TY - THES A1 - Trappmann, Henryk T1 - Arborescent numbers : higher arithmetic operations and division trees T1 - Baumartige Zahlen : höhere arithmetische Operationen und Divisionsbäume N2 - The overall program "arborescent numbers" is to similarly perform the constructions from the natural numbers (N) to the positive fractional numbers (Q+) to positive real numbers (R+) beginning with (specific) binary trees instead of natural numbers. N can be regarded as the associative binary trees. The binary trees B and the left-commutative binary trees P allow the hassle-free definition of arbitrary high arithmetic operations (hyper ... hyperpowers). To construct the division trees the algebraic structure "coppice" is introduced which is a group with an addition over which the multiplication is right-distributive. Q+ is the initial associative coppice. The present work accomplishes one step in the program "arborescent numbers". That is the construction of the arborescent equivalent(s) of the positive fractional numbers. These equivalents are the "division binary trees" and the "fractional trees". A representation with decidable word problem for each of them is given. The set of functions f:R1->R1 generated from identity by taking powers is isomorphic to P and can be embedded into a coppice by taking inverses. N2 - Baumartige Zahlen und höhere arithmetische Operationen Von Schülern und Laienmathematikern wird oft die Frage gestellt, warum nach den Operationen Addition (1. Stufe), Multiplikation (2. Stufe), Potenzieren (3. Stufe) keine Operationen der 4. oder höheren Stufen betrachtet werden. Jede Operation der nächsthöheren Stufe ist die Wiederholung der vorhergehenden Operation, z.B. n * x = x + x + ... + x x^n = x * x * ... * x Das offensichtliche Problem mit der Wiederholung des Potenzierens besteht darin, dass das Potenzieren nicht assoziativ ist und es somit mehrere Klammerungsmöglichkeiten für die Wiederholung dieser Operation gibt. Wählt man eine spezifische Klammerungsmöglichkeit aus, z.B. x^^n = (x^(x^(x^(......)))), gibt es jedoch wieder verschiedene Möglichkeiten, diese Operation auf rationale oder reelle n fortzusetzen. In der Tat kann man im Internet verschiedene solcher Fortsetzungen beschrieben finden und keine scheint besonders ausgezeichnet zu sein. Das ganze Dilemma der verschiedenen Klammerungen kann man jedoch überwinden, in dem man den Zahlenbereich abstrakter macht. So dass statt nur der Anzahl auch eine Klammerungsstruktur in einer Zahl kodiert wird. Die ganz natürliche Verallgemeinerung der natürlichen Zahlen in dieser Hinsicht sind die Binärbäume. Und in der Tat lassen sich die 4. und höhere Operationen in einer eindeutigen Weise auf den Binärbäumen erklären. Vielmehr stellt sich sogar heraus, dass die Binärbäume zu viel Information mit sich tragen, wenn es nur darum geht, die höheren Operationen zu definieren. Es gibt eine Spezialisierung der Binärbäume, die aber allgemeiner als die natürlichen Zahlen (die die assoziative Spezialisierung der Binärbäume sind) ist, und die die passende Informationsmenge zur Definition der höheren Operationen kodiert. Dies sind die so genannten linkskommutativen Binärbäume. Es stellt sich heraus, dass die (linkskommutativen) Binärbäume viele Eigenschaften der natürlichen Zahlen teilen, so z.B. die Assoziativität der Multiplikation (die Operation der 2. Stufe) und eine eindeutige Primzahlzerlegung. Dies motiviert die Frage, ob man die Erweiterungskonstruktionen der Zahlen: „natürliche Zahlen zu gebrochenen Zahlen“ (macht die Multiplikation umkehrbar) „gebrochene Zahlen zu positiven reellen Zahlen“ (macht das Potenzieren umkehrbar und erlaubt Grenzwertbildung) auch ausgehend von (linkskommutativen) Binärbäumen vornehmen kann. In der vorliegenden Arbeit wird (neben unzähligen anderen Resultaten) gezeigt, dass die Zahlenbereichserweiterung „natürliche Zahlen zu gebrochenen Zahlen“ auch analog für (linkskommutative) Binärbäume möglich ist. Das Ergebnis dieser Konstruktion sind die Divisionsbinärbäume (bzw. die gebrochenen Bäume). Letztere lassen sich unerwartet in der Form von Brüchen darstellen, sind jedoch als Verallgemeinerung der gebrochenen Zahlen sehr viel komplexer als dieser. (Das kann man live nachprüfen mit dem dafür erstellten Online-Rechner für gebrochene Bäume (auf englisch): http://math.eretrandre.org/cgi-bin/ftc/ftc.pl ) Damit wird ein Programm „baumartige Zahlen“ gestartet, indem es darum geht, auch die Erweiterung „gebrochene Zahlen zu positiven reellen Zahlen“ für die Divisionsbinärbäume (bzw. die gebrochenen Bäume) durchzuführen, wobei die höheren Operationen auf dieser Erweiterung definiert werden könnten und umkehrbar sein müssten. Ob dies wirklich möglich ist, ist derzeit unklar (neben diversen anderen direkt aus der Dissertation sich ergebenden Fragen) und eröffnet damit ein enorm umfangreiches Feld für weitere Forschungen. KW - Tetration KW - höhere Operationen KW - strukturierte Zahlen KW - Divisionsbäume KW - tetration KW - higher operations KW - structured numbers KW - division trees Y1 - 2007 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-15247 ER - TY - INPR A1 - Ly, Ibrahim A1 - Tarkhanov, Nikolai Nikolaevich T1 - Generalised Beltrami equations N2 - We enlarge the class of Beltrami equations by developping a stability theory for the sheaf of solutions of an overdetermined elliptic system of first order homogeneous partial differential equations with constant coefficients in the Euclidean space. T3 - Preprints des Instituts für Mathematik der Universität Potsdam - 2(2013)14 KW - Quasiconformal mapping KW - Beltrami equation Y1 - 2013 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-67416 ER - TY - INPR A1 - Ly, Ibrahim A1 - Tarkhanov, Nikolai Nikolaevich T1 - A Radó theorem for p-harmonic functions N2 - Let A be a nonlinear differential operator on an open set X in R^n and S a closed subset of X. Given a class F of functions in X, the set S is said to be removable for F relative to A if any weak solution of A (u) = 0 in the complement of S of class F satisfies this equation weakly in all of X. For the most extensively studied classes F we show conditions on S which guarantee that S is removable for F relative to A. T3 - Preprints des Instituts für Mathematik der Universität Potsdam - 4 (2015) 3 KW - Quasilinear equations KW - removable sets KW - p-Laplace Operator Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-71492 SN - 2193-6943 VL - 4 IS - 3 PB - Universitätsverlag Potsdam CY - Potsdam ER - TY - INPR A1 - Ly, Ibrahim A1 - Tarkhanov, Nikolai Nikolaevich T1 - Asymptotic expansions at nonsymmetric cuspidal points N2 - We study asymptotics of solutions to the Dirichlet problem in a domain whose boundary contains a nonsymmetric conical point. We establish a complete asymptotic expansion of solutions near the singular point. T3 - Preprints des Instituts für Mathematik der Universität Potsdam - 4 (2015) 7 KW - the Dirichlet problem KW - singular point KW - asymptotic expansion Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-78199 SN - 2193-6943 VL - 4 IS - 7 PB - Universitätsverlag Potsdam CY - Potsdam ER - TY - THES A1 - Jakobs, Friedrich T1 - Dubrovin–rings and their connection to Hughes–free skew fields of fractions T1 - Dubrovinringe und ihre Verbindung zu Hughes-freien Quotientenschiefkörpern N2 - One method of embedding groups into skew fields was introduced by A. I. Mal'tsev and B. H. Neumann (cf. [18, 19]). If G is an ordered group and F is a skew field, the set F((G)) of formal power series over F in G with well-ordered support forms a skew field into which the group ring F[G] can be embedded. Unfortunately it is not suficient that G is left-ordered since F((G)) is only an F-vector space in this case as there is no natural way to define a multiplication on F((G)). One way to extend the original idea onto left-ordered groups is to examine the endomorphism ring of F((G)) as explored by N. I. Dubrovin (cf. [5, 6]). It is possible to embed any crossed product ring F[G; η, σ] into the endomorphism ring of F((G)) such that each non-zero element of F[G; η, σ] defines an automorphism of F((G)) (cf. [5, 10]). Thus, the rational closure of F[G; η, σ] in the endomorphism ring of F((G)), which we will call the Dubrovin-ring of F[G; η, σ], is a potential candidate for a skew field of fractions of F[G; η, σ]. The methods of N. I. Dubrovin allowed to show that specific classes of groups can be embedded into a skew field. For example, N. I. Dubrovin contrived some special criteria, which are applicable on the universal covering group of SL(2, R). These methods have also been explored by J. Gräter and R. P. Sperner (cf. [10]) as well as N.H. Halimi and T. Ito (cf. [11]). Furthermore, it is of interest to know if skew fields of fractions are unique. For example, left and right Ore domains have unique skew fields of fractions (cf. [2]). This is not the general case as for example the free group with 2 generators can be embedded into non-isomorphic skew fields of fractions (cf. [12]). It seems likely that Ore domains are the most general case for which unique skew fields of fractions exist. One approach to gain uniqueness is to restrict the search to skew fields of fractions with additional properties. I. Hughes has defined skew fields of fractions of crossed product rings F[G; η, σ] with locally indicable G which fulfill a special condition. These are called Hughes-free skew fields of fractions and I. Hughes has proven that they are unique if they exist [13, 14]. This thesis will connect the ideas of N. I. Dubrovin and I. Hughes. The first chapter contains the basic terminology and concepts used in this thesis. We present methods provided by N. I. Dubrovin such as the complexity of elements in rational closures and special properties of endomorphisms of the vector space of formal power series F((G)). To combine the ideas of N.I. Dubrovin and I. Hughes we introduce Conradian left-ordered groups of maximal rank and examine their connection to locally indicable groups. Furthermore we provide notations for crossed product rings, skew fields of fractions as well as Dubrovin-rings and prove some technical statements which are used in later parts. The second chapter focuses on Hughes-free skew fields of fractions and their connection to Dubrovin-rings. For that purpose we introduce series representations to interpret elements of Hughes-free skew fields of fractions as skew formal Laurent series. This 1 Introduction allows us to prove that for Conradian left-ordered groups G of maximal rank the statement "F[G; η, σ] has a Hughes-free skew field of fractions" implies "The Dubrovin ring of F [G; η, σ] is a skew field". We will also prove the reverse and apply the results to give a new prove of Theorem 1 in [13]. Furthermore we will show how to extend injective ring homomorphisms of some crossed product rings onto their Hughes-free skew fields of fractions. At last we will be able to answer the open question whether Hughes--free skew fields are strongly Hughes-free (cf. [17, page 53]). N2 - In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit Quotientenschiefkörpern von verschränkten Produkten F [G; η, σ], wobei G eine Gruppe und F ein Schiefkörper ist. Eine Methode Gruppen in Schiefkörper einzubetten stammt von A. I. Mal’tsev und B. H. Neumann. Ist G eine beidseitig geordnete Gruppe, so lässt sich die Menge der formalen Potenzreihen F ((G)) über F in G mit wohlgeordnetem Träger als Schiefkörper interpretieren. In diesen lässt sich jedes verschränkte Produkt F [G; η, σ] einbetten. Möchte man die Klasse der einzubettenden Gruppen erweitern, so bieten sich links–geordnete Gruppen an. In diesem Fall hat F ((G)) keine natürliche Ringstruktur, aber man kann nutzen, dass F ((G)) ein rechter F–Vektorraum ist und seinen Endomorphismenring untersuchen. Jedes Verschränkte Produkt F [G; η, σ] lässt sich derart in den Endomorphismenring einbetten, dass die zugehörigen von Null verschiedenen Endomorphismen Automorphismen sind. Der rationale Abschluss von F [G; η, σ] in End(F ((G))), den wir Dubrovinring von F [G; η, σ] nennen, ist somit ein potentieller Quotientenschiefkörper von F [G; η, σ]. Neben der Existenz von Quotientenschiefkörpern ist deren Eindeutigkeit (bis auf Isomorphie) von Interesse. Im Gegensatz zum kommutativen Fall sind Quotientenschiefkörper im Allgemeinen nicht eindeutig. So lässt sich beispielsweise die freie Gruppe mit zwei Erzeugenden in nicht–isomorphe Quotientenschiefkörper einbetten. Eine große Klasse an Ringen, die eindeutige Quotientenschiefkörper besitzen, sind Ore–Bereiche. Vermutlich lässt sich diese Klasse nicht erweitern, ohne zusätzliche Eigenschaften der Quotientenschiefkörper zu verlangen. Eine solche Eigenschaft, im Folgenden Hughes–frei genannt, wurde von I. Hughes vorgeschlagen. Er konnte beweisen, dass Hughes–freie Quotientenschiefkörper eindeutig sind, wenn sie existieren. In dieser Arbeit verbinden wir die Ideen von I. Hughes und N. I. Dubrovin. Wir zeigen, dass die Elemente von Hughes–freien Quotientenschiefkörpern als formale schiefe Laurent–Reihen dargestellt werden können und dass diese Darstellungen in gewisser Weise eindeutig sind. Dieses Ergebnis nutzen wir um zu beweisen, dass die Aussagen “F [G; η, σ] besitzt einen Hughes–freien Quotientenschiefkörper” und “Der Dubrovinring von F [G; η, σ] ist ein Schiefkörper” äquivalent sind, wenn G eine links–geordnete Gruppe von Conrad–Typ mit maximalem Rang ist. Wir stellen den nötigen Begriffsapparat zur Verfügung. Dieser basiert vorwiegend auf den Arbeiten von N. I. Dubrovin und umfasst spezielle Eigenschaften der Endomorphismen von F ((G)) sowie die Komplexität von Elementen in rationalen Abschlüssen. Des Weiteren gehen wir auf links–geordnete Gruppen von Conrad–Typ ein und untersuchen ihren Zusammenhang mit lokal indizierbaren Gruppen, die eine grundlegende Rolle für Hughes–freie Quotientenschiefkörper spielen. Wir werden zeigen können, dass Dubrovinringe, die Schiefkörper sind, stark Hughes–freie Quotientenschiefkörper sind, was die offene Frage beantwortet, ob Hughes–freie Quotientenschiefkörper stark Hughes–frei sind. Außerdem werden wir einen alternativen Beweis der Eindeutigkeit von Hughes–freien Quotientenschiefkörpern präsentieren und die Fortsetzbarkeit von Automorphismen eines verschränkten Produkts auf Hughes–freie Quotientenschiefkörper untersuchen. KW - Hughes-free KW - Dubrovinring KW - left ordered groups KW - Conradian ordered groups KW - skew field of fraction KW - locally indicable KW - series representation KW - strongly Hughes-free KW - Hughes-frei KW - Dubrovinring KW - linksgeordnete Gruppen KW - geordnete Gruppen von Conrad-Typ KW - Quotientenschiefkörper KW - lokal indizierbar KW - Reihendarstellungen KW - stark Hughes-frei Y1 - 2019 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-435561 ER - TY - GEN A1 - Benini, Marco A1 - Schenkel, Alexander T1 - Quantum field theories on categories fibered in groupoids T2 - Postprints der Universität Potsdam : Mathematisch-Naturwissenschaftliche Reihe N2 - We introduce an abstract concept of quantum field theory on categories fibered in groupoids over the category of spacetimes. This provides us with a general and flexible framework to study quantum field theories defined on spacetimes with extra geometric structures such as bundles, connections and spin structures. Using right Kan extensions, we can assign to any such theory an ordinary quantum field theory defined on the category of spacetimes and we shall clarify under which conditions it satisfies the axioms of locally covariant quantum field theory. The same constructions can be performed in a homotopy theoretic framework by using homotopy right Kan extensions, which allows us to obtain first toy-models of homotopical quantum field theories resembling some aspects of gauge theories. T3 - Zweitveröffentlichungen der Universität Potsdam : Mathematisch-Naturwissenschaftliche Reihe - 895 KW - C-asterisk-algebra KW - observables KW - covariance KW - locality Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-431541 SN - 1866-8372 IS - 895 ER - TY - GEN A1 - Karpuz, Eylem Guzel A1 - Çevik, Ahmet Sinan A1 - Koppitz, Jörg A1 - Cangul, Ismail Naci T1 - Some fixed-point results on (generalized) Bruck-Reilly ∗-extensions of monoids T2 - Postprints der Universität Potsdam : Mathematisch-Naturwissenschaftliche Reihe N2 - In this paper, we determine necessary and sufficient conditions for Bruck-Reilly and generalized Bruck-Reilly ∗-extensions of arbitrary monoids to be regular, coregular and strongly π-inverse. These semigroup classes have applications in various field of mathematics, such as matrix theory, discrete mathematics and p-adic analysis (especially in operator theory). In addition, while regularity and coregularity have so many applications in the meaning of boundaries (again in operator theory), inverse monoids and Bruck-Reilly extensions contain a mixture fixed-point results of algebra, topology and geometry within the purposes of this journal. T3 - Zweitveröffentlichungen der Universität Potsdam : Mathematisch-Naturwissenschaftliche Reihe - 942 KW - Bruck-Reilly extension KW - generalized Bruck-Reilly ∗-extension KW - π -inverse monoid KW - regular monoid Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-432701 SN - 1866-8372 IS - 942 ER - TY - CHAP A1 - Audin, Michèle A1 - Ducourtioux, Catherine A1 - Ouédraogo, Françoise A1 - Schulz, René A1 - Delgado, Julio A1 - Ruzhansky, Michael A1 - Lebeau, Gilles ED - Paycha, Sylvie T1 - Integral Fourier operators T1 - Fourier Integraloperatoren BT - proceedings of a summer school, Ouagadougou 14–25 September 2015 BT - Akten einer Sommerschule, Ouagadougou, Burkina Faso, 14-26. September 2015 N2 - This volume of contributions based on lectures delivered at a school on Fourier Integral Operators held in Ouagadougou, Burkina Faso, 14–26 September 2015, provides an introduction to Fourier Integral Operators (FIO) for a readership of Master and PhD students as well as any interested layperson. Considering the wide spectrum of their applications and the richness of the mathematical tools they involve, FIOs lie the cross-road of many a field. This volume offers the necessary background, whether analytic or geometric, to get acquainted with FIOs, complemented by more advanced material presenting various aspects of active research in that area. N2 - Dieser Band basiert auf Vorlesungen, die in einer Schule über Fourier Integraloperatoren in Ouagadougou, Burkina Faso, 14. - 26. September 2015 gehalten wurden. Es bietet eine Einführung in die Fourier Integraloperatoren (FIO) und richtet sich sowohl an Masterstudierende und Promovenden als auch an interessierte Laien. Aufgrund der Breite des Spektrums ihrer Anwendungen und der Vielfalt der mathematischen Werkzeuge, die sie ins Spiel bringen, liegen FIO an der Grenze zwischen mehreren Gebieten. Dieses Band bietet sowohl die analytisch und geometrisch nötigen Kenntnisse, um sich mit dem Begriff der FIO vertraut zu machen als auch fortgeschrittenes Material für einen Einblick in verschiedene Aspekte der gegenwärtigen Forschung dieses Gebietes an. T3 - Lectures in pure and applied mathematics - 3 KW - pseudodifferentiale Operatoren KW - Fourier Integraloperatoren KW - Lagrange Distributionen KW - microlokale Analysis KW - pseudodifferential operators KW - integral Fourier operators KW - Lagrangian submanifolds KW - microlocal analysis Y1 - 2017 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-402657 SN - 978-3-86956-413-5 SN - 2199-4951 SN - 2199-496X PB - Universitätsverlag Potsdam CY - Potsdam ER - TY - THES A1 - Rafler, Mathias T1 - Gaussian loop- and Pólya processes : a point process approach T1 - Gaußsche Loop- and Pólya-Prozesse : ein Zugang via Punktprozessen N2 - This thesis considers on the one hand the construction of point processes via conditional intensities, motivated by the partial Integration of the Campbell measure of a point process. Under certain assumptions on the intensity the existence of such a point process is shown. A fundamental example turns out to be the Pólya sum process, whose conditional intensity is a generalisation of the Pólya urn dynamics. A Cox process representation for that point process is shown. A further process considered is a Poisson process of Gaussian loops, which represents a noninteracting particle system derived from the discussion of indistinguishable particles. Both processes are used to define particle systems locally, for which thermodynamic limits are determined. N2 - Betrachtet wird zum einen die Konstruktion von Punktprozessen mittels bedingter Intensitäten, motivert durch die partielle Integration des Campbell-Maßes eines Punktprozesses, die gerade bedingte Intensitäten liefert. Unter bestimmten Annahmen an die Intensitäten wird gezeigt, dass ein solcher Punktprozess existiert. Als ein fundamentaler Vertreter stellt sich der Pólyasche Summenprozess heraus, aus einer Verallgemeinerung der Dynamik der Pólyaschen Urne hervorgeht. Fuer ihn werden u.a. eine Darstellung als Cox-Prozess gezeigt. Mit einem Poissonprozess von Gaußschen Loops wird ein nicht wechselwirkendes Teilchensystem betrachtet, das aus der Diskussion von Systemen ununterscheidbarer Teilchen abgeleitet ist. Mit beiden Prozessen werden jeweils lokal Teilchensysteme konstuiert, fuer die die thermodynamischen Limiten identifiziert werden. KW - Punktprozesse KW - partielle Integration KW - Gaußsche Loopprozess KW - Papangelou-Prozess KW - Polyascher Prozess KW - Point Processes KW - Partial Integration KW - Gaussian Loop Processes KW - Papangelou Process KW - Polya Process Y1 - 2009 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-38706 SN - 978-3-86956-029-8 PB - Universitätsverlag Potsdam CY - Potsdam ER - TY - INPR A1 - Roelly, Sylvie T1 - Reciprocal processes : a stochastic analysis approach N2 - Reciprocal processes, whose concept can be traced back to E. Schrödinger, form a class of stochastic processes constructed as mixture of bridges, that satisfy a time Markov field property. We discuss here a new unifying approach to characterize several types of reciprocal processes via duality formulae on path spaces: The case of reciprocal processes with continuous paths associated to Brownian diffusions and the case of pure jump reciprocal processes associated to counting processes are treated. This presentation is based on joint works with M. Thieullen, R. Murr and C. Léonard. T3 - Preprints des Instituts für Mathematik der Universität Potsdam - 2 (2013) 6 KW - Reciprocal process KW - Brownian bridge KW - Poisson bridge KW - duality formula Y1 - 2013 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-64588 SN - 2193-6943 ER -