Weiteren erhält man die innermathematische Bedeutsamkeit mittels des Konzeptes der Verzweigungsprozesse, welches auf die Bienaymé-Galton-Watson Prozesse zurückzuführen ist. Die Verzweigungsprozesse stellen eines der aussagekräftigsten Modelle für die Beschreibung des Populationswachstums dar. Darüber hinaus besteht die derzeitige Wichtigkeit durch die Anwendungsmöglichkeit der Verzweigungsprozesse und der Bienaymé-Galton-Watson Prozesse innerhalb der Epidemiologie. Es werden die Ebola- und die Corona-Pandemie als Anwendungsfelder angeführt. Die Prozesse dienen als Entscheidungsstütze für die Politik und ermöglichen Aussagen über die Auswirkungen von Maßnahmen bezüglich der Pandemien. Neben den Prozessen werden ebenfalls der bedingte Erwartungswert bezüglich diskreter Zufallsvariablen, die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion und die zufällige Summe eingeführt. Die Konzepte vereinfachen die Beschreibung der Prozesse und bilden somit die Grundlage der Betrachtungen. Außerdem werden die benötigten und weiterführenden Eigenschaften der grundlegenden Themengebiete und der Prozesse aufgeführt und bewiesen. Das Kapitel erreicht seinen Höhepunkt bei dem Beweis des Kritikalitätstheorems, wodurch eine Aussage über das Aussterben des Prozesses in verschiedenen Fällen und somit über die Aussterbewahrscheinlichkeit getätigt werden kann. Die Fälle werden anhand der zu erwartenden Anzahl an Nachkommen eines Individuums unterschieden. Es zeigt sich, dass ein Prozess bei einer zu erwartenden Anzahl kleiner gleich Eins mit Sicherheit ausstirbt und bei einer Anzahl größer als Eins, die Population nicht in jedem Fall aussterben muss. Danach werden einzelne Beispiele, wie der linear fractional case, die Population von Fibroblasten (Bindegewebszellen) von Mäusen und die Entstehungsfragestellung der Prozesse, angeführt. Diese werden mithilfe der erlangten Ergebnisse untersucht und einige ausgewählte zufällige Dynamiken werden im nachfolgenden Kapitel simuliert. Die Simulationen erfolgen durch ein in Python erstelltes Programm und werden mithilfe der Inversionsmethode realisiert. Die Simulationen stellen beispielhaft die Entwicklungen in den verschiedenen Kritikalitätsfällen der Prozesse dar. Zudem werden die Häufigkeiten der einzelnen Populationsgrößen in Form von Histogrammen angebracht. Dabei lässt sich der Unterschied zwischen den einzelnen Fällen bestätigen und es wird die Anwendungsmöglichkeit der Bienaymé-Galton-Watson Prozesse bei komplexeren Problemen deutlich. Histogramme bekräftigen, dass die einzelnen Populationsgrößen nur endlich oft vorkommen. Diese Aussage wurde von Galton aufgeworfen und in der Extinktions-Explosions-Dichotomie verwendet. Die dargestellten Erkenntnisse über das Themengebiet und die Betrachtung des Konzeptes werden mit einer didaktischen Analyse abgeschlossen. Die Untersuchung beinhaltet die Berücksichtigung der Fundamentalen Ideen, der Fundamentalen Ideen der Stochastik und der Leitidee „Daten und Zufall“. Dabei ergibt sich, dass in Abhängigkeit der gewählten Perspektive die Anwendung der Bienaymé-Galton-Watson Prozesse innerhalb der Schule plausibel ist und von Vorteil für die Schüler:innen sein kann. Für die Behandlung wird exemplarisch der Rahmenlehrplan für Berlin und Brandenburg analysiert und mit dem Kernlehrplan Nordrhein-Westfalens verglichen. Die Konzeption des Lehrplans aus Berlin und Brandenburg lässt nicht den Schluss zu, dass die Bienaymé-Galton-Watson Prozesse angewendet werden sollten. Es lässt sich feststellen, dass die zugrunde liegende Leitidee nicht vollumfänglich mit manchen Fundamentalen Ideen der Stochastik vereinbar ist. Somit würde eine Modifikation hinsichtlich einer stärkeren Orientierung des Lehrplans an den Fundamentalen Ideen die Anwendung der Prozesse ermöglichen. Die Aussage wird durch die Betrachtung und Übertragung eines nordrhein-westfälischen Unterrichtsentwurfes für stochastische Prozesse auf die Bienaymé-Galton-Watson Prozesse unterstützt. Darüber hinaus werden eine Concept Map und ein Vernetzungspentagraph nach von der Bank konzipiert um diesen Aspekt hervorzuheben. N2 - The Bienaymé-Galton-Watson processes can be used to study special and developing populations. These populations include individuals that reproduce identically, randomly, separately, independently of each other, and which exist only for one generation. The n-th generation is the random sum of the individuals of the (n-1)-th generation. The relevance of these processes is based on their history and their significance in mathematical and extra-mathematical contexts. The history of the Bienaymé-Galton-Watson processes is illustrated by the development of the concept to the present day. Various scientists from different disciplines who have contributed to the topic in their respective fields are listed. This illustrates moreover the significance in extra-mathematical contexts. Furthermore, the inner- mathematical magnitude is obtained by means of the superordinate concept of branching processes, which can be traced back to the Bienaymé-Galton-Watson processes. These branching processes are one of the most significant models for describing population growth. In addition, the current importance arises from the applicability of branching processes and the Bienaymé-Galton-Watson processes within epidemiology. The Ebola and Corona pandemics are mentioned as fields of application. The processes serve as a basis for political decision-making and enable statements made on the impact of pandemic measures. In addition to the processes, the conditional expectation value for discrete random variables, the probability generating function and the random sum are also introduced. These concepts simplify the description of the processes and thus form the basis of the considerations. Also, the required and further properties of the basic topics and processes are listed and demonstrated. The chapter reaches its climax with the proof of the criticality theorem, whereby a statement can be made about the extinction of the process in different cases and thus about the extinction probability. These cases are distinguished based on the expected number of offspring from the individuals. It turns out that a process with an expected number of less than one certainly becomes extinct. On the contrary, a process with a number greater than one does not necessarily has to die out. Individual examples are then given, such as the linear fractional case, the population of fibroblasts (connective tissue cells) of mice and the question of origin. These are investigated using the results obtained and some selected random dynamics are simulated in the following chapter. The simulations are carried out by a Python self-written program and are realized using the inversion method. These simulations exemplify the developments in the different criticality cases of the processes. Besides, the frequencies of the individual population sizes are displayed in the form of histograms. The difference between the individual cases can be confirmed and the analysis of the fibroblasts reveals the applicability of the Bienaymé-Galton-Watson processes to more complex problems. Histograms confirm that the individual population sizes occur only finitely often. This statement was raised by Galton and is used in the extinction-explosion dichotomy. The presented findings about the topic and the consideration of the concept are concluded with an analysis of didactic-background. This involves the fundamental ideas, the fundamental ideas of stochastics and the guiding idea of data and chance. Depending on the chosen perspective, the use of the Bienaymé-Galton-Watson processes within the school is plausible and may be beneficial for the students. For the treatment, the Rahmenlehrplan for Berlin and Brandenburg is analysed and compared with the core curriculum of Nord Rhine-Westphalia as an example. The design of the curriculum of Berlin and Brandenburg does not allow the conclusion of applying the Bienaymé-Galton-Watson processes. It can be seen that the underlying guiding idea is not fully compatible with some fundamental ideas of stochastics. Thus, a modification to the curriculum more oriented towards these fundamental ideas would allow the application of the processes. This statement is supported by the observation and transfer of a North Rhine-Westphalian teaching design for stochastic processes to the Bienaymé-Galton-Watson processes by means of chain letters. In addition, a concept map and a Vernetzungspentagraph by von der Bank are designed to highlight this aspect. KW - Bienaymé-Galton-Watson Prozess KW - Kritikalitätstheorem KW - Verzweigungsprozess KW - Populationen KW - linear fractional case KW - bedingter Erwartungswert KW - zufällige Summe KW - Simulation KW - wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion KW - Historie der Verzweigungsprozesse KW - Instabilität des Prozesses KW - Aussterbewahrscheinlichkeit KW - Geometrische Reproduktionsverteilung KW - Fibroblasten KW - Entstehungsfragestellung KW - Fundamentale Ideen KW - Leitidee „Daten und Zufall“ KW - Rahmenlehrplan KW - Markov-Ketten KW - Corona KW - Bienaymé-Galton-Watson process KW - criticality theorem KW - branching process KW - populations KW - linear fractional case KW - conditional expectation value KW - random sum KW - simulation KW - probability generating function KW - history of branching processes KW - instability of the process KW - extinction probability KW - geometric reproduction distribution KW - fibroblasts KW - question of origin KW - fundamental ideas KW - guiding idea “Daten und Zufall” KW - Rahmenlehrplan KW - Markov chains KW - Corona Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-524474 ER - TY - THES A1 - Piaskowski, Birgit T1 - Denkhürden in den rationalen Zahlen T1 - Hurdles in conceptualization of rational numbers BT - eine Analyse des Professionswissens von Lehramtsstudierenden BT - analysis of pre-service teachers´ professional knowledge N2 - Das Professionswissen von Lehrkräften gehört zu den bedeutendsten Stellschrauben der Bildung an den Schulen. Seine Kernbereiche sind fachwissenschaftliches Wissen und fachdidaktisches Wissen, welche hauptsächlich in der universitären Ausbildung erworben werden. Die vorliegende Arbeit verfolgt das Ziel, einen Beitrag zur stetigen Verbesserung und Sicherung der Qualität der Lehrerausbildung an der Universität Potsdam zu leisten, und stellt die Frage: Über welches fachwissenschaftliche und fachdidaktische Wissen verfügen die Lehramtsstudierenden im Fach Mathematik nach Besuch der Lehrveranstaltung Arithmetik und ihre Didaktik I und II? Untersucht wurde exemplarisch das Wissen der Lehramtsstudierenden im Bereich der rationalen Zahlen mit dem Fokus auf dem Verständnis der Dichte von Bruchzahlen. Die Dichte stellt eines der am schwierigsten zu erwerbenden Konzepte im Bruchzahlerwerb dar und fordert ein konzeptionelles Umdenken sowie die Reorganisation bereits erworbener Vorstellungen. Um die Forschungsfrage zu beantworten, wurden in einer qualitativen Studie 112 Lehramtsstudierende hinsichtlich ihres Wissens zu dem Thema Dichte von rationalen Zahlen schriftlich getestet. Um Denkprozesse der Studierenden zu verstehen und Denkhürden zu identifizieren, wurden zusätzlich qualitative Interviews in Form von Gruppendiskussionen geführt. Die Daten wurden mithilfe der Qualitativen Inhaltsanalyse computergestützt ausgewertet. Es zeigte sich eine große Bandbreite verschiedener Wissensbestände. Die Ergebnisse im fachdidaktischen Wissen blieben hinter den Ergebnissen im fachwissenschaftlichen Wissen zurück. Am schwierigsten fiel den Studierenden die Gegenüberstellung von wesentlichen Eigenschaften der rationalen und natürlichen Zahlen auf der metakognitiven Ebene. Neben positiven Ergebnissen, welche für die Effektivität der Konzeption der Lehrveranstaltung sprechen, zeigten sich diverse Denkhürden. Defizite im Fachwissen wie ein mangelndes Verständnis von äquivalenten Brüchen oder Fehler im Erweitern von Brüchen enthüllen unzulänglich ausgebildete Grundvorstellungen im Bereich der rationalen Zahlen seitens der Studierenden. Schwierigkeiten in den fachdidaktischen Aufgaben wie die Formulierung einer kindgerechten Erklärung oder die anschauliche Darstellung des mathematischen Inhalts auf bildlicher Ebene lassen sich ursächlich auf die Defizite im Fachwissen zurückführen. Zusätzlich stellten sich Einschränkungen seitens der Studierenden in der Motivation und Relevanzzuschreibung heraus. Die Ergebnisse führen zu gezielten Änderungsvorschlägen bezüglich der Konzeption der Lehrveranstaltung. Es wird empfohlen, verschiedene Lernangebote wie Hausaufgaben und wöchentliche Selbsttests zur individuellen Lernzielkontrolle für alle Teilnehmenden der Lehrveranstaltung verpflichtend zu gestalten und motivationale Aspekte verstärkt aufzugreifen. Zusätzlich wird der Ausbau von konkreten Übungen auf der enaktiven Ebene empfohlen, um den Aufbau von notwendigen Grundvorstellungen im Bereich der rationalen Zahlen zu fördern und somit Denkhürden gezielt zu begegnen. N2 - The professional knowledge of teachers is one of the most significant keystones of education at schools. Its core areas are subject matter knowledge and subject didactic knowledge (or pedagogical content knowledge). Both are mainly acquired through university education. The present thesis pursues the goal to make a contribution improvement and quality assurance of teacher education at the University of Potsdam. The main research question is: What subject matter and subject didactic knowledge do mathematics pre-service teachers possess after attending the course Arithmetic and Teaching Arithmetic I and II? As an example, the knowledge of pre-service teachers about rational numbers was investigated with a focus on their understanding of the density of rational numbers. The density represents one of the most difficult concepts about rational numbers when compared to natural numbers. It requires conceptual re-thinking as well as the reorganization of already acquired ideas. In order to answer the research question, a qualitative study was carried out. As an instrument, a written test about rational numbers was administered to all 112 pre-service teachers. Additionally, in order to understand the ways of thinking of the pre-service teachers and to identify thinking barriers, qualitative interviews were conducted in the form of group discussions. The data was evaluated using computer-aided qualitative content analysis tools. The study showed a wide range of different knowledge levels. The results in subject didactic knowledge lagged behind those in subject matter knowledge. The most difficult thing for the pre-service teachers was comparing essential properties of rational and natural numbers on the meta-cognitive level. Apart from positive results, which speak for the effectiveness of the conception of the course, various thinking hurdles have been recognized. Deficits in subject matter knowledge such as a lack of understanding of the equivalence of fractions or errors in expanding fractions reveal pre-service teachers´ inadequately developed basic ideas about rational numbers. The difficulties in solving the didactic tasks such as giving a child-friendly explanation or a clear visual representation of the mathematical content can be attributed to their deficits in subject matter knowledge. In addition, obstacles in motivation and relevance attribution have been observed on the part of several pre-service teachers. The results lead to specific suggestions for changes to the conception of the course. It is recommended to make learning offers such as homework and weekly self-tests for individual control of learning objectives obligatory for all course participants and to take up motivational aspects more intensely. In addition, the creation of concrete exercises on the enactive level is recommended in order to promote the development of necessary basic concepts about rational numbers and thus to overcome thinking hurdles. KW - fachwissenschaftliches Wissen KW - fachdidaktisches Wissen KW - Bruchzahlen KW - Dichte von rationalen Zahlen KW - Denkhürden KW - subject matter knowledge KW - subject didactic knowledge KW - rational numbers KW - density of rational numbers KW - thinking barriers Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-532777 ER - TY - JOUR A1 - Güneysu, Batu A1 - Keller, Matthias T1 - Feynman path integrals for magnetic Schrödinger operators on infinite weighted graphs JF - Journal d'analyse mathématique N2 - We prove a Feynman path integral formula for the unitary group exp(-itL(nu,theta)), t >= 0, associated with a discrete magnetic Schrodinger operator L-nu,L-theta on a large class of weighted infinite graphs. As a consequence, we get a new Kato-Simon estimate vertical bar exp(- itL(nu,theta))(x,y)vertical bar <= exp( -tL(-deg,0))(x,y), which controls the unitary group uniformly in the potentials in terms of a Schrodinger semigroup, where the potential deg is the weighted degree function of the graph. Y1 - 2020 U6 - https://doi.org/10.1007/s11854-020-0110-y SN - 0021-7670 SN - 1565-8538 VL - 141 IS - 2 SP - 751 EP - 770 PB - The Magnes Press, the Hebrew Univ. CY - Jerusalem ER - TY - JOUR A1 - Hermann, Andreas A1 - Humbert, Emmanuel T1 - Mass functions of a compact manifold JF - Journal of geometry and physics : JGP N2 - Let M be a compact manifold of dimension n. In this paper, we introduce the Mass Function a >= 0 bar right arrow X-+(M)(a) (resp. a >= 0 bar right arrow X--(M)(a)) which is defined as the supremum (resp. infimum) of the masses of all metrics on M whose Yamabe constant is larger than a and which are flat on a ball of radius 1 and centered at a point p is an element of M. Here, the mass of a metric flat around p is the constant term in the expansion of the Green function of the conformal Laplacian at p. We show that these functions are well defined and have many properties which allow to obtain applications to the Yamabe invariant (i.e. the supremum of Yamabe constants over the set of all metrics on M). KW - Yamabe operator KW - Yamabe invariant KW - surgery KW - positive mass theorem Y1 - 2020 U6 - https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2020.103650 SN - 0393-0440 SN - 1879-1662 VL - 154 PB - Elsevier CY - Amsterdam [u.a.] ER - TY - THES A1 - Gehring, Penelope T1 - Non-local boundary conditions for the spin Dirac operator on spacetimes with timelike boundary T1 - Nicht-lokale Randbedingungen für den spinorialen Dirac-Operator auf Raumzeiten mit zeitartigen Rand N2 - Non-local boundary conditions – for example the Atiyah–Patodi–Singer (APS) conditions – for Dirac operators on Riemannian manifolds are rather well-understood, while not much is known for such operators on Lorentzian manifolds. Recently, Bär and Strohmaier [15] and Drago, Große, and Murro [27] introduced APS-like conditions for the spin Dirac operator on Lorentzian manifolds with spacelike and timelike boundary, respectively. While Bär and Strohmaier [15] showed the Fredholmness of the Dirac operator with these boundary conditions, Drago, Große, and Murro [27] proved the well-posedness of the corresponding initial boundary value problem under certain geometric assumptions. In this thesis, we will follow the footsteps of the latter authors and discuss whether the APS-like conditions for Dirac operators on Lorentzian manifolds with timelike boundary can be replaced by more general conditions such that the associated initial boundary value problems are still wellposed. We consider boundary conditions that are local in time and non-local in the spatial directions. More precisely, we use the spacetime foliation arising from the Cauchy temporal function and split the Dirac operator along this foliation. This gives rise to a family of elliptic operators each acting on spinors of the spin bundle over the corresponding timeslice. The theory of elliptic operators then ensures that we can find families of non-local boundary conditions with respect to this family of operators. Proceeding, we use such a family of boundary conditions to define a Lorentzian boundary condition on the whole timelike boundary. By analyzing the properties of the Lorentzian boundary conditions, we then find sufficient conditions on the family of non-local boundary conditions that lead to the well-posedness of the corresponding Cauchy problems. The well-posedness itself will then be proven by using classical tools including energy estimates and approximation by solutions of the regularized problems. Moreover, we use this theory to construct explicit boundary conditions for the Lorentzian Dirac operator. More precisely, we will discuss two examples of boundary conditions – the analogue of the Atiyah–Patodi–Singer and the chirality conditions, respectively, in our setting. For doing this, we will have a closer look at the theory of non-local boundary conditions for elliptic operators and analyze the requirements on the family of non-local boundary conditions for these specific examples. N2 - Über nicht-lokale Randbedingungen – zum Beispiel dieAtiyah–Patodi–Singer (APS)-Bedingungen – für Dirac Operatoren auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten ist recht viel bekannt, während für die hyperbolischen Dirac Operatoren auf Lorentz-Mannigfaltigkeiten dies noch nicht der Fall ist. Kürzlich haben Bär und Strohmaier [15] und Drago, Große und Murro [27] APS-ähnliche Bedingungen für den Spin Dirac Operator auf Lorentz-Mannigfaltigkeiten mit raumartigen bzw. zeitartigen Rand eingeführt. Während Bär und Strohmaier [15] zeigten, dass der Dirac Operator mit diesen Randbedingungen Fredholm ist, bewiesen Drago, Große und Murro [27] die Wohlgestelltheit des entsprechenden Anfangsrandwertproblems unter bestimmten geometrischen Annahmen. In dieser Arbeit werden wir in die Fußstapfen der letztgenannten Autoren treten und diskutieren, ob die APS-ähnlichen Bedingungen für Dirac Operatoren auf Lorentz-Mannigfaltigkeiten mit zeitartigen Rand durch allgemeinere Bedingungen ersetzt werden können, sodass die zugehörigen Anfangsrandwertprobleme immer noch wohlgestellt sind. Wir betrachten Randbedingungen, die in der Zeit lokal und in den Raumrichtungen nicht-lokal sind. Genauer gesagt verwenden wir die Raumzeitblätterung, die sich aus der Cauchy Zeitfunktion ergibt, und spalten den Dirac Operator entlang dieser Foliation auf. Daraus ergibt sich eine Familie elliptischer Operatoren, die jeweils auf Spinoren des Spinbündels über den entsprechenden Zeitschnitt wirken. Die Theorie der elliptischen Operatoren stellt dann sicher, dass wir Familien von nichtlokalen Randbedingungen bezüglich dieser Familie von Operatoren finden können. Im weiteren Verlauf verwenden wir solche Familien von Randbedingungen, um eine Lorentzsche Randbedingung auf dem gesamten zeitartigen Rand zu definieren. Durch das Analysieren der Lorentzschen Randbedingungen finden wir dann hinreichende Bedingungen für die Familie der nicht-lokalen Randbedingungen, die zur Wohlgestelltheit der entsprechenden Cauchy-Probleme führen. Die Wohlgestelltheit selbst wird dann mit Hilfe klassischer Methoden bewiesen, einschließlich Energieabschätzungen und Annäherung durch Lösungen der regularisierten Probleme. Außerdem verwenden wir diese Theorie, um explizite Randbedingungen für den Lorentzschen Dirac Operator zu konstruieren. Genauer gesagt werden wir zwei Beispiele für Randbedingungen diskutieren - das Analogon der Atiyah-Patodi-Singer- bzw. Chiralitäts-Bedingungen für unseren Fall. Dazu werden wir uns die Theorie der nicht-lokalen Randbedingungen für elliptische Operatoren genauer ansehen und die Anforderungen an die Familie der nicht-lokalen Randbedingungen für diese Beispiele analysieren. KW - Dirac operator KW - Diracoperator KW - spacetimes with timelike boundary KW - Raumzeiten mit zeitartigen Rand KW - boundary conditions KW - Randbedingungen KW - initial boundary value problem KW - Anfangsrandwertproblem Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-577755 ER - TY - JOUR A1 - Mauerberger, Stefan A1 - Schanner, Maximilian Arthus A1 - Korte, Monika A1 - Holschneider, Matthias T1 - Correlation based snapshot models of the archeomagnetic field JF - Geophysical journal international N2 - For the time stationary global geomagnetic field, a new modelling concept is presented. A Bayesian non-parametric approach provides realistic location dependent uncertainty estimates. Modelling related variabilities are dealt with systematically by making little subjective apriori assumptions. Rather than parametrizing the model by Gauss coefficients, a functional analytic approach is applied. The geomagnetic potential is assumed a Gaussian process to describe a distribution over functions. Apriori correlations are given by an explicit kernel function with non-informative dipole contribution. A refined modelling strategy is proposed that accommodates non-linearities of archeomagnetic observables: First, a rough field estimate is obtained considering only sites that provide full field vector records. Subsequently, this estimate supports the linearization that incorporates the remaining incomplete records. The comparison of results for the archeomagnetic field over the past 1000 yr is in general agreement with previous models while improved model uncertainty estimates are provided. KW - geopotential theory KW - archaeomagnetism KW - magnetic field variations through KW - time KW - palaeomagnetism KW - inverse theory KW - statistical methods Y1 - 2020 U6 - https://doi.org/10.1093/gji/ggaa336 SN - 0956-540X SN - 1365-246X VL - 223 IS - 1 SP - 648 EP - 665 PB - Oxford Univ. Press CY - Oxford ER - TY - JOUR A1 - Roos, Saskia A1 - Otoba, Nobuhiko T1 - Scalar curvature and the multiconformal class of a direct product Riemannian manifold JF - Geometriae dedicata N2 - For a closed, connected direct product Riemannian manifold (M, g) = (M-1, g(1)) x ... x (M-l, g(l)), we define its multiconformal class [[g]] as the totality {integral(2)(1)g(1) circle plus center dot center dot center dot integral(2)(l)g(l)} of all Riemannian metrics obtained from multiplying the metric gi of each factor Mi by a positive function fi on the total space M. A multiconformal class [[ g]] contains not only all warped product type deformations of g but also the whole conformal class [(g) over tilde] of every (g) over tilde is an element of[[ g]]. In this article, we prove that [[g]] contains a metric of positive scalar curvature if and only if the conformal class of some factor (Mi, gi) does, under the technical assumption dim M-i = 2. We also show that, even in the case where every factor (M-i, g(i)) has positive scalar curvature, [[g]] contains a metric of scalar curvature constantly equal to -1 and with arbitrarily large volume, provided l = 2 and dim M = 3. KW - Positive scalar curvature KW - Constant scalar curvature KW - The Yamabe KW - problem KW - Warped product KW - Umbilic product KW - Twisted product Y1 - 2021 U6 - https://doi.org/10.1007/s10711-021-00636-9 SN - 0046-5755 SN - 1572-9168 VL - 214 IS - 1 SP - 801 EP - 829 PB - Springer CY - Dordrecht ER - TY - THES A1 - Göbel, Franziska T1 - Contributions to multiscale statistical analysis on random geometric graphs Y1 - 2019 ER - TY - JOUR A1 - Beckus, Siegfried A1 - Bellissard, Jean A1 - De Nittis, Giuseppe T1 - Spectral continuity for aperiodic quantum systems BT - applications of a folklore theorem JF - Journal of mathematical physics N2 - This work provides a necessary and sufficient condition for a symbolic dynamical system to admit a sequence of periodic approximations in the Hausdorff topology. The key result proved and applied here uses graphs that are called De Bruijn graphs, Rauzy graphs, or Anderson-Putnam complex, depending on the community. Combining this with a previous result, the present work justifies rigorously the accuracy and reliability of algorithmic methods used to compute numerically the spectra of a large class of self-adjoint operators. The so-called Hamiltonians describe the effective dynamic of a quantum particle in aperiodic media. No restrictions on the structure of these operators other than general regularity assumptions are imposed. In particular, nearest-neighbor correlation is not necessary. Examples for the Fibonacci and the Golay-Rudin-Shapiro sequences are explicitly provided illustrating this discussion. While the first sequence has been thoroughly studied by physicists and mathematicians alike, a shroud of mystery still surrounds the latter when it comes to spectral properties. In light of this, the present paper gives a new result here that might help uncovering a solution. Y1 - 2020 U6 - https://doi.org/10.1063/5.0011488 SN - 0022-2488 SN - 1089-7658 VL - 61 IS - 12 PB - American Institute of Physics CY - Melville, NY ER - TY - JOUR A1 - Kolbe, Benedikt Maximilian A1 - Evans, Myfanwy E. T1 - Isotopic tiling theory for hyperbolic surfaces JF - Geometriae dedicata N2 - In this paper, we develop the mathematical tools needed to explore isotopy classes of tilings on hyperbolic surfaces of finite genus, possibly nonorientable, with boundary, and punctured. More specifically, we generalize results on Delaney-Dress combinatorial tiling theory using an extension of mapping class groups to orbifolds, in turn using this to study tilings of covering spaces of orbifolds. Moreover, we study finite subgroups of these mapping class groups. Our results can be used to extend the Delaney-Dress combinatorial encoding of a tiling to yield a finite symbol encoding the complexity of an isotopy class of tilings. The results of this paper provide the basis for a complete and unambiguous enumeration of isotopically distinct tilings of hyperbolic surfaces. KW - isotopic tiling theory KW - delaney-dress tiling theory KW - mapping class KW - groups KW - orbifolds KW - maps on surfaces KW - hyperbolic tilings Y1 - 2020 U6 - https://doi.org/10.1007/s10711-020-00554-2 SN - 0046-5755 SN - 1572-9168 VL - 212 IS - 1 SP - 177 EP - 204 PB - Springer CY - Dordrecht ER -