TY - JOUR A1 - Lewandowski, Max T1 - Hadamard states for bosonic quantum field theory on globally hyperbolic spacetimes JF - Journal of mathematical physics N2 - According to Radzikowski’s celebrated results, bisolutions of a wave operator on a globally hyperbolic spacetime are of the Hadamard form iff they are given by a linear combination of distinguished parametrices i2(G˜aF−G˜F+G˜A−G˜R) in the sense of Duistermaat and Hörmander [Acta Math. 128, 183–269 (1972)] and Radzikowski [Commun. Math. Phys. 179, 529 (1996)]. Inspired by the construction of the corresponding advanced and retarded Green operator GA, GR as done by Bär, Ginoux, and Pfäffle {Wave Equations on Lorentzian Manifolds and Quantization [European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2007]}, we construct the remaining two Green operators GF, GaF locally in terms of Hadamard series. Afterward, we provide the global construction of i2(G˜aF−G˜F), which relies on new techniques such as a well-posed Cauchy problem for bisolutions and a patching argument using Čech cohomology. This leads to global bisolutions of the Hadamard form, each of which can be chosen to be a Hadamard two-point-function, i.e., the smooth part can be adapted such that, additionally, the symmetry and the positivity condition are exactly satisfied. Y1 - 2022 U6 - https://doi.org/10.1063/5.0055753 SN - 0022-2488 SN - 1089-7658 VL - 63 IS - 1 PB - American Institute of Physics CY - Melville ER - TY - THES A1 - Lewandowski, Max T1 - Hadamard states for bosonic quantum field theory on globally hyperbolic spacetimes T1 - Hadamard-Zustände für bosonische Quantenfeldtheorie auf global hyperbolischen Raumzeiten N2 - Quantenfeldtheorie auf gekrümmten Raumzeiten ist eine semiklassische Näherung einer Quantentheorie der Gravitation, im Rahmen derer ein Quantenfeld unter dem Einfluss eines klassisch modellierten Gravitationsfeldes, also einer gekrümmten Raumzeit, beschrieben wird. Eine der bemerkenswertesten Vorhersagen dieses Ansatzes ist die Erzeugung von Teilchen durch die gekrümmte Raumzeit selbst, wie zum Beispiel durch Hawkings Verdampfen schwarzer Löcher und den Unruh Effekt. Andererseits deuten diese Aspekte bereits an, dass fundamentale Grundpfeiler der Theorie auf dem Minkowskiraum, insbesondere ein ausgezeichneter Vakuumzustand und damit verbunden der Teilchenbegriff, für allgemeine gekrümmte Raumzeiten keine sinnvolle Entsprechung besitzen. Gleichermaßen benötigen wir eine alternative Implementierung von Kovarianz in die Theorie, da gekrümmte Raumzeiten im Allgemeinen keine nicht-triviale globale Symmetrie aufweisen. Letztere Problematik konnte im Rahmen lokal-kovarianter Quantenfeldtheorie gelöst werden, wohingegen die Abwesenheit entsprechender Konzepte für Vakuum und Teilchen in diesem allgemeinen Fall inzwischen sogar in Form von no-go-Aussagen manifestiert wurde. Beim algebraischen Ansatz für eine Quantenfeldtheorie werden zunächst Observablen eingeführt und erst anschließend Zustände via Zuordnung von Erwartungswerten. Obwohl die Observablen unter physikalischen Gesichtspunkten konstruiert werden, existiert dennoch eine große Anzahl von möglichen Zuständen, von denen viele, aus physikalischen Blickwinkeln betrachtet, nicht sinnvoll sind. Dieses Konzept von Zuständen ist daher noch zu allgemein und bedarf weiterer physikalisch motivierter Einschränkungen. Beispielsweise ist es natürlich, sich im Falle freier Quantenfeldtheorien mit linearen Feldgleichungen auf quasifreie Zustände zu konzentrieren. Darüber hinaus ist die Renormierung von Erwartungswerten für Produkte von Feldern von zentraler Bedeutung. Dies betrifft insbesondere den Energie-Impuls-Tensor, dessen Erwartungswert durch distributionelle Bilösungen der Feldgleichungen gegeben ist. Tatsächlich liefert J. Hadamard Theorie hyperbolischer Differentialgleichungen Bilösungen mit festem singulären Anteil, so dass ein geeignetes Renormierungsverfahren definiert werden kann. Die sogenannte Hadamard-Bedingung an Bidistributionen steht für die Forderung einer solchen Singularitätenstruktur und sie hat sich etabliert als natürliche Verallgemeinerung der für flache Raumzeiten formulierten Spektralbedingung. Seit Radzikowskis wegweisenden Resultaten lässt sie sich außerdem lokal ausdrücken, nämlich als eine Bedingung an die Wellenfrontenmenge der Bilösung. Diese Formulierung schlägt eine Brücke zu der von Duistermaat und Hörmander entwickelten mikrolokalen Analysis, die seitdem bei der Überprüfung der Hadamard-Bedingung sowie der Konstruktion von Hadamard Zuständen vielfach Verwendung findet und rasante Fortschritte auf diesem Gebiet ausgelöst hat. Obwohl unverzichtbar für die Analyse der Charakteristiken von Operatoren und ihrer Parametrizen sind die Methoden und Aussagen der mikrolokalen Analysis ungeeignet für die Analyse von nicht-singulären Strukturen und zentrale Aussagen sind typischerweise bis auf glatte Anteile formuliert. Beispielsweise lassen sich aus Radzikowskis Resultaten nahezu direkt Existenzaussagen und sogar ein konkretes Konstruktionsschema für Hadamard Zustände ableiten, die übrigen Eigenschaften (Bilösung, Kausalität, Positivität) können jedoch auf diesem Wege nur modulo glatte Funktionen gezeigt werden. Es ist das Ziel dieser Dissertation, diesen Ansatz für lineare Wellenoperatoren auf Schnitten in Vektorbündeln über global-hyperbolischen Lorentz-Mannigfaltigkeiten zu vollenden und, ausgehend von einer lokalen Hadamard Reihe, Hadamard Zustände zu konstruieren. Beruhend auf Wightmans Lösung für die d'Alembert-Gleichung auf dem Minkowski-Raum und der Herleitung der avancierten und retardierten Fundamentallösung konstruieren wir lokal Parametrizen in Form von Hadamard-Reihen und fügen sie zu globalen Bilösungen zusammen. Diese besitzen dann die Hadamard-Eigenschaft und wir zeigen anschließend, dass glatte Bischnitte existieren, die addiert werden können, so dass die verbleibenden Bedingungen erfüllt sind. N2 - Quantum field theory on curved spacetimes is understood as a semiclassical approximation of some quantum theory of gravitation, which models a quantum field under the influence of a classical gravitational field, that is, a curved spacetime. The most remarkable effect predicted by this approach is the creation of particles by the spacetime itself, represented, for instance, by Hawking's evaporation of black holes or the Unruh effect. On the other hand, these aspects already suggest that certain cornerstones of Minkowski quantum field theory, more precisely a preferred vacuum state and, consequently, the concept of particles, do not have sensible counterparts within a theory on general curved spacetimes. Likewise, the implementation of covariance in the model has to be reconsidered, as curved spacetimes usually lack any non-trivial global symmetry. Whereas this latter issue has been resolved by introducing the paradigm of locally covariant quantum field theory (LCQFT), the absence of a reasonable concept for distinct vacuum and particle states on general curved spacetimes has become manifest even in the form of no-go-theorems. Within the framework of algebraic quantum field theory, one first introduces observables, while states enter the game only afterwards by assigning expectation values to them. Even though the construction of observables is based on physically motivated concepts, there is still a vast number of possible states, and many of them are not reasonable from a physical point of view. We infer that this notion is still too general, that is, further physical constraints are required. For instance, when dealing with a free quantum field theory driven by a linear field equation, it is natural to focus on so-called quasifree states. Furthermore, a suitable renormalization procedure for products of field operators is vitally important. This particularly concerns the expectation values of the energy momentum tensor, which correspond to distributional bisolutions of the field equation on the curved spacetime. J. Hadamard's theory of hyperbolic equations provides a certain class of bisolutions with fixed singular part, which therefore allow for an appropriate renormalization scheme. By now, this specification of the singularity structure is known as the Hadamard condition and widely accepted as the natural generalization of the spectral condition of flat quantum field theory. Moreover, due to Radzikowski's celebrated results, it is equivalent to a local condition, namely on the wave front set of the bisolution. This formulation made the powerful tools of microlocal analysis, developed by Duistermaat and Hörmander, available for the verification of the Hadamard property as well as the construction of corresponding Hadamard states, which initiated much progress in this field. However, although indispensable for the investigation in the characteristics of operators and their parametrices, microlocal analyis is not practicable for the study of their non-singular features and central results are typically stated only up to smooth objects. Consequently, Radzikowski's work almost directly led to existence results and, moreover, a concrete pattern for the construction of Hadamard bidistributions via a Hadamard series. Nevertheless, the remaining properties (bisolution, causality, positivity) are ensured only modulo smooth functions. It is the subject of this thesis to complete this construction for linear and formally self-adjoint wave operators acting on sections in a vector bundle over a globally hyperbolic Lorentzian manifold. Based on Wightman's solution of d'Alembert's equation on Minkowski space and the construction for the advanced and retarded fundamental solution, we set up a Hadamard series for local parametrices and derive global bisolutions from them. These are of Hadamard form and we show existence of smooth bisections such that the sum also satisfies the remaining properties exactly. KW - mathematische Physik KW - Quantenfeldtheorie KW - Differentialgeometrie KW - mathematical physics KW - quantum field theory KW - differential geometry Y1 - 2019 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-439381 ER -