TY - THES A1 - Scharrer, Christian T1 - Relating diameter and mean curvature for varifolds T1 - Relativer Diameter und mittlere Krümmung für Varifaltigkeiten N2 - The main results of this thesis are formulated in a class of surfaces (varifolds) generalizing closed and connected smooth submanifolds of Euclidean space which allows singularities. Given an indecomposable varifold with dimension at least two in some Euclidean space such that the first variation is locally bounded, the total variation is absolutely continuous with respect to the weight measure, the density of the weight measure is at least one outside a set of weight measure zero and the generalized mean curvature is locally summable to a natural power (dimension of the varifold minus one) with respect to the weight measure. The thesis presents an improved estimate of the set where the lower density is small in terms of the one dimensional Hausdorff measure. Moreover, if the support of the weight measure is compact, then the intrinsic diameter with respect to the support of the weight measure is estimated in terms of the generalized mean curvature. This estimate is in analogy to the diameter control for closed connected manifolds smoothly immersed in some Euclidean space of Peter Topping. Previously, it was not known whether the hypothesis in this thesis implies that two points in the support of the weight measure have finite geodesic distance. N2 - Die wichtigsten Ergebnisse dieser Arbeit sind formuliert für eine Klasse von Oberflächen (Varifaltigkeiten), welche geschlossene glatte Untermannigfaltigkeiten des euklidischen Raums verallgemeinern und Singularitäten erlauben. Gegeben sei eine mindestens zwei-dimensionale unzerlegbare Varifaltigkeit im euklidischen Raum, sodass die erste Variation lokal beschränkt ist, die totale Variation absolut stetig bezüglich dem Gewichtsmaß ist, die Dichte des Gewichtsmaßes außerhalb einer Nullmenge mindesten eins ist, und die verallgemeinerte mittlere Krümmung bezüglich dem Gewichtsmaß lokal summierbar zu einer natürlichen Potenz (Dimension der Varifaltigkeit minus eins) ist. Es wird die Menge, wo die untere Dichte klein ist, durch das ein-dimensionale Hausdorff-Maß abgeschätzt. Das Ergebnis ist eine neue, stark verbesserte untere Dichte-Schranke. Ist der Träger des Gewichtsmaßes kompakt, so wird der intrinsische Diameter des Trägers des Gewichtsmaßes abgeschätzt durch ein Integral der verallgemeinerten mittleren Krümmung. Diese Ungleichung ist analog zu der Ungleichung von Peter Topping für geschlossene zusammenhängende Mannigfaltigkeit, welche durch eine glatte Immersion in den euklidischen Raum eingebettet sind. Bisher war nicht bekannt, dass die oben genannten Annahmen an die Varifaltigkeit implizieren, dass der geodätische Abstand zweier Punkte aus dem Träger des Gewichtsmaßes endlich ist. KW - varifold KW - rectifiable varifold KW - indecomposable varifold KW - first variation KW - mean curvature KW - isoperimetric inequality KW - density of a measure KW - geodesic distance KW - intrinsic diameter KW - Varifaltigkeit KW - rektifizierbare Varifaltigkeit KW - unzerlegbare Varifaltigkeit KW - erste Variation KW - mittlere Krümmung KW - isoperimetrische Ungleichung KW - Dichte eines Maßes KW - geodätischer Abstand KW - intrinsischer Diameter Y1 - 2016 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-97013 ER - TY - THES A1 - Schorsch, Andrea T1 - Statistische Eigenschaften von Clusterverfahren T1 - Statistical properties of cluster procedures N2 - Die vorliegende Diplomarbeit beschäftigt sich mit zwei Aspekten der statistischen Eigenschaften von Clusterverfahren. Zum einen geht die Arbeit auf die Frage der Existenz von unterschiedlichen Clusteranalysemethoden zur Strukturfindung und deren unterschiedlichen Vorgehensweisen ein. Die Methode des Abstandes zwischen Mannigfaltigkeiten und die K-means Methode liefern ausgehend von gleichen Daten unterschiedliche Endclusterungen. Der zweite Teil dieser Arbeit beschäftigt sich näher mit den asymptotischen Eigenschaften des K-means Verfahrens. Hierbei ist die Menge der optimalen Clusterzentren konsistent. Bei Vergrößerung des Stichprobenumfangs gegen Unendlich konvergiert diese in Wahrscheinlichkeit gegen die Menge der Clusterzentren, die das Varianzkriterium minimiert. Ebenfalls konvergiert die Menge der optimalen Clusterzentren für n gegen Unendlich gegen eine Normalverteilung. Es hat sich dabei ergeben, dass die einzelnen Clusterzentren voneinander abhängen. N2 - The following thesis describes two different views onto the statistical characterics of clustering procedures. At first it adresses the questions whether different clustering methods exist to ascertain the structure of clusters and in what ays the strategies of these methods differ from each other. The method of distance between the manifolds as well as the k-means method provide different final clusters based on equal initial data. The second part of the thesis concentrates on asymptotic properties of the k-means procedure. Here the amount of optimal clustering centres is consistent. If the size of the sample range is enlarged towards infinity, it also converges in probability towards the amount of clustering centres which minimized the whithin cluster sum of squares. Likewise the amount of optimal clustering centres converges for infinity towards the normal distribution. The main result shows that the individual clustering centres are dependent on each other. KW - Clusteranalyse KW - K-Means Verfahren KW - asymptotische Normalverteilung KW - cluster analysis KW - k-means clustering KW - asymptotical normal distribution Y1 - 2008 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-29026 ER - TY - THES A1 - Dahl, Dorothee Sophie T1 - Zahlen in den Fingern T1 - Numbers and fingers BT - eine Analyse des Lernspiels Fingu in Bezug auf den frühkindlichen Zahlerwerb im Rahmen der Artifact-Centric Activity Theory BT - an analysis of the learning game Fingu in relation to early numeracy acquisition within the framework of the artifact-centric activity theory N2 - Die Debatte über den Einsatz von digitalen Werkzeugen in der mathematischen Frühförderung ist hoch aktuell. Lernspiele werden konstruiert, mit dem Ziel, mathematisches, informelles Wissen aufzubauen und so einen besseren Schulstart zu ermöglichen. Doch allein die digitale und spielerische Aufarbeitung führt nicht zwingend zu einem Lernerfolg. Daher ist es umso wichtiger, die konkrete Implementation der theoretischen Konstrukte und Interaktionsmöglichkeiten mit den Werkzeugen zu analysieren und passend aufzubereiten. In dieser Masterarbeit wird dazu exemplarisch ein mathematisches Lernspiel namens „Fingu“ für den Einsatz im vorschulischen Bereich theoretisch und empirisch im Rahmen der Artifact-Centric Activity Theory (ACAT) untersucht. Dazu werden zunächst die theoretischen Hintergründe zum Zahlensinn, Zahlbegriffserwerb, Teil-Ganze-Verständnis, der Anzahlwahrnehmung und -bestimmung, den Anzahlvergleichen und der Anzahldarstellung mithilfe von Fingern gemäß der Embodied Cognition sowie der Verwendung von digitalen Werkzeugen und Multi-Touch-Geräten umfassend beschrieben. Anschließend wird die App Fingu erklärt und dann theoretisch entlang des ACAT-Review-Guides analysiert. Zuletzt wird die selbstständig durchgeführte Studie mit zehn Vorschulkindern erläutert und darauf aufbauend Verbesserungs- und Entwicklungsmöglichkeiten der App auf wissenschaftlicher Grundlage beigetragen. Für Fingu lässt sich abschließend festhalten, dass viele Prozesse wie die (Quasi-)Simultanerfassung oder das Zählen gefördert werden können, für andere wie das Teil-Ganze-Verständnis aber noch Anpassungen und/oder die Begleitung durch Erwachsene nötig ist. N2 - The current debate about the use of digital tools in early mathematical education has a lot of relevance these days. Educational games are designed with the aim of building mathematical informal knowledge and thus enabling a better start to school. But digital and playful implementation alone does not necessarily lead to learning. Therefore, it is important to analyze the media in detail and with regard to the theoretical constructs. In this master's thesis, a mathematical learning game called “Fingu” for preschool children is analyzed theoretically and empirically within the framework of the Artifact-Centric Activity Theory (ACAT). First, the theoretical background is described, that is the number sense, number concept acquisition, part-whole understanding, number perception and determination, number comparisons and number representation using fingers according to embodied cognition as well as the use of digital tools and multi-touch. The app itself is explained and then analyzed theoretically using the ACAT review guide. Finally, the conducted study with ten preschool children is presented. Based on those results and the scientific basis, possible improvements and development of the app are explained. For Fingu, it can be concluded that many processes such as perceptual or conceptual subitizing or counting can be improved, but for others such as part-whole understanding, adjustments and/or adult support are still necessary. KW - Zahlerwerb KW - Frühförderung KW - Lernspiele KW - Videostudie KW - ACAT KW - number KW - part-whole concept Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-607629 ER - TY - THES A1 - Fabian, Melina T1 - Grundvorstellungen bei Zahlbereichserweiterungen T1 - Basic ideas ('Grundvorstellungen') for numerical extensions BT - von N nach Q+ oder von N nach Z? N2 - Die Erweiterung des natürlichen Zahlbereichs um die positiven Bruchzahlen und die negativen ganzen Zahlen geht für Schülerinnen und Schüler mit großen gedanklichen Hürden und einem Umbruch bis dahin aufgebauter Grundvorstellungen einher. Diese Masterarbeit trägt wesentliche Veränderungen auf der Vorstellungs- und Darstellungsebene für beide Zahlbereiche zusammen und setzt sich mit den kognitiven Herausforderungen für Lernende auseinander. Auf der Grundlage einer Diskussion traditioneller sowie alternativer Lehrgänge der Zahlbereichserweiterung wird eine Unterrichtskonzeption für den Mathematikunterricht entwickelt, die eine parallele Einführung der Bruchzahlen und der negativen Zahlen vorschlägt. Die Empfehlungen der Unterrichtkonzeption erstrecken sich über den Zeitraum von der ersten bis zur siebten Klassenstufe, was der behutsamen Weiterentwicklung und Modifikation des Zahlbegriffs viel Zeit einräumt, und enthalten auch didaktische Überlegungen sowie konkrete Hinweise zu möglichen Aufgabenformaten. N2 - The extension of the natural number range to include the positive fractions and the negative integers is accompanied by great mental hurdles for students and an upheaval of previously established basic concepts. This Master's thesis brings together essential changes at the level of imagination and representation for both number ranges and deals with the cognitive challenges for learners. Based on a discussion of traditional as well as alternative courses of number range extension, a teaching conception for mathematics lessons is developed that proposes a parallel introduction of fractions and negative numbers. The recommendations of the teaching conception cover the period from the first to the seventh grade, which allows a lot of time for the careful further development and modification of the number concept, and also contain didactic considerations as well as concrete hints on possible task formats. KW - Mathematikdidaktik KW - Zahlbereichserweiterung KW - Grundvorstellungen KW - negative Zahlen KW - Bruchzahlen KW - fractions KW - basic ideas ('Grundvorstellungen') KW - didactics of mathematics KW - numerical extension KW - negative numbers Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-565930 ER - TY - THES A1 - Piaskowski, Birgit T1 - Denkhürden in den rationalen Zahlen T1 - Hurdles in conceptualization of rational numbers BT - eine Analyse des Professionswissens von Lehramtsstudierenden BT - analysis of pre-service teachers´ professional knowledge N2 - Das Professionswissen von Lehrkräften gehört zu den bedeutendsten Stellschrauben der Bildung an den Schulen. Seine Kernbereiche sind fachwissenschaftliches Wissen und fachdidaktisches Wissen, welche hauptsächlich in der universitären Ausbildung erworben werden. Die vorliegende Arbeit verfolgt das Ziel, einen Beitrag zur stetigen Verbesserung und Sicherung der Qualität der Lehrerausbildung an der Universität Potsdam zu leisten, und stellt die Frage: Über welches fachwissenschaftliche und fachdidaktische Wissen verfügen die Lehramtsstudierenden im Fach Mathematik nach Besuch der Lehrveranstaltung Arithmetik und ihre Didaktik I und II? Untersucht wurde exemplarisch das Wissen der Lehramtsstudierenden im Bereich der rationalen Zahlen mit dem Fokus auf dem Verständnis der Dichte von Bruchzahlen. Die Dichte stellt eines der am schwierigsten zu erwerbenden Konzepte im Bruchzahlerwerb dar und fordert ein konzeptionelles Umdenken sowie die Reorganisation bereits erworbener Vorstellungen. Um die Forschungsfrage zu beantworten, wurden in einer qualitativen Studie 112 Lehramtsstudierende hinsichtlich ihres Wissens zu dem Thema Dichte von rationalen Zahlen schriftlich getestet. Um Denkprozesse der Studierenden zu verstehen und Denkhürden zu identifizieren, wurden zusätzlich qualitative Interviews in Form von Gruppendiskussionen geführt. Die Daten wurden mithilfe der Qualitativen Inhaltsanalyse computergestützt ausgewertet. Es zeigte sich eine große Bandbreite verschiedener Wissensbestände. Die Ergebnisse im fachdidaktischen Wissen blieben hinter den Ergebnissen im fachwissenschaftlichen Wissen zurück. Am schwierigsten fiel den Studierenden die Gegenüberstellung von wesentlichen Eigenschaften der rationalen und natürlichen Zahlen auf der metakognitiven Ebene. Neben positiven Ergebnissen, welche für die Effektivität der Konzeption der Lehrveranstaltung sprechen, zeigten sich diverse Denkhürden. Defizite im Fachwissen wie ein mangelndes Verständnis von äquivalenten Brüchen oder Fehler im Erweitern von Brüchen enthüllen unzulänglich ausgebildete Grundvorstellungen im Bereich der rationalen Zahlen seitens der Studierenden. Schwierigkeiten in den fachdidaktischen Aufgaben wie die Formulierung einer kindgerechten Erklärung oder die anschauliche Darstellung des mathematischen Inhalts auf bildlicher Ebene lassen sich ursächlich auf die Defizite im Fachwissen zurückführen. Zusätzlich stellten sich Einschränkungen seitens der Studierenden in der Motivation und Relevanzzuschreibung heraus. Die Ergebnisse führen zu gezielten Änderungsvorschlägen bezüglich der Konzeption der Lehrveranstaltung. Es wird empfohlen, verschiedene Lernangebote wie Hausaufgaben und wöchentliche Selbsttests zur individuellen Lernzielkontrolle für alle Teilnehmenden der Lehrveranstaltung verpflichtend zu gestalten und motivationale Aspekte verstärkt aufzugreifen. Zusätzlich wird der Ausbau von konkreten Übungen auf der enaktiven Ebene empfohlen, um den Aufbau von notwendigen Grundvorstellungen im Bereich der rationalen Zahlen zu fördern und somit Denkhürden gezielt zu begegnen. N2 - The professional knowledge of teachers is one of the most significant keystones of education at schools. Its core areas are subject matter knowledge and subject didactic knowledge (or pedagogical content knowledge). Both are mainly acquired through university education. The present thesis pursues the goal to make a contribution improvement and quality assurance of teacher education at the University of Potsdam. The main research question is: What subject matter and subject didactic knowledge do mathematics pre-service teachers possess after attending the course Arithmetic and Teaching Arithmetic I and II? As an example, the knowledge of pre-service teachers about rational numbers was investigated with a focus on their understanding of the density of rational numbers. The density represents one of the most difficult concepts about rational numbers when compared to natural numbers. It requires conceptual re-thinking as well as the reorganization of already acquired ideas. In order to answer the research question, a qualitative study was carried out. As an instrument, a written test about rational numbers was administered to all 112 pre-service teachers. Additionally, in order to understand the ways of thinking of the pre-service teachers and to identify thinking barriers, qualitative interviews were conducted in the form of group discussions. The data was evaluated using computer-aided qualitative content analysis tools. The study showed a wide range of different knowledge levels. The results in subject didactic knowledge lagged behind those in subject matter knowledge. The most difficult thing for the pre-service teachers was comparing essential properties of rational and natural numbers on the meta-cognitive level. Apart from positive results, which speak for the effectiveness of the conception of the course, various thinking hurdles have been recognized. Deficits in subject matter knowledge such as a lack of understanding of the equivalence of fractions or errors in expanding fractions reveal pre-service teachers´ inadequately developed basic ideas about rational numbers. The difficulties in solving the didactic tasks such as giving a child-friendly explanation or a clear visual representation of the mathematical content can be attributed to their deficits in subject matter knowledge. In addition, obstacles in motivation and relevance attribution have been observed on the part of several pre-service teachers. The results lead to specific suggestions for changes to the conception of the course. It is recommended to make learning offers such as homework and weekly self-tests for individual control of learning objectives obligatory for all course participants and to take up motivational aspects more intensely. In addition, the creation of concrete exercises on the enactive level is recommended in order to promote the development of necessary basic concepts about rational numbers and thus to overcome thinking hurdles. KW - fachwissenschaftliches Wissen KW - fachdidaktisches Wissen KW - Bruchzahlen KW - Dichte von rationalen Zahlen KW - Denkhürden KW - subject matter knowledge KW - subject didactic knowledge KW - rational numbers KW - density of rational numbers KW - thinking barriers Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-532777 ER - TY - THES A1 - Hübner, Andrea T1 - Ein multityper Verzweigungsprozess als Modell zur Untersuchung der Ausbreitung von Covid-19 T1 - Modeling the spread of Covid-19 using a multitype branching process N2 - Im Zuge der Covid-19 Pandemie werden zwei Werte täglich diskutiert: Die zuletzt gemeldete Zahl der neu Infizierten und die sogenannte Reproduktionsrate. Sie gibt wieder, wie viele weitere Menschen ein an Corona erkranktes Individuum im Durchschnitt ansteckt. Für die Schätzung dieses Wertes gibt es viele Möglichkeiten - auch das Robert Koch-Institut gibt in seinem täglichen Situationsbericht stets zwei R-Werte an: Einen 4-Tage-R-Wert und einen weniger schwankenden 7-Tage-R-Wert. Diese Arbeit soll eine weitere Möglichkeit vorstellen, einige Aspekte der Pandemie zu modellieren und die Reproduktionsrate zu schätzen. In der ersten Hälfte der Arbeit werden die mathematischen Grundlagen vorgestellt, die man für die Modellierung benötigt. Hierbei wird davon ausgegangen, dass der Leser bereits ein Basisverständnis von stochastischen Prozessen hat. Im Abschnitt Grundlagen werden Verzweigungsprozesse mit einigen Beispielen eingeführt und die Ergebnisse aus diesem Themengebiet, die für diese Arbeit wichtig sind, präsentiert. Dabei gehen wir zuerst auf einfache Verzweigungsprozesse ein und erweitern diese dann auf Verzweigungsprozesse mit mehreren Typen. Um die Notation zu erleichtern, beschränken wir uns auf zwei Typen. Das Prinzip lässt sich aber auf eine beliebige Anzahl von Typen erweitern. Vor allem soll die Wichtigkeit des Parameters λ herausgestellt werden. Dieser Wert kann als durchschnittliche Zahl von Nachfahren eines Individuums interpretiert werden und bestimmt die Dynamik des Prozesses über einen längeren Zeitraum. In der Anwendung auf die Pandemie hat der Parameter λ die gleiche Rolle wie die Reproduktionsrate R. In der zweiten Hälfte dieser Arbeit stellen wir eine Anwendung der Theorie über Multitype Verzweigungsprozesse vor. Professor Yanev und seine Mitarbeiter modellieren in ihrer Veröffentlichung Branching stochastic processes as models of Covid-19 epidemic development die Ausbreitung des Corona Virus' über einen Verzweigungsprozess mit zwei Typen. Wir werden dieses Modell diskutieren und Schätzer daraus ableiten: Ziel ist es, die Reproduktionsrate zu ermitteln. Außerdem analysieren wir die Möglichkeiten, die Dunkelziffer (die Zahl nicht gemeldeter Krankheitsfälle) zu schätzen. Wir wenden die Schätzer auf die Zahlen von Deutschland an und werten diese schließlich aus. N2 - During the Covid-19 pandemic, the discussion about the situation has been dominated by two numbers: the number of daily new infected individuals and the reproduction rate. The latter is the average number of people, one infected individual will infect with the disease. Because the number of registered infected individuals is generally not equal to the actual number of people who carry the Corona virus, many facts about the pandemic have to be estimated and can not be known for certain. Since the reproduction rate is an important parameter to signify the course of the Pandemic, many ways to estimate it have been developed. The Institute of Robert Koch in Germany uses two reproduction rates R in their daily reports: The 4-days-R-value and the less fluctuating 7-days-Rvalue. This master thesis will develop another model to estimate the R-value and other interesting aspects of the pandemic. The first part of this thesis is dedicated to the mathematical foundations needed to understand the model. The reader is expected to already have basic understanding of stochastic processes. In the section Grundlagen we will discuss branching processes and present the results of their theory that are important for our work. We start by introducing simple branching processes and expand the results to multitype branching processes. In service of a simpler notation we will only consider twotype branching processes, but the results can be used for any number of types. The importance of the parameter λ shall be stressed. It can be seen as the average number of descendants of one individual and dictates the dynamic of the process over a long period of time. Applied to the modeling of the pandemic, λ plays the same role as the reproduction rate R. In the second part of this thesis will present an application of the previously developed theory about multitype branching processes. Prof. Yanev and his colleagues modeled in their publication Branching stochastic processes as models of Covid-19 epidemic development the spreading of the Corona virus by using a branching process with two types. We will discuss this model and deduce estimators from it. We want to estimate the reproduction rate and find a way to determine the number of not registered infected individuals. The estimators will be applied to the data from Germany and we will discuss the results. KW - Covid-19 KW - Corona KW - Reproduktionsrate KW - Verzweigungsprozess KW - Modellierung KW - Covid-19 KW - corona virus KW - reproduction rate KW - branching process KW - modeling Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-509225 ER -