TY - GEN A1 - Ehlen, Tobias A1 - Flöge, Annie A1 - Göbel, Franziska A1 - Keller, Peter A1 - Rœlly, Sylvie ED - Keller, Peter ED - Rœlly, Sylvie T1 - Übungsbuch zur Stochastik BT - Aufgaben und Lösungen ; Grundlegende Konzepte und Anwendungen N2 - Dieses Buch stellt Übungen zu den Grundbegriffen und Grundsätzen der Stochastik und ihre Lösungen zur Verfügung. So wie man Tonleitern in der Musik trainiert, so berechnet man Übungsaufgaben in der Mathematik. In diesem Sinne soll dieses Übungsbuch vor allem als Vorlage dienen für das eigenständige, eigenverantwortliche Lernen und Üben. Die Schönheit und Einzigartigkeit der Wahrscheinlichkeitstheorie besteht darin, dass sie eine Vielzahl von realen Phänomenen modellieren kann. Daher findet man hier Aufgaben mit Verbindungen zur Geometrie, zu Glücksspielen, zur Versicherungsmathematik, zur Demographie und vielen anderen Themen. N2 - This book provides exercises on the basic concepts and principles of stochastics and their solutions. Just as one trains scales in music, one calculates exercises in mathematics. In this sense, this exercise book is primarily intended to serve as a template for independent learning and practice. The beauty and uniqueness of probability theory is that it can model a variety of real phenomena. Therefore, one can find exercises with connections to geometry, gambling, actuarial mathematics, demography and many other topics. KW - Aufgabensammlung KW - Wahrscheinlichkeitstheorie KW - Stochastik KW - Wahrscheinlichkeitsverteilung KW - Zufallsvariable KW - Grenzwertsatz KW - Konfidenzintervall KW - exercise collection KW - probability theory KW - stochastics KW - probability distribution KW - random variable KW - limit theorem KW - confidence interval Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-595939 SN - 978-3-86956-563-7 PB - Universitätsverlag Potsdam CY - Potsdam ER - TY - INPR A1 - Zehmisch, René T1 - Über Waldidentitäten der Brownschen Bewegung N2 - Aus dem Inhalt: 1 Abraham Wald (1902-1950) 2 Einführung der Grundbegriffe. Einige technische bekannte Ergebnisse 2.1 Martingal und Doob-Ungleichung 2.2 Brownsche Bewegung und spezielle Martingale 2.3 Gleichgradige Integrierbarkeit von Prozessen 2.4 Gestopptes Martingal 2.5 Optionaler Stoppsatz von Doob 2.6 Lokales Martingal 2.7 Quadratische Variation 2.8 Die Dichte der ersten einseitigen Überschreitungszeit der Brown- schen Bewegung 2.9 Waldidentitäten für die Überschreitungszeiten der Brownschen Bewegung 3 Erste Waldidentität 3.1 Burkholder, Gundy und Davis Ungleichungen der gestoppten Brown- schen Bewegung 3.2 Erste Waldidentität für die Brownsche Bewegung 3.3 Verfeinerungen der ersten Waldidentität 3.4 Stärkere Verfeinerung der ersten Waldidentität für die Brown- schen Bewegung 3.5 Verfeinerung der ersten Waldidentität für spezielle Stoppzeiten der Brownschen Bewegung 3.6 Beispiele für lokale Martingale für die Verfeinerung der ersten Waldidentität 3.7 Überschreitungszeiten der Brownschen Bewegung für nichtlineare Schranken 4 Zweite Waldidentität 4.1 Zweite Waldidentität für die Brownsche Bewegung 4.2 Anwendungen der ersten und zweitenWaldidentität für die Brown- schen Bewegung 5 Dritte Waldidentität 5.1 Dritte Waldidentität für die Brownsche Bewegung 5.2 Verfeinerung der dritten Waldidentität 5.3 Eine wichtige Voraussetzung für die Verfeinerung der drittenWal- didentität 5.4 Verfeinerung der dritten Waldidentität für spezielle Stoppzeiten der Brownschen Bewegung 6 Waldidentitäten im Mehrdimensionalen 6.1 Erste Waldidentität im Mehrdimensionalen 6.2 Zweite Waldidentität im Mehrdimensionalen 6.3 Dritte Waldidentität im Mehrdimensionalen 7 Appendix T3 - Mathematische Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie : Preprint - 2008, 04 Y1 - 2008 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-49469 ER - TY - THES A1 - Engelhardt, Max Angel Ronan T1 - Zwischen Simulation und Beweis - eine mathematische Analyse des Bienaymé-Galton-Watson-Prozesses und sein Einsatz innerhalb des Mathematikunterrichts T1 - Between simulation and proof - a mathematical analysis of the Bienaymé-Galton-Watson-process and its application in mathematics lessons N2 - Die Bienaymé-Galton-Watson Prozesse können für die Untersuchung von speziellen und sich entwickelnden Populationen verwendet werden. Die Populationen umfassen Individuen, welche sich identisch, zufällig, selbstständig und unabhängig voneinander fortpflanzen und die jeweils nur eine Generation existieren. Die n-te Generation ergibt sich als zufällige Summe der Individuen der (n-1)-ten Generation. Die Relevanz dieser Prozesse begründet sich innerhalb der Historie und der inner- und außermathematischen Bedeutung. Die Geschichte der Bienaymé-Galton-Watson-Prozesse wird anhand der Entwicklung des Konzeptes bis heute dargestellt. Dabei werden die Wissenschaftler:innen verschiedener Disziplinen angeführt, die Erkenntnisse zu dem Themengebiet beigetragen und das Konzept in ihren Fachbereichen angeführt haben. Somit ergibt sich die außermathematische Signifikanz. Des Weiteren erhält man die innermathematische Bedeutsamkeit mittels des Konzeptes der Verzweigungsprozesse, welches auf die Bienaymé-Galton-Watson Prozesse zurückzuführen ist. Die Verzweigungsprozesse stellen eines der aussagekräftigsten Modelle für die Beschreibung des Populationswachstums dar. Darüber hinaus besteht die derzeitige Wichtigkeit durch die Anwendungsmöglichkeit der Verzweigungsprozesse und der Bienaymé-Galton-Watson Prozesse innerhalb der Epidemiologie. Es werden die Ebola- und die Corona-Pandemie als Anwendungsfelder angeführt. Die Prozesse dienen als Entscheidungsstütze für die Politik und ermöglichen Aussagen über die Auswirkungen von Maßnahmen bezüglich der Pandemien. Neben den Prozessen werden ebenfalls der bedingte Erwartungswert bezüglich diskreter Zufallsvariablen, die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion und die zufällige Summe eingeführt. Die Konzepte vereinfachen die Beschreibung der Prozesse und bilden somit die Grundlage der Betrachtungen. Außerdem werden die benötigten und weiterführenden Eigenschaften der grundlegenden Themengebiete und der Prozesse aufgeführt und bewiesen. Das Kapitel erreicht seinen Höhepunkt bei dem Beweis des Kritikalitätstheorems, wodurch eine Aussage über das Aussterben des Prozesses in verschiedenen Fällen und somit über die Aussterbewahrscheinlichkeit getätigt werden kann. Die Fälle werden anhand der zu erwartenden Anzahl an Nachkommen eines Individuums unterschieden. Es zeigt sich, dass ein Prozess bei einer zu erwartenden Anzahl kleiner gleich Eins mit Sicherheit ausstirbt und bei einer Anzahl größer als Eins, die Population nicht in jedem Fall aussterben muss. Danach werden einzelne Beispiele, wie der linear fractional case, die Population von Fibroblasten (Bindegewebszellen) von Mäusen und die Entstehungsfragestellung der Prozesse, angeführt. Diese werden mithilfe der erlangten Ergebnisse untersucht und einige ausgewählte zufällige Dynamiken werden im nachfolgenden Kapitel simuliert. Die Simulationen erfolgen durch ein in Python erstelltes Programm und werden mithilfe der Inversionsmethode realisiert. Die Simulationen stellen beispielhaft die Entwicklungen in den verschiedenen Kritikalitätsfällen der Prozesse dar. Zudem werden die Häufigkeiten der einzelnen Populationsgrößen in Form von Histogrammen angebracht. Dabei lässt sich der Unterschied zwischen den einzelnen Fällen bestätigen und es wird die Anwendungsmöglichkeit der Bienaymé-Galton-Watson Prozesse bei komplexeren Problemen deutlich. Histogramme bekräftigen, dass die einzelnen Populationsgrößen nur endlich oft vorkommen. Diese Aussage wurde von Galton aufgeworfen und in der Extinktions-Explosions-Dichotomie verwendet. Die dargestellten Erkenntnisse über das Themengebiet und die Betrachtung des Konzeptes werden mit einer didaktischen Analyse abgeschlossen. Die Untersuchung beinhaltet die Berücksichtigung der Fundamentalen Ideen, der Fundamentalen Ideen der Stochastik und der Leitidee „Daten und Zufall“. Dabei ergibt sich, dass in Abhängigkeit der gewählten Perspektive die Anwendung der Bienaymé-Galton-Watson Prozesse innerhalb der Schule plausibel ist und von Vorteil für die Schüler:innen sein kann. Für die Behandlung wird exemplarisch der Rahmenlehrplan für Berlin und Brandenburg analysiert und mit dem Kernlehrplan Nordrhein-Westfalens verglichen. Die Konzeption des Lehrplans aus Berlin und Brandenburg lässt nicht den Schluss zu, dass die Bienaymé-Galton-Watson Prozesse angewendet werden sollten. Es lässt sich feststellen, dass die zugrunde liegende Leitidee nicht vollumfänglich mit manchen Fundamentalen Ideen der Stochastik vereinbar ist. Somit würde eine Modifikation hinsichtlich einer stärkeren Orientierung des Lehrplans an den Fundamentalen Ideen die Anwendung der Prozesse ermöglichen. Die Aussage wird durch die Betrachtung und Übertragung eines nordrhein-westfälischen Unterrichtsentwurfes für stochastische Prozesse auf die Bienaymé-Galton-Watson Prozesse unterstützt. Darüber hinaus werden eine Concept Map und ein Vernetzungspentagraph nach von der Bank konzipiert um diesen Aspekt hervorzuheben. N2 - The Bienaymé-Galton-Watson processes can be used to study special and developing populations. These populations include individuals that reproduce identically, randomly, separately, independently of each other, and which exist only for one generation. The n-th generation is the random sum of the individuals of the (n-1)-th generation. The relevance of these processes is based on their history and their significance in mathematical and extra-mathematical contexts. The history of the Bienaymé-Galton-Watson processes is illustrated by the development of the concept to the present day. Various scientists from different disciplines who have contributed to the topic in their respective fields are listed. This illustrates moreover the significance in extra-mathematical contexts. Furthermore, the inner- mathematical magnitude is obtained by means of the superordinate concept of branching processes, which can be traced back to the Bienaymé-Galton-Watson processes. These branching processes are one of the most significant models for describing population growth. In addition, the current importance arises from the applicability of branching processes and the Bienaymé-Galton-Watson processes within epidemiology. The Ebola and Corona pandemics are mentioned as fields of application. The processes serve as a basis for political decision-making and enable statements made on the impact of pandemic measures. In addition to the processes, the conditional expectation value for discrete random variables, the probability generating function and the random sum are also introduced. These concepts simplify the description of the processes and thus form the basis of the considerations. Also, the required and further properties of the basic topics and processes are listed and demonstrated. The chapter reaches its climax with the proof of the criticality theorem, whereby a statement can be made about the extinction of the process in different cases and thus about the extinction probability. These cases are distinguished based on the expected number of offspring from the individuals. It turns out that a process with an expected number of less than one certainly becomes extinct. On the contrary, a process with a number greater than one does not necessarily has to die out. Individual examples are then given, such as the linear fractional case, the population of fibroblasts (connective tissue cells) of mice and the question of origin. These are investigated using the results obtained and some selected random dynamics are simulated in the following chapter. The simulations are carried out by a Python self-written program and are realized using the inversion method. These simulations exemplify the developments in the different criticality cases of the processes. Besides, the frequencies of the individual population sizes are displayed in the form of histograms. The difference between the individual cases can be confirmed and the analysis of the fibroblasts reveals the applicability of the Bienaymé-Galton-Watson processes to more complex problems. Histograms confirm that the individual population sizes occur only finitely often. This statement was raised by Galton and is used in the extinction-explosion dichotomy. The presented findings about the topic and the consideration of the concept are concluded with an analysis of didactic-background. This involves the fundamental ideas, the fundamental ideas of stochastics and the guiding idea of data and chance. Depending on the chosen perspective, the use of the Bienaymé-Galton-Watson processes within the school is plausible and may be beneficial for the students. For the treatment, the Rahmenlehrplan for Berlin and Brandenburg is analysed and compared with the core curriculum of Nord Rhine-Westphalia as an example. The design of the curriculum of Berlin and Brandenburg does not allow the conclusion of applying the Bienaymé-Galton-Watson processes. It can be seen that the underlying guiding idea is not fully compatible with some fundamental ideas of stochastics. Thus, a modification to the curriculum more oriented towards these fundamental ideas would allow the application of the processes. This statement is supported by the observation and transfer of a North Rhine-Westphalian teaching design for stochastic processes to the Bienaymé-Galton-Watson processes by means of chain letters. In addition, a concept map and a Vernetzungspentagraph by von der Bank are designed to highlight this aspect. KW - Bienaymé-Galton-Watson Prozess KW - Kritikalitätstheorem KW - Verzweigungsprozess KW - Populationen KW - linear fractional case KW - bedingter Erwartungswert KW - zufällige Summe KW - Simulation KW - wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion KW - Historie der Verzweigungsprozesse KW - Instabilität des Prozesses KW - Aussterbewahrscheinlichkeit KW - Geometrische Reproduktionsverteilung KW - Fibroblasten KW - Entstehungsfragestellung KW - Fundamentale Ideen KW - Leitidee „Daten und Zufall“ KW - Rahmenlehrplan KW - Markov-Ketten KW - Corona KW - Bienaymé-Galton-Watson process KW - criticality theorem KW - branching process KW - populations KW - linear fractional case KW - conditional expectation value KW - random sum KW - simulation KW - probability generating function KW - history of branching processes KW - instability of the process KW - extinction probability KW - geometric reproduction distribution KW - fibroblasts KW - question of origin KW - fundamental ideas KW - guiding idea “Daten und Zufall” KW - Rahmenlehrplan KW - Markov chains KW - Corona Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-524474 ER - TY - THES A1 - Dahl, Dorothee Sophie T1 - Zahlen in den Fingern T1 - Numbers and fingers BT - eine Analyse des Lernspiels Fingu in Bezug auf den frühkindlichen Zahlerwerb im Rahmen der Artifact-Centric Activity Theory BT - an analysis of the learning game Fingu in relation to early numeracy acquisition within the framework of the artifact-centric activity theory N2 - Die Debatte über den Einsatz von digitalen Werkzeugen in der mathematischen Frühförderung ist hoch aktuell. Lernspiele werden konstruiert, mit dem Ziel, mathematisches, informelles Wissen aufzubauen und so einen besseren Schulstart zu ermöglichen. Doch allein die digitale und spielerische Aufarbeitung führt nicht zwingend zu einem Lernerfolg. Daher ist es umso wichtiger, die konkrete Implementation der theoretischen Konstrukte und Interaktionsmöglichkeiten mit den Werkzeugen zu analysieren und passend aufzubereiten. In dieser Masterarbeit wird dazu exemplarisch ein mathematisches Lernspiel namens „Fingu“ für den Einsatz im vorschulischen Bereich theoretisch und empirisch im Rahmen der Artifact-Centric Activity Theory (ACAT) untersucht. Dazu werden zunächst die theoretischen Hintergründe zum Zahlensinn, Zahlbegriffserwerb, Teil-Ganze-Verständnis, der Anzahlwahrnehmung und -bestimmung, den Anzahlvergleichen und der Anzahldarstellung mithilfe von Fingern gemäß der Embodied Cognition sowie der Verwendung von digitalen Werkzeugen und Multi-Touch-Geräten umfassend beschrieben. Anschließend wird die App Fingu erklärt und dann theoretisch entlang des ACAT-Review-Guides analysiert. Zuletzt wird die selbstständig durchgeführte Studie mit zehn Vorschulkindern erläutert und darauf aufbauend Verbesserungs- und Entwicklungsmöglichkeiten der App auf wissenschaftlicher Grundlage beigetragen. Für Fingu lässt sich abschließend festhalten, dass viele Prozesse wie die (Quasi-)Simultanerfassung oder das Zählen gefördert werden können, für andere wie das Teil-Ganze-Verständnis aber noch Anpassungen und/oder die Begleitung durch Erwachsene nötig ist. N2 - The current debate about the use of digital tools in early mathematical education has a lot of relevance these days. Educational games are designed with the aim of building mathematical informal knowledge and thus enabling a better start to school. But digital and playful implementation alone does not necessarily lead to learning. Therefore, it is important to analyze the media in detail and with regard to the theoretical constructs. In this master's thesis, a mathematical learning game called “Fingu” for preschool children is analyzed theoretically and empirically within the framework of the Artifact-Centric Activity Theory (ACAT). First, the theoretical background is described, that is the number sense, number concept acquisition, part-whole understanding, number perception and determination, number comparisons and number representation using fingers according to embodied cognition as well as the use of digital tools and multi-touch. The app itself is explained and then analyzed theoretically using the ACAT review guide. Finally, the conducted study with ten preschool children is presented. Based on those results and the scientific basis, possible improvements and development of the app are explained. For Fingu, it can be concluded that many processes such as perceptual or conceptual subitizing or counting can be improved, but for others such as part-whole understanding, adjustments and/or adult support are still necessary. KW - Zahlerwerb KW - Frühförderung KW - Lernspiele KW - Videostudie KW - ACAT KW - number KW - part-whole concept Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-607629 ER - TY - INPR A1 - Bär, Christian A1 - Pfäffle, Frank T1 - Wiener measures on Riemannian manifolds and the Feynman-Kac formula N2 - This is an introduction to Wiener measure and the Feynman-Kac formula on general Riemannian manifolds for Riemannian geometers with little or no background in stochastics. We explain the construction of Wiener measure based on the heat kernel in full detail and we prove the Feynman-Kac formula for Schrödinger operators with bounded potentials. We also consider normal Riemannian coverings and show that projecting and lifting of paths are inverse operations which respect the Wiener measure. T3 - Preprints des Instituts für Mathematik der Universität Potsdam - 1(2012)17 KW - Wiener measure KW - conditional Wiener measure KW - Brownian motion KW - Brownian bridge KW - Riemannian manifold Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-59998 ER - TY - INPR A1 - Alsaedy, Ammar A1 - Tarkhanov, Nikolai Nikolaevich T1 - Weak boundary values of solutions of Lagrangian problems N2 - We define weak boundary values of solutions to those nonlinear differential equations which appear as Euler-Lagrange equations of variational problems. As a result we initiate the theory of Lagrangian boundary value problems in spaces of appropriate smoothness. We also analyse if the concept of mapping degree of current importance applies to the study of Lagrangian problems. T3 - Preprints des Instituts für Mathematik der Universität Potsdam - 4 (2015) 2 KW - nonlinear equations KW - Lagrangian system KW - weak boundary values KW - quasilinear Fredholm operator KW - mapping degree Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-72617 SN - 2193-6943 VL - 4 IS - 2 PB - Universitätsverlag Potsdam CY - Potsdam ER - TY - JOUR A1 - Meyerhöfer, Wolfram T1 - Was misst TIMSS? BT - Einige Überlegungen zum Problem der Interpretierbarkeit der erhobenen Daten N2 - Bei der Erstellung und Interpretation mathematischer Leistungstests steht die Frage, was eine Aufgabe mißt. Der Artikel stellt mit der strukturalen oder objektiven Hermeneutik eine Methode vor, mit der die verschiedenen Dimensionen der von einer Aufgabe erfassten Fähigkeiten herausgearbeitet werden können. Dabei werden fachliche Anforderungen, Irritationsmomente und das durch die Aufgabe transportierte Bild vom jeweiligen Fach ebenso erfasst wie Momente, die man eher als Testfähigkeit bezeichnen würde.Am Beispiel einer TIMSS-Aufgabe wird diskutiert, dass das von den Testerstellern benutzte theoretische Konstrukt kaum geeignet ist, nachhaltig zu beschreiben, was eine Aufgabe misst. N2 - The design and interpretation of aptitude tests in mathematics provoke questions as to what each of the set tasks actually measures. With structural or objective hermeneutics, this article introduces a methodology capable of discerning the various dimensions of skills required for a particular task. Not only does this approach allow for the recognition of the technical requirements of the task, its off-putting factors and the image of the subject conveyed. The methodology is also able to locate the elements addressing the kind of skill that can more accurately be clas-sified as 'test ability'. Focusing on an example selected from a TIMSS aptitude test, the discussion seeks to de-monstrate that the theoretical construction employed in setting the test is hardly suited to define with any sense of permanence what is measured by each task. KW - TIMSS KW - Leistungstests KW - Testfähigkeit KW - Hermeneutik KW - TIMSS KW - aptitude tests KW - test ability KW - hermeneutics Y1 - 2001 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-224 SP - 1 EP - 11 ER - TY - THES A1 - Hanisch, Florian T1 - Variational problems on supermanifolds T1 - Variationsprobleme auf Supermannigfaltigkeiten N2 - In this thesis, we discuss the formulation of variational problems on supermanifolds. Supermanifolds incorporate bosonic as well as fermionic degrees of freedom. Fermionic fields take values in the odd part of an appropriate Grassmann algebra and are thus showing an anticommutative behaviour. However, a systematic treatment of these Grassmann parameters requires a description of spaces as functors, e.g. from the category of Grassmann algberas into the category of sets (or topological spaces, manifolds). After an introduction to the general ideas of this approach, we use it to give a description of the resulting supermanifolds of fields/maps. We show that each map is uniquely characterized by a family of differential operators of appropriate order. Moreover, we demonstrate that each of this maps is uniquely characterized by its component fields, i.e. by the coefficients in a Taylor expansion w.r.t. the odd coordinates. In general, the component fields are only locally defined. We present a way how to circumvent this limitation. In fact, by enlarging the supermanifold in question, we show that it is possible to work with globally defined components. We eventually use this formalism to study variational problems. More precisely, we study a super version of the geodesic and a generalization of harmonic maps to supermanifolds. Equations of motion are derived from an energy functional and we show how to decompose them into components. Finally, in special cases, we can prove the existence of critical points by reducing the problem to equations from ordinary geometric analysis. After solving these component equations, it is possible to show that their solutions give rise to critical points in the functor spaces of fields. N2 - In dieser Dissertation wird die Formulierung von Variationsproblemen auf Supermannigfaltigkeiten diskutiert. Supermannigfaltigkeiten enthalten sowohl bosonische als auch fermionische Freiheitsgrade. Fermionische Felder nehmen Werte im ungeraden Teil einer Grassmannalgebra an, sie antikommutieren deshalb untereinander. Eine systematische Behandlung dieser Grassmann-Parameter erfordert jedoch die Beschreibung von Räumen durch Funktoren, z.B. von der Kategorie der Grassmannalgebren in diejenige der Mengen (der topologischen Räume, Mannigfaltigkeiten, ...). Nach einer Einführung in das allgemeine Konzept dieses Zugangs verwenden wir es um eine Beschreibung der resultierenden Supermannigfaltigkeit der Felder bzw. Abbildungen anzugeben. Wir zeigen, dass jede Abbildung eindeutig durch eine Familie von Differentialoperatoren geeigneter Ordnung charakterisiert wird. Darüber hinaus beweisen wir, dass jede solche Abbildung eineindeutig durch ihre Komponentenfelder, d.h. durch die Koeffizienten einer Taylorentwickelung bzgl. von ungeraden Koordinaten bestimmt ist. Im Allgemeinen sind Komponentenfelder nur lokal definiert. Wir stellen einen Weg vor, der diese Einschränkung umgeht: Durch das Vergrößern der betreffenden Supermannigfaltigkeit ist es immer möglich, mit globalen Koordinaten zu arbeiten. Schließlich wenden wir diesen Formalismus an, um Variationsprobleme zu untersuchen, genauer betrachten wir eine super-Version der Geodäte und eine Verallgemeinerung von harmonischen Abbildungen auf Supermannigfaltigkeiten. Bewegungsgleichungen werden von Energiefunktionalen abgeleitet und wir zeigen, wie sie sich in Komponenten zerlegen lassen. Schließlich kann in Spezialfällen die Existenz von kritischen Punkten gezeigt werden, indem das Problem auf Gleichungen der gewöhnlichen geometrischen Analysis reduziert wird. Es kann dann gezeigt werden, dass die Lösungen dieser Gleichungen sich zu kritischen Punkten im betreffenden Funktor-Raum der Felder zusammensetzt. KW - Supergeometrie KW - Variationsrechnung KW - Differentialoperatoren KW - Funktorgeometrie KW - supergeometry KW - variational calculus KW - differential operators KW - functor geometry Y1 - 2011 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-59757 ER - TY - INPR A1 - Alsaedy, Ammar T1 - Variational primitive of a differential form N2 - In this paper we specify the Dirichlet to Neumann operator related to the Cauchy problem for the gradient operator with data on a part of the boundary. To this end, we consider a nonlinear relaxation of this problem which is a mixed boundary problem of Zaremba type for the p-Laplace equation. T3 - Preprints des Instituts für Mathematik der Universität Potsdam - 5 (2016) 4 KW - Dirichlet-to-Neumann operator KW - Cauchy problem KW - p-Laplace operator KW - calculus of variations Y1 - 2016 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-89223 SN - 2193-6943 VL - 5 IS - 4 PB - Universitätsverlag Potsdam CY - Potsdam ER - TY - THES A1 - Vu, Dinh Phuong T1 - Using video study to investigate eighth-grade mathematics classrooms in Vietnam T1 - Die Nutzung von Videostudien zur Untersuchung des Mathematikunterrichts in der 8. Klasse in Vietnam N2 - The International Project for the Evaluation of Educational Achievement (IEA) was formed in the 1950s (Postlethwaite, 1967). Since that time, the IEA has conducted many studies in the area of mathematics, such as the First International Mathematics Study (FIMS) in 1964, the Second International Mathematics Study (SIMS) in 1980-1982, and a series of studies beginning with the Third International Mathematics and Science Study (TIMSS) which has been conducted every 4 years since 1995. According to Stigler et al. (1999), in the FIMS and the SIMS, U.S. students achieved low scores in comparison with students in other countries (p. 1). The TIMSS 1995 “Videotape Classroom Study” was therefore a complement to the earlier studies conducted to learn “more about the instructional and cultural processes that are associated with achievement” (Stigler et al., 1999, p. 1). The TIMSS Videotape Classroom Study is known today as the TIMSS Video Study. From the findings of the TIMSS 1995 Video Study, Stigler and Hiebert (1999) likened teaching to “mountain ranges poking above the surface of the water,” whereby they implied that we might see the mountaintops, but we do not see the hidden parts underneath these mountain ranges (pp. 73-78). By watching the videotaped lessons from Germany, Japan, and the United States again and again, they discovered that “the systems of teaching within each country look similar from lesson to lesson. At least, there are certain recurring features [or patterns] that typify many of the lessons within a country and distinguish the lessons among countries” (pp. 77-78). They also discovered that “teaching is a cultural activity,” so the systems of teaching “must be understood in relation to the cultural beliefs and assumptions that surround them” (pp. 85, 88). From this viewpoint, one of the purposes of this dissertation was to study some cultural aspects of mathematics teaching and relate the results to mathematics teaching and learning in Vietnam. Another research purpose was to carry out a video study in Vietnam to find out the characteristics of Vietnamese mathematics teaching and compare these characteristics with those of other countries. In particular, this dissertation carried out the following research tasks: - Studying the characteristics of teaching and learning in different cultures and relating the results to mathematics teaching and learning in Vietnam - Introducing the TIMSS, the TIMSS Video Study and the advantages of using video study in investigating mathematics teaching and learning - Carrying out the video study in Vietnam to identify the image, scripts and patterns, and the lesson signature of eighth-grade mathematics teaching in Vietnam - Comparing some aspects of mathematics teaching in Vietnam and other countries and identifying the similarities and differences across countries - Studying the demands and challenges of innovating mathematics teaching methods in Vietnam – lessons from the video studies Hopefully, this dissertation will be a useful reference material for pre-service teachers at education universities to understand the nature of teaching and develop their teaching career. N2 - Das International Project for the Evaluation of Educational Achievement (IEA) wurde in den 1950er Jahren gegründet. Seitdem führte das IEA viele Studien in Bereich mathematischer Bildung durch, insbesondere die First International Mathematics Study (FIMS) im Jahre 1964, die Second International Mathematics Study (SIMS) in den Jahren 1980–1982 und eine Reihe von Studien, die mit der Third International Mathematics and Science Study (TIMSS) begann und seit 1995 alle vier Jahre durchgeführt wird. Nach Stigler et al. (1999) erreichten US-amerikanische Studenten bei FIMS und SIMS niedrigere Ergebnisse als Schüler anderer Länder (S. 1). Daher wurde TIMSS 1995 erweitert um eine ‘Videotape Classroom Study’ mit dem Ziel, „mehr über die unterrichtlichen und kulturellen Prozesse, die mit Leistung zusammenhängen“, zu erfahren (S. 1; Übersetzung vom engl. Original). Von den Ergebnissen der TIMMS 1995 Video Study ausgehend verglichen Stigler und Hiebert (1999) Unterricht mit „Gebirgszügen, die die Wasseroberfläche durchstoßen“, womit sie ausdrücken sollten, was die Bergspitzen sichtbar, große Teile des Gebirges aber unter dem Wasser verborgen sind (S. 73–78; Übersetzung vom engl. Original). Durch die wiederholte Analyse videographierter Unterrichtsstunden aus Deutschland, Japan und den USA entdeckten sie, dass „die Arten des Unterrichts innerhalb jedes Landes von Stunde zu Stunde ähnlich sind. Zumindest gibt es bestimmte wiederkehrende Aspekte [oder Skripte], welche für viele Stunden eines Landes typisch sind und die Stunden gegenüber anderen Ländern abgrenzen“ (S. 77f.). Sie entdeckten außerdem, dass Unterricht eine „kulturelle Aktivität“ ist, Unterrichtsarten also „verstanden werden müssen in Relation zu den kulturellen Überzeugungen und Annahmen, die sie umgeben“ (S. 85, 88). Hierauf aufbauend war es ein Ziel der Dissertation, kulturelle Aspekte des Mathematikunterricht zu untersuchen und die Ergebnisse mit Mathematikunterricht in Vietnam zu vergleichen. Ein weiteres Ziel war die Erhebung der Charakteristika vietnamesischen Mathematikunterricht durch eine Videostudie in Vietnam und der anschließende Vergleich dieser Charakteristika mit denen anderer Länder. Im Einzelnen befasste sich diese Dissertation mit den folgenden Forschungszielen: - Untersuchung der Charakteristika von Lehren und Lernen in unterschiedlichen Kulturen und vorläufiger Vergleich der Resultate mit dem Lehren und Lernen von Mathematik in Vietnam - Einführung der TIMSS und der TIMSS Video Study und der methodologischen Vorteile von Videostudien für die Untersuchung von Mathematikunterricht in Vietnam - Durchführung der Videostudie in Vietnam, um Unterrichtsskripte des Mathematikunterrichts in 8. Klassen in Vietnam zu identifizieren - Vergleich ausgewählter Aspekte des Mathematikunterrichts in Vietnam mit denen anderer Länder auf der Grundlage der Videostudie in Vietnam und Diskussion von Ähnlichkeiten und Unterschieden zwischen Ländern - Untersuchung der Herausforderungen für eine Innovation der Unterrichtsmethoden im Mathematikunterricht Vietnams Diese Dissertation entstand in der Hoffnung, dass sie eine nützliche Referenz für Lehramtsstudenten zum Verständnis der Natur des Unterrichts und zur Entwicklung der eigenen Lehrerpersönlichkeit darstellen möge. KW - Videostudie KW - Mathematikunterricht KW - Unterrichtsmethode KW - TIMSS KW - Kulturelle Aktivität KW - video study KW - mathematics education KW - teaching methods KW - TIMSS KW - Vietnam Y1 - 2014 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-72464 ER - TY - GEN A1 - Ginoux, Nicolas T1 - Une nouvelle estimation extrinsèque du spectre de l'opérateur de Dirac T1 - A new extrinsic estimate for the spectrum of the Dirac operator N2 - Nous établissons une nouvelle majoration optimale pour les plus petites valeurs propres de l'opérateur de Dirac sur une hypersurface compacte de l'espace hyperbolique. N2 - We prove a new upper bound for the smallest eigenvalues of the Dirac operator on a compact hypersurface of the hyperbolic space. KW - bounds KW - Eigenvalues Y1 - 2003 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-5644 ER - TY - INPR A1 - Klein, Markus A1 - Rosenberger, Elke T1 - Tunneling for a class of difference operators N2 - We analyze a general class of difference operators containing a multi-well potential and a small parameter. We decouple the wells by introducing certain Dirichlet operators on regions containing only one potential well, and we treat the eigenvalue problem as a small perturbation of these comparison problems. We describe tunneling by a certain interaction matrix similar to the analysis for the Schrödinger operator, and estimate the remainder, which is exponentially small and roughly quadratic compared with the interaction matrix. T3 - Preprints des Instituts für Mathematik der Universität Potsdam - 1 (2012) 5 KW - semi-classical difference operator KW - tunneling KW - interaction matrix Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-56989 ER - TY - INPR A1 - Gairing, Jan A1 - Högele, Michael A1 - Kosenkova, Tetiana T1 - Transportation distances and noise sensitivity of multiplicative Lévy SDE with applications N2 - This article assesses the distance between the laws of stochastic differential equations with multiplicative Lévy noise on path space in terms of their characteristics. The notion of transportation distance on the set of Lévy kernels introduced by Kosenkova and Kulik yields a natural and statistically tractable upper bound on the noise sensitivity. This extends recent results for the additive case in terms of coupling distances to the multiplicative case. The strength of this notion is shown in a statistical implementation for simulations and the example of a benchmark time series in paleoclimate. T3 - Preprints des Instituts für Mathematik der Universität Potsdam - 5 (2016) 2 KW - stochastic differential equations KW - multiplicative Lévy noise KW - Lévy type processes KW - heavy-tailed distributions KW - model selection KW - Wasserstein distance KW - time series Y1 - 2016 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-86693 SN - 2193-6943 VL - 5 IS - 2 PB - Universitätsverlag Potsdam CY - Potsdam ER - TY - THES A1 - Angwenyi, David T1 - Time-continuous state and parameter estimation with application to hyperbolic SPDEs T1 - Zeitkontinuierliche Zustands- und Parameterschätzung bei Anwendung auf hyperbolische SPDEs N2 - Data assimilation has been an active area of research in recent years, owing to its wide utility. At the core of data assimilation are filtering, prediction, and smoothing procedures. Filtering entails incorporation of measurements' information into the model to gain more insight into a given state governed by a noisy state space model. Most natural laws are governed by time-continuous nonlinear models. For the most part, the knowledge available about a model is incomplete; and hence uncertainties are approximated by means of probabilities. Time-continuous filtering, therefore, holds promise for wider usefulness, for it offers a means of combining noisy measurements with imperfect model to provide more insight on a given state. The solution to time-continuous nonlinear Gaussian filtering problem is provided for by the Kushner-Stratonovich equation. Unfortunately, the Kushner-Stratonovich equation lacks a closed-form solution. Moreover, the numerical approximations based on Taylor expansion above third order are fraught with computational complications. For this reason, numerical methods based on Monte Carlo methods have been resorted to. Chief among these methods are sequential Monte-Carlo methods (or particle filters), for they allow for online assimilation of data. Particle filters are not without challenges: they suffer from particle degeneracy, sample impoverishment, and computational costs arising from resampling. The goal of this thesis is to:— i) Review the derivation of Kushner-Stratonovich equation from first principles and its extant numerical approximation methods, ii) Study the feedback particle filters as a way of avoiding resampling in particle filters, iii) Study joint state and parameter estimation in time-continuous settings, iv) Apply the notions studied to linear hyperbolic stochastic differential equations. The interconnection between Itô integrals and stochastic partial differential equations and those of Stratonovich is introduced in anticipation of feedback particle filters. With these ideas and motivated by the variants of ensemble Kalman-Bucy filters founded on the structure of the innovation process, a feedback particle filter with randomly perturbed innovation is proposed. Moreover, feedback particle filters based on coupling of prediction and analysis measures are proposed. They register a better performance than the bootstrap particle filter at lower ensemble sizes. We study joint state and parameter estimation, both by means of extended state spaces and by use of dual filters. Feedback particle filters seem to perform well in both cases. Finally, we apply joint state and parameter estimation in the advection and wave equation, whose velocity is spatially varying. Two methods are employed: Metropolis Hastings with filter likelihood and a dual filter comprising of Kalman-Bucy filter and ensemble Kalman-Bucy filter. The former performs better than the latter. N2 - Die Datenassimilation war in den letzten Jahren aufgrund ihres breiten Nutzens ein aktives Forschungsgebiet. Im Zentrum der Datenassimilation stehen Filter-, Vorhersage- und Glättungsverfahren. Die Filterung beinhaltet die Einbeziehung von Messinformationen in das Modell, um einen besseren Einblick in einen gegebenen Zustand zu erhalten, der durch ein verrauschtes Zustandsraummodell gesteuert wird. Die meisten Naturgesetze werden von zeitkontinuierlichen nichtlinearen Modellen bestimmt. Das verfügbare Wissen über ein Modell ist größtenteils unvollständig; und daher werden Unsicherheiten mittels Wahrscheinlichkeiten angenähert. Die zeitkontinuierliche Filterung verspricht daher eine größere Nützlichkeit, denn sie bietet die Möglichkeit, verrauschte Messungen mit einem unvollkommenen Modell zu kombinieren, um mehr Einblick in einen bestimmten Zustand zu erhalten. Das Problem der zeitkontinuierlichen nichtlinearen Gaußschen Filterung wird durch die Kushner-Stratonovich-Gleichung gelöst. Leider fehlt der Kushner-Stratonovich-Gleichung eine geschlossene Lösung. Darüber hinaus sind die numerischen Näherungen, die auf der Taylor-Erweiterung über der dritten Ordnung basieren, mit rechnerischen Komplikationen behaftet. Aus diesem Grund wurde auf numerische Methoden zurückgegriffen, die auf Monte-Carlo-Methoden basieren. Die wichtigsten dieser Methoden sind sequentielle Monte-Carlo-Methoden (oder Partikelfilter), da sie die Online-Assimilation von Daten ermöglichen. Partikelfilter sind nicht unproblematisch: Sie leiden unter Partikelentartung, Probenverarmung und Rechenkosten, die sich aus der Neuabtastung ergeben. Das Ziel dieser Arbeit ist es, i) die Ableitung der Kushner-Stratonovich-Gleichung aus den ersten Prinzipien und ihre vorhandenen numerischen Approximationsmethoden zu überprüfen, ii) die Rückkopplungs-Partikelfilter zu untersuchen, um eine Neuabtastung in Partikelfiltern zu vermeiden, iii) Studieren Sie die Zustands- und Parameterschätzung in zeitkontinuierlichen Einstellungen, iv) Wenden Sie die untersuchten Begriffe auf lineare hyperbolische stochastische Differentialgleichungen an. Die Verbindung zwischen Itô Integralen und stochastischen partiellen Differentialgleichungen und denen von Stratonovich wird in Erwartung von Rückkopplungs-Partikelfiltern eingeführt. Mit diesen Ideen und motiviert durch die Varianten von Kalman-Bucy-Filtern, die auf der Struktur des Innovationsprozesses gegründet, wird ein Feedback-Partikelfilter mit zufällig gestörter Innovation vorgeschlagen. Darüber hinaus werden Rückkopplungspartikelfilter basierend auf der Kopplung von Vorhersage- und Analysemaßnahmen vorgeschlagen. Diese Feedback-Partikelfiltern haben eine bessere Leistung als der Bootstrap-Partikelfilter bei niedrigeren Ensemble-Größen. Wir untersuchen gemeinsame Zustands- und Parameterschätzungen, sowohl durch erweiterte Zustandsräume als auch durch Verwendung von Doppelfiltern. Rückkopplungs-Partikelfilter scheinen in beiden Fällen gut zu funktionieren. Schließlich wenden wir eine gemeinsame Zustands- und Parameterschätzung in der Advektions-und Wellengleichung an, deren Geschwindigkeit räumlich variiert. Es werden zwei Verfahren verwendet: Metropolis-Hastings mit Filterwahrscheinlichkeit und ein Doppelfilter bestehend aus Kalman-Bucy-Filter und Ensemble-Kalman-Bucy-Filter. Ersteres schneidet besser ab als letzteres. KW - state estimation KW - filtering KW - parameter estimation KW - Zustandsschätzung KW - Filterung KW - Parameter Schätzung Y1 - 2019 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-436542 ER - TY - INPR A1 - Mera, Azal A1 - Tarkhanov, Nikolai Nikolaevich T1 - The Neumann problem after Spencer N2 - When trying to extend the Hodge theory for elliptic complexes on compact closed manifolds to the case of compact manifolds with boundary one is led to a boundary value problem for the Laplacian of the complex which is usually referred to as Neumann problem. We study the Neumann problem for a larger class of sequences of differential operators on a compact manifold with boundary. These are sequences of small curvature, i.e., bearing the property that the composition of any two neighbouring operators has order less than two. T3 - Preprints des Instituts für Mathematik der Universität Potsdam - 5 (2016) 6 KW - elliptic complex KW - manifold with boundary KW - Hodge theory KW - Neumann problem Y1 - 2016 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-90631 SN - 2193-6943 VL - 5 IS - 6 PB - Universitätsverlag Potsdam CY - Potsdam ER - TY - THES A1 - Mera, Azal Jaafar Musa T1 - The Navier-Stokes equations for elliptic quasicomplexes T1 - Die Navier–Stokes–Gleichungen für elliptische Quasikomplexe N2 - The classical Navier-Stokes equations of hydrodynamics are usually written in terms of vector analysis. More promising is the formulation of these equations in the language of differential forms of degree one. In this way the study of Navier-Stokes equations includes the analysis of the de Rham complex. In particular, the Hodge theory for the de Rham complex enables one to eliminate the pressure from the equations. The Navier-Stokes equations constitute a parabolic system with a nonlinear term which makes sense only for one-forms. A simpler model of dynamics of incompressible viscous fluid is given by Burgers' equation. This work is aimed at the study of invariant structure of the Navier-Stokes equations which is closely related to the algebraic structure of the de Rham complex at step 1. To this end we introduce Navier-Stokes equations related to any elliptic quasicomplex of first order differential operators. These equations are quite similar to the classical Navier-Stokes equations including generalised velocity and pressure vectors. Elimination of the pressure from the generalised Navier-Stokes equations gives a good motivation for the study of the Neumann problem after Spencer for elliptic quasicomplexes. Such a study is also included in the work.We start this work by discussion of Lamé equations within the context of elliptic quasicomplexes on compact manifolds with boundary. The non-stationary Lamé equations form a hyperbolic system. However, the study of the first mixed problem for them gives a good experience to attack the linearised Navier-Stokes equations. On this base we describe a class of non-linear perturbations of the Navier-Stokes equations, for which the solvability results still hold. N2 - Die klassischen Navier–Stokes–Differentialgleichungen der Hydrodynamik werden in der Regel im Rahmen der Vektoranalysis formuliert. Mehr versprechend ist die Formulierung dieser Gleichungen in Termen von Differentialformen vom Grad 1. Auf diesem Weg beinhaltet die Untersuchung der Navier–Stokes–Gleichungen die Analyse des de Rhamschen Komplexes. Insbesondere ermöglicht die Hodge–Theorie für den de Rham–Komplex den Druck aus den Gleichungen zu eliminieren. Die Navier–Stokes–Gleichungen bilden ein parabolisches System mit einem nichtlinearen Term, welcher Sinn nur für die Pfaffschen Formen (d.h Formen vom Grad 1) hat. Ein einfacheres Modell für Dynamik der inkompressiblen viskosen Flüssigkeit wird von der Burgers–Gleichungen gegeben. Diese Arbeit richtet sich an das Studium der invarianten Struktur der Navier–Stokes–Gleichungen, die eng mit der algebraischen Struktur des de Rham–Komplexes im schritt 1 zusammen steht. Zu diesem Zweck stellen wir vor die Navier–Stokes–Gleichungen im Zusammenhang mit jedem elliptischen Quasikomplex von Differentialoperatoren der ersten Ordnung. So ähneln die Gleichungen den klassischen Navier–Stokes–Gleichungen, einschließlich allgemeiner Geschwindigkeit– und Druckvektoren. Elimination des Drucks aus den verallgemeinerten Navier–Stokes–Gleichungen gibt eine gute Motivation für die Untersuchung des Neumann–Problems nach Spencer für elliptische Quasikomplexe. Eine solche Untersuchung ist auch in der Arbeit mit der Erörterung der Lamé-Gleichungen im Kontext der elliptischen Quasikomplexe auf kompakten Mannigfaltigkeiten mit Rand. Die nichtstationären Lamé-Gleichungen bilden ein hyperbolisches System. Allerdings gibt die Studie des ersten gemischten Problems für sie eine gute Erfahrung, um die linearisierten Navier–Stokes–Gleichungen anzugreifen. Auf dieser Basis beschreiben wir eine Klasse von nichtlinearen Störungen der Navier–Stokes–Gleichungen, für welche die Lösungsresultate noch gelten. KW - Navier-Stokes-Gleichungen KW - elliptische Quasi-Komplexe KW - Navier-Stoks equations KW - elliptic quasicomplexes Y1 - 2017 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-398495 ER - TY - THES A1 - Lopez Valencia, Diego Andres T1 - The Milnor-Moore and Poincaré-Birkhoff-Witt theorems in the locality set up and the polar structure of Shintani zeta functions T1 - Die Milnor-Moore und Poincaré-Birkhoff-Witt Theoreme in der Lokalität und die polare Struktur der Shintani-Zeta-Abbildungen N2 - This thesis bridges two areas of mathematics, algebra on the one hand with the Milnor-Moore theorem (also called Cartier-Quillen-Milnor-Moore theorem) as well as the Poincaré-Birkhoff-Witt theorem, and analysis on the other hand with Shintani zeta functions which generalise multiple zeta functions. The first part is devoted to an algebraic formulation of the locality principle in physics and generalisations of classification theorems such as Milnor-Moore and Poincaré-Birkhoff-Witt theorems to the locality framework. The locality principle roughly says that events that take place far apart in spacetime do not infuence each other. The algebraic formulation of this principle discussed here is useful when analysing singularities which arise from events located far apart in space, in order to renormalise them while keeping a memory of the fact that they do not influence each other. We start by endowing a vector space with a symmetric relation, named the locality relation, which keeps track of elements that are "locally independent". The pair of a vector space together with such relation is called a pre-locality vector space. This concept is extended to tensor products allowing only tensors made of locally independent elements. We extend this concept to the locality tensor algebra, and locality symmetric algebra of a pre-locality vector space and prove the universal properties of each of such structures. We also introduce the pre-locality Lie algebras, together with their associated locality universal enveloping algebras and prove their universal property. We later upgrade all such structures and results from the pre-locality to the locality context, requiring the locality relation to be compatible with the linear structure of the vector space. This allows us to define locality coalgebras, locality bialgebras, and locality Hopf algebras. Finally, all the previous results are used to prove the locality version of the Milnor-Moore and the Poincaré-Birkhoff-Witt theorems. It is worth noticing that the proofs presented, not only generalise the results in the usual (non-locality) setup, but also often use less tools than their counterparts in their non-locality counterparts. The second part is devoted to study the polar structure of the Shintani zeta functions. Such functions, which generalise the Riemman zeta function, multiple zeta functions, Mordell-Tornheim zeta functions, among others, are parametrised by matrices with real non-negative arguments. It is known that Shintani zeta functions extend to meromorphic functions with poles on afine hyperplanes. We refine this result in showing that the poles lie on hyperplanes parallel to the facets of certain convex polyhedra associated to the defining matrix for the Shintani zeta function. Explicitly, the latter are the Newton polytopes of the polynomials induced by the columns of the underlying matrix. We then prove that the coeficients of the equation which describes the hyperplanes in the canonical basis are either zero or one, similar to the poles arising when renormalising generic Feynman amplitudes. For that purpose, we introduce an algorithm to distribute weight over a graph such that the weight at each vertex satisfies a given lower bound. N2 - Diese Arbeit schlägt eine Brücke zwischen zwei Bereichen der Mathematik, einerseits der Algebra mit dem Milnor-Moore-Theorem (auch Cartier-Quillen-Milnor-Moore-Theorem genannt) sowie dem Poincaré-Birkhoff-Witt-Theorem und andererseits der Analysis mit den Shintani-Zetafunktionen, die eine Verallgemeinerung der Mehrfach-Zetafunktionen darstellen. Der erste Teil ist einer algebraischen Formulierung des Lokalitätsprinzips in der Physik und Verallgemeinerungen von Klassifikationstheoremen wie dem Milnor-Moore- und dem Poincaré-Birkhoff-Witt-Theorem auf den Lokalitätsrahmen gewidmet. Das Lokalitätsprinzip besagt grob, dass Ereignisse, die in der Raumzeit weit voneinander entfernt stattfinden, sich nicht gegenseitig beeinflussen. Die hier erörterte algebraische Formulierung dieses Prinzips ist nützlich bei der Analyse von Singularitäten, die aus weit voneinander entfernten Ereignissen im Raum entstehen, um sie zu renormalisieren und dabei die Tatsache im Gedächtnis zu behalten, dass sie sich nicht gegenseitig beeinflussen. Wir beginnen damit, dass wir einen Vektorraum mit einer symmetrischen Relation, der so genannten Lokalitätsrelation, ausstatten, die die "lokal unabhängigen" Elemente festhält. Das Paar aus einem Vektorraum und einer solchen Relation wird als Vorlokalitäts-Vektorraum bezeichnet. Dieses Konzept wird auf Tensorprodukte erweitert, die nur Tensoren aus lokal unabhängigen Elementen zulassen. Wir erweitern dieses Konzept auf die Lokalitäts-Tensor-Algebra und die symmetrische Lokalitäts-Algebra eines Vorlokalitäts-Vektorraums und beweisen die universellen Eigenschaften jeder dieser Strukturen. Wir führen auch die Vorlokalitäts-Lie-Algebren zusammen mit den zugehörigen universellen Hüllalgebren der Lokalität ein und beweisen ihre universelle Eigenschaft. Später übertragen wir alle diese Strukturen und Ergebnisse aus dem Kontext der Vorlokalität in den Kontext der Lokalität, wobei die Lokalitätsbeziehung mit der linearen Struktur des Vektorraums kompatibel sein muss. Auf diese Weise können wir Lokalitäts-Kohlengebren, Lokalitäts-Bialgebren und Lokalitäts-Hopf-Algebren definieren. Schließlich werden alle vorherigen Ergebnisse verwendet, um die Lokalitätsversionen des Milnor-Moore- und des Poincaré-Birkhoff-Witt-Theorems zu beweisen. Es ist erwähnenswert, dass die vorgestellten Beweise nicht nur die Ergebnisse im üblichen (Nichtlokalitäts-) Aufbau verallgemeinern, sondern auch oft weniger Hilfsmittel verwenden als ihre Gegenstücke in ihren Nichtlokalitäts-Gegenstücken. Der zweite Teil ist der Untersuchung der polaren Struktur der Shintani-Zeta-Funktionen gewidmet. Diese Funktionen, die u.a. die Riemman-Zetafunktion, die multiplen Zetafunktionen und die Mordell-Tornheim-Zetafunktionen verallgemeinern, werden durch Matrizen mit reellen, nicht-negativen Argumenten parametrisiert. Es ist bekannt, dass Shintani-Zetafunktionen sich zu meromorphen Funktionen mit Polen auf affinen Hyperebenen erweitern. Wir verfeinern dieses Ergebnis, indem wir zeigen, dass die Pole auf Hyperebenen liegen, die parallel zu den Facetten bestimmter konvexer Polyeder verlaufen, die mit der Definitionsmatrix für die Shintani-Zeta-Funktion assoziiert sind. Letztere sind explizit die Newton-Polytope der Polynome, die durch die Spalten der zugrunde liegenden Matrix induziert werden. Wir beweisen dann, dass die Koeffizienten der Gleichung, die die Hyperebenen in der kanonischen Basis beschreibt, entweder Null oder Eins sind, ähnlich wie die Pole, die bei der Renormierung generischer Feynman-Amplituden entstehen. Zu diesem Zweck führen wir einen Algorithmus ein, um die Gewichte über einen Graphen so zu verteilen, dass das Gewicht an jedem Knoten eine gegebene untere Schranke erfüllt. KW - locality principle KW - multizeta functions KW - meromorphic continuation KW - Milnor Moore theorem KW - Poincaré Birkhoff Witt theorem KW - Newton polytopes KW - Satz von Milnor Moore KW - Newton Polytope KW - Satz von Poincaré Birkhoff Witt KW - Lokalitätsprinzip KW - meromorphe Fortsetzung KW - Multizeta-Abbildungen Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-594213 ER - TY - INPR A1 - Alsaedy, Ammar A1 - Tarkhanov, Nikolai Nikolaevich T1 - The method of Fischer-Riesz equations for elliptic boundary value problems N2 - We develop the method of Fischer-Riesz equations for general boundary value problems elliptic in the sense of Douglis-Nirenberg. To this end we reduce them to a boundary problem for a (possibly overdetermined) first order system whose classical symbol has a left inverse. For such a problem there is a uniquely determined boundary value problem which is adjoint to the given one with respect to the Green formula. On using a well elaborated theory of approximation by solutions of the adjoint problem, we find the Cauchy data of solutions of our problem. T3 - Preprints des Instituts für Mathematik der Universität Potsdam - 1(2012)24 KW - Boundary value problems for first order systems KW - Green formula KW - Fischer-Riesz equations KW - regularisation Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-61792 ER - TY - INPR A1 - Tarkhanov, Nikolai Nikolaevich A1 - Wallenta, Daniel T1 - The Lefschetz number of sequences of trace class curvature N2 - For a sequence of Hilbert spaces and continuous linear operators the curvature is defined to be the composition of any two consecutive operators. This is modeled on the de Rham resolution of a connection on a module over an algebra. Of particular interest are those sequences for which the curvature is "small" at each step, e.g., belongs to a fixed operator ideal. In this context we elaborate the theory of Fredholm sequences and show how to introduce the Lefschetz number. T3 - Preprints des Instituts für Mathematik der Universität Potsdam - 1 (2012) 3 KW - Perturbed complexes KW - curvature KW - Lefschetz number Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-56969 ER - TY - INPR A1 - Pfäffle, Frank A1 - Stephan, Christoph A. T1 - The Holst action by the spectral action principle N2 - We investigate the Holst action for closed Riemannian 4-manifolds with orthogonal connections. For connections whose torsion has zero Cartan type component we show that the Holst action can be recovered from the heat asymptotics for the natural Dirac operator acting on left-handed spinor fields. T3 - Preprints des Instituts für Mathematik der Universität Potsdam - 1(2012)19 Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-60032 ER - TY - INPR A1 - Makhmudov, Olimdjan A1 - Tarkhanov, Nikolai Nikolaevich T1 - The first mixed problem for the nonstationary Lamé system N2 - We find an adequate interpretation of the Lamé operator within the framework of elliptic complexes and study the first mixed problem for the nonstationary Lamé system. T3 - Preprints des Instituts für Mathematik der Universität Potsdam - 3(2014)10 KW - Lamé system KW - evolution equation KW - first boundary value problem Y1 - 2014 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-71923 SN - 2193-6943 VL - 3 IS - 10 PB - Universitätsverlag Potsdam CY - Potsdam ER - TY - THES A1 - Branding, Volker T1 - The evolution equations for Dirac-harmonic Maps T1 - Die Evolutionsgleichungen für Dirac-harmonische Abbildungen N2 - This thesis investigates the gradient flow of Dirac-harmonic maps. Dirac-harmonic maps are critical points of an energy functional that is motivated from supersymmetric field theories. The critical points of this energy functional couple the equation for harmonic maps with spinor fields. At present, many analytical properties of Dirac-harmonic maps are known, but a general existence result is still missing. In this thesis the existence question is studied using the evolution equations for a regularized version of Dirac-harmonic maps. Since the energy functional for Dirac-harmonic maps is unbounded from below the method of the gradient flow cannot be applied directly. Thus, we first of all consider a regularization prescription for Dirac-harmonic maps and then study the gradient flow. Chapter 1 gives some background material on harmonic maps/harmonic spinors and summarizes the current known results about Dirac-harmonic maps. Chapter 2 introduces the notion of Dirac-harmonic maps in detail and presents a regularization prescription for Dirac-harmonic maps. In Chapter 3 the evolution equations for regularized Dirac-harmonic maps are introduced. In addition, the evolution of certain energies is discussed. Moreover, the existence of a short-time solution to the evolution equations is established. Chapter 4 analyzes the evolution equations in the case that the domain manifold is a closed curve. Here, the existence of a smooth long-time solution is proven. Moreover, for the regularization being large enough, it is shown that the evolution equations converge to a regularized Dirac-harmonic map. Finally, it is discussed in which sense the regularization can be removed. In Chapter 5 the evolution equations are studied when the domain manifold is a closed Riemmannian spin surface. For the regularization being large enough, the existence of a global weak solution, which is smooth away from finitely many singularities is proven. It is shown that the evolution equations converge weakly to a regularized Dirac-harmonic map. In addition, it is discussed if the regularization can be removed in this case. N2 - Die vorliegende Dissertation untersucht den Gradientenfluss von Dirac-harmonischen Abbildungen. Dirac-harmonische Abbildungen sind kritische Punkte eines Energiefunktionals, welches aus supersymmetrischen Feldtheorien motiviert ist. Die kritischen Punkte dieses Energiefunktionals koppeln die Gleichung für harmonische Abbildungen mit Spinorfeldern. Viele analytische Eigenschaften von Dirac-harmonischen Abbildungen sind bereits bekannt, ein allgemeines Existenzresultat wurde aber noch nicht erzielt. Diese Dissertation untersucht das Existenzproblem, indem der Gradientenfluss von einer regularisierten Version Dirac-harmonischer Abbildungen untersucht wird. Die Methode des Gradientenflusses kann nicht direkt angewendet werden, da das Energiefunktional für Dirac-harmonische Abbildungen nach unten unbeschränkt ist. Daher wird zunächst eine Regularisierungsvorschrift für Dirac-harmonische Abbildungen eingeführt und dann der Gradientenfluss betrachtet. Kapitel 1 stellt für die Arbeit wichtige Resultate über harmonische Abbildungen/harmonische Spinoren zusammen. Außerdem werden die zur Zeit bekannten Resultate über Dirac-harmonische Abbildungen zusammengefasst. In Kapitel 2 werden Dirac-harmonische Abbildungen im Detail eingeführt, außerdem wird eine Regularisierungsvorschrift präsentiert. Kapitel 3 führt die Evolutionsgleichungen für regularisierte Dirac-harmonische Abbildungen ein. Zusätzlich wird die Evolution von verschiedenen Energien diskutiert. Schließlich wird die Existenz einer Kurzzeitlösung bewiesen. In Kapitel 4 werden die Evolutionsgleichungen für den Fall analysiert, dass die Ursprungsmannigfaltigkeit eine geschlossene Kurve ist. Die Existenz einer Langzeitlösung der Evolutionsgleichungen wird bewiesen. Es wird außerdem gezeigt, dass die Evolutionsgleichungen konvergieren, falls die Regularisierung groß genug gewählt wurde. Schließlich wird diskutiert, ob die Regularisierung wieder entfernt werden kann. Kapitel 5 schlussendlich untersucht die Evolutionsgleichungen für den Fall, dass die Ursprungsmannigfaltigkeit eine geschlossene Riemannsche Spin Fläche ist. Es wird die Existenz einer global schwachen Lösung bewiesen, welche bis auf endlich viele Singularitäten glatt ist. Die Lösung konvergiert im schwachen Sinne gegen eine regularisierte Dirac-harmonische Abbildung. Auch hier wird schließlich untersucht, ob die Regularisierung wieder entfernt werden kann. KW - Dirac-harmonische Abbildungen KW - Gradientenfluss KW - Wärmefluss KW - Spin Geometrie KW - nichtlineare partielle Differentialgleichung KW - Dirac-harmonic maps KW - Gradient flow KW - Heat Flow KW - Spin Geometry KW - nonlinear partial differential equations Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-64204 ER - TY - THES A1 - Koh, Dennis T1 - The evolution equation for closed magnetic geodesics T1 - Die Evolutionsgleichung für geschlossene magnetische Geodäten N2 - Orbits of charged particles under the effect of a magnetic field are mathematically described by magnetic geodesics. They appear as solutions to a system of (nonlinear) ordinary differential equations of second order. But we are only interested in periodic solutions. To this end, we study the corresponding system of (nonlinear) parabolic equations for closed magnetic geodesics and, as a main result, eventually prove the existence of long time solutions. As generalization one can consider a system of elliptic nonlinear partial differential equations whose solutions describe the orbits of closed p-branes under the effect of a "generalized physical force". For the corresponding evolution equation, which is a system of parabolic nonlinear partial differential equations associated to the elliptic PDE, we can establish existence of short time solutions. N2 - Bahnen von geladenen Teilchen, die sich unter dem Einfluss eines Magnetfeldes bewegen, werden in der Mathematik durch magnetische Geodäten beschrieben. Sie ergeben sich als Lösungen eines Systems (nichtlinearer) gewöhnlicher Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Wir interessieren uns ausschließich für periodische Lösungen. Dazu studieren wir das zugehörige System (nichtlinearer) parabolischer Differentialgleichungen für geschlossene magnetische Geodäten. Als Hauptresultat beweisen wir die Existenz von Langzeitlösungen. Verallgemeinernd betrachten wir noch ein System von elliptischen nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen, dessen Lösungen die Orbiten von geschlossenen p-Branen unter dem Einfluss einer verallgemeinerten physikalischen Kraft beschreiben. Für die entsprechende Evolutionsgleichung, welche ein System von parabolischen nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen ist, das dem elliptischen Problem zugeordnet ist, können wir die Existenz von Kurzzeitlösungen beweisen. KW - magnetisch KW - Geodäten KW - Evolutionsgleichung KW - Strings KW - p-Branen KW - magnetic KW - geodesics KW - evolution equation KW - p-branes Y1 - 2008 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-16647 SN - 978-3-940793-24-9 PB - Universitätsverlag Potsdam CY - Potsdam ER - TY - THES A1 - Lindblad Petersen, Oliver T1 - The Cauchy problem for the linearised Einstein equation and the Goursat problem for wave equations T1 - Das Cauchyproblem für die linearisierte Einsteingleichung und das Goursatproblem für Wellengleichungen N2 - In this thesis, we study two initial value problems arising in general relativity. The first is the Cauchy problem for the linearised Einstein equation on general globally hyperbolic spacetimes, with smooth and distributional initial data. We extend well-known results by showing that given a solution to the linearised constraint equations of arbitrary real Sobolev regularity, there is a globally defined solution, which is unique up to addition of gauge solutions. Two solutions are considered equivalent if they differ by a gauge solution. Our main result is that the equivalence class of solutions depends continuously on the corre- sponding equivalence class of initial data. We also solve the linearised constraint equations in certain cases and show that there exist arbitrarily irregular (non-gauge) solutions to the linearised Einstein equation on Minkowski spacetime and Kasner spacetime. In the second part, we study the Goursat problem (the characteristic Cauchy problem) for wave equations. We specify initial data on a smooth compact Cauchy horizon, which is a lightlike hypersurface. This problem has not been studied much, since it is an initial value problem on a non-globally hyperbolic spacetime. Our main result is that given a smooth function on a non-empty, smooth, compact, totally geodesic and non-degenerate Cauchy horizon and a so called admissible linear wave equation, there exists a unique solution that is defined on the globally hyperbolic region and restricts to the given function on the Cauchy horizon. Moreover, the solution depends continuously on the initial data. A linear wave equation is called admissible if the first order part satisfies a certain condition on the Cauchy horizon, for example if it vanishes. Interestingly, both existence of solution and uniqueness are false for general wave equations, as examples show. If we drop the non-degeneracy assumption, examples show that existence of solution fails even for the simplest wave equation. The proof requires precise energy estimates for the wave equation close to the Cauchy horizon. In case the Ricci curvature vanishes on the Cauchy horizon, we show that the energy estimates are strong enough to prove local existence and uniqueness for a class of non-linear wave equations. Our results apply in particular to the Taub-NUT spacetime and the Misner spacetime. It has recently been shown that compact Cauchy horizons in spacetimes satisfying the null energy condition are necessarily smooth and totally geodesic. Our results therefore apply if the spacetime satisfies the null energy condition and the Cauchy horizon is compact and non-degenerate. N2 - In der vorliegenden Arbeit werden zwei Anfangswertsprobleme aus der Allgemeinen Relativitätstheorie betrachtet. Das erste ist das Cauchyproblem für die linearisierte Einsteingleichung auf allgemeinen global hyperbolischen Raumzeiten mit glatten und distributionellen Anfangsdaten. Wir verallgemeinern bekannte Ergebnisse, indem wir zeigen, dass für jede gegebene Lösung der linearisierten Constraintgleichungen mit reeller Sobolevregularität eine global definierte Lösung existiert, die eindeutig ist bis auf Addition von Eichlösungen. Zwei Lösungen sind äquivalent falls sie sich durch eine Eichlösung unterscheiden. Unser Hauptergebnis ist, dass die äquivalenzklasse der Lösungen stetig von der zugehörigen Äquivalenzklasse der Anfangsdaten abhängt. Wir lösen auch die linearisierten Constraintgleichungen in Spezialfällen und zeigen, dass beliebig irreguläre (nicht Eich-) Lösungen der linearisierten Einsteingleichungen auf der Minkowski-Raumzeit und der Kasner-Raumzeit existieren. Im zweiten Teil betrachten wir das Goursatproblem (das charakteristische Cauchyproblem) für Wellengleichungen. Wir geben Anfangsdaten auf einem Cauchyhorizont vor, der eine lichtartige Hyperfläche ist. Dieses Problem wurde bisher noch nicht viel betrachtet, weil es ein Anfangswertproblem auf einer nicht global hyperbolischen Raumzeit ist. Unser Hauptergebnis ist: Gegeben eine glatte Funktion auf einem nicht-leeren glatten, kompakten, totalgeodätischen und nicht-degenerierten Cauchyhorizont und eine so genannte zulässige Wellengleichung, dann existiert eine eindeutige Lösung, die auf dem global hyperbolischen Gebiet definiert ist und deren Einschränkung auf dem Cauchyhorizont die gegebene Funktion ist. Die Lösung hängt stetig von den Anfangsdaten ab. Eine Wellengleichung heißt zulässig, falls der Teil erster Ordnung eine gewisse Bedingung am Cauchyhorizont erfüllt, zum Beispiel falls er gleich Null ist. Interessant ist, dass Existenz der Lösung und Eindeutigkeit falsch sind für allgemeine Wellengleichungen, wie Beispiele zeigen. Falls wir die Bedingung der Nichtdegeneriertheit weglassen, ist Existenz von Lösungen falsch sogar für die einfachste Wellengleichung. Der Beweis benötigt genaue Energieabschätzungen für die Wellengleichung nahe am Cauchyhorizont. Im Fall, dass die Ricci-Krümmung am Cauchyhorizont verschwindet, zeigen wir, dass die Energieabschätzungen stark genug sind, um lokale Existenz und Eindeutigkeit für eine Klasse von nicht-linearen Wellengleichungen zu zeigen. Unser Ergebnis ist zum Beispiel auf der Taub-NUT-Raumzeit oder der Misner-Raumzeit gültig. Es wurde vor kurzem gezeigt, dass kompakte Cauchyhorizonte in Raumzeiten, die die Nullenergiebedingung erfüllen, notwendigerweise glatt und totalgeodätisch sind. Unsere Ergebnisse sind deshalb auf Raumzeiten gültig, die die Nullenergiebedingung erfüllen, wenn der Cauchyhorizont kompakt und nicht-degeneriert ist. KW - Cauchy horizon KW - the Goursat problem KW - the characteristic Cauchy problem KW - wave equation KW - the Cauchy problem KW - gravitational wave KW - the linearised Einstein equation KW - Cauchyhorizont KW - das Goursatproblem KW - das charakteristische Cauchyproblem KW - Wellengleichung KW - das Cauchyproblem KW - Gravitationswelle KW - die linearisierte Einsteingleichung Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-410216 ER - TY - INPR A1 - Ly, I. A1 - Tarkhanov, Nikolai Nikolaevich T1 - The cauchy problem for nonlinear elliptic equations N2 - This paper is devoted to investigation of the Cauchy problem for nonlinear elliptic equations with a small parameter. T3 - Preprint - (2007) 01 Y1 - 2007 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-30228 ER - TY - THES A1 - Bartels, Knut T1 - Tests zur Modellspezifikation in der nichtlinearen Regression N2 - Als Grundlage vieler statistischer Verfahren wird der Prozess der Entstehung von Daten modelliert, um dann weitere Schätz- und Testverfahren anzuwenden. Diese Arbeit befasst sich mit der Frage, wie diese Spezifikation für parametrische Modelle selbst getestet werden kann. In Erweiterung bestehender Verfahren werden Tests mit festem Kern eingeführt und ihre asymptotischen Eigenschaften werden analysiert. Es wird gezeigt, dass die Bestimmung der kritischen Werte mit mehreren Stichprobenwiederholungsverfahren möglich ist. Von diesen ist eine neue Monte-Carlo-Approximation besonders wichtig, da sie die Komplexität der Berechnung deutlich verringern kann. Ein bedingter Kleinste-Quadrate-Schätzer für nichtlineare parametrische Modelle wird definiert und seine wesentlichen asymptotischen Eigenschaften werden hergeleitet. Sämtliche Versionen der Tests und alle neuen Konzepte wurden in Simulationsstudien untersucht, deren wichtigste Resultate präsentiert werden. Die praktische Anwendbarkeit der Testverfahren wird an einem Datensatz zur Produktwahl dargelegt, der mit multinomialen Logit-Modellen analysiert werden soll. N2 - The data generating process often is modeled as a basis for many subsequent statistical estimation and testing procedures. In this work the question is studied, how this specification of parametric models itself can be tested. In generalization of existing methods, tests with fixed kernel are introduced and their asymptotics are analyzed. It is shown that the determination of critical values is possible using several resampling procedures. Of these a new Monte-Carlo-approximation is of special importance, since it can reduce the complexity of calculation substantially. A conditional least squares estimator for nonlinear models is defined and its essential asymptotic properties are derived. All versions of the tests and all new concepts were studied in simulation studies and the most important results are presented. The applicability of the tests is demonstrated with a dataset on product choice that is to be analyzed with multinomial logit models. KW - nichtlineare Modelle KW - Spezifikationstests KW - Resampling KW - Simulationsstudien Y1 - 1999 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-0000171 ER - TY - INPR A1 - Bagdonavičius, Vilijandas B. A1 - Levuliene, Ruta A1 - Nikulin, Mikhail S. A1 - Zdorova-Cheminade, Olga T1 - Tests for homogeneity of survival distributions against non-location alternatives and analysis of the gastric cancer data N2 - The two and k-sample tests of equality of the survival distributions against the alternatives including cross-effects of survival functions, proportional and monotone hazard ratios, are given for the right censored data. The asymptotic power against approaching alternatives is investigated. The tests are applied to the well known chemio and radio therapy data of the Gastrointestinal Tumor Study Group. The P-values for both proposed tests are much smaller then in the case of other known tests. Differently from the test of Stablein and Koutrouvelis the new tests can be applied not only for singly but also to randomly censored data. T3 - Mathematische Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie : Preprint - 2004, 03 KW - Censoring KW - Cross-effects KW - Kolmogorov-Smirnov type tests KW - Logrank test KW - Non-proportional hazards KW - Proportional hazards KW - Two-sample tests Y1 - 2004 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-51527 ER - TY - INPR A1 - Blanchard, Gilles A1 - Delattre, Sylvain A1 - Roquain, Étienne T1 - Testing over a continuum of null hypotheses N2 - We introduce a theoretical framework for performing statistical hypothesis testing simultaneously over a fairly general, possibly uncountably infinite, set of null hypotheses. This extends the standard statistical setting for multiple hypotheses testing, which is restricted to a finite set. This work is motivated by numerous modern applications where the observed signal is modeled by a stochastic process over a continuum. As a measure of type I error, we extend the concept of false discovery rate (FDR) to this setting. The FDR is defined as the average ratio of the measure of two random sets, so that its study presents some challenge and is of some intrinsic mathematical interest. Our main result shows how to use the p-value process to control the FDR at a nominal level, either under arbitrary dependence of p-values, or under the assumption that the finite dimensional distributions of the p-value process have positive correlations of a specific type (weak PRDS). Both cases generalize existing results established in the finite setting, the latter one leading to a less conservative procedure. The interest of this approach is demonstrated in several non-parametric examples: testing the mean/signal in a Gaussian white noise model, testing the intensity of a Poisson process and testing the c.d.f. of i.i.d. random variables. Conceptually, an interesting feature of the setting advocated here is that it focuses directly on the intrinsic hypothesis space associated with a testing model on a random process, without referring to an arbitrary discretization. T3 - Preprints des Instituts für Mathematik der Universität Potsdam - 1 (2012) 1 Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-56877 ER - TY - GEN A1 - Evans, Myfanwy E. A1 - Hyde, Stephen T. T1 - Symmetric Tangling of Honeycomb Networks T2 - Zweitveröffentlichungen der Universität Potsdam : Mathematisch-Naturwissenschaftliche Reihe N2 - Symmetric, elegantly entangled structures are a curious mathematical construction that has found their way into the heart of the chemistry lab and the toolbox of constructive geometry. Of particular interest are those structures—knots, links and weavings—which are composed locally of simple twisted strands and are globally symmetric. This paper considers the symmetric tangling of multiple 2-periodic honeycomb networks. We do this using a constructive methodology borrowing elements of graph theory, low-dimensional topology and geometry. The result is a wide-ranging enumeration of symmetric tangled honeycomb networks, providing a foundation for their exploration in both the chemistry lab and the geometers toolbox. T3 - Zweitveröffentlichungen der Universität Potsdam : Mathematisch-Naturwissenschaftliche Reihe - 1282 KW - tangles KW - knots KW - networks KW - periodic entanglement KW - molecular weaving KW - graphs Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-570842 SN - 1866-8372 IS - 1282 ER - TY - THES A1 - Hain, Tobias Martin T1 - Structure formation and identification in geometrically driven soft matter systems T1 - Strukturbildung und Identifikation in geometrisch getriebenen weiche Materie-Systemen N2 - Subdividing space through interfaces leads to many space partitions that are relevant to soft matter self-assembly. Prominent examples include cellular media, e.g. soap froths, which are bubbles of air separated by interfaces of soap and water, but also more complex partitions such as bicontinuous minimal surfaces. Using computer simulations, this thesis analyses soft matter systems in terms of the relationship between the physical forces between the system's constituents and the structure of the resulting interfaces or partitions. The focus is on two systems, copolymeric self-assembly and the so-called Quantizer problem, where the driving force of structure formation, the minimisation of the free-energy, is an interplay of surface area minimisation and stretching contributions, favouring cells of uniform thickness. In the first part of the thesis we address copolymeric phase formation with sharp interfaces. We analyse a columnar copolymer system "forced" to assemble on a spherical surface, where the perfect solution, the hexagonal tiling, is topologically prohibited. For a system of three-armed copolymers, the resulting structure is described by solutions of the so-called Thomson problem, the search of minimal energy configurations of repelling charges on a sphere. We find three intertwined Thomson problem solutions on a single sphere, occurring at a probability depending on the radius of the substrate. We then investigate the formation of amorphous and crystalline structures in the Quantizer system, a particulate model with an energy functional without surface tension that favours spherical cells of equal size. We find that quasi-static equilibrium cooling allows the Quantizer system to crystallise into a BCC ground state, whereas quenching and non-equilibrium cooling, i.e. cooling at slower rates then quenching, leads to an approximately hyperuniform, amorphous state. The assumed universality of the latter, i.e. independence of energy minimisation method or initial configuration, is strengthened by our results. We expand the Quantizer system by introducing interface tension, creating a model that we find to mimic polymeric micelle systems: An order-disorder phase transition is observed with a stable Frank-Caspar phase. The second part considers bicontinuous partitions of space into two network-like domains, and introduces an open-source tool for the identification of structures in electron microscopy images. We expand a method of matching experimentally accessible projections with computed projections of potential structures, introduced by Deng and Mieczkowski (1998). The computed structures are modelled using nodal representations of constant-mean-curvature surfaces. A case study conducted on etioplast cell membranes in chloroplast precursors establishes the double Diamond surface structure to be dominant in these plant cells. We automate the matching process employing deep-learning methods, which manage to identify structures with excellent accuracy. N2 - Die Unterteilung eines Raums durch Grenzflächen führt zu Raumaufteilungen, die für die Selbstorganisation weicher Materie relevant sind. Bekannte Beispiele sind zelluläre Medien, wie z.B. Seifenschaum, der aus Luftblasen besteht, getrennt durch Wände aus Wasser und Seife, und komplexere Partitionen, wie sie z.B. durch bikontinuierliche Minimalflächen erzeugt werden. In dieser Arbeit werden mit Hilfe von Computersimulationen Systeme weicher Materie in Bezug auf den Zusammenhang zwischen dem im System vorherrschenden, physikalischen Kräften und der Struktur der resultierenden Grenzflächen oder Partitionen untersucht. Der Schwerpunkt liegt hierbei auf zwei Systemen, eine Copolymerschmelze und das sogenannte Quantizer Problem, bei denen der treibende Faktor der Strukturbildung, nämlich die Minimierung der freien Energie, aus einem Zusammenspiel der Minimierung der Oberfläche der Grenzflächen und der gleichzeitigen Minimierung der Elastizitätsenergie besteht. Unter diesen Gegebenheiten bevorzugen solche Systeme Zellen gleichmäßiger Größe. Im ersten Teil der Arbeit befassen wir uns mit der Bildung von scharfen Grenzflächen in Systemen von Copolymeren. Wir analysieren die zylindrische Phase eines Copolymersystems, das gezwungen wird, sich auf einer kugelförmigen Oberfläche zu organisieren. Die Topologie dieser Oberfläche erlaubt es der optimalen Konfiguration, dem Sechseckgitter, nicht, sich zu bilden. Für dreiarmige Copolymere wird die entstehende Struktur durch Lösungen des sogenannten Thomson Problems beschrieben. Letzteres sucht nach der Konfigurationen von abstoßenden Ladungen auf einer Kugeloberfläche mit minimaler Energie. Auf einem Substrat haben wir eine Kombination aus drei ineinandergreifende Lösungen des Thomson Problems gefunden, wobei der Typ der Lösungen statistisch von dem Radius des Substrates abhängt. Anschließend untersuchen wir die Bildung von amorphen und kristallinen Strukturen im Quantizersystem, einem teilchenbasierenden Modell, dessen Energiefunktional keine Oberflächenspannung enthält und möglichst kugelförmige Zellen gleicher Größe begünstigt. Wird das System quasistatisch im thermodynamischen Gleichgewicht abgekühlt, kristallisiert das Quantizersystem in den geordneten BCC Grundzustand. Wird das System allerdings zu schnell abgekühlt, sodass es sich nicht mehr im thermodynamischen Gleichgewicht befindet, bildet sich eine amorphe, annähernd hyperuniforme Struktur aus. Wir konnten zeigen, dass diese Struktur bemerkenswert unabhängig von den Ausganszuständen, sowie der Art der Energieminimierung zu sein scheint. Im Ausblick erweitern wir das Quantizersystem, indem wir Oberflächenspannung einführen. Unsere Ergebnisse deutet darauf hin, dass dieses so erweiterte Modell Mizellenphasen in Polymersystem modellieren kann. Wir beobachten einen Phasenübergang von einer ungeordneten, flüssigen Phase hin zu einer festen Frank-Caspar-Phase. Der zweite Teil der Arbeit behandelt bikontinuierliche Grenzflächen, die den Raum in zwei netzwerkartige Domänen aufteilen. Wir führen eine Open-Source Software ein, das die Identifizierung von Strukturen anhand derer Mikroskopaufnahmen ermöglicht. Hierzu erweitern und verbessern wir eine Methode, die durch den Abgleich experimentell zugänglicher Projektionen in Mikroskopaufnahmen mit berechneten Projektionen potenzieller Strukturen basiert. Dieses Verfahren wurde erstmal von Deng und Mieczkowski (1998) eingeführt. Die simulierten Strukturen basieren auf einer Nodalflächenmodellierung von dreifach-periodischen Flächen konstanter mittlerer Krümmung. Wir führen eine Fallstudie an Zellmembranen von Etioplasten, den Vorläufern von Chloroplasten, durch. Wir konnten die Struktur dieser Etioplasten als die Diamond-Struktur identifizieren. Als Ausblick automatisieren wir den Identifizierungsproyess mit Hilfe von Deep-Learning-Methoden. Erste Ergebnisse zeigen, dass mit diesem Ansatz die Identifizierung von Strukturen mit ausgezeichneter Genauigkeit gelingt. KW - soft matter KW - geometry KW - self-assembly KW - structure formation KW - quantizer KW - polymer KW - Geometrie KW - Polymere KW - Quantizer KW - Selbstassemblierung KW - weiche Materie KW - Strukturbildung Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-558808 N1 - Parts of this publication are reproduced with permission from the Royal Society of Chemistry and AIP Publishing. ER - TY - CHAP A1 - Valleriani, Angelo A1 - Roelly, Sylvie A1 - Kulik, Alexei Michajlovič ED - Roelly, Sylvie ED - Högele, Michael ED - Rafler, Mathias T1 - Stochastic processes with applications in the natural sciences BT - international workshop at Universidad de los Andes, Bogotá, Colombia T2 - Lectures in pure and applied mathematics N2 - The interdisciplinary workshop STOCHASTIC PROCESSES WITH APPLICATIONS IN THE NATURAL SCIENCES was held in Bogotá, at Universidad de los Andes from December 5 to December 9, 2016. It brought together researchers from Colombia, Germany, France, Italy, Ukraine, who communicated recent progress in the mathematical research related to stochastic processes with application in biophysics. The present volume collects three of the four courses held at this meeting by Angelo Valleriani, Sylvie Rœlly and Alexei Kulik. A particular aim of this collection is to inspire young scientists in setting up research goals within the wide scope of fields represented in this volume. Angelo Valleriani, PhD in high energy physics, is group leader of the team "Stochastic processes in complex and biological systems" from the Max-Planck-Institute of Colloids and Interfaces, Potsdam. Sylvie Rœlly, Docteur en Mathématiques, is the head of the chair of Probability at the University of Potsdam. Alexei Kulik, Doctor of Sciences, is a Leading researcher at the Institute of Mathematics of Ukrainian National Academy of Sciences. T3 - Lectures in pure and applied mathematics - 4 KW - macromolecular decay KW - Markov processes KW - branching processes KW - long-time behaviour KW - makromolekularer Zerfall KW - Markovprozesse KW - Verzweigungsprozesse KW - Langzeitverhalten Y1 - 2017 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-401802 SN - 978-3-86956-414-2 SN - 2199-4951 SN - 2199-496X IS - 4 PB - Universitätsverlag Potsdam CY - Potsdam ER - TY - THES A1 - Pédèches, Laure T1 - Stochastic models for collective motions of populations T1 - Modèles stochastiques pour des mouvements collectifs de populations T1 - Stochastisches Modell für kollektive Bewegung von Populationen N2 - Stochastisches Modell für kollektive Bewegung von Populationen In dieser Doktorarbeit befassen wir uns mit stochastischen Systemen, die eines der mysteriösesten biologischen Phänomene als Modell darstellen: die kollektive Bewegung von Gemeinschaften. Diese werden bei Vögel- und Fischschwärmen, aber auch bei manchen Bakterien, Viehherden oder gar bei Menschen beobachtet. Dieser Verhaltenstyp spielt ebenfalls in anderen Bereichen wie Finanzwesen, Linguistik oder auch Robotik eine Rolle. Wir nehmen uns der Dynamik einer Gruppe von N Individuen, insbesondere zweier asymptotischen Verhaltenstypen an. Einerseits befassen wir uns mit den Eigenschaften der Ergodizität in Langzeit: Existenz einer invarianten Wahrscheinlichkeitsverteilung durch Ljapunow-Funktionen, und Konvergenzrate der Übergangshalbgruppe gegen diese Wahrscheinlichkeit. Eine ebenfalls zentrale Thematik unserer Forschung ist der Begriff Flocking: es wird damit definiert, dass eine Gruppe von Individuen einen dynamischen Konsens ohne hierarchische Struktur erreichen kann; mathematisch gesehen entspricht dies der Aneinanderreihung der Geschwindigkeiten und dem Zusammenkommen des Schwarmes. Andererseits gehen wir das Phänomen der "Propagation of Chaos" an, wenn die Anzahl N der Teilchen ins Unendliche tendiert: die Bewegungen der jeweiligen Individuen werden asymptotisch unabhängig. Unser Ausgangspunkt ist das Cucker-Smale-Modell, ein deterministisches kinetisches Molekular-Modell für eine Gruppe ohne hierarchische Struktur. Die Wechselwirkung zwischen zwei Teilchen variiert gemäß deren "Kommunikationsrate", die wiederum von deren relativen Entfernung abhängt und polynomisch abnimmt. Im ersten Kapitel adressieren wir das asymptotische Verhalten eines Cucker-Smale-Modells mit Rauschstörung und dessen Varianten. Kapitel 2 stellt mehrere Definitionen des Flockings in einem Zufallsrahmen dar: diverse stochastische Systeme, die verschiedenen Rauschformen entsprechen (die eine gestörte Umgebung, den "freien Willen" des jeweiligen Individuums oder eine unterbrochene Übertragung suggerieren) werden im Zusammenhang mit diesen Begriffen unter die Lupe genommen. Das dritte Kapitel basiert auf der "Cluster Expansion"-Methode aus der statistischen Mechanik. Wir beweisen die exponentielle Ergodizität von gewissen nicht-Markow-Prozessen mit nicht-glattem Drift und wenden diese Ergebnisse auf Störungen des Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses an. Im letzten Teil, nehmen wir uns der zweidimensionalen parabolisch-elliptischen Gleichung von Keller-Segel an. Wir beweisen die Existenz einer Lösung, welche in gewisser Hinsicht einzig ist, indem wir, mittels Vergleich mit Bessel-Prozessen und der Dirichlet Formtheorie, mögliche Stoßtypen zwischen den Teilchen ermitteln. N2 - In this thesis, stochastic dynamics modelling collective motions of populations, one of the most mysterious type of biological phenomena, are considered. For a system of N particle-like individuals, two kinds of asymptotic behaviours are studied : ergodicity and flocking properties, in long time, and propagation of chaos, when the number N of agents goes to infinity. Cucker and Smale, deterministic, mean-field kinetic model for a population without a hierarchical structure is the starting point of our journey : the first two chapters are dedicated to the understanding of various stochastic dynamics it inspires, with random noise added in different ways. The third chapter, an attempt to improve those results, is built upon the cluster expansion method, a technique from statistical mechanics. Exponential ergodicity is obtained for a class of non-Markovian process with non-regular drift. In the final part, the focus shifts onto a stochastic system of interacting particles derived from Keller and Segel 2-D parabolicelliptic model for chemotaxis. Existence and weak uniqueness are proven. N2 - Dans cette thése, on s’intéresse á des systémes stochastiques modélisant un des phénoménes biologiques les plus mystérieux, les mouvements collectifs de populations. Pour un groupe de N individus, vus comme des particules sans poids ni volume, on étudie deux types de comportements asymptotiques : d’un côté, en temps long, les propriétés d’ergodicité et de flocking, de l’autre, quand le nombre de particules N tend vers l’infini, les phénoménes de propagation du chaos. Le modéle, déterministe, de Cucker-Smale, un modéle cinétique de champ moyen pour une population sans structure hiérarchique, est notre point de départ : les deux premiers chapitres sont consacrés á la compréhension de diverses dynamiques stochastiques qui s’en inspirent, du bruit étant rajouté sous différentes formes. Le troisiéme chapitre, originellement une tentative d’amélioration de ces résultats, est basé sur la méthode du développement en amas, un outil de physique statistique. On prouve l’ergodicité exponentielle de certains processus non-markoviens á drift non-régulier. Dans la derniére partie, on démontre l’existence d’une solution, unique dans un certain sens, pour un systéme stochastique de particules associé au mod`ele chimiotactique de Keller et Segel. KW - stochastic interacting particles KW - flocking KW - stochastisches interagierendes System KW - Flocking Y1 - 2017 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-405491 ER - TY - THES A1 - Möhring, Jan T1 - Stochastic inversion for core field modeling using satellite data N2 - Magnetfeldmodellierung mit Kugelflächenfunktionen basiert auf der Inversion nach hunderten bis tausenden von Parametern. Dieses hochdimensionale Problem kann grundsätzlich als ein Optimierungsproblem formuliert werden, bei dem ein globales Minimum einer gewissen Zielfunktion berechnet werden soll. Um dieses Problem zu lösen, gibt es eine Reihe bekannter Ansätze, dazu zählen etwa gradientenbasierte Verfahren oder die Methode der kleinsten Quadrate und deren Varianten. Jede dieser Methoden hat verschiedene Vor- und Nachteile, beispielsweise bezüglich der Anwendbarkeit auf nicht-differenzierbare Funktionen oder der Laufzeit zugehöriger Algorithmen. In dieser Arbeit verfolgen wir das Ziel, einen Algorithmus zu finden, der schneller als die etablierten Verfahren ist und sich auch für nichtlineare Probleme anwenden lässt. Solche nichtlinearen Probleme treten beispielsweise bei der Abschätzung von Euler-Winkeln oder bei der Verwendung der robusteren L_1-Norm auf. Dazu untersuchen wir die Anwendbarkeit stochastischer Optimierungsverfahren aus der CMAES-Familie auf die Modellierung des geomagnetischen Feldes des Erdkerns. Es werden sowohl die Grundlagen der Kernfeldmodellierung und deren Parametrisierung anhand einiger Beispiele aus der Literatur besprochen, als auch die theoretischen Hintergründe der stochastischen Verfahren gegeben. Ein CMAES-Algorithmus wurde erfolgreich angewendet, um Daten der Swarm-Satellitenmission zu invertieren und daraus das Magnetfeldmodell EvoMag abzuleiten. EvoMag zeigt gute Übereinstimmung mit etablierten Modellen, sowie mit Observatoriumsdaten aus Niemegk. Wir thematisieren einige beobachtete Schwierigkeiten und präsentieren und diskutieren die Ergebnisse unserer Modellierung. N2 - Geomagnetic field modeling using spherical harmonics requires the inversion for hundreds to thousands of parameters. This large-scale problem can always be formulated as an optimization problem, where a global minimum of a certain cost function has to be calculated. A variety of approaches is known in order to solve this inverse problem, e.g. derivative-based methods or least-squares methods and their variants. Each of these methods has its own advantages and disadvantages, which affect for example the applicability to non-differentiable functions or the runtime of the corresponding algorithm. In this work, we pursue the goal to find an algorithm which is faster than the established methods and which is applicable to non-linear problems. Such non-linear problems occur for example when estimating Euler angles or when the more robust L_1 norm is applied. Therefore, we will investigate the usability of stochastic optimization methods from the CMAES family for modeling the geomagnetic field of Earth's core. On one hand, basics of core field modeling and their parameterization are discussed using some examples from the literature. On the other hand, the theoretical background of the stochastic methods are provided. A specific CMAES algorithm was successfully applied in order to invert data of the Swarm satellite mission and to derive the core field model EvoMag. The EvoMag model agrees well with established models and observatory data from Niemegk. Finally, we present some observed difficulties and discuss the results of our model. T2 - Stochastische Inversion für Kernfeldmodellierung mit Satellitendaten KW - Geomagnetismus KW - Kernfeldmodellierung KW - Optimierung KW - Evolutionsstrategien KW - Inverse Probleme KW - Geomagnetism KW - Core Field Modeling KW - Optimization KW - Evolution Strategies KW - Inverse Problems Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-498072 ER - TY - THES A1 - Schorsch, Andrea T1 - Statistische Eigenschaften von Clusterverfahren T1 - Statistical properties of cluster procedures N2 - Die vorliegende Diplomarbeit beschäftigt sich mit zwei Aspekten der statistischen Eigenschaften von Clusterverfahren. Zum einen geht die Arbeit auf die Frage der Existenz von unterschiedlichen Clusteranalysemethoden zur Strukturfindung und deren unterschiedlichen Vorgehensweisen ein. Die Methode des Abstandes zwischen Mannigfaltigkeiten und die K-means Methode liefern ausgehend von gleichen Daten unterschiedliche Endclusterungen. Der zweite Teil dieser Arbeit beschäftigt sich näher mit den asymptotischen Eigenschaften des K-means Verfahrens. Hierbei ist die Menge der optimalen Clusterzentren konsistent. Bei Vergrößerung des Stichprobenumfangs gegen Unendlich konvergiert diese in Wahrscheinlichkeit gegen die Menge der Clusterzentren, die das Varianzkriterium minimiert. Ebenfalls konvergiert die Menge der optimalen Clusterzentren für n gegen Unendlich gegen eine Normalverteilung. Es hat sich dabei ergeben, dass die einzelnen Clusterzentren voneinander abhängen. N2 - The following thesis describes two different views onto the statistical characterics of clustering procedures. At first it adresses the questions whether different clustering methods exist to ascertain the structure of clusters and in what ays the strategies of these methods differ from each other. The method of distance between the manifolds as well as the k-means method provide different final clusters based on equal initial data. The second part of the thesis concentrates on asymptotic properties of the k-means procedure. Here the amount of optimal clustering centres is consistent. If the size of the sample range is enlarged towards infinity, it also converges in probability towards the amount of clustering centres which minimized the whithin cluster sum of squares. Likewise the amount of optimal clustering centres converges for infinity towards the normal distribution. The main result shows that the individual clustering centres are dependent on each other. KW - Clusteranalyse KW - K-Means Verfahren KW - asymptotische Normalverteilung KW - cluster analysis KW - k-means clustering KW - asymptotical normal distribution Y1 - 2008 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-29026 ER - TY - INPR A1 - Läuter, Henning A1 - Ramadan, Ayad T1 - Statistical Scaling of Categorical Data N2 - Estimation and testing of distributions in metric spaces are well known. R.A. Fisher, J. Neyman, W. Cochran and M. Bartlett achieved essential results on the statistical analysis of categorical data. In the last 40 years many other statisticians found important results in this field. Often data sets contain categorical data, e.g. levels of factors or names. There does not exist any ordering or any distance between these categories. At each level there are measured some metric or categorical values. We introduce a new method of scaling based on statistical decisions. For this we define empirical probabilities for the original observations and find a class of distributions in a metric space where these empirical probabilities can be found as approximations for equivalently defined probabilities. With this method we identify probabilities connected with the categorical data and probabilities in metric spaces. Here we get a mapping from the levels of factors or names into points of a metric space. This mapping yields the scale for the categorical data. From the statistical point of view we use multivariate statistical methods, we calculate maximum likelihood estimations and compare different approaches for scaling. T3 - Mathematische Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie : Preprint - 2010, 01 Y1 - 2010 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-49566 ER - TY - THES A1 - Kröncke, Klaus T1 - Stability of Einstein Manifolds T1 - Stabilität von Einstein-Mannigfaltigkeiten N2 - This thesis deals with Einstein metrics and the Ricci flow on compact mani- folds. We study the second variation of the Einstein-Hilbert functional on Ein- stein metrics. In the first part of the work, we find curvature conditions which ensure the stability of Einstein manifolds with respect to the Einstein-Hilbert functional, i.e. that the second variation of the Einstein-Hilbert functional at the metric is nonpositive in the direction of transverse-traceless tensors. The second part of the work is devoted to the study of the Ricci flow and how its behaviour close to Einstein metrics is influenced by the variational be- haviour of the Einstein-Hilbert functional. We find conditions which imply that Einstein metrics are dynamically stable or unstable with respect to the Ricci flow and we express these conditions in terms of stability properties of the metric with respect to the Einstein-Hilbert functional and properties of the Laplacian spectrum. N2 - Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit Einsteinmetriken und Ricci-Fluss auf kompakten Mannigfaltigkeiten. Wir studieren die zweite Variation des Einstein- Hilbert Funktionals auf Einsteinmetriken. Im ersten Teil der Arbeit finden wir Krümmungsbedingungen, die die Stabilität von Einsteinmannigfaltigkeiten bezüglich des Einstein-Hilbert Funktionals sicherstellen, d.h. die zweite Varia- tion des Einstein-Hilbert Funktionals ist nichtpositiv in Richtung transversaler spurfreier Tensoren. Der zweite Teil der Arbeit widmet sich dem Studium des Ricci-Flusses und wie dessen Verhalten in der Nähe von Einsteinmetriken durch das Variationsver- halten des Einstein-Hilbert Funktionals beeinflusst wird. Wir finden Bedinun- gen, die dynamische Stabilität oder Instabilität von Einsteinmetriken bezüglich des Ricci-Flusses implizieren und wir drücken diese Bedingungen in Termen der Stabilität der Metrik bezüglich des Einstein-Hilbert Funktionals und Eigen- schaften des Spektrums des Laplaceoperators aus. KW - Einstein-Mannigfaltigkeiten KW - Ricci-Fluss KW - Variationsstabilität KW - Einstein-Hilbert-Wirkung KW - Einstein manifolds KW - Ricci flow KW - variational stability KW - Einstein-Hilbert action Y1 - 2013 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-69639 ER - TY - THES A1 - Oancea, Marius-Adrian T1 - Spin Hall effects in general relativity T1 - Spin Hall Effekte in der Allgemeinen Relativitätstheorie N2 - The propagation of test fields, such as electromagnetic, Dirac or linearized gravity, on a fixed spacetime manifold is often studied by using the geometrical optics approximation. In the limit of infinitely high frequencies, the geometrical optics approximation provides a conceptual transition between the test field and an effective point-particle description. The corresponding point-particles, or wave rays, coincide with the geodesics of the underlying spacetime. For most astrophysical applications of interest, such as the observation of celestial bodies, gravitational lensing, or the observation of cosmic rays, the geometrical optics approximation and the effective point-particle description represent a satisfactory theoretical model. However, the geometrical optics approximation gradually breaks down as test fields of finite frequency are considered. In this thesis, we consider the propagation of test fields on spacetime, beyond the leading-order geometrical optics approximation. By performing a covariant Wentzel-Kramers-Brillouin analysis for test fields, we show how higher-order corrections to the geometrical optics approximation can be considered. The higher-order corrections are related to the dynamics of the spin internal degree of freedom of the considered test field. We obtain an effective point-particle description, which contains spin-dependent corrections to the geodesic motion obtained using geometrical optics. This represents a covariant generalization of the well-known spin Hall effect, usually encountered in condensed matter physics and in optics. Our analysis is applied to electromagnetic and massive Dirac test fields, but it can easily be extended to other fields, such as linearized gravity. In the electromagnetic case, we present several examples where the gravitational spin Hall effect of light plays an important role. These include the propagation of polarized light rays on black hole spacetimes and cosmological spacetimes, as well as polarization-dependent effects on the shape of black hole shadows. Furthermore, we show that our effective point-particle equations for polarized light rays reproduce well-known results, such as the spin Hall effect of light in an inhomogeneous medium, and the relativistic Hall effect of polarized electromagnetic wave packets encountered in Minkowski spacetime. N2 - Unser grundlegendes Verständnis des Universums basiert auf Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie, die eine Beschreibung in Form einer vierdimensional gekrümmten Raumzeit liefert, in der die Anziehungskraft der Gravitation in der Krümmung der Raumzeit kodiert ist. Die überwiegende Mehrheit der experimentellen Tests, die Einsteins allgemeine Relativitätstheorie bestätigt haben, basiert auf der Beobachtung elektromagnetischer Strahlung, die von entfernten astrophysikalischen Quellen wie Sternen oder Galaxien stammt. Daher ist ein tiefgreifendes Verständnis der Dynamik der sich in der Raumzeit ausbreitenden elektromagnetischen Strahlung von entscheidender Bedeutung. Elektromagnetische Phänomene werden durch Maxwell-Gleichungen beschrieben. Die Ausbreitung elektromagnetischer Strahlung in der Raumzeit ist jedoch sehr komplexe, und es ist im Allgemeinen nützlich, Näherungen zu betrachten, welche eine vereinfachte Beschreibung liefern. Auf diese Weise können die Haupteigenschaften des Systems in einem reduzierten Gleichungssystem codiert und die Gültigkeit der Näherung quantitativ kontrolliert werden. Beispielsweise kann die Ausbreitung elektromagnetischer Strahlung in der Raumzeit durch Anwendung der geometrischen Optik auf die Maxwell-Gleichungen beschrieben werden. Diese liefert ein Modell für die Ausbreitung elektromagnetischer Strahlung in Form von Lichtstrahlen, die sich auf dem kürzesten Weg zwischen zwei Punkten ausbreiten. Im Kontext von Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie entsprechen dise Lichtstrahlen den Nullgeodäten der zugrunde liegenden gekrümmten Raumzeit. Für die meisten astrophysikalischen Anwendungen von Interesse, wie die Beobachtung von Himmelskörpern oder Gravitationslinsen, stellen die Näherungen der geometrischen Optik und damit die Beschreibung der Ausbreitung elektromagnetischer Strahlung durch Lichtstrahlen ein zufriedenstellendes theoretisches Modell dar. In dieser Arbeit untersuchen wir mögliche Korrekturen der Ausbreitung elektromagnetischer Strahlung in der Raumzeit, welche durch die Näherung der geometrischen Optik nicht erfasst werden. Solche Korrekturen sind aus der Optik bekannt, wo beobachtet wurde, dass die Ausbreitung von Lichtstrahlen in bestimmten Materialien durch die Polarisation des Lichts beeinflusst werden kann. Diese Korrekturen sind als Spin-Hall-Effekt von Licht bekannt. In dieser Arbeit wird gezeigt, dass ein ähnlicher Effekt für elektromagnetische Strahlung auftreten kann, welche sich in gekrümmter Raumzeit in der Nähe massiver astrophysikalischer Objekte wie Schwarzer Löcher oder Sterne ausbreitet. Darüber hinaus präsentieren wir, basierend auf der Dirac-Gleichung, eine ähnliche Analyse für die Bewegung von Elektronen in gekrümmten Raumzeiten. KW - spin Hall effect KW - gravitation KW - black hole KW - Schwarzes Loch KW - Gravitation KW - Spin Hall effekte Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-502293 ER - TY - INPR A1 - Alsaedy, Ammar A1 - Tarkhanov, Nikolai Nikolaevich T1 - Spectral projection for the dbar-Neumann problem N2 - We show that the spectral kernel function of the dbar-Neumann problem on a non-compact strongly pseudoconvex manifold is smooth up to the boundary. T3 - Preprints des Instituts für Mathematik der Universität Potsdam - 1(2012)12 KW - dbar-Neumann problem KW - strongly pseudoconvex domains KW - spectral kernel function Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-58616 SN - 2193-6943 ER - TY - GEN A1 - Roelly, Sylvie A1 - Sortais, Michel T1 - Space-time asymptotics of an infinite-dimensional diffusion having a long- range memory N2 - We develop a cluster expansion in space-time for an infinite-dimensional system of interacting diffusions where the drift term of each diffusion depends on the whole past of the trajectory; these interacting diffusions arise when considering the Langevin dynamics of a ferromagnetic system submitted to a disordered external magnetic field. KW - Random Field Ising Model KW - Langevin Dynamics KW - Interacting Diffusion Processes KW - Space-Time Cluster Expansions Y1 - 2004 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-6700 ER - TY - INPR A1 - Bär, Christian T1 - Some properties of solutions to weakly hypoelliptic equations N2 - A linear differential operator L is called weakly hypoelliptic if any local solution u of Lu = 0 is smooth. We allow for systems, i.e. the coefficients may be matrices, not necessarily of square size. This is a huge class of important operators which covers all elliptic, overdetermined elliptic, subelliptic and parabolic equations. We extend several classical theorems from complex analysis to solutions of any weakly hypoelliptic equation: the Montel theorem providing convergent subsequences, the Vitali theorem ensuring convergence of a given sequence, and Riemann's first removable singularity theorem. In the case of constant coefficients we show that Liouville's theorem holds, any bounded solution must be constant and any L^p solution must vanish. T3 - Preprints des Instituts für Mathematik der Universität Potsdam - 1(2012)22 KW - Hypoelliptic operators KW - hypoelliptic estimate KW - Montel theorem KW - Vitali theorem KW - Liouville theorem Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-60064 ER - TY - THES A1 - Perera, Upeksha T1 - Solutions of direct and inverse Sturm–Liouville problems T1 - Lösungen von direkten und inversen Sturm-Liouville-Problemen N2 - Lie group method in combination with Magnus expansion is utilized to develop a universal method applicable to solving a Sturm–Liouville Problem (SLP) of any order with arbitrary boundary conditions. It is shown that the method has ability to solve direct regular and some singular SLPs of even orders (tested up to order eight), with a mix of boundary conditions (including non-separable and finite singular endpoints), accurately and efficiently. The present technique is successfully applied to overcome the difficulties in finding suitable sets of eigenvalues so that the inverse SLP problem can be effectively solved. Next, a concrete implementation to the inverse Sturm–Liouville problem algorithm proposed by Barcilon (1974) is provided. Furthermore, computational feasibility and applicability of this algorithm to solve inverse Sturm–Liouville problems of order n=2,4 is verified successfully. It is observed that the method is successful even in the presence of significant noise, provided that the assumptions of the algorithm are satisfied. In conclusion, this work provides methods that can be adapted successfully for solving a direct (regular/singular) or inverse SLP of an arbitrary order with arbitrary boundary conditions. N2 - Die Lie-Gruppen-Methode in Kombination mit der Magnus-Expansion wird verwendet, um eine universelle Methode zu entwickeln, die zur Lösung eines Sturm-Liouville-Problems (SLP) beliebiger Ordnung mit beliebigen Randbedingungen anwendbar ist. Es wird gezeigt, dass die Methode in der Lage ist, direkte reguläre und einige singuläre SLPs gerader Ordnung (getestet bis zur 8. Ordnung) mit einer Mischung von Randbedingungen (einschließlich nicht trennbarer und endlicher singulärer Endpunkte) genau und effizient zu lösen. Die vorliegende Technik wird erfolgreich angewendet, um die Schwierigkeiten beim Finden geeigneter Sätze von Eigenwerten zu überwinden, so dass das inverse SLP-Problem effektiv gelöst werden kann. Als nächstes wird eine konkrete Implementierung des von Barcilon (1974) vorgeschlagenen inversen Sturm-Liouville-Problemalgorithmus bereitgestellt. Weiterhin wird die rechnerische Durchführbarkeit und Anwendbarkeit dieses Algorithmus zur Lösung inverser Sturm-Liouville-Probleme der Ordnung n=2,4 erfolgreich verifiziert. Es wird beobachtet, dass das Verfahren selbst bei Vorhandensein von signifikantem Rauschen erfolgreich ist, vorausgesetzt, dass die Annahmen des Algorithmus erfüllt sind. Zusammenfassend stellt diese Arbeit Methoden zur Verfügung, die erfolgreich zur Lösung eines direkten (regulär/singulären) oder inversen SLP beliebiger Ordnung mit beliebigen Randbedingungen angepasst werden können. KW - Sturm-Liouville problem KW - Inverse Sturm-Liouville problem KW - Higher-order Sturm-Liouville problem KW - Sturm-Liouville-Problem höherer Ordnung KW - Inverses Sturm-Liouville-Problem KW - Sturm-Liouville-Problem Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-530064 ER - TY - GEN A1 - Perera, Upeksha A1 - Böckmann, Christine T1 - Solutions of direct and inverse even-order Sturm-Liouville problems using Magnus expansion T2 - Zweitveröffentlichungen der Universität Potsdam : Mathematisch-Naturwissenschaftliche Reihe N2 - In this paper Lie group method in combination with Magnus expansion is utilized to develop a universal method applicable to solving a Sturm–Liouville problem (SLP) of any order with arbitrary boundary conditions. It is shown that the method has ability to solve direct regular (and some singular) SLPs of even orders (tested for up to eight), with a mix of (including non-separable and finite singular endpoints) boundary conditions, accurately and efficiently. The present technique is successfully applied to overcome the difficulties in finding suitable sets of eigenvalues so that the inverse SLP problem can be effectively solved. The inverse SLP algorithm proposed by Barcilon (1974) is utilized in combination with the Magnus method so that a direct SLP of any (even) order and an inverse SLP of order two can be solved effectively. T3 - Zweitveröffentlichungen der Universität Potsdam : Mathematisch-Naturwissenschaftliche Reihe - 1336 KW - higher-order Sturm–Liouville problems KW - inverse Sturm–Liouville problems KW - Magnus expansion Y1 - 2019 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-473414 SN - 1866-8372 IS - 1336 ER - TY - INPR A1 - Dyachenko, Evgueniya A1 - Tarkhanov, Nikolai Nikolaevich T1 - Singular perturbations of elliptic operators N2 - We develop a new approach to the analysis of pseudodifferential operators with small parameter 'epsilon' in (0,1] on a compact smooth manifold X. The standard approach assumes action of operators in Sobolev spaces whose norms depend on 'epsilon'. Instead we consider the cylinder [0,1] x X over X and study pseudodifferential operators on the cylinder which act, by the very nature, on functions depending on 'epsilon' as well. The action in 'epsilon' reduces to multiplication by functions of this variable and does not include any differentiation. As but one result we mention asymptotic of solutions to singular perturbation problems for small values of 'epsilon'. T3 - Preprints des Instituts für Mathematik der Universität Potsdam - 3 (2014) 1 KW - singular perturbation KW - pseudodifferential operator KW - ellipticity with parameter KW - regularization KW - asymptotics Y1 - 2014 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-69502 SN - 2193-6943 VL - 3 IS - 1 PB - Universitätsverlag Potsdam CY - Potsdam ER - TY - GEN A1 - Flad, Heinz-Jürgen A1 - Harutyunyan, Gohar A1 - Schulze, Bert-Wolfgang T1 - Singular analysis and coupled cluster theory N2 - The primary motivation for systematic bases in first principles electronic structure simulations is to derive physical and chemical properties of molecules and solids with predetermined accuracy. This requires a detailed understanding of the asymptotic behaviour of many-particle Coulomb systems near coalescence points of particles. Singular analysis provides a convenient framework to study the asymptotic behaviour of wavefunctions near these singularities. In the present work, we want to introduce the mathematical framework of singular analysis and discuss a novel asymptotic parametrix construction for Hamiltonians of many-particle Coulomb systems. This corresponds to the construction of an approximate inverse of a Hamiltonian operator with remainder given by a so-called Green operator. The Green operator encodes essential asymptotic information and we present as our main result an explicit asymptotic formula for this operator. First applications to many-particle models in quantum chemistry are presented in order to demonstrate the feasibility of our approach. The focus is on the asymptotic behaviour of ladder diagrams, which provide the dominant contribution to shortrange correlation in coupled cluster theory. Furthermore, we discuss possible consequences of our asymptotic analysis with respect to adaptive wavelet approximation. T3 - Zweitveröffentlichungen der Universität Potsdam : Mathematisch-Naturwissenschaftliche Reihe - 302 Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-102306 SP - 31530 EP - 31541 ER - TY - THES A1 - Wallenta, Daniel T1 - Sequences of compact curvature T1 - Sequenzen mit kompakter Krümmung N2 - By perturbing the differential of a (cochain-)complex by "small" operators, one obtains what is referred to as quasicomplexes, i.e. a sequence whose curvature is not equal to zero in general. In this situation the cohomology is no longer defined. Note that it depends on the structure of the underlying spaces whether or not an operator is "small." This leads to a magical mix of perturbation and regularisation theory. In the general setting of Hilbert spaces compact operators are "small." In order to develop this theory, many elements of diverse mathematical disciplines, such as functional analysis, differential geometry, partial differential equation, homological algebra and topology have to be combined. All essential basics are summarised in the first chapter of this thesis. This contains classical elements of index theory, such as Fredholm operators, elliptic pseudodifferential operators and characteristic classes. Moreover we study the de Rham complex and introduce Sobolev spaces of arbitrary order as well as the concept of operator ideals. In the second chapter, the abstract theory of (Fredholm) quasicomplexes of Hilbert spaces will be developed. From the very beginning we will consider quasicomplexes with curvature in an ideal class. We introduce the Euler characteristic, the cone of a quasiendomorphism and the Lefschetz number. In particular, we generalise Euler's identity, which will allow us to develop the Lefschetz theory on nonseparable Hilbert spaces. Finally, in the third chapter the abstract theory will be applied to elliptic quasicomplexes with pseudodifferential operators of arbitrary order. We will show that the Atiyah-Singer index formula holds true for those objects and, as an example, we will compute the Euler characteristic of the connection quasicomplex. In addition to this we introduce geometric quasiendomorphisms and prove a generalisation of the Lefschetz fixed point theorem of Atiyah and Bott. N2 - Die Theorie der Sequenzen mit kompakter Krümmung, sogenannter Quasikomplexe, ist eine Verallgemeinerung der Theorie der Fredholm Komplexe. Um ein Verständnis für (Quasi-)Komplexe zu gewinnen, müssen Inhalte aus verschiedenen Teilgebieten der Mathematik kombiniert werden. Alle hierfür wesentlichen Grundlagen sind im ersten Kapitel dieser Dissertation zusammengefasst. Dies betrifft unter anderem gewisse Elemente der Funktionalanalysis und der Differentialgeometrie, sowie die Theorie der klassischen Pseudodifferentialoperatoren. Im zweiten Kapitel wird anschließend die abstrakte Theorie der Quasikomplexe und zugehöriger Quasimorphismen im Kontext der Funktionalanalysis entwickelt. Dabei werden verschiedene Typen von Quasikomplexen und Quasimorphismen klassifiziert, deren Eigenschaften analysiert und Beispiele betrachtet. Ein zentraler Punkt hierbei ist die Lösung des Problems, für welche dieser Objekte sich eine besondere charakteristische Zahl, die sogenannte Lefschetz-Zahl, definieren lässt. Die dargestellten Resultate zeigen, dass die in dieser Arbeit gegebene Definition eine natürliche Erweiterung der klassischen Lefschetz-Zahl darstellt. Abschließend wird die entwickelte Theorie im dritten Kapitel auf elliptische Quasikomplexe von Pseudodifferentialoperatoren angewendet. Dabei werden insbesondere Verallgemeinerungen der berühmten Atiyah-Singer-Index-Formel und des Lefschetz-Fixpunkt-Theorems von Atiyah and Bott bewiesen. KW - Index Theorie KW - Fredholm Komplexe KW - Elliptische Komplexe KW - Index theory KW - Elliptic complexes KW - Fredholm complexes Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-87489 ER - TY - THES A1 - Di Gesù, Giacomo T1 - Semiclassical spectral analysis of discrete Witten Laplacians T1 - Semiklassische Spektraltheorie von diskreten Witten-Laplace-Operatoren N2 - A discrete analogue of the Witten Laplacian on the n-dimensional integer lattice is considered. After rescaling of the operator and the lattice size we analyze the tunnel effect between different wells, providing sharp asymptotics of the low-lying spectrum. Our proof, inspired by work of B. Helffer, M. Klein and F. Nier in continuous setting, is based on the construction of a discrete Witten complex and a semiclassical analysis of the corresponding discrete Witten Laplacian on 1-forms. The result can be reformulated in terms of metastable Markov processes on the lattice. N2 - In dieser Arbeit wird auf dem n-dimensionalen Gitter der ganzen Zahlen ein Analogon des Witten-Laplace-Operatoren eingeführt. Nach geeigneter Skalierung des Gitters und des Operatoren analysieren wir den Tunneleffekt zwischen verschiedenen Potentialtöpfen und erhalten vollständige Aymptotiken für das tiefliegende Spektrum. Der Beweis (nach Methoden, die von B. Helffer, M. Klein und F. Nier im Falle des kontinuierlichen Witten-Laplace-Operatoren entwickelt wurden) basiert auf der Konstruktion eines diskreten Witten-Komplexes und der Analyse des zugehörigen Witten-Laplace-Operatoren auf 1-Formen. Das Resultat kann im Kontext von metastabilen Markov Prozessen auf dem Gitter reformuliert werden und ermöglicht scharfe Aussagen über metastabile Austrittszeiten. KW - Semiklassische Spektralasymptotik KW - Metastabilität KW - diskreter Witten-Laplace-Operator KW - Eyring-Kramers Formel KW - Tunneleffekt KW - semiclassical spectral asymptotics KW - metastability KW - low-lying eignvalues KW - discrete Witten complex KW - rescaled lattice Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-65286 ER - TY - INPR A1 - Kiselev, Oleg M. A1 - Tarkhanov, Nikolai Nikolaevich T1 - Scattering of autoresonance trajectories upon a separatrix N2 - We study asymptotic properties of solutions to the primary resonance equation with large amplitude on a long time interval. T3 - Preprints des Instituts für Mathematik der Universität Potsdam - 1 (2012) 2 Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-56880 ER - TY - INPR A1 - Klein, Markus A1 - Zitt, Pierre-André T1 - Resonances for a diffusion with small noise N2 - We study resonances for the generator of a diffusion with small noise in R(d) : L = -∈∆ + ∇F * ∇, when the potential F grows slowly at infinity (typically as a square root of the norm). The case when F grows fast is well known, and under suitable conditions one can show that there exists a family of exponentially small eigenvalues, related to the wells of F. We show that, for an F with a slow growth, the spectrum is R+, but we can find a family of resonances whose real parts behave as the eigenvalues of the "quick growth" case, and whose imaginary parts are small. T3 - Mathematische Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie : Preprint - 2008, 02 Y1 - 2008 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-49448 ER - TY - INPR A1 - Bär, Christian T1 - Renormalized integrals and a path integral formula for the heat kernel on a manifold N2 - We introduce renormalized integrals which generalize conventional measure theoretic integrals. One approximates the integration domain by measure spaces and defines the integral as the limit of integrals over the approximating spaces. This concept is implicitly present in many mathematical contexts such as Cauchy's principal value, the determinant of operators on a Hilbert space and the Fourier transform of an L^p function. We use renormalized integrals to define a path integral on manifolds by approximation via geodesic polygons. The main part of the paper is dedicated to the proof of a path integral formula for the heat kernel of any self-adjoint generalized Laplace operator acting on sections of a vector bundle over a compact Riemannian manifold. T3 - Preprints des Instituts für Mathematik der Universität Potsdam - 1(2012)21 KW - Renormalized integral KW - path integral KW - Feynman-Kac formula KW - generalized Laplace operator KW - Riemannian manifold Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-60052 ER - TY - BOOK A1 - Zhuchok, Anatolii V. T1 - Relatively free doppelsemigroups N2 - A doppelalgebra is an algebra defined on a vector space with two binary linear associative operations. Doppelalgebras play a prominent role in algebraic K-theory. We consider doppelsemigroups, that is, sets with two binary associative operations satisfying the axioms of a doppelalgebra. Doppelsemigroups are a generalization of semigroups and they have relationships with such algebraic structures as interassociative semigroups, restrictive bisemigroups, dimonoids, and trioids. In the lecture notes numerous examples of doppelsemigroups and of strong doppelsemigroups are given. The independence of axioms of a strong doppelsemigroup is established. A free product in the variety of doppelsemigroups is presented. We also construct a free (strong) doppelsemigroup, a free commutative (strong) doppelsemigroup, a free n-nilpotent (strong) doppelsemigroup, a free n-dinilpotent (strong) doppelsemigroup, and a free left n-dinilpotent doppelsemigroup. Moreover, the least commutative congruence, the least n-nilpotent congruence, the least n-dinilpotent congruence on a free (strong) doppelsemigroup and the least left n-dinilpotent congruence on a free doppelsemigroup are characterized. The book addresses graduate students, post-graduate students, researchers in algebra and interested readers. N2 - Eine Doppelalgebra ist eine auf einem Vektorraum definierte Algebra mit zwei binären linearen assoziativen Operationen. Doppelalgebren spielen eine herausragende Rolle in der algebraischen K-Theorie. Wir betrachten Doppelhalbgruppen, d.h Mengen mit zwei binären assoziativen Operationen, welche die Axiome der Doppelhalbgruppe erfüllen. Doppelhalbgruppen sind Veralgemeinerungen von Halbgruppen und sie stehen in Beziehung zu solchen algebraischen Strukturen wie interassoziative Halbgruppen, restriktive Bihalbgruppen, Dimonoiden und Trioden. In dieser Lecture Notes werden eine Vielzahl von Beispielen für Doppelhalbgruppen und strong Doppelhalbgruppen gegeben. Die Unabhängigkeit der Axiome für Doppelhalbgruppen wird nachgewiesen. Ein freies Produkt in der Varietät der Doppelhalbgruppen wird vorgestellt. Wir konstruieren auch eine freie (kommutative) strong Doppelhalbgruppe, eine freie n-dinilpotent (strong) Doppelhalbgruppe und eine freie Links n-dinilpotent Doppelhalbgruppe. Darüber hinaus werden die kleinste n-nilpotente Kogruenz, die kleinste n-dinilpotente Kongruenz auf der freien (strong) Doppelhalbgruppe und die kleinste n-dinilpotente Kongruenz auf einer freien Doppelhalbgruppe charakterisiert. Das Buch richtet sich an Graduierte, Doktoranden, Forscher in Algebra und interessierte Leser. T3 - Lectures in pure and applied mathematics - 5 KW - doppelsemigroup KW - interassociativity KW - free algebra KW - semigroup KW - congruence Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-407719 SN - 978-3-86956-427-2 SN - 2199-4951 SN - 2199-496X IS - 5 PB - Universitätsverlag Potsdam CY - Potsdam ER - TY - THES A1 - Scharrer, Christian T1 - Relating diameter and mean curvature for varifolds T1 - Relativer Diameter und mittlere Krümmung für Varifaltigkeiten N2 - The main results of this thesis are formulated in a class of surfaces (varifolds) generalizing closed and connected smooth submanifolds of Euclidean space which allows singularities. Given an indecomposable varifold with dimension at least two in some Euclidean space such that the first variation is locally bounded, the total variation is absolutely continuous with respect to the weight measure, the density of the weight measure is at least one outside a set of weight measure zero and the generalized mean curvature is locally summable to a natural power (dimension of the varifold minus one) with respect to the weight measure. The thesis presents an improved estimate of the set where the lower density is small in terms of the one dimensional Hausdorff measure. Moreover, if the support of the weight measure is compact, then the intrinsic diameter with respect to the support of the weight measure is estimated in terms of the generalized mean curvature. This estimate is in analogy to the diameter control for closed connected manifolds smoothly immersed in some Euclidean space of Peter Topping. Previously, it was not known whether the hypothesis in this thesis implies that two points in the support of the weight measure have finite geodesic distance. N2 - Die wichtigsten Ergebnisse dieser Arbeit sind formuliert für eine Klasse von Oberflächen (Varifaltigkeiten), welche geschlossene glatte Untermannigfaltigkeiten des euklidischen Raums verallgemeinern und Singularitäten erlauben. Gegeben sei eine mindestens zwei-dimensionale unzerlegbare Varifaltigkeit im euklidischen Raum, sodass die erste Variation lokal beschränkt ist, die totale Variation absolut stetig bezüglich dem Gewichtsmaß ist, die Dichte des Gewichtsmaßes außerhalb einer Nullmenge mindesten eins ist, und die verallgemeinerte mittlere Krümmung bezüglich dem Gewichtsmaß lokal summierbar zu einer natürlichen Potenz (Dimension der Varifaltigkeit minus eins) ist. Es wird die Menge, wo die untere Dichte klein ist, durch das ein-dimensionale Hausdorff-Maß abgeschätzt. Das Ergebnis ist eine neue, stark verbesserte untere Dichte-Schranke. Ist der Träger des Gewichtsmaßes kompakt, so wird der intrinsische Diameter des Trägers des Gewichtsmaßes abgeschätzt durch ein Integral der verallgemeinerten mittleren Krümmung. Diese Ungleichung ist analog zu der Ungleichung von Peter Topping für geschlossene zusammenhängende Mannigfaltigkeit, welche durch eine glatte Immersion in den euklidischen Raum eingebettet sind. Bisher war nicht bekannt, dass die oben genannten Annahmen an die Varifaltigkeit implizieren, dass der geodätische Abstand zweier Punkte aus dem Träger des Gewichtsmaßes endlich ist. KW - varifold KW - rectifiable varifold KW - indecomposable varifold KW - first variation KW - mean curvature KW - isoperimetric inequality KW - density of a measure KW - geodesic distance KW - intrinsic diameter KW - Varifaltigkeit KW - rektifizierbare Varifaltigkeit KW - unzerlegbare Varifaltigkeit KW - erste Variation KW - mittlere Krümmung KW - isoperimetrische Ungleichung KW - Dichte eines Maßes KW - geodätischer Abstand KW - intrinsischer Diameter Y1 - 2016 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-97013 ER - TY - THES A1 - Demircioglu, Aydin T1 - Reconstruction of deligne classes and cocycles T1 - Rekonstruktion von Deligne Klassen und Kozykeln N2 - In der vorliegenden Arbeit verallgemeinern wir im Wesentlichen zwei Theoreme von Mackaay-Picken und Picken (2002, 2004). Im ihrem Artikel zeigen Mackaay und Picken,dass es eine bijektive Korrespodenz zwischen Deligne 2-Klassen $\xi \in \check{H}^2(M, \mathcal{D}^2)$ und Holonomie Abbildungen von der zweiten dünnen Homotopiegruppe $\pi_2^2(M)$ in die abelsche Gruppe $U(1)$ gibt. Im zweiten Artikel wird eine Verallgemeinerung dieses Theorems bewiesen: Picken zeigt, dass es eine Bijektion gibt zwischen Deligne 2-Kozykeln und gewissen 2-dimensionalen topologischen Quantenfeldtheorien. In dieser Arbeit zeigen wir, dass diese beiden Theoreme in allen Dimensionen gelten.Wir betrachten zunächst den Holonomie Fall und können mittels simplizialen Methoden nachweisen, dass die Gruppe der glatten Deligne $d$-Klassen isomorph ist zu der Gruppe der glatten Holonomie Abbildungen von der $d$-ten dünnen Homotopiegruppe $\pi_d^d(M)$ nach $U(1)$, sofern $M$ eine $(d-1)$-zusammenhängende Mannigfaltigkeit ist. Wir vergleichen dieses Resultat mit einem Satz von Gajer (1999). Gajer zeigte, dass jede Deligne $d$-Klasse durch eine andere Klasse von Holonomie-Abbildungen rekonstruiert werden kann, die aber nicht nur Holonomien entlang von Sphären, sondern auch entlang von allgemeinen $d$-Mannigfaltigkeiten in $M$ enthält. Dieser Zugang benötigt dann aber nicht, dass $M$ hoch-zusammenhängend ist. Wir zeigen, dass im Falle von flachen Deligne $d$-Klassen unser Rekonstruktionstheorem sich von Gajers unterscheidet, sofern $M$ nicht als $(d-1)$, sondern nur als $(d-2)$-zusammenhängend angenommen wird. Stiefel Mannigfaltigkeiten besitzen genau diese Eigenschaft, und wendet man unser Theorem auf diese an und vergleicht das Resultat mit dem von Gajer, so zeigt sich, dass es zuviele Deligne Klassen rekonstruiert. Dies bedeutet, dass unser Rekonstruktionsthreorem ohne die Zusatzbedingungen an die Mannigfaltigkeit M nicht auskommt, d.h. unsere Rekonstruktion benötigt zwar weniger Informationen über die Holonomie entlang von d-dimensionalen Mannigfaltigkeiten, aber dafür muss M auch $(d-1)$-zusammenhängend angenommen werden. Wir zeigen dann, dass auch das zweite Theorem verallgemeinert werden kann: Indem wir das Konzept einer Picken topologischen Quantenfeldtheorie in beliebigen Dimensionen einführen, können wir nachweisen, dass jeder Deligne $d$-Kozykel eine solche $d$-dimensionale Feldtheorie mit zwei besonderen Eigenschaften, der dünnen Invarianz und der Glattheit, induziert. Wir beweisen, dass jede $d$-dimensionale topologische Quantenfeldtheorie nach Picken mit diesen zwei Eigenschaften auch eine Deligne $d$-Klasse definiert und prüfen nach, dass diese Konstruktion sowohl surjektiv als auch injektiv ist. Demzufolge sind beide Gruppen isomorph. N2 - In this thesis we mainly generalize two theorems from Mackaay-Picken and Picken (2002, 2004). In the first paper, Mackaay and Picken show that there is a bijective correspondence between Deligne 2-classes $\xi \in \check{H}^2(M,\mathcal{D}^2)$ and holonomy maps from the second thin-homotopy group $\pi_2^2(M)$ to $U(1)$. In the second one, a generalization of this theorem to manifolds with boundaries is given: Picken shows that there is a bijection between Deligne 2-cocycles and a certain variant of 2-dimensional topological quantum field theories. In this thesis we show that these two theorems hold in every dimension. We consider first the holonomy case, and by using simplicial methods we can prove that the group of smooth Deligne $d$-classes is isomorphic to the group of smooth holonomy maps from the $d^{th}$ thin-homotopy group $\pi_d^d(M)$ to $U(1)$, if $M$ is $(d-1)$-connected. We contrast this with a result of Gajer (1999). Gajer showed that Deligne $d$-classes can be reconstructed by a different class of holonomy maps, which not only include holonomies along spheres, but also along general $d$-manifolds in $M$. This approach does not require the manifold $M$ to be $(d-1)$-connected. We show that in the case of flat Deligne $d$-classes, our result differs from Gajers, if $M$ is not $(d-1)$-connected, but only $(d-2)$-connected. Stiefel manifolds do have this property, and if one applies our theorem to these and compare the result with that of Gajers theorem, it is revealed that our theorem reconstructs too many Deligne classes. This means, that our reconstruction theorem cannot live without the extra assumption on the manifold $M$, that is our reconstruction needs less informations about the holonomy of $d$-manifolds in $M$ at the price of assuming $M$ to be $(d-1)$-connected. We continue to show, that also the second theorem can be generalized: By introducing the concept of Picken-type topological quantum field theory in arbitrary dimensions, we can show that every Deligne $d$-cocycle induces such a $d$-dimensional field theory with two special properties, namely thin-invariance and smoothness. We show that any $d$-dimensional topological quantum field theory with these two properties gives rise to a Deligne $d$-cocycle and verify that this construction is surjective and injective, that is both groups are isomorphic. KW - Holonomie KW - Hauptfaserbündel KW - Gerben KW - Deligne Kohomologie KW - Globale Differentialgeometrie KW - Holonomy KW - Prinicipal Fibre Bundles KW - Gerbes KW - Deligne Cohomology KW - Global Differentialgeometry Y1 - 2007 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-13755 ER - TY - THES A1 - Murr, Rüdiger T1 - Reciprocal classes of Markov processes : an approach with duality formulae T1 - Reziproke Klassen von Markov Prozessen : ein Ansatz mit Dualitätsformeln N2 - This work is concerned with the characterization of certain classes of stochastic processes via duality formulae. In particular we consider reciprocal processes with jumps, a subject up to now neglected in the literature. In the first part we introduce a new formulation of a characterization of processes with independent increments. This characterization is based on a duality formula satisfied by processes with infinitely divisible increments, in particular Lévy processes, which is well known in Malliavin calculus. We obtain two new methods to prove this duality formula, which are not based on the chaos decomposition of the space of square-integrable function- als. One of these methods uses a formula of partial integration that characterizes infinitely divisible random vectors. In this context, our characterization is a generalization of Stein’s lemma for Gaussian random variables and Chen’s lemma for Poisson random variables. The generality of our approach permits us to derive a characterization of infinitely divisible random measures. The second part of this work focuses on the study of the reciprocal classes of Markov processes with and without jumps and their characterization. We start with a resume of already existing results concerning the reciprocal classes of Brownian diffusions as solutions of duality formulae. As a new contribution, we show that the duality formula satisfied by elements of the reciprocal class of a Brownian diffusion has a physical interpretation as a stochastic Newton equation of motion. Thus we are able to connect the results of characterizations via duality formulae with the theory of stochastic mechanics by our interpretation, and to stochastic optimal control theory by the mathematical approach. As an application we are able to prove an invariance property of the reciprocal class of a Brownian diffusion under time reversal. In the context of pure jump processes we derive the following new results. We describe the reciprocal classes of Markov counting processes, also called unit jump processes, and obtain a characterization of the associated reciprocal class via a duality formula. This formula contains as key terms a stochastic derivative, a compensated stochastic integral and an invariant of the reciprocal class. Moreover we present an interpretation of the characterization of a reciprocal class in the context of stochastic optimal control of unit jump processes. As a further application we show that the reciprocal class of a Markov counting process has an invariance property under time reversal. Some of these results are extendable to the setting of pure jump processes, that is, we admit different jump-sizes. In particular, we show that the reciprocal classes of Markov jump processes can be compared using reciprocal invariants. A characterization of the reciprocal class of compound Poisson processes via a duality formula is possible under the assumption that the jump-sizes of the process are incommensurable. N2 - Diese Arbeit befasst sich mit der Charakterisierung von Klassen stochastischer Prozesse durch Dualitätsformeln. Es wird insbesondere der in der Literatur bisher unbehandelte Fall reziproker Klassen stochastischer Prozesse mit Sprungen untersucht. Im ersten Teil stellen wir eine neue Formulierung einer Charakterisierung von Prozessen mit unabhängigen Zuwächsen vor. Diese basiert auf der aus dem Malliavinkalkül bekannten Dualitätsformel für Prozesse mit unendlich oft teilbaren Zuwächsen. Wir präsentieren zusätzlich zwei neue Beweismethoden dieser Dualitätsformel, die nicht auf der Chaoszerlegung des Raumes quadratintegrabler Funktionale beruhen. Eine dieser Methoden basiert auf einer partiellen Integrationsformel fur unendlich oft teilbare Zufallsvektoren. In diesem Rahmen ist unsere Charakterisierung eine Verallgemeinerung des Lemma fur Gaußsche Zufallsvariablen von Stein und des Lemma fur Zufallsvariablen mit Poissonverteilung von Chen. Die Allgemeinheit dieser Methode erlaubt uns durch einen ähnlichen Zugang die Charakterisierung unendlich oft teilbarer Zufallsmaße. Im zweiten Teil der Arbeit konzentrieren wir uns auf die Charakterisierung reziproker Klassen ausgewählter Markovprozesse durch Dualitätsformeln. Wir beginnen mit einer Zusammenfassung bereits existierender Ergebnisse zu den reziproken Klassen Brownscher Bewegungen mit Drift. Es ist uns möglich die Charakterisierung solcher reziproken Klassen durch eine Dualitätsformel physikalisch umzudeuten in eine Newtonsche Gleichung. Damit gelingt uns ein Brückenschlag zwischen derartigen Charakterisierungsergebnissen und der Theorie stochastischer Mechanik durch den Interpretationsansatz, sowie der Theorie stochastischer optimaler Steuerung durch den mathematischen Ansatz. Unter Verwendung der Charakterisierung reziproker Klassen durch Dualitätsformeln beweisen wir weiterhin eine Invarianzeigenschaft der reziproken Klasse Browscher Bewegungen mit Drift unter Zeitumkehrung. Es gelingt uns weiterhin neue Resultate im Rahmen reiner Sprungprozesse zu beweisen. Wir beschreiben reziproke Klassen Markovscher Zählprozesse, d.h. Sprungprozesse mit Sprunghöhe eins, und erhalten eine Charakterisierung der reziproken Klasse vermöge einer Dualitätsformel. Diese beinhaltet als Schlüsselterme eine stochastische Ableitung nach den Sprungzeiten, ein kompensiertes stochastisches Integral und eine Invariante der reziproken Klasse. Wir präsentieren außerdem eine Interpretation der Charakterisierung einer reziproken Klasse im Rahmen der stochastischen Steuerungstheorie. Als weitere Anwendung beweisen wir eine Invarianzeigenschaft der reziproken Klasse Markovscher Zählprozesse unter Zeitumkehrung. Einige dieser Ergebnisse werden fur reine Sprungprozesse mit unterschiedlichen Sprunghöhen verallgemeinert. Insbesondere zeigen wir, dass die reziproken Klassen Markovscher Sprungprozesse vermöge reziproker Invarianten unterschieden werden können. Eine Charakterisierung der reziproken Klasse zusammengesetzter Poissonprozesse durch eine Dualitätsformel gelingt unter der Annahme inkommensurabler Sprunghöhen. KW - unendliche Teilbarkeit KW - Dualitätsformeln KW - reziproke Klassen KW - Zählprozesse KW - stochastische Mechanik KW - infinite divisibility KW - duality formulae KW - reciprocal class KW - counting process KW - stochastic mechanics Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-62091 ER - TY - INPR A1 - Murr, Rüdiger T1 - Reciprocal classes of Markov processes : an approach with duality formulae N2 - In this work we are concerned with the characterization of certain classes of stochastic processes via duality formulae. First, we introduce a new formulation of a characterization of processes with independent increments, which is based on an integration by parts formula satisfied by infinitely divisible random vectors. Then we focus on the study of the reciprocal classes of Markov processes. These classes contain all stochastic processes having the same bridges, and thus similar dynamics, as a reference Markov process. We start with a resume of some existing results concerning the reciprocal classes of Brownian diffusions as solutions of duality formulae. As a new contribution, we show that the duality formula satisfied by elements of the reciprocal class of a Brownian diffusion has a physical interpretation as a stochastic Newton equation of motion. In the context of pure jump processes we derive the following new results. We will analyze the reciprocal classes of Markov counting processes and characterize them as a group of stochastic processes satisfying a duality formula. This result is applied to time-reversal of counting processes. We are able to extend some of these results to pure jump processes with different jump-sizes, in particular we are able to compare the reciprocal classes of Markov pure jump processes through a functional equation between the jump-intensities. T3 - Preprints des Instituts für Mathematik der Universität Potsdam - 1(2012)26 KW - Duality formula KW - reciprocal class KW - Levy process KW - infinite divisibility KW - counting process KW - Malliavin calculus Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-63018 ER - TY - THES A1 - Conforti, Giovanni T1 - Reciprocal classes of continuous time Markov Chains T1 - Reziproke Klassen zeitkontinuierlicher Markov-Ketten N2 - In this thesis we study reciprocal classes of Markov chains. Given a continuous time Markov chain on a countable state space, acting as reference dynamics, the associated reciprocal class is the set of all probability measures on path space that can be written as a mixture of its bridges. These processes possess a conditional independence property that generalizes the Markov property, and evolved from an idea of Schrödinger, who wanted to obtain a probabilistic interpretation of quantum mechanics. Associated to a reciprocal class is a set of reciprocal characteristics, which are space-time functions that determine the reciprocal class. We compute explicitly these characteristics, and divide them into two main families: arc characteristics and cycle characteristics. As a byproduct, we obtain an explicit criterion to check when two different Markov chains share their bridges. Starting from the characteristics we offer two different descriptions of the reciprocal class, including its non-Markov probabilities. The first one is based on a pathwise approach and the second one on short time asymptotic. With the first approach one produces a family of functional equations whose only solutions are precisely the elements of the reciprocal class. These equations are integration by parts on path space associated with derivative operators which perturb the paths by mean of the addition of random loops. Several geometrical tools are employed to construct such formulas. The problem of obtaining sharp characterizations is also considered, showing some interesting connections with discrete geometry. Examples of such formulas are given in the framework of counting processes and random walks on Abelian groups, where the set of loops has a group structure. In addition to this global description, we propose a second approach by looking at the short time behavior of a reciprocal process. In the same way as the Markov property and short time expansions of transition probabilities characterize Markov chains, we show that a reciprocal class is characterized by imposing the reciprocal property and two families of short time expansions for the bridges. Such local approach is suitable to study reciprocal processes on general countable graphs. As application of our characterization, we considered several interesting graphs, such as lattices, planar graphs, the complete graph, and the hypercube. Finally, we obtain some first results about concentration of measure implied by lower bounds on the reciprocal characteristics. N2 - Diese Dissertation behandelt die reziproke zufällige Prozesse mit Sprüngen. Gegeben eine zeitkontinuierliche Markovkette als Referenzdynamik, ist die assoziierte reziproke Klasse die Menge aller Wahrscheinlichkeiten auf dem Pfadraum, die als eine Mischung ihrer Brücken geschrieben werden kann. Reziproke Prozesse zeichnen sich durch eine Form der bedingten Unabhängigkeit aus, die die Markoveigenschaft verallgemeinert. Ursprünglich ist diese Idee auf Schrödinger zurückzuführen, der nach einer probabilistischen Interpretation für die Quantenmechanik suchte. Einer reziproken Klasse wird eine Familie reziproker Charakteristiken assoziiert. Dies sind Raum-Zeit Abbildungen, die die reziproke Klasse eindeutig definieren. Wir berechnen diese Charakteristiken explizit und unterteilen sie in zwei Typen: Bogen-Charakteristiken und Kreis-Charakteristiken. Zusätzlich erhalten wir ein klares Kriterium zur Prüfung wann die Brücken von zwei verschiedenen Markovketten übereinstimmen. Wir beschreiben auf zwei verschiedene Arten reziproken Klasse und berücksichtigen auch ihre nicht-Markov Elemente. Die erste Charakterisierung basiert auf einem pfadweisen Ansatz, während die zweite kurzzeit Asymptotik benutzt. Der erste Ansatz liefert eine Familie funktionaler Gleichungen deren einzige Lösungen die Elemente der reziproken Klasse sind. Die Gleichungen können als partielle Integration auf dem Pfadraum mit einem Ableitungsoperator, der eine St¨orung der Pfade durch zusätzliche zufällige Kreise hervorruft, interpretiert werden. Die Konstruktion dieser Gleichungen benötigt eine geometrische Analyse des Problems. Wir behandeln außerdem die Fragestellung einer scharfen Charakterisierung und zeigen interessante Verbindungen zur diskreten Geometrie. Beispiele, für die wir eine solche Formel finden konnten, sind für Zählprozesse und für Irrfahrte auf abelschen Gruppen, in denen die Menge der Kreise eine Gruppenstruktur erweist. Zusätzlich zu diesem globalen Zugang, erforschen wir eine lokale Beschreibung durch die Analyse des kurzfristigen Verhaltens eines reziproken Prozesses. Analog zur Markoveigenschaft und kurzzeit Entwicklung ihrer Übergangswahrscheinlichkeit Markovketten charakterisieren, zeigen wir, dass eine reziproke Klasse charakterisiert werden kann indem wir ihre reziproke Eigenschaft und zwei Familien von Kurzzeit Entwicklungen der Brücken voraussetzen. Solche lokalen Ansatz ist geeignet, um Sprungprozesse auf allgemeine zählbaren Graphen zu studieren. Als Beispiele unserer Charakterisierung, betrachten wir Gitter, planare Graphen, komplette Graphen und die Hyperwürfel. Zusätzlich präsentieren wir erste Ergebnisse über Maßenkonzentration eines reziproken Prozesses, als Konsequenz unterer Schranken seiner Charakteristiken. N2 - In questa tesi si studiano le classi reciproche delle catene di Markov. Data una catena di Markov a tempo continuo su uno spazio numerabile, che svolge il ruolo di dinamica di riferimento, la sua classe reciproca é costituita da tutte le leggi sullo spazio dei cammini che si possono scrivere come un miscuglio dei ponti della legge di riferimento. Questi processi stocastici godono di una propriet`a di independenza condizionale che generalizza la proprietá di Markov ed é ispirata ad un’idea avuta da Schrödinger nel tentativo di derivare un’interpretazione stocastica della meccanica quantistica. A ciascuna classe reciproca é associato un insieme di caratteristiche reciproche. Una caratteristica reciproca é una proprietá della dinamica di riferimento che viene trasmessa a tutti gli elementi della classe, e viene espressa matematicamente da un opportuna combinazione di funzionali del generatore della catena di riferimento. Nella tesi, le caratteristiche vengono calcolate esplicitamente e suddivise in due famiglie principali: le caratteristiche di arco e le caratteristice di ciclo. Come sottoprodotto, otteniamo un criterio esplicito per decidere quando due catene di Markov hanno gli stessi ponti. A partire dalle caratteristiche reciproche, vengono proposte due caratterizzazioni della classe reciproca, compresi i suoi elementi non Markoviani. La prima é basata su un approccio traiettoriale, mentre la seconda si basa sul comportamento asintotico locale dei processi reciproci. Utilizzando il primo approccio, si ottiene una famiglia di equazioni funzionali che ammette come soluzioni tutti e soli gli elementi della classe reciproca. Queste equazioni sono integrazioni per parti sullo spazio dei cammini associate ad operatori differenziali che perturbano le traiettorie del processo canonico con l’aggiunta di loops casuali. Nella costruzione di queste equazioni si impiegano tecniche di geometria discreta, stabilendo un interessante collegamento con risultati recenti in questo campo. Le caratterizzazioni ottenute sono ottimali, in quanto impiegano un numero minimo di equazioni per descrivere la classe. Con questo metodo vengono studiate le classi reciproche di processi di conteggio, di camminate aleatorie su gruppi Abeliani, dove l’insieme dei cicli gode anch’esso di una struttura di gruppo. Il secondo approccio, di natura locale, si basa su stime asintotiche in tempo corto. É ben noto come una catena di Markov sia caratterizzata dal fatto di possedere la propriet`a di Markov e dal comportamento in tempo corto delle probabilitá di transizione. In questa tesi mostriamo che una classe reciproca é caratterizzata dalla propriet`a reciproca, e da due famiglie di stime asintotiche per i ponti del processo. Questo approccio locale permette di analizzare le classi reciproche di passeggiate aleatorie su grafi generali. Come applicazione dei risultati teorici, consideriamo i lattici, i grafi planari, il grafo completo, e l’ipercubo discreto. Infine, otteniamo delle stime di concentrazione della misura e sul comportamento globale dei ponti, sotto l’ipotesi di un limite inferiore per le caratteristiche reciproche. KW - reciprocal characteristics KW - random walks on graphs KW - reziproke Invarianten KW - reziproke Klassen KW - Schrödinger Problem KW - partielle Integration auf dem Pfadraum KW - Irrfahrten auf Graphen Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-82255 ER - TY - INPR A1 - Conforti, Giovanni T1 - Reciprocal classes of continuous time Markov Chains N2 - In this work we study reciprocal classes of Markov walks on graphs. Given a continuous time reference Markov chain on a graph, its reciprocal class is the set of all probability measures which can be represented as a mixture of the bridges of the reference walks. We characterize reciprocal classes with two different approaches. With the first approach we found it as the set of solutions to duality formulae on path space, where the differential operators have the interpretation of the addition of infinitesimal random loops to the paths of the canonical process. With the second approach we look at short time asymptotics of bridges. Both approaches allow an explicit computation of reciprocal characteristics, which are divided into two families, the loop characteristics and the arc characteristics. They are those specific functionals of the generator of the reference chain which determine its reciprocal class. We look at the specific examples such as Cayley graphs, the hypercube and planar graphs. Finally we establish the first concentration of measure results for the bridges of a continuous time Markov chain based on the reciprocal characteristics. T3 - Preprints des Instituts für Mathematik der Universität Potsdam - 4 (2015) 8 KW - random walks on graphs KW - bridges of random walks KW - reciprocal characteristics KW - Schrödinger problem KW - integration by parts on path space Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-78234 SN - 2193-6943 VL - 4 IS - 8 PB - Universitätsverlag Potsdam CY - Potsdam ER - TY - INPR A1 - Conforti, Giovanni A1 - Roelly, Sylvie T1 - Reciprocal class of random walks on an Abelian group N2 - Processes having the same bridges as a given reference Markov process constitute its reciprocal class. In this paper we study the reciprocal class of a continuous time random walk with values in a countable Abelian group, we compute explicitly its reciprocal characteristics and we present an integral characterization of it. Our main tool is a new iterated version of the celebrated Mecke's formula from the point process theory, which allows us to study, as transformation on the path space, the addition of random loops. Thanks to the lattice structure of the set of loops, we even obtain a sharp characterization. At the end, we discuss several examples to illustrate the richness of reciprocal classes. We observe how their structure depends on the algebraic properties of the underlying group. T3 - Preprints des Instituts für Mathematik der Universität Potsdam - 4 (2015) 1 KW - reciprocal class KW - stochastic bridge KW - random walk on Abelian group Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-72604 SN - 2193-6943 VL - 4 IS - 1 PB - Universitätsverlag Potsdam CY - Potsdam ER - TY - INPR A1 - Conforti, Giovanni A1 - Dai Pra, Paolo A1 - Roelly, Sylvie T1 - Reciprocal class of jump processes N2 - Processes having the same bridges as a given reference Markov process constitute its reciprocal class. In this paper we study the reciprocal class of compound Poisson processes whose jumps belong to a finite set A in R^d. We propose a characterization of the reciprocal class as the unique set of probability measures on which a family of time and space transformations induces the same density, expressed in terms of the reciprocal invariants. The geometry of A plays a crucial role in the design of the transformations, and we use tools from discrete geometry to obtain an optimal characterization. We deduce explicit conditions for two Markov jump processes to belong to the same class. Finally, we provide a natural interpretation of the invariants as short-time asymptotics for the probability that the reference process makes a cycle around its current state. T3 - Preprints des Instituts für Mathematik der Universität Potsdam - 3 (2014) 6 KW - reciprocal processes KW - stochastic bridges KW - jump processes KW - compound Poisson processes Y1 - 2014 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-70776 SN - 2193-6943 VL - 3 IS - 6 PB - Universitätsverlag Potsdam CY - Potsdam ER - TY - THES A1 - Fischer, Jens Walter T1 - Random dynamics in collective behavior - consensus, clustering & extinction of populations T1 - Stochastische Dynamiken in kollektivem Verhalten: Konsens, Gruppenbildung, Aussterben von Populationen N2 - The echo chamber model describes the development of groups in heterogeneous social networks. By heterogeneous social network we mean a set of individuals, each of whom represents exactly one opinion. The existing relationships between individuals can then be represented by a graph. The echo chamber model is a time-discrete model which, like a board game, is played in rounds. In each round, an existing relationship is randomly and uniformly selected from the network and the two connected individuals interact. If the opinions of the individuals involved are sufficiently similar, they continue to move closer together in their opinions, whereas in the case of opinions that are too far apart, they break off their relationship and one of the individuals seeks a new relationship. In this paper we examine the building blocks of this model. We start from the observation that changes in the structure of relationships in the network can be described by a system of interacting particles in a more abstract space. These reflections lead to the definition of a new abstract graph that encompasses all possible relational configurations of the social network. This provides us with the geometric understanding necessary to analyse the dynamic components of the echo chamber model in Part III. As a first step, in Part 7, we leave aside the opinions of the inidividuals and assume that the position of the edges changes with each move as described above, in order to obtain a basic understanding of the underlying dynamics. Using Markov chain theory, we find upper bounds on the speed of convergence of an associated Markov chain to its unique stationary distribution and show that there are mutually identifiable networks that are not apparent in the dynamics under analysis, in the sense that the stationary distribution of the associated Markov chain gives equal weight to these networks. In the reversible cases, we focus in particular on the explicit form of the stationary distribution as well as on the lower bounds of the Cheeger constant to describe the convergence speed. The final result of Section 8, based on absorbing Markov chains, shows that in a reduced version of the echo chamber model, a hierarchical structure of the number of conflicting relations can be identified. We can use this structure to determine an upper bound on the expected absorption time, using a quasi-stationary distribution. This hierarchy of structure also provides a bridge to classical theories of pure death processes. We conclude by showing how future research can exploit this link and by discussing the importance of the results as building blocks for a full theoretical understanding of the echo chamber model. Finally, Part IV presents a published paper on the birth-death process with partial catastrophe. The paper is based on the explicit calculation of the first moment of a catastrophe. This first part is entirely based on an analytical approach to second degree recurrences with linear coefficients. The convergence to 0 of the resulting sequence as well as the speed of convergence are proved. On the other hand, the determination of the upper bounds of the expected value of the population size as well as its variance and the difference between the determined upper bound and the actual value of the expected value. For these results we use almost exclusively the theory of ordinary nonlinear differential equations. N2 - Beziehungen und damit Interaktion sowie Diskussion, aber auch Konflikt und Opposition bilden die Grundbausteine einer jeden Gesellschaft. Häufig wird Kommunikation als der übergreigende Begriff zur Beschreibung interner Strukturen einer Gesellschaft identifiziert. Dabei muss es sich aber nicht um eine Gesellschaft im Sinne von Nationen handeln, sondern kann auch schlicht eine Gruppe von Menschen umfassen, die miteinander strukturiert interagieren, beispielsweise, eine Gruppe von Angestellten, die an einem gemeinsamen Projekt arbeiten, oder die Mitglieder eines sozialen Netzwerks. In dieser Arbeit befassen wir uns mit der mathematischen Beschreibung solcher Prozesse innerhalb von Gruppen und Gesellschaften und legen dabei unseren Fokus auf die Bildung eines Konsens durch Interaktion aber auch die Konsequenzen von Konflikt und das potentielle Aussterben einer Population. Dabei werden zwei Modelle im Fokus des Interesses stehen: Das Echokammer Model sowie eine Erweiterung des Geburts-Todes Prozesses, die die Möglichkeit eines radikalen Abfalls der Populationsgr öße miteinschließt. Wir beginnen mit einer Einführung in Part I und teilen die verbleibende Arbeit in drei Teile auf, wobei sich die ersten beiden technischen Abschnitte, Part II und III, mit einer ausführlichen Analyse der Bausteine des Echokammer Models befassen und im dritten Abschnitt, in Part IV, der erweiterte Geburts- Todes Prozess untersucht wird. Dieser wird im Folgenden als Geburts-Todes Prozess mit teilweiser Katastrophe bezeichnet werden. Das Echokammer Model beschreibt die Entwicklung von Gruppen in zunächst heterogenen sozialen Netzwerken. Unter einem heterogenen sozialen Netzwerk verstehen wir dabei eine Menge von Individuen, von denen jedes exakt eine Meinungen vertritt. Meinungen werden vereinfacht durch Werte in [0, 1] modelliert. Bestehende Beziehungen unter den Individuen können dann durch einen Graphen dargestellt werden. Es handelt sich bei dem Echokammer Modell um ein zeit-diskretes Modell, das entsprechend, ähnlich einem Brettspiel, in Zügen abläuft. In jedem Zug wird zufällig gleichverteilt eine bestehende Beziehung aus dem Netzwerk ausgewählt und die beiden verbundenen Individuen interagieren. Dabei kann es zu zwei verschiedenen Interaktionen kommen. Sind die Meinungen der betroffenen Individuen hinreichend ähnlich, so nähern sie sich weiter in ihren Meinungen an, während sie im Fall von Meinungen, die zu weit von einander liegen, ihre Beziehung auflösen und sich eines der Individuen eine neue Beziehung sucht. 8 In dieser Arbeit untersuchen wir theoretisch die Bausteine dieses Modells. Dabei legen wir die Beobachtung zu Grunde, dass die Veränderungen der Beziehungsstruktur im Netzwerk durch einen System von interagierenden Partikeln auf einem abstrakteren Raum beschrieben werden kann. Dies erlaubt es insbesondere graphentheoretische überlegungen in die Analyse einfließen zu lassen. Diese überlegungen werden ausührlich in Part II diskutiert und führen zur Definition eines neuen, abstrahierten Graphens, der alle möglichen Beziehungskonfigurationen des sozialen Netzwerks umfasst. Dies erlaubt es uns einen ähnlichkeitsbegriff für Beziehungskonfigurationen auf Basis der benachbarten Knoten in besagtem Graphen zu definieren. Dies liefert uns das notwendige geometrische Verständnis um in Part III die dynamischen Komponenten des Echokammer models zu analysieren. Insbesondere fokusieren wir uns dabei auf die Dynamik der Kanten, für die bisher in der Literatur noch keine Ergebnisse existieren. Wir lassen zunächst in Abschnitt 7 die Meinungen der Individuen beiseite und nehmen an, dass die Position der Kanten sich in jedem Zug wie zuvor beschrieben ändert, um eine grundlegendes Verständnis der unterliegenden Dynamik zu erhalten. Unter der Verwendung der Theorie von Markovketten finden wir obere Schranken an die Konvergenzgeschwindigkeit einer assoziierten Markovkette gegen ihre eindeutige stationäre Verteilung und zeigen, dass es Netzwerke gibt, die miteinander identifizierbar und unter der analysierten Dynamik daheingehend ununterscheinbar sind, dass die stationäre Verteilung der assozierten Markovkette diesen Netzwerken dasselbe Gewicht zuordnet. Anschließend beweisen wir eine Reihe von quantitativen Resultaten, die sich insbesondere in Fällen, in denen die assozierte Markovkette reversibel ist, als berechenbar herausstellen. Insbesondere die explizite Form der stationären Verteilung sowie untere Schranken an die Cheeger Konstante zur Beschreibung der Konvergenzgeschwindigkeit stehen dabei im Fokus und werden ausführlich diskutiert. Nach dieser vertieften Analyse des reduzierten Modells, fügen wir die Meinungen unserer Betrachtung wieder hinzu. Das abschließende Result in Abschnitt 8, basierend auf absorbierenden Markovketten, liefert dann, dass in einer reduzierte Version des Echokammer Modells, in dem sich Individuen ähnlicher Meinung nicht annähern, eine hierarchische Struktur der Anzahl der konfliktreichen Beziehung identifiziert werden kann. Dies können wir ausnutzen, um eine obere Schranke an die erwartete Absorptionszeit, unter Zuhilfenahme einer quasi-stationären Verteilung, zu bestimmen. Diese hierarchische Struktur bildet außerdem eine Brücke zu klassischen Theorien von Geburts-Todes und, insbesondere, reinen Todes-Prozessen, für die eine reiche Literatur existiert. Wir zeigen abschließend auf, wie künftige Forschung diese Verbindung ausnutzen kann und diskutieren die Wichtigkeit der Ergbenisse als Bausteine eines vollständigen theoretischen Verständnisses des Echokammer Modells. Part IV stellt abschließend einen veröffentlichten Artikel vor, der sich dem Geburts- Todes Prozess mit teilweiser Katastrophe widmet. Besagter Artikel steht dabei auf zwei Säulen. Zum Einen der expliziten Berechnung des ersten Zeitpunkts einer Katastrophe, wenn die Population zu Beginn der Beobachtung von instabiler Größe ist. KW - Markov chains KW - graph theory KW - complex systems KW - interacting particle systems KW - Markovketten KW - komplexe Systeme KW - Graphentheorie KW - Systeme interagierender Partikel Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-553725 ER - TY - INPR A1 - Dereudre, David A1 - Roelly, Sylvie T1 - Propagation of Gibbsianness for infinite-dimensional gradient Brownian diffusions N2 - We study the (strong-)Gibbsian character on RZd of the law at time t of an infinitedimensional gradient Brownian diffusion , when the initial distribution is Gibbsian. T3 - Mathematische Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie : Preprint - 2004, 06 KW - infinite-dimensional Brownian diffusion KW - Gibbs measure KW - cluster expansion Y1 - 2004 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-51535 ER - TY - GEN A1 - Roelly, Sylvie A1 - Dereudre, David T1 - Propagation of Gibbsiannes for infinite-dimensional gradient Brownian diffusions N2 - We study the (strong-)Gibbsian character on R Z d of the law at time t of an infinitedimensional gradient Brownian diffusion , when the initial distribution is Gibbsian. KW - infinite-dimensional Brownian diffusion KW - Gibbs measure KW - cluster expansion Y1 - 2004 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-6918 ER - TY - BOOK A1 - Zass, Alexander A1 - Zagrebnov, Valentin A1 - Sukiasyan, Hayk A1 - Melkonyan, Tatev A1 - Rafler, Mathias A1 - Poghosyan, Suren A1 - Zessin, Hans A1 - Piatnitski, Andrey A1 - Zhizhina, Elena A1 - Pechersky, Eugeny A1 - Pirogov, Sergei A1 - Yambartsev, Anatoly A1 - Mazzonetto, Sara A1 - Lykov, Alexander A1 - Malyshev, Vadim A1 - Khachatryan, Linda A1 - Nahapetian, Boris A1 - Jursenas, Rytis A1 - Jansen, Sabine A1 - Tsagkarogiannis, Dimitrios A1 - Kuna, Tobias A1 - Kolesnikov, Leonid A1 - Hryniv, Ostap A1 - Wallace, Clare A1 - Houdebert, Pierre A1 - Figari, Rodolfo A1 - Teta, Alessandro A1 - Boldrighini, Carlo A1 - Frigio, Sandro A1 - Maponi, Pierluigi A1 - Pellegrinotti, Alessandro A1 - Sinai, Yakov G. ED - Roelly, Sylvie ED - Rafler, Mathias ED - Poghosyan, Suren T1 - Proceedings of the XI international conference stochastic and analytic methods in mathematical physics N2 - The XI international conference Stochastic and Analytic Methods in Mathematical Physics was held in Yerevan 2 – 7 September 2019 and was dedicated to the memory of the great mathematician Robert Adol’fovich Minlos, who passed away in January 2018. The present volume collects a large majority of the contributions presented at the conference on the following domains of contemporary interest: classical and quantum statistical physics, mathematical methods in quantum mechanics, stochastic analysis, applications of point processes in statistical mechanics. The authors are specialists from Armenia, Czech Republic, Denmark, France, Germany, Italy, Japan, Lithuania, Russia, UK and Uzbekistan. A particular aim of this volume is to offer young scientists basic material in order to inspire their future research in the wide fields presented here. T3 - Lectures in pure and applied mathematics - 6 KW - statistical mechanics KW - random point processes KW - stochastic analysis Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-459192 SN - 978-3-86956-485-2 SN - 2199-4951 SN - 2199-496X IS - 6 PB - Universitätsverlag Potsdam CY - Potsdam ER - TY - THES A1 - Nehring, Benjamin T1 - Point processes in statistical mechanics : a cluster expansion approach T1 - Punktprozesse in der Statistischen Mechanik : ein Cluster Entwicklungszugang N2 - A point process is a mechanism, which realizes randomly locally finite point measures. One of the main results of this thesis is an existence theorem for a new class of point processes with a so called signed Levy pseudo measure L, which is an extension of the class of infinitely divisible point processes. The construction approach is a combination of the classical point process theory, as developed by Kerstan, Matthes and Mecke, with the method of cluster expansions from statistical mechanics. Here the starting point is a family of signed Radon measures, which defines on the one hand the Levy pseudo measure L, and on the other hand locally the point process. The relation between L and the process is the following: this point process solves the integral cluster equation determined by L. We show that the results from the classical theory of infinitely divisible point processes carry over in a natural way to the larger class of point processes with a signed Levy pseudo measure. In this way we obtain e.g. a criterium for simplicity and a characterization through the cluster equation, interpreted as an integration by parts formula, for such point processes. Our main result in chapter 3 is a representation theorem for the factorial moment measures of the above point processes. With its help we will identify the permanental respective determinantal point processes, which belong to the classes of Boson respective Fermion processes. As a by-product we obtain a representation of the (reduced) Palm kernels of infinitely divisible point processes. In chapter 4 we see how the existence theorem enables us to construct (infinitely extended) Gibbs, quantum-Bose and polymer processes. The so called polymer processes seem to be constructed here for the first time. In the last part of this thesis we prove that the family of cluster equations has certain stability properties with respect to the transformation of its solutions. At first this will be used to show how large the class of solutions of such equations is, and secondly to establish the cluster theorem of Kerstan, Matthes and Mecke in our setting. With its help we are able to enlarge the class of Polya processes to the so called branching Polya processes. The last sections of this work are about thinning and splitting of point processes. One main result is that the classes of Boson and Fermion processes remain closed under thinning. We use the results on thinning to identify a subclass of point processes with a signed Levy pseudo measure as doubly stochastic Poisson processes. We also pose the following question: Assume you observe a realization of a thinned point process. What is the distribution of deleted points? Surprisingly, the Papangelou kernel of the thinning, besides a constant factor, is given by the intensity measure of this conditional probability, called splitting kernel. N2 - Ein Punktprozess ist ein Mechanismus, der zufällig ein lokalendliches Punktmaß realisiert. Ein Hauptresultat dieser Arbeit ist ein Existenzsatz für eine sehr große Klasse von Punktprozessen mit einem signierten Levy Pseudomaß L. Diese Klasse ist eine Erweiterung der Klasse der unendlich teilbaren Punktprozesse. Die verwendete Methode der Konstruktion ist eine Verbindung der klassischen Punktprozesstheorie, wie sie von Kerstan, Matthes und Mecke ursprünglich entwickelt wurde, mit der sogenannten Methode der Cluster-Entwicklungen aus der statistischen Mechanik. Ausgangspunkt ist eine Familie von signierten Radonmaßen. Diese definiert einerseits das Levysche Pseudomaß L; andererseits wird mit deren Hilfe der Prozess lokal definiert. Der Zusammenhang zwischen L und dem Prozess ist so, dass der Prozess die durch L bestimmte Integralgleichung (genannt Clustergleichung) löst. Wir zeigen, dass sich die Resultate aus der klassischen Theorie der unendlich teilbaren Punktprozesse auf natürliche Weise auf die neue Klasse der Punktprozesse mit signiertem Levy Pseudomaß erweitern lassen. So erhalten wir z.B. ein Kriterium für die Einfachheit und eine Charackterisierung durch die Clustergleichung für jene Punktprozesse. Unser erstes Hauptresultat in Kapitel 3 zur Analyse der konstruierten Prozesse ist ein Darstellungssatz der faktoriellen Momentenmaße. Mit dessen Hilfe werden wir die permanentischen respektive determinantischen Punktprozesse, die in die Klasse der Bosonen respektive Fermionen Prozesse fallen, identifizieren. Als ein Nebenresultat erhalten wir eine Darstellung der (reduzierten) Palm Kerne von unendlich teilbaren Punktprozessen. Im Kapitel 4 konstruieren wir mit Hilfe unseres Existenzsatzes unendlich ausgedehnte Gibbsche Prozesse sowie Quanten-Bose und Polymer Prozesse. Unseres Wissens sind letztere bisher nicht konstruiert worden. Im letzten Teil der Arbeit zeigen wir, dass die Familie der Clustergleichungen gewisse Stabilitätseigenschaften gegenüber gewissen Transformationen ihrer Lösungen aufweist. Dies wird erstens verwendet, um zu verdeutlichen, wie groß die Klasse der Punktprozesslösungen einer solchen Gleichung ist. Zweitens wird damit der Ausschauerungssatz von Kerstan, Matthes und Mecke in unserer allgemeineren Situation gezeigt. Mit seiner Hilfe können wir die Klasse der Polyaschen Prozesse auf die der von uns genannten Polya Verzweigungsprozesse vergrößern. Der letzte Abschnitt der Arbeit beschäftigt sich mit dem Ausdünnen und dem Splitten von Punktprozessen. Wir beweisen, dass die Klassen der Bosonen und Fermionen Prozesse abgeschlossen unter Ausdünnung ist. Die Ergebnisse über das Ausdünnen verwenden wir, um eine Teilklasse der Punktprozesse mit signiertem Levy Pseudomaß als doppelt stochastische Poissonsche Prozesse zu identifizieren. Wir stellen uns auch die Frage: Angenommen wir beobachten eine Realisierung einer Ausdünnung eines Punktprozesses. Wie sieht die Verteilung der gelöschten Punktkonfiguration aus? Diese bedingte Verteilung nennen wir splitting Kern, und ein überraschendes Resultat ist, dass der Papangelou-Kern der Ausdünnung, abgesehen von einem konstanten Faktor, gegeben ist durch das Intensitätsmaß des splitting Kernes. KW - Gibbssche Punktprozesse KW - determinantische Punktprozesse KW - Cluster Entwicklung KW - Levy Maß KW - unendlich teilbare Punktprozesse KW - Gibbs point processes KW - Determinantal point processes KW - Cluster expansion KW - Levy measure KW - infinitely divisible point processes Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-62682 ER - TY - INPR A1 - Dereudre, David A1 - Roelly, Sylvie T1 - Path-dependent infinite-dimensional SDE with non-regular drift : an existence result N2 - We establish in this paper the existence of weak solutions of infinite-dimensional shift invariant stochastic differential equations driven by a Brownian term. The drift function is very general, in the sense that it is supposed to be neither small or continuous, nor Markov. On the initial law we only assume that it admits a finite specific entropy. Our result strongly improves the previous ones obtained for free dynamics with a small perturbative drift. The originality of our method leads in the use of the specific entropy as a tightness tool and on a description of such stochastic differential equation as solution of a variational problem on the path space. T3 - Preprints des Instituts für Mathematik der Universität Potsdam - 3(2014)11 KW - Infinite-dimensional SDE KW - non-Markov drift KW - non-regular drift KW - variational principle KW - specific entropy Y1 - 2014 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-72084 SN - 2193-6943 VL - 3 IS - 11 PB - Universitätsverlag Potsdam CY - Potsdam ER - TY - THES A1 - Ludewig, Matthias T1 - Path integrals on manifolds with boundary and their asymptotic expansions T1 - Pfadintegrale auf Mannigfaltigkeiten mit Rand und ihre asymptotischen Entwicklungen N2 - It is "scientific folklore" coming from physical heuristics that solutions to the heat equation on a Riemannian manifold can be represented by a path integral. However, the problem with such path integrals is that they are notoriously ill-defined. One way to make them rigorous (which is often applied in physics) is finite-dimensional approximation, or time-slicing approximation: Given a fine partition of the time interval into small subintervals, one restricts the integration domain to paths that are geodesic on each subinterval of the partition. These finite-dimensional integrals are well-defined, and the (infinite-dimensional) path integral then is defined as the limit of these (suitably normalized) integrals, as the mesh of the partition tends to zero. In this thesis, we show that indeed, solutions to the heat equation on a general compact Riemannian manifold with boundary are given by such time-slicing path integrals. Here we consider the heat equation for general Laplace type operators, acting on sections of a vector bundle. We also obtain similar results for the heat kernel, although in this case, one has to restrict to metrics satisfying a certain smoothness condition at the boundary. One of the most important manipulations one would like to do with path integrals is taking their asymptotic expansions; in the case of the heat kernel, this is the short time asymptotic expansion. In order to use time-slicing approximation here, one needs the approximation to be uniform in the time parameter. We show that this is possible by giving strong error estimates. Finally, we apply these results to obtain short time asymptotic expansions of the heat kernel also in degenerate cases (i.e. at the cut locus). Furthermore, our results allow to relate the asymptotic expansion of the heat kernel to a formal asymptotic expansion of the infinite-dimensional path integral, which gives relations between geometric quantities on the manifold and on the loop space. In particular, we show that the lowest order term in the asymptotic expansion of the heat kernel is essentially given by the Fredholm determinant of the Hessian of the energy functional. We also investigate how this relates to the zeta-regularized determinant of the Jacobi operator along minimizing geodesics. N2 - Es ist "wissenschaftliche Folklore", abgeleitet von der physikalischen Anschauung, dass Lösungen der Wärmeleitungsgleichung auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit als Pfadintegrale dargestellt werden können. Das Problem mit Pfadintegralen ist allerdings, dass schon deren Definition Mathematiker vor gewisse Probleme stellt. Eine Möglichkeit, Pfadintegrale rigoros zu definieren ist endlich-dimensionale Approximation, oder time-slicing-Approximation: Für eine gegebene Unterteilung des Zeitintervals in kleine Teilintervalle schränkt man den Integrationsbereich auf diejenigen Pfade ein, die auf jedem Teilintervall geodätisch sind. Diese endlichdimensionalen Integrale sind wohldefiniert, und man definiert das (unendlichdimensionale) Pfadintegral als den Limes dieser (passend normierten) Integrale, wenn die Feinheit der Unterteilung gegen Null geht. In dieser Arbeit wird gezeigt, dass Lösungen der Wärmeleitungsgleichung auf einer allgemeinen riemannschen Mannigfaltigkeit tatsächlich durch eine solche endlichdimensionale Approximation gegeben sind. Hierbei betrachten wir die Wärmeleitungsgleichung für allgemeine Operatoren von Laplace-Typ, die auf Schnitten in Vektorbündeln wirken. Wir zeigen auch ähnliche Resultate für den Wärmekern, wobei wir uns allerdings auf Metriken einschränken müssen, die eine gewisse Glattheitsbedingung am Rand erfüllen. Eine der wichtigsten Manipulationen, die man an Pfadintegralen vornehmen möchte, ist das Bilden ihrer asymptotischen Entwicklungen; in Falle des Wärmekerns ist dies die Kurzzeitasymptotik. Um die endlich-dimensionale Approximation hier nutzen zu können, ist es nötig, dass die Approximation uniform im Zeitparameter ist. Dies kann in der Tat erreicht werden; zu diesem Zweck geben wir starke Fehlerabschätzungen an. Schließlich wenden wir diese Resultate an, um die Kurzzeitasymptotik des Wärmekerns (auch im degenerierten Fall, d.h. am Schittort) herzuleiten. Unsere Resultate machen es außerdem möglich, die asymptotische Entwicklung des Wärmekerns mit einer formalen asymptotischen Entwicklung der unendlichdimensionalen Pfadintegrale in Verbindung zu bringen. Auf diese Weise erhält man Beziehungen zwischen geometrischen Größen der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeit und solchen des Pfadraumes. Insbesondere zeigen wir, dass der Term niedrigster Ordnung in der asymptotischen Entwicklung des Wärmekerns im Wesentlichen durch die Fredholm-Determinante der Hesseschen des Energie-Funktionals gegeben ist. Weiterhin untersuchen wir die Verbindung zur zeta-regularisierten Determinante des Jakobi-Operators entlang von minimierenden Geodätischen. KW - heat equation KW - heat kernel KW - path integral KW - determinant KW - asymptotic expansion KW - Laplace expansion KW - heat asymptotics KW - Wiener measure KW - Wärmeleitungsgleichung KW - Wärmekern KW - Pfadintegrale KW - asymptotische Entwicklung KW - Determinante Y1 - 2016 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-94387 ER - TY - INPR A1 - Blanchard, Gilles A1 - Mücke, Nicole T1 - Optimal rates for regularization of statistical inverse learning problems N2 - We consider a statistical inverse learning problem, where we observe the image of a function f through a linear operator A at i.i.d. random design points X_i, superposed with an additional noise. The distribution of the design points is unknown and can be very general. We analyze simultaneously the direct (estimation of Af) and the inverse (estimation of f) learning problems. In this general framework, we obtain strong and weak minimax optimal rates of convergence (as the number of observations n grows large) for a large class of spectral regularization methods over regularity classes defined through appropriate source conditions. This improves on or completes previous results obtained in related settings. The optimality of the obtained rates is shown not only in the exponent in n but also in the explicit dependence of the constant factor in the variance of the noise and the radius of the source condition set. T3 - Preprints des Instituts für Mathematik der Universität Potsdam - 5 (2016) 5 KW - statistical inverse problem KW - minimax rate KW - kernel method Y1 - 2016 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-89782 SN - 2193-6943 VL - 5 IS - 5 PB - Universitätsverlag Potsdam CY - Potsdam ER - TY - THES A1 - Lyu, Xiaojing T1 - Operators on singular manifolds T1 - Operatoren auf singuläre Mannigfaltigkeiten N2 - We study the interplay between analysis on manifolds with singularities and complex analysis and develop new structures of operators based on the Mellin transform and tools for iterating the calculus for higher singularities. We refer to the idea of interpreting boundary value problems (BVPs) in terms of pseudo-differential operators with a principal symbolic hierarchy, taking into account that BVPs are a source of cone and edge operator algebras. The respective cone and edge pseudo-differential algebras in turn are the starting point of higher corner theories. In addition there are deep relationships between corner operators and complex analysis. This will be illustrated by the Mellin symbolic calculus. N2 - Wir studieren den Zusammenhang zwischen Analysis auf Mannigfaltigkeiten mit Singularitäten und komplexer Analysis und entwickeln neue Strukturen von Operatoren basierend auf der Mellin-Transformation und Hilfsmitteln für die Iteration des Kalküls für höhere Singularitäten. Wir beziehen uns auf die Idee von der Interpretation von Randwert-Problemen (BVPs) durch Pseudo-Differential-operatoren und Hauptsymbol-Hierarchien, unter Berüksichtigung der Tatsache, dass BVPs eine Quelle von Konus- und Kanten-Operator- algebren sind. Die betreffenden Konus- und Kanten-Pseudo-differentiellen Algebren sind wiederum der Startpunkt von höheren Eckentheorien. Zusätzlich bestehen tiefe Beziehungen zwischen Ecken-Operatoren und komplexer Analysis. Dies wird illustiert durch den Mellin-Symbol Kalkül. KW - order filtration KW - Mellin-Symbols KW - singular manifolds KW - Ordnungs-Filtrierung KW - Mellin-Symbole KW - singuläre Mannigfaltigkeiten Y1 - 2016 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-103643 ER - TY - INPR A1 - Keller, Peter A1 - Roelly, Sylvie A1 - Valleriani, Angelo T1 - On time duality for quasi-birth-and-death processes N2 - We say that (weak/strong) time duality holds for continuous time quasi-birth-and-death-processes if, starting from a fixed level, the first hitting time of the next upper level and the first hitting time of the next lower level have the same distribution. We present here a criterion for time duality in the case where transitions from one level to another have to pass through a given single state, the so-called bottleneck property. We also prove that a weaker form of reversibility called balanced under permutation is sufficient for the time duality to hold. We then discuss the general case. T3 - Preprints des Instituts für Mathematik der Universität Potsdam - 1 (2012) 4 KW - continuous time Markov chain KW - hitting times KW - time duality KW - absorbing boundary Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-56973 ER - TY - THES A1 - Becker, Christian T1 - On the Riemannian geometry of Seiberg-Witten moduli spaces T1 - Über die Riemannsche Geometrie von Seiberg-Witten-Modulräumen N2 - In this thesis, we give two constructions for Riemannian metrics on Seiberg-Witten moduli spaces. Both these constructions are naturally induced from the L2-metric on the configuration space. The construction of the so called quotient L2-metric is very similar to the one construction of an L2-metric on Yang-Mills moduli spaces as given by Groisser and Parker. To construct a Riemannian metric on the total space of the Seiberg-Witten bundle in a similar way, we define the reduced gauge group as a subgroup of the gauge group. We show, that the quotient of the premoduli space by the reduced gauge group is isomorphic as a U(1)-bundle to the quotient of the premoduli space by the based gauge group. The total space of this new representation of the Seiberg-Witten bundle carries a natural quotient L2-metric, and the bundle projection is a Riemannian submersion with respect to these metrics. We compute explicit formulae for the sectional curvature of the moduli space in terms of Green operators of the elliptic complex associated with a monopole. Further, we construct a Riemannian metric on the cobordism between moduli spaces for different perturbations. The second construction of a Riemannian metric on the moduli space uses a canonical global gauge fixing, which represents the total space of the Seiberg-Witten bundle as a finite dimensional submanifold of the configuration space. We consider the Seiberg-Witten moduli space on a simply connected Käuhler surface. We show that the moduli space (when nonempty) is a complex projective space, if the perturbation does not admit reducible monpoles, and that the moduli space consists of a single point otherwise. The Seiberg-Witten bundle can then be identified with the Hopf fibration. On the complex projective plane with a special Spin-C structure, our Riemannian metrics on the moduli space are Fubini-Study metrics. Correspondingly, the metrics on the total space of the Seiberg-Witten bundle are Berger metrics. We show that the diameter of the moduli space shrinks to 0 when the perturbation approaches the wall of reducible perturbations. Finally we show, that the quotient L2-metric on the Seiberg-Witten moduli space on a Kähler surface is a Kähler metric. N2 - In dieser Dissertationsschrift geben wir zwei Konstruktionen Riemannscher Metriken auf Seiberg-Witten-Modulräumen an. Beide Metriken werden in natürlicher Weise durch die L2-Metrik des Konfiguartionsraumes induziert. Die Konstruktion der sogenannten Quotienten-L2-Metrik entspricht der durch Groisser und Parker angegebenen Konstruktion einer L2-Metrik auf Yang-Mills-Modulräumen. Zur Konstruktion einer Quotienten-Metrik auf dem Totalraum des Seiberg-Witten-Bündels führen wir die sogenannte reduzierte Eichgruppe ein. Wir zeigen, dass der Quotient des Prämodulraumes nach der reduzierten Eichgruppe als U(1)-Bündel isomorph ist zu dem Quotienten nach der basierten Eichgruppe. Dadurch trägt der Totalraum des Seiberg-Witten Bündels eine natürliche Quotienten-L2-Metrik, bzgl. derer die Bündelprojektion eine Riemannsche Submersion ist. Wir berechnen explizite Formeln für die Schnittrümmung des Modulraumes in Ausdrücken der Green-Operatoren des zu einem Monopol gehörigen elliptischen Komplexes. Ferner konstruieren wir eine Riemannsche Metrik auf dem Kobordismus zwischen Modulräumen zu verschiedenen Störungen. Die zweite Konstruktion einer Riemannschen Metrik auf Seiberg-Witten-Modulräumen benutzt eine kanonische globale Eichfixierung, vermöge derer der Totalraum des Seiberg-Witten-Bündels als endlich-dimensionale Untermannigfaltigkeit des Konfigurationsraumes dargestellt werden kann. Wir betrachten speziell die Seiberg-Witten-Modulräume auf einfach zusammenhängenden Kähler-Mannigfaltigkeiten. Wir zeigen, dass der Seiberg-Witten-Modulraum (falls nicht-leer) im irreduziblen Fall ein komplex projektiver Raum its und im reduziblen Fall aus einem einzelnen Punkt besteht. Das Seiberg-Witten-Bündel läßt sich mit der Hopf-Faserung identifizieren. Die L2-Metrik des Modulraumes auf der komplex projektiven Fläche CP2 (mit einer speziellen Spin-C-Struktur) ist die Fubini-Study-Metrik; entsprechend sind die Metriken auf dem Totalraum Berger-Metriken. Wir zeigen, dass der Durchmesser des Modulraumes gegen 0 konvergiert, wenn die Störung sich dem reduziblen Fall nähert. Schließlich zeigen wir, dass die Quotienten-L2-Metrik auf dem Seiberg-Witten-Modulraum einer Kählerfläche eine Kähler-Metrik ist. KW - Eichtheorie KW - Seiberg-Witten-Invariante KW - Modulraum KW - Riemannsche Geometrie KW - Kähler-Mannigfaltigkeit KW - Unendlichdimensionale Mannigfaltigkeit KW - L2-Metrik KW - 4-Mannigfaltigkeiten KW - Gauge theory KW - Seiberg-Witten theory KW - Moduli spaces KW - Infinite dimensional manifolds KW - L2 metrics Y1 - 2005 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-5425 ER - TY - THES A1 - Mazzonetto, Sara T1 - On the exact simulation of (skew) Brownian diffusions with discontinuous drift T1 - Über die exakte Simulation (skew) Brownsche Diffusionen mit unstetiger Drift T1 - Simulation exacte de diffusions browniennes (biaisées) avec dérive discontinue N2 - This thesis is focused on the study and the exact simulation of two classes of real-valued Brownian diffusions: multi-skew Brownian motions with constant drift and Brownian diffusions whose drift admits a finite number of jumps. The skew Brownian motion was introduced in the sixties by Itô and McKean, who constructed it from the reflected Brownian motion, flipping its excursions from the origin with a given probability. Such a process behaves as the original one except at the point 0, which plays the role of a semipermeable barrier. More generally, a skew diffusion with several semipermeable barriers, called multi-skew diffusion, is a diffusion everywhere except when it reaches one of the barriers, where it is partially reflected with a probability depending on that particular barrier. Clearly, a multi-skew diffusion can be characterized either as solution of a stochastic differential equation involving weighted local times (these terms providing the semi-permeability) or by its infinitesimal generator as Markov process. In this thesis we first obtain a contour integral representation for the transition semigroup of the multiskew Brownian motion with constant drift, based on a fine analysis of its complex properties. Thanks to this representation we write explicitly the transition densities of the two-skew Brownian motion with constant drift as an infinite series involving, in particular, Gaussian functions and their tails. Then we propose a new useful application of a generalization of the known rejection sampling method. Recall that this basic algorithm allows to sample from a density as soon as one finds an - easy to sample - instrumental density verifying that the ratio between the goal and the instrumental densities is a bounded function. The generalized rejection sampling method allows to sample exactly from densities for which indeed only an approximation is known. The originality of the algorithm lies in the fact that one finally samples directly from the law without any approximation, except the machine's. As an application, we sample from the transition density of the two-skew Brownian motion with or without constant drift. The instrumental density is the transition density of the Brownian motion with constant drift, and we provide an useful uniform bound for the ratio of the densities. We also present numerical simulations to study the efficiency of the algorithm. The second aim of this thesis is to develop an exact simulation algorithm for a Brownian diffusion whose drift admits several jumps. In the literature, so far only the case of a continuous drift (resp. of a drift with one finite jump) was treated. The theoretical method we give allows to deal with any finite number of discontinuities. Then we focus on the case of two jumps, using the transition densities of the two-skew Brownian motion obtained before. Various examples are presented and the efficiency of our approach is discussed. N2 - In dieser Dissertation wird die exakte Simulation zweier Klassen reeller Brownscher Diffusionen untersucht: die multi-skew Brownsche Bewegung mit konstanter Drift sowie die Brownsche Diffusionen mit einer Drift mit endlich vielen Sprüngen. Die skew Brownsche Bewegung wurde in den sechzigern Jahren von Itô and McKean als eine Brownsche Bewegung eingeführt, für die die Richtung ihrer Exkursionen am Ursprung zufällig mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit ausgewürfelt wird. Solche asymmetrischen Prozesse verhalten sich im Wesentlichen wie der Originalprozess außer bei 0, das sich wie eine semipermeable Barriere verhält. Allgemeiner sind skew Diffusionsprozesse mit mehreren semipermeablen Barrieren, auch multi-skew Diffusionen genannt, Diffusionsprozesse mit Ausnahme an den Barrieren, wo sie jeweils teilweise reflektiert wird. Natürlich ist eine multi-skew Diffusion durch eine stochastische Differentialgleichung mit Lokalzeiten (diese bewirken die Semipermeabilität) oder durch ihren infinitesimalen Generator als Markov Prozess charakterisiert. In dieser Arbeit leiten wir zunächst eine Konturintegraldarstellung der Übergangshalbgruppe der multi-skew Brownschen Bewegung mit konstanter Drift durch eine feine Analyse ihrer komplexen Eigenschaften her. Dank dieser Darstellung wird eine explizite Darstellung der Übergangswahrscheinlichkeiten der zweifach-skew Brownschen Bewegung mit konstanter Drift als eine unendliche Reihe Gaußscher Dichten erhalten. Anschlieẞend wird eine nützliche Verallgemeinerung der bekannten Verwerfungsmethode vorgestellt. Dieses grundlegende Verfahren ermöglicht Realisierungen von Zufallsvariablen, sobald man eine leicht zu simulierende Zufallsvariable derart findet, dass der Quotient der Dichten beider Zufallsvariablen beschränkt ist. Die verallgmeinerte Verwerfungsmethode erlaubt eine exakte Simulation für Dichten, die nur approximiert werden können. Die Originalität unseres Verfahrens liegt nun darin, dass wir, abgesehen von der rechnerbedingten Approximation, exakt von der Verteilung ohne Approximation simulieren. In einer Anwendung simulieren wir die zweifach-skew Brownsche Bewegung mit oder ohne konstanter Drift. Die Ausgangsdichte ist dabei die der Brownschen Bewegung mit konstanter Drift, und wir geben gleichmäẞige Schranken des Quotienten der Dichten an. Dazu werden numerische Simulationen gezeigt, um die Leistungsfähigkeit des Verfahrens zu demonstrieren. Das zweite Ziel dieser Arbeit ist die Entwicklung eines exakten Simulationsverfahrens für Brownsche Diffusionen, deren Drift mehrere Sprünge hat. In der Literatur wurden bisher nur Diffusionen mit stetiger Drift bzw. mit einer Drift mit höchstens einem Sprung behandelt. Unser Verfahren erlaubt den Umgang mit jeder endlichen Anzahl von Sprüngen. Insbesondere wird der Fall zweier Sprünge behandelt, da unser Simulationsverfahren mit den bereits erhaltenen Übergangswahrscheinlichkeiten der zweifach-skew Brownschen Bewegung verwandt ist. An mehreren Beispielen demonstrieren wir die Effizienz unseres Ansatzes. KW - exact simulation KW - exakte Simulation KW - skew diffusions KW - Skew Diffusionen KW - local time KW - discontinuous drift KW - diskontinuierliche Drift Y1 - 2017 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-102399 ER - TY - INPR A1 - Gibali, Aviv A1 - Shoikhet, David A1 - Tarkhanov, Nikolai Nikolaevich T1 - On the convergence of continuous Newton method N2 - In this paper we study the convergence of continuous Newton method for solving nonlinear equations with holomorphic mappings in complex Banach spaces. Our contribution is based on a recent progress in the geometric theory of spirallike functions. We prove convergence theorems and illustrate them by numerical simulations. T3 - Preprints des Instituts für Mathematik der Universität Potsdam - 4 (2015)10 KW - Newton method KW - spirallike function Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-81537 SN - 2193-6943 VL - 4 IS - 10 PB - Universitätsverlag Potsdam CY - Potsdam ER - TY - INPR A1 - Gairing, Jan A1 - Högele, Michael A1 - Kosenkova, Tetiana A1 - Kulik, Alexei Michajlovič T1 - On the calibration of Lévy driven time series with coupling distances : an application in paleoclimate N2 - This article aims at the statistical assessment of time series with large fluctuations in short time, which are assumed to stem from a continuous process perturbed by a Lévy process exhibiting a heavy tail behavior. We propose an easily implementable procedure to estimate efficiently the statistical difference between the noisy behavior of the data and a given reference jump measure in terms of so-called coupling distances. After a short introduction to Lévy processes and coupling distances we recall basic statistical approximation results and derive rates of convergence. In the sequel the procedure is elaborated in detail in an abstract setting and eventually applied in a case study to simulated and paleoclimate data. It indicates the dominant presence of a non-stable heavy-tailed jump Lévy component for some tail index greater than 2. T3 - Preprints des Instituts für Mathematik der Universität Potsdam - 3 (2014) 2 KW - time series with heavy tails KW - index of stability KW - goodness-of-fit KW - empirical Wasserstein distance Y1 - 2014 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-69781 SN - 2193-6943 VL - 3 IS - 2 PB - Universitätsverlag Potsdam CY - Potsdam ER - TY - INPR A1 - Pfäffle, Frank A1 - Stephan, Christoph A. T1 - On gravity, torsion and the spectral action principle N2 - We consider compact Riemannian spin manifolds without boundary equipped with orthogonal connections. We investigate the induced Dirac operators and the associated commutative spectral triples. In case of dimension four and totally anti-symmetric torsion we compute the Chamseddine-Connes spectral action, deduce the equations of motions and discuss critical points. T3 - Preprints des Instituts für Mathematik der Universität Potsdam - 1(2012)16 Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-59989 SN - 2193-6943 ER - TY - GEN A1 - Roelly, Sylvie A1 - Dereudre, David T1 - On Gibbsianness of infinite-dimensional diffusions N2 - The authors analyse different Gibbsian properties of interactive Brownian diffusions X indexed by the d-dimensional lattice. In the first part of the paper, these processes are characterized as Gibbs states on path spaces. In the second part of the paper, they study the Gibbsian character on R^{Z^d} of the law at time t of the infinite-dimensional diffusion X(t), when the initial law is Gibbsian. AMS Classifications: 60G15 , 60G60 , 60H10 , 60J60 KW - infinite-dimensional Brownian diffusion KW - Gibbs field KW - cluster expansion Y1 - 2004 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-6692 ER - TY - INPR A1 - Shlapunov, Alexander A1 - Tarkhanov, Nikolai Nikolaevich T1 - On completeness of root functions of Sturm-Liouville problems with discontinuous boundary operators N2 - We consider a Sturm-Liouville boundary value problem in a bounded domain D of R^n. By this is meant that the differential equation is given by a second order elliptic operator of divergent form in D and the boundary conditions are of Robin type on bD. The first order term of the boundary operator is the oblique derivative whose coefficients bear discontinuities of the first kind. Applying the method of weak perturbation of compact self-adjoint operators and the method of rays of minimal growth, we prove the completeness of root functions related to the boundary value problem in Lebesgue and Sobolev spaces of various types. T3 - Preprints des Instituts für Mathematik der Universität Potsdam - 1(2012)11 KW - Sturm-Liouville problems KW - discontinuous Robin condition KW - root functions KW - Lipschitz domains Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-57759 SN - 2193-6943 ER - TY - JOUR A1 - Mazzonetto, Sara T1 - On an approximation of 2-D stochastic Navier-Stokes equations JF - Lectures in pure and applied mathematics KW - random point processes KW - statistical mechanics KW - stochastic analysis Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-472053 SN - 978-3-86956-485-2 SN - 2199-4951 SN - 2199-496X IS - 6 SP - 87 EP - 96 PB - Universitätsverlag Potsdam CY - Potsdam ER - TY - JOUR A1 - Houdebert, Pierre T1 - Numerical study for the phase transition of the area-interaction model JF - Lectures in pure and applied mathematics KW - random point processes KW - statistical mechanics KW - stochastic analysis Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-472177 SN - 978-3-86956-485-2 SN - 2199-4951 SN - 2199-496X IS - 6 SP - 165 EP - 174 PB - Universitätsverlag Potsdam CY - Potsdam ER - TY - THES A1 - Gehring, Penelope T1 - Non-local boundary conditions for the spin Dirac operator on spacetimes with timelike boundary T1 - Nicht-lokale Randbedingungen für den spinorialen Dirac-Operator auf Raumzeiten mit zeitartigen Rand N2 - Non-local boundary conditions – for example the Atiyah–Patodi–Singer (APS) conditions – for Dirac operators on Riemannian manifolds are rather well-understood, while not much is known for such operators on Lorentzian manifolds. Recently, Bär and Strohmaier [15] and Drago, Große, and Murro [27] introduced APS-like conditions for the spin Dirac operator on Lorentzian manifolds with spacelike and timelike boundary, respectively. While Bär and Strohmaier [15] showed the Fredholmness of the Dirac operator with these boundary conditions, Drago, Große, and Murro [27] proved the well-posedness of the corresponding initial boundary value problem under certain geometric assumptions. In this thesis, we will follow the footsteps of the latter authors and discuss whether the APS-like conditions for Dirac operators on Lorentzian manifolds with timelike boundary can be replaced by more general conditions such that the associated initial boundary value problems are still wellposed. We consider boundary conditions that are local in time and non-local in the spatial directions. More precisely, we use the spacetime foliation arising from the Cauchy temporal function and split the Dirac operator along this foliation. This gives rise to a family of elliptic operators each acting on spinors of the spin bundle over the corresponding timeslice. The theory of elliptic operators then ensures that we can find families of non-local boundary conditions with respect to this family of operators. Proceeding, we use such a family of boundary conditions to define a Lorentzian boundary condition on the whole timelike boundary. By analyzing the properties of the Lorentzian boundary conditions, we then find sufficient conditions on the family of non-local boundary conditions that lead to the well-posedness of the corresponding Cauchy problems. The well-posedness itself will then be proven by using classical tools including energy estimates and approximation by solutions of the regularized problems. Moreover, we use this theory to construct explicit boundary conditions for the Lorentzian Dirac operator. More precisely, we will discuss two examples of boundary conditions – the analogue of the Atiyah–Patodi–Singer and the chirality conditions, respectively, in our setting. For doing this, we will have a closer look at the theory of non-local boundary conditions for elliptic operators and analyze the requirements on the family of non-local boundary conditions for these specific examples. N2 - Über nicht-lokale Randbedingungen – zum Beispiel dieAtiyah–Patodi–Singer (APS)-Bedingungen – für Dirac Operatoren auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten ist recht viel bekannt, während für die hyperbolischen Dirac Operatoren auf Lorentz-Mannigfaltigkeiten dies noch nicht der Fall ist. Kürzlich haben Bär und Strohmaier [15] und Drago, Große und Murro [27] APS-ähnliche Bedingungen für den Spin Dirac Operator auf Lorentz-Mannigfaltigkeiten mit raumartigen bzw. zeitartigen Rand eingeführt. Während Bär und Strohmaier [15] zeigten, dass der Dirac Operator mit diesen Randbedingungen Fredholm ist, bewiesen Drago, Große und Murro [27] die Wohlgestelltheit des entsprechenden Anfangsrandwertproblems unter bestimmten geometrischen Annahmen. In dieser Arbeit werden wir in die Fußstapfen der letztgenannten Autoren treten und diskutieren, ob die APS-ähnlichen Bedingungen für Dirac Operatoren auf Lorentz-Mannigfaltigkeiten mit zeitartigen Rand durch allgemeinere Bedingungen ersetzt werden können, sodass die zugehörigen Anfangsrandwertprobleme immer noch wohlgestellt sind. Wir betrachten Randbedingungen, die in der Zeit lokal und in den Raumrichtungen nicht-lokal sind. Genauer gesagt verwenden wir die Raumzeitblätterung, die sich aus der Cauchy Zeitfunktion ergibt, und spalten den Dirac Operator entlang dieser Foliation auf. Daraus ergibt sich eine Familie elliptischer Operatoren, die jeweils auf Spinoren des Spinbündels über den entsprechenden Zeitschnitt wirken. Die Theorie der elliptischen Operatoren stellt dann sicher, dass wir Familien von nichtlokalen Randbedingungen bezüglich dieser Familie von Operatoren finden können. Im weiteren Verlauf verwenden wir solche Familien von Randbedingungen, um eine Lorentzsche Randbedingung auf dem gesamten zeitartigen Rand zu definieren. Durch das Analysieren der Lorentzschen Randbedingungen finden wir dann hinreichende Bedingungen für die Familie der nicht-lokalen Randbedingungen, die zur Wohlgestelltheit der entsprechenden Cauchy-Probleme führen. Die Wohlgestelltheit selbst wird dann mit Hilfe klassischer Methoden bewiesen, einschließlich Energieabschätzungen und Annäherung durch Lösungen der regularisierten Probleme. Außerdem verwenden wir diese Theorie, um explizite Randbedingungen für den Lorentzschen Dirac Operator zu konstruieren. Genauer gesagt werden wir zwei Beispiele für Randbedingungen diskutieren - das Analogon der Atiyah-Patodi-Singer- bzw. Chiralitäts-Bedingungen für unseren Fall. Dazu werden wir uns die Theorie der nicht-lokalen Randbedingungen für elliptische Operatoren genauer ansehen und die Anforderungen an die Familie der nicht-lokalen Randbedingungen für diese Beispiele analysieren. KW - Dirac operator KW - Diracoperator KW - spacetimes with timelike boundary KW - Raumzeiten mit zeitartigen Rand KW - boundary conditions KW - Randbedingungen KW - initial boundary value problem KW - Anfangsrandwertproblem Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-577755 ER - TY - THES A1 - Etzold, Heiko T1 - Neue Zugänge zum Winkelbegriff T1 - New Ways to the Angle Concept BT - Fachdidaktische Entwicklungsforschung zur Ausbildung des Winkelfeldbegriffs bei Schülerinnen und Schülern der vierten Klassenstufe N2 - Die Vielfältigkeit des Winkelbegriffs ist gleichermaßen spannend wie herausfordernd in Hinblick auf seine Zugänge im Mathematikunterricht der Schule. Ausgehend von verschiedenen Vorstellungen zum Winkelbegriff wird in dieser Arbeit ein Lehrgang zur Vermittlung des Winkelbegriffs entwickelt und letztlich in konkrete Umsetzungen für den Schulunterricht überführt. Dabei erfolgt zunächst eine stoffdidaktische Auseinandersetzung mit dem Winkelbegriff, die von einer informationstheoretischen Winkeldefinition begleitet wird. In dieser wird eine Definition für den Winkelbegriff unter der Fragestellung entwickelt, welche Informationen man über einen Winkel benötigt, um ihn beschreiben zu können. So können die in der fachdidaktischen Literatur auftretenden Winkelvorstellungen aus fachmathematischer Perspektive erneut abgeleitet und validiert werden. Parallel dazu wird ein Verfahren beschrieben, wie Winkel – auch unter dynamischen Aspekten – informationstechnisch verarbeitet werden können, so dass Schlussfolgerungen aus der informationstheoretischen Winkeldefinition beispielsweise in dynamischen Geometriesystemen zur Verfügung stehen. Unter dem Gesichtspunkt, wie eine Abstraktion des Winkelbegriffs im Mathematikunterricht vonstatten gehen kann, werden die Grundvorstellungsidee sowie die Lehrstrategie des Aufsteigens vom Abstrakten zum Konkreten miteinander in Beziehung gesetzt. Aus der Verknüpfung der beiden Theorien wird ein grundsätzlicher Weg abgeleitet, wie im Rahmen der Lehrstrategie eine Ausgangsabstraktion zu einzelnen Winkelaspekten aufgebaut werden kann, was die Generierung von Grundvorstellungen zu den Bestandteilen des jeweiligen Winkelaspekts und zum Operieren mit diesen Begriffsbestandteilen ermöglichen soll. Hierfür wird die Lehrstrategie angepasst, um insbesondere den Übergang von Winkelsituationen zu Winkelkontexten zu realisieren. Explizit für den Aspekt des Winkelfeldes werden, anhand der Untersuchung der Sichtfelder von Tieren, Lernhandlungen und Forderungen an ein Lernmodell beschrieben, die Schülerinnen und Schüler bei der Begriffsaneignung unterstützen. Die Tätigkeitstheorie, der die genannte Lehrstrategie zuzuordnen ist, zieht sich als roter Faden durch die weitere Arbeit, wenn nun theoriebasiert Designprinzipien generiert werden, die in die Entwicklung einer interaktiven Lernumgebung münden. Hierzu wird u. a. das Modell der Artifact-Centric Activity Theory genutzt, das das Beziehungsgefüge aus Schülerinnen und Schülern, dem mathematischen Gegenstand und einer zu entwickelnden App als vermittelndes Medium beschreibt, wobei der Einsatz der App im Unterrichtskontext sowie deren regelgeleitete Entwicklung Bestandteil des Modells sind. Gemäß dem Ansatz der Fachdidaktischen Entwicklungsforschung wird die Lernumgebung anschließend in mehreren Zyklen erprobt, evaluiert und überarbeitet. Dabei wird ein qualitatives Setting angewandt, das sich der Semiotischen Vermittlung bedient und untersucht, inwiefern sich die Qualität der von den Schülerinnen und Schülern gezeigten Lernhandlungen durch die Designprinzipien und deren Umsetzung erklären lässt. Am Ende der Arbeit stehen eine finale Version der Designprinzipien und eine sich daraus ergebende Lernumgebung zur Einführung des Winkelfeldbegriffs in der vierten Klassenstufe. N2 - The diversity of the concept »angle« can be both exciting and challenging when looking at how to access it in mathematics education in schools. In this thesis, based on different ideas of the angle concept, a training course for conveying the concept will be developed and translated into concrete implementations for school teaching. First, there will be a didactical subject matter discussion of the angle concept, which will be accompanied by an angle definition from information theory. Through the didactical subject matter discussion, a definition for the angle concept will be developed which is guided by the question of what kind of information about an angle is needed in order to describe it. This way, the diverse ideas of the angle concept discussed in mathematics didactics literature can be once again derived and validated from a mathematical point of view. In parallel, a method will be described of how an angle - even one with dynamic aspects - can be handled in terms of information technology, so that conclusions can be drawn from a definition from information theory for dynamic geometry environments for instance. Considering how abstraction of the angle concept can take place in mathematics education, the Idea of Grundvorstellungen will then be connected to the structural principle of the Ascent From the Abstract to the Concrete. Based on the connection of these two theories, a training course will be developed that aims to construct an initial abstract of certain aspects of the angle concept which, in turn, aims at enabling the generating of Grundvorstellungen towards components of the angle concept and at operating with it. For this, the structural principle will be adapted – specifically to realize the transition from angle situations to angle contexts. For one aspect, the angular field, there will be a description of learning actions and demands on a learning model that supports students’ concept acquisition. The angular field, in this step, will be represented by vision fields of animals. Activity theory, on which the structural principle is based, depicts the recurring theme throughout this thesis when generating design principles that lead towards the development of an interactive learning environment. For this, the Artifact-Centric Activity Theory model will be used in order to describe connections between students, the mathematical topic and the to-be-created app. The use of the app in classroom situations, as well as its rule-governed development, are components of the model. Following a Design-Based Research approach, this learning environment will then go through several cycles of test, evaluation and revision. For this purpose, a qualitative setting will be applied using Semiotic Mediation. It will be used to investigate how far design principles, as well as their implementation, impacts on the quality of student’s learning actions. As an outcome of this thesis, a final version of the design principles and an ensuing learning environment that introduces the concept of »angular field« in grade four teaching will be created. KW - Winkel KW - Tätigkeitstheorie KW - Digitale Werkzeuge KW - Digital Tools KW - Activity Theory KW - Angle Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-504187 ER - TY - INPR A1 - Mera, Azal A1 - Shlapunov, Alexander A1 - Tarkhanov, Nikolai Nikolaevich T1 - Navier-Stokes equations for elliptic complexes N2 - We continue our study of invariant forms of the classical equations of mathematical physics, such as the Maxwell equations or the Lamé system, on manifold with boundary. To this end we interpret them in terms of the de Rham complex at a certain step. On using the structure of the complex we get an insight to predict a degeneracy deeply encoded in the equations. In the present paper we develop an invariant approach to the classical Navier-Stokes equations. T3 - Preprints des Instituts für Mathematik der Universität Potsdam - 4 (2015)12 KW - Navier-Stokes equations KW - classical solution Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-85592 SN - 2193-6943 VL - 4 IS - 12 PB - Universitätsverlag Potsdam CY - Potsdam ER - TY - INPR A1 - Pornsawad, Pornsarp A1 - Böckmann, Christine T1 - Modified iterative Runge-Kutta-type methods for nonlinear ill-posed problems N2 - This work is devoted to the convergence analysis of a modified Runge-Kutta-type iterative regularization method for solving nonlinear ill-posed problems under a priori and a posteriori stopping rules. The convergence rate results of the proposed method can be obtained under Hölder-type source-wise condition if the Fréchet derivative is properly scaled and locally Lipschitz continuous. Numerical results are achieved by using the Levenberg-Marquardt and Radau methods. T3 - Preprints des Instituts für Mathematik der Universität Potsdam - 3 (2014) 7 KW - ill-posed problems KW - Runge-Kutta methods KW - regularization methods KW - Hölder-type source condition KW - stopping rules Y1 - 2014 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-70834 SN - 2193-6943 VL - 3 IS - 7 PB - Universitätsverlag Potsdam CY - Potsdam ER - TY - THES A1 - Wichitsa-nguan, Korakot T1 - Modifications and extensions of the logistic regression and Cox model T1 - Modifikationen und Erweiterungen des logistischen Regressionsmodells und des Cox-Modells N2 - In many statistical applications, the aim is to model the relationship between covariates and some outcomes. A choice of the appropriate model depends on the outcome and the research objectives, such as linear models for continuous outcomes, logistic models for binary outcomes and the Cox model for time-to-event data. In epidemiological, medical, biological, societal and economic studies, the logistic regression is widely used to describe the relationship between a response variable as binary outcome and explanatory variables as a set of covariates. However, epidemiologic cohort studies are quite expensive regarding data management since following up a large number of individuals takes long time. Therefore, the case-cohort design is applied to reduce cost and time for data collection. The case-cohort sampling collects a small random sample from the entire cohort, which is called subcohort. The advantage of this design is that the covariate and follow-up data are recorded only on the subcohort and all cases (all members of the cohort who develop the event of interest during the follow-up process). In this thesis, we investigate the estimation in the logistic model for case-cohort design. First, a model with a binary response and a binary covariate is considered. The maximum likelihood estimator (MLE) is described and its asymptotic properties are established. An estimator for the asymptotic variance of the estimator based on the maximum likelihood approach is proposed; this estimator differs slightly from the estimator introduced by Prentice (1986). Simulation results for several proportions of the subcohort show that the proposed estimator gives lower empirical bias and empirical variance than Prentice's estimator. Then the MLE in the logistic regression with discrete covariate under case-cohort design is studied. Here the approach of the binary covariate model is extended. Proving asymptotic normality of estimators, standard errors for the estimators can be derived. The simulation study demonstrates the estimation procedure of the logistic regression model with a one-dimensional discrete covariate. Simulation results for several proportions of the subcohort and different choices of the underlying parameters indicate that the estimator developed here performs reasonably well. Moreover, the comparison between theoretical values and simulation results of the asymptotic variance of estimator is presented. Clearly, the logistic regression is sufficient for the binary outcome refers to be available for all subjects and for a fixed time interval. Nevertheless, in practice, the observations in clinical trials are frequently collected for different time periods and subjects may drop out or relapse from other causes during follow-up. Hence, the logistic regression is not appropriate for incomplete follow-up data; for example, an individual drops out of the study before the end of data collection or an individual has not occurred the event of interest for the duration of the study. These observations are called censored observations. The survival analysis is necessary to solve these problems. Moreover, the time to the occurence of the event of interest is taken into account. The Cox model has been widely used in survival analysis, which can effectively handle the censored data. Cox (1972) proposed the model which is focused on the hazard function. The Cox model is assumed to be λ(t|x) = λ0(t) exp(β^Tx) where λ0(t) is an unspecified baseline hazard at time t and X is the vector of covariates, β is a p-dimensional vector of coefficient. In this thesis, the Cox model is considered under the view point of experimental design. The estimability of the parameter β0 in the Cox model, where β0 denotes the true value of β, and the choice of optimal covariates are investigated. We give new representations of the observed information matrix In(β) and extend results for the Cox model of Andersen and Gill (1982). In this way conditions for the estimability of β0 are formulated. Under some regularity conditions, ∑ is the inverse of the asymptotic variance matrix of the MPLE of β0 in the Cox model and then some properties of the asymptotic variance matrix of the MPLE are highlighted. Based on the results of asymptotic estimability, the calculation of local optimal covariates is considered and shown in examples. In a sensitivity analysis, the efficiency of given covariates is calculated. For neighborhoods of the exponential models, the efficiencies have then been found. It is appeared that for fixed parameters β0, the efficiencies do not change very much for different baseline hazard functions. Some proposals for applicable optimal covariates and a calculation procedure for finding optimal covariates are discussed. Furthermore, the extension of the Cox model where time-dependent coefficient are allowed, is investigated. In this situation, the maximum local partial likelihood estimator for estimating the coefficient function β(·) is described. Based on this estimator, we formulate a new test procedure for testing, whether a one-dimensional coefficient function β(·) has a prespecified parametric form, say β(·; ϑ). The score function derived from the local constant partial likelihood function at d distinct grid points is considered. It is shown that the distribution of the properly standardized quadratic form of this d-dimensional vector under the null hypothesis tends to a Chi-squared distribution. Moreover, the limit statement remains true when replacing the unknown ϑ0 by the MPLE in the hypothetical model and an asymptotic α-test is given by the quantiles or p-values of the limiting Chi-squared distribution. Finally, we propose a bootstrap version of this test. The bootstrap test is only defined for the special case of testing whether the coefficient function is constant. A simulation study illustrates the behavior of the bootstrap test under the null hypothesis and a special alternative. It gives quite good results for the chosen underlying model. References P. K. Andersen and R. D. Gill. Cox's regression model for counting processes: a large samplestudy. Ann. Statist., 10(4):1100{1120, 1982. D. R. Cox. Regression models and life-tables. J. Roy. Statist. Soc. Ser. B, 34:187{220, 1972. R. L. Prentice. A case-cohort design for epidemiologic cohort studies and disease prevention trials. Biometrika, 73(1):1{11, 1986. N2 - In vielen statistischen Anwendungen besteht die Aufgabe darin, die Beziehung zwischen Einflussgrößen und einer Zielgröße zu modellieren. Die Wahl eines geeigneten Modells hängt vom Typ der Zielgröße und vom Ziel der Untersuchung ab - während lineare Modelle für die Beschreibung des Zusammenhanges stetiger Outputs und Einflussgrößen genutzt werden, dienen logistische Regressionsmodelle zur Modellierung binärer Zielgrößen und das Cox-Modell zur Modellierung von Lebendauer-Daten. In epidemiologischen, medizinischen, biologischen, sozialen und ökonomischen Studien wird oftmals die logistische Regression angewendet, um den Zusammenhang zwischen einer binären Zielgröße und den erklärenden Variablen, den Kovariaten, zu modellieren. In epidemiologischen Studien muss häufig eine große Anzahl von Individuen für eine lange Zeit beobachtet werden. Um hierbei Kosten zu reduzieren, wird ein "Case-Cohort-Design" angewendet. Hierbei werden die Einflussgrößen nur für die Individuen erfasst, für die das interessierende Ereignis eintritt, und für eine zufällig gewählte kleine Teilmenge von Individuen, die Subkohorte. In der vorliegenden Arbeit wird das Schätzen im logistischen Regressionsmodell unter Case-Cohort-Design betrachtet. Für den Fall, dass auch die Kovariate binär ist, wurde bereits von Prentice (1986) die asymptotische Normalität des Maximum-Likelihood-Schätzers für den Logarithmus des "odds ratio", einen Parameter, der den Effekt der Kovariate charakterisiert, angegeben. In dieser Arbeit wird über einen Maximum-Likelihood-Zugang ein Schätzer für die Varianz der Grenzverteilung hergeleitet, für den durch empirische Untersuchungen gezeigt wird, dass er dem von Prentice überlegen ist. Ausgehend von dem binärem Kovariate-Modell werden Maximum-Likelihood-Schätzer für logistische Regressionsmodelle mit diskreten Kovariaten unter Case-Cohort-Design hergeleitet. Die asymptotische Normalität wird gezeigt; darauf aufbauend können Formeln für die Standardfehler angegeben werden. Simulationsstudien ergänzen diesen Abschnitt. Sie zeigen den Einfluss des Umfanges der Subkohorte auf die Varianz der Schätzer. Logistische Regression ist geeignet, wenn man das interessierende Ereignis für alle Individuen beobachten kann und wenn man ein festes Zeitintervall betrachtet. Will man die Zeit bis zum Eintreten eines Ereignisses bei der Untersuchung der Wirkung der Kovariate berücksichtigen, so sind Lebensdauermodelle angemessen. Hierbei können auch zensierte Daten behandelt werden. Ein sehr häufig angewendetes Regressionsmodell ist das von Cox (1972) vorgeschlagene, bei dem die Hazardrate durch λ(t|x) = λ0(t) exp(β^Tx) definiert ist. Hierbei ist λ0(t) eine unspezifizierte Baseline-Hazardrate und X ist ein Kovariat-Vektor, β ist ein p-dimensionaler Koeffizientenvektor. Nachdem ein Überblick über das Schätzen und Testen im Cox-Modell und seinen Erweiterungen gegeben wird, werden Aussagen zur Schätzbarkeit des Parameters β durch die "partiallikelihood"- Methode hergeleitet. Grundlage hierzu sind neue Darstellungen der beobachteten Fisher-Information, die die Ergebnisse von Andersen and Gill (1982) erweitern. Unter Regularitätsbedingungen ist der Schätzer asymptotisch normal; die Inverse der Grenzmatrix der Fisher-Information ist die Varianzmatrix der Grenzverteilung. Bedingungen für die Nichtsingularität dieser Grenzmatrix führen zum Begriff der asymptotischen Schätzbarkeit, der in der vorliegenden Arbeit ausführlich untersucht wird. Darüber hinaus ist diese Matrix Grundlage für die Herleitung lokal optimaler Kovariate. In einer Sensitivitätsanalyse wird die Effizienz gewählter Kovariate berechnet. Die Berechnungen zeigen, dass die Baseline-Verteilung nur wenig Einfluss auf die Effizienz hat. Entscheidend ist die Wahl der Kovariate. Es werden einige Vorschläge für anwendbare optimale Kovariate und Berechnungsverfahren für das Auffinden optimaler Kovariate diskutiert. Eine Erweiterung des Cox-Modells besteht darin, zeitabhängige Koeffizienten zuzulassen. Da diese Koeffizientenfunktionen nicht näher spezifiziert sind, werden sie nichtparametrisch geschätzt. Eine mögliche Methode ist die "local-linear-partial-likelihood"-Methode, deren Eigenschaften beispielsweise in der Arbeit von Cai and Sun (2003) untersucht wurden. In der vorliegenden Arbeit werden Simulationen zu dieser Methode durchgeführt. Hauptaspekt ist das Testen der Koeffizientenfunktion. Getestet wird, ob diese Funktion eine bestimmte parametrische Form besitzt. Betrachtet wird der Score-Vektor, der von der "localconstant-partial-likelihood"-Funktion abgeleitet wird. Ausgehend von der asymptotischen Normalität dieses Vektors an verschiedenen Gitterpunkten kann gezeigt werden, dass die Verteilung der geeignet standardisierten quadratischen Form unter der Nullhypothese gegen eine Chi-Quadrat-Verteilung konvergiert. Die Eigenschaften des auf dieser Grenzverteilungsaussage aufbauenden Tests hängen nicht nur vom Stichprobenumfang, sondern auch vom verwendeten Glättungsparameter ab. Deshalb ist es sinnvoll, auch einen Bootstrap-Test zu betrachten. In der vorliegenden Arbeit wird ein Bootstrap-Test zum Testen der Hypothese, dass die Koeffizienten-Funktion konstant ist, d.h. dass das klassische Cox-Modell vorliegt, vorgeschlagen. Der Algorithmus wird angegeben. Simulationen zum Verhalten dieses Tests unter der Nullhypothese und einer speziellen Alternative werden durchgeführt. Literatur P. K. Andersen and R. D. Gill. Cox's regression model for counting processes: a large sample study. Ann. Statist., 10(4):1100{1120, 1982. Z. Cai and Y. Sun. Local linear estimation for time-dependent coefficients in Cox's regression models. Scand. J. Statist., 30(1):93-111, 2003. D. R. Cox. Regression models and life-tables. J. Roy. Statist. Soc. Ser. B, 34:187-220, 1972. R. L. Prentice. A case-cohort design for epidemiologic cohort studies and disease prevention trials. Biometrika, 73(1):1-11, 1986. KW - survival analysis KW - Cox model KW - logistic regression analysis KW - logistische Regression KW - Case-Cohort-Design KW - Cox-Modell Y1 - 2016 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-90033 ER - TY - BOOK A1 - Jankowski, £ukasz T1 - Modelling and simulation of light propagation in non-aged and aged step-index polymer optical fibres. - [überarb. Diss.] N2 - Kunststofflichtwellenleiter (POFs) stellen ein verhältnismäßig neues Medium zur optische Datenkommunikation über kurzen Strecken dar. Während ihrer Einsatzdauer unterliegen POFs unterschiedlichen Arten von Umweltbeanspruchungen, hauptsächlich durch hohe Temperatur, hohe Feuchtigkeit und mechanischen Belastungen. Zahlreiche experimentelle Forschungen beschäftigten sich mit der standardisierten Prüfung der Zuverlässigkeit von im Handel erhältlichen Fasern. Jedoch gab es bisher wenig Erfolg bei der Bemühung, zwei grundlegende optische Erscheinungen, Absorption und Streuung, die die Lichtausbreitung in Fasern stark beeinflussen, zu verstehen und praktisch zu modellieren: Diese beiden Effekte beschreiben nicht nur die Qualität neuer Fasern, sondern sie werden auch stark durch die Alterungsprozess beeinflusst. Der Hauptzweck dieser Doktorarbeit war es, ein praktisch verwendbares und theoretisch gut fundiertes Modell der Lichtausbreitung in nicht gealterten und gealterten POFs zu entwickeln und es durch optische Experimente zu verifizieren. Dabei wurden anwendungsorientierte Aspekte mit theoretischer POF-Modellierung kombiniert. Die Arbeit enthält die erste bekannte Anwendung der Wellenanalyse zur Untersuchung der winkelabhängigen Eigenschaften der Streuung in Lichtwellenleitern. Für die praktischen Experimente wurden mehrere POF-Proben unterschiedlicher Hersteller künstlich gealtert, indem sie bis 4500 Stunden bei 100 °C gelagert wurden (ohne Feuchtekontrolle). Die Parameter der jeweiligen Simulationen wurden mittels einer systematischen Optimierung an die gemessen optischen Eigenschaften der gealterten Proben angeglichen. Die Resultate deuten an, dass der Übertragungsverlust der gealterten Fasern in den ersten Tagen und Wochen der Alterung am stärksten durch eine wesentliche physikalische Verschlechterung der Kern-Mantel-Grenzfläche verursacht wird. Chemische Effekte des Alterungsprozesses scheinen im Faserkernmaterial zuerst nach einigen Monaten aufzutreten. N2 - This thesis discusses theoretical and practical aspects of modelling of light propagation in non-aged and aged step-index polymer optical fibres (POFs). Special attention has been paid in describing optical characteristics of non-ideal fibres, scattering and attenuation, and in combining application-oriented and theoretical approaches. The precedence has been given to practical issues, but much effort has been also spent on the theoretical analysis of basic mechanisms governing light propagation in cylindrical waveguides.As a result a practically usable general POF model based on the raytracing approach has been developed and implemented. A systematic numerical optimisation of its parameters has been performed to obtain the best fit between simulated and measured optical characteristics of numerous non-aged and aged fibre samples. The model was verified by providing good agreement, especially for the non-aged fibres. The relations found between aging time and optimal values of model parameters contribute to a better understanding of the aging mechanisms of POFs. T2 - Modelling and simulation of light propagation in non-aged and aged step-index polymer optical fibres KW - Modellierung KW - Lichtwellenleiter KW - Kunststofflichtwellenleiter KW - optische Fasern KW - POF KW - Streuung KW - Temperatur KW - Alterung KW - modelling optical fibres waveguides pof scattering temperature aging ageing Y1 - 2004 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-0001659 ER - TY - THES A1 - Jankowski, £ukasz T1 - Modelling and simulation of light propagation in non-aged and aged step-index polymer optical fibres N2 - Kunststofflichtwellenleiter (POFs) stellen ein verhältnismäßig neues Medium zur optische Datenkommunikation über kurzen Strecken dar. Während ihrer Einsatzdauer unterliegen POFs unterschiedlichen Arten von Umweltbeanspruchungen, hauptsächlich durch hohe Temperatur, hohe Feuchtigkeit und mechanischen Belastungen. Zahlreiche experimentelle Forschungen beschäftigten sich mit der standardisierten Prüfung der Zuverlässigkeit von im Handel erhältlichen Fasern. Jedoch gab es bisher wenig Erfolg bei der Bemühung, zwei grundlegende optische Erscheinungen, Absorption und Streuung, die die Lichtausbreitung in Fasern stark beeinflussen, zu verstehen und praktisch zu modellieren: Diese beiden Effekte beschreiben nicht nur die Qualität neuer Fasern, sondern sie werden auch stark durch die Alterungsprozess beeinflusst. Der Hauptzweck dieser Doktorarbeit war es, ein praktisch verwendbares und theoretisch gut fundiertes Modell der Lichtausbreitung in nicht gealterten und gealterten POFs zu entwickeln und es durch optische Experimente zu verifizieren. Dabei wurden anwendungsorientierte Aspekte mit theoretischer POF-Modellierung kombiniert. Die Arbeit enthält die erste bekannte Anwendung der Wellenanalyse zur Untersuchung der winkelabhängigen Eigenschaften der Streuung in Lichtwellenleitern. Für die praktischen Experimente wurden mehrere POF-Proben unterschiedlicher Hersteller künstlich gealtert, indem sie bis 4500 Stunden bei 100 °C gelagert wurden (ohne Feuchtekontrolle). Die Parameter der jeweiligen Simulationen wurden mittels einer systematischen Optimierung an die gemessen optischen Eigenschaften der gealterten Proben angeglichen. Die Resultate deuten an, dass der Übertragungsverlust der gealterten Fasern in den ersten Tagen und Wochen der Alterung am stärksten durch eine wesentliche physikalische Verschlechterung der Kern-Mantel-Grenzfläche verursacht wird. Chemische Effekte des Alterungsprozesses scheinen im Faserkernmaterial zuerst nach einigen Monaten aufzutreten. N2 - This thesis discusses theoretical and practical aspects of modelling of light propagation in non-aged and aged step-index polymer optical fibres (POFs). Special attention has been paid in describing optical characteristics of non-ideal fibres, scattering and attenuation, and in combining application-oriented and theoretical approaches. The precedence has been given to practical issues, but much effort has been also spent on the theoretical analysis of basic mechanisms governing light propagation in cylindrical waveguides. As a result a practically usable general POF model based on the raytracing approach has been developed and implemented. A systematic numerical optimisation of its parameters has been performed to obtain the best fit between simulated and measured optical characteristics of numerous non-aged and aged fibre samples. The model was verified by providing good agreement, especially for the non-aged fibres. The relations found between aging time and optimal values of model parameters contribute to a better understanding of the aging mechanisms of POFs. T2 - Modelling and simulation of light propagation in non-aged and aged step-index polymer optical fibres KW - Modellierung KW - Lichtwellenleiter KW - Kunststofflichtwellenleiter KW - optische Fasern KW - POF KW - Streuung KW - Temperatur KW - Alterung KW - modelling optical fibres waveguides pof scattering temperature aging ageing Y1 - 2004 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-0001649 ER - TY - INPR A1 - Runge, Antonia T1 - Modellierung der Lebensdauer von Systemen N2 - Aus dem Inhalt: Einleitung und Zusammenfassung 1 Grundlagen der Lebensdaueranalyse 2 Systemzuverlässigkeit 3 Zensierung 4 Schätzen in nichtparametrischen Modellen 5 Schätzen in parametrischen Modellen 6 Konfidenzintervalle für Parameterschätzungen 7 Verteilung einer gemischten Population 8 Kurze Einführung: Lebensdauer und Belastung 9 Ausblick A R-Quellcode B Symbole und Abkürzungen T3 - Mathematische Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie : Preprint - 2010, 08 Y1 - 2010 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-51674 ER - TY - INPR A1 - Läuter, Henning A1 - Ramadan, Ayad T1 - Modeling and Scaling of Categorical Data N2 - Estimation and testing of distributions in metric spaces are well known. R.A. Fisher, J. Neyman, W. Cochran and M. Bartlett achieved essential results on the statistical analysis of categorical data. In the last 40 years many other statisticians found important results in this field. Often data sets contain categorical data, e.g. levels of factors or names. There does not exist any ordering or any distance between these categories. At each level there are measured some metric or categorical values. We introduce a new method of scaling based on statistical decisions. For this we define empirical probabilities for the original observations and find a class of distributions in a metric space where these empirical probabilities can be found as approximations for equivalently defined probabilities. With this method we identify probabilities connected with the categorical data and probabilities in metric spaces. Here we get a mapping from the levels of factors or names into points of a metric space. This mapping yields the scale for the categorical data. From the statistical point of view we use multivariate statistical methods, we calculate maximum likelihood estimations and compare different approaches for scaling. T3 - Mathematische Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie : Preprint - 2010, 03 Y1 - 2010 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-49572 ER - TY - THES A1 - Knöchel, Jane T1 - Model reduction of mechanism-based pharmacodynamic models and its link to classical drug effect models T1 - Modellreduktion von mechanistischen pharmacodynamischen Modellen und deren Verbindung zu klassischen Wirkstoff-Effekt-Modellen N2 - Continuous insight into biological processes has led to the development of large-scale, mechanistic systems biology models of pharmacologically relevant networks. While these models are typically designed to study the impact of diverse stimuli or perturbations on multiple system variables, the focus in pharmacological research is often on a specific input, e.g., the dose of a drug, and a specific output related to the drug effect or response in terms of some surrogate marker. To study a chosen input-output pair, the complexity of the interactions as well as the size of the models hinders easy access and understanding of the details of the input-output relationship. The objective of this thesis is the development of a mathematical approach, in specific a model reduction technique, that allows (i) to quantify the importance of the different state variables for a given input-output relationship, and (ii) to reduce the dynamics to its essential features -- allowing for a physiological interpretation of state variables as well as parameter estimation in the statistical analysis of clinical data. We develop a model reduction technique using a control theoretic setting by first defining a novel type of time-limited controllability and observability gramians for nonlinear systems. We then show the superiority of the time-limited generalised gramians for nonlinear systems in the context of balanced truncation for a benchmark system from control theory. The concept of time-limited controllability and observability gramians is subsequently used to introduce a state and time-dependent quantity called the input-response (ir) index that quantifies the importance of state variables for a given input-response relationship at a particular time. We subsequently link our approach to sensitivity analysis, thus, enabling for the first time the use of sensitivity coefficients for state space reduction. The sensitivity based ir-indices are given as a product of two sensitivity coefficients. This allows not only for a computational more efficient calculation but also for a clear distinction of the extent to which the input impacts a state variable and the extent to which a state variable impacts the output. The ir-indices give insight into the coordinated action of specific state variables for a chosen input-response relationship. Our developed model reduction technique results in reduced models that still allow for a mechanistic interpretation in terms of the quantities/state variables of the original system, which is a key requirement in the field of systems pharmacology and systems biology and distinguished the reduced models from so-called empirical drug effect models. The ir-indices are explicitly defined with respect to a reference trajectory and thereby dependent on the initial state (this is an important feature of the measure). This is demonstrated for an example from the field of systems pharmacology, showing that the reduced models are very informative in their ability to detect (genetic) deficiencies in certain physiological entities. Comparing our novel model reduction technique to the already existing techniques shows its superiority. The novel input-response index as a measure of the importance of state variables provides a powerful tool for understanding the complex dynamics of large-scale systems in the context of a specific drug-response relationship. Furthermore, the indices provide a means for a very efficient model order reduction and, thus, an important step towards translating insight from biological processes incorporated in detailed systems pharmacology models into the population analysis of clinical data. N2 - Die kontinuierliche Erforschung von biologischen Prozessen hat zur Entwicklung umfangreicher, mechanistischer systembiologischer Modelle von pharmakologisch relevanten Netzwerken beigetragen. Während diese Modelle in der Regel darauf ausgelegt sind, die Auswirkung von Stimuli oder Störungen auf die Systemdynamik zu untersuchen, liegt der Fokus in der pharmakologis- chen Forschung häufig auf einer bestimmten Kontrolle, z.B. der Dosis eines Wirkstoffes, und einer bestimmten Ausgangsgröße, welche in Bezug steht zu dem Wirkstoff-Effekt oder das Ansprechen auf einen Wirkstoff über einen Surrogatmarker. Die Untersuchung und ein einfaches Verständnis einer spezifischen Eingabe-Ausgabe-Beziehung wird durch die Komplexität der Interaktionen sowie der Größe des Modells erschwert. Das Ziel dieser vorliegenden Arbeit ist die Entwicklung eines mathematischen Ansatzes, insbesondere eines Modellreduktionsverfahrens, der es ermöglicht, (i) die Bedeutung der verschiedenen Zustandsvariablen für eine gegebene Eingabe-Ausgabe-Beziehung zu quantifizieren, und (ii) die Dynamik des Systems auf seine wesentlichen Merkmale zu reduzieren, während gleichzeitig die physiologische Interpretierbarkeit von Zustandsvariablen sowie eine Parameterschätzung im Rahmen von einer statistischen Analyse klinischer Daten ermöglicht wird. Unter Verwendung eines kontrolltheoretischen Settings entwickeln wir eine Modellreduktionstechnik, indem wir vorerst einen neuartigen Typ von zeitlich begrenzten Kontrolllierbarkeits- und Beobachtbarkeitsgramian für nichtlineare Systeme definieren. Anschließend zeigen wir die Überlegenkeit der zeitlich begrenzten verallgemeinerten Gramian für nichtlineare Systeme im Kontext von Balanced Truncation am Beispiel eines Benchmark-Systems aus der Kontrolltheorie. Wir nutzten das Konzept der zeitlich begrenzten Kontrolllierbarkeits- und Beobachtbarkeitsgramian, um eine neue Zustands- und zeitabhängige Größe, die als Input-Response (IR-) Index bezeichnet wird, einzuführen. Dieser Index quantifiziert die Bedeutung von Zustandsvariablen zu einem bestimmten Zeitpunkt für eine bestimmte Eingabe-Ausgabe-Beziehung. Schließlich verknüpfen wir unseren Ansatz mit der Sensitivitätsanalyse und ermöglichen so erstmals die Verwendung von Sensitivitätskoeffizienten im Rahmen der Reduktion des Zustandsraumes. Wir erhalten die sensitivitätsbasierten IR-Indizes als Produkt zweier Sensitivitätskoeffizienten. Dies ermöglicht nicht nur eine effizientere Berechnung, sondern auch eine klare Unterscheidung, inwieweit die Eingabe eine Zustandsvariable beeinflusst und inwieweit eine Zustandsvariable die Ausgabe beeinflusst. Mit Hilfe der IR-Indizes erhalten wir einen Einblick in den koordinierten Ablauf der Aktivierung von spezifischen Zustandsvariablen für eine ausgewählte Eingabe-Ausgabe-Beziehung. Unser entwickeltes Modellreduktionsverfahren resultiert in reduzierten Modelle, welche eine mechanistische Interpretation hinsichtlich der Originalgrößen und Zustandsvariablen des Ursprungssystems zulassen. Dies war eine wichtige Anforderung an das Verfahren von Seiten der Systempharmakologie und -biologie. Die reduzierten Modelle unterscheiden sich damit wesentlich von den so genannten empirischen Wirkstoff-Effekt-Modellen. Die IR-Indizes sind explizit in Bezug auf eine Referenzlösung definiert und damit vom Anfangszustand abhängig (dies ist ein wichtiges Merkmal der Indizes). Wir zeigen anhand eines Beispiels aus dem Bereich der Systempharmakologie, dass die reduzierten Modelle sehr aussagekräftig sind, um (genetische) Mängel in bestimmten physiologischen Einheiten festzustellen. Der Vergleich unseres neuartigen Modellreduktionsverfahrens mit den bereits vorhandenen Verfahren zeigt dessen Überlegenheit. Der neuartige IR-Index als Maß für die Wichtigkeit von Zustandsvariablen bietet ein leistungsfähiges mathematisches Werkzeug zum Verständnis und der Analyse der komplexen Dynamik von großen Systemen im Kontext einer bestimmten Wirkstoff-Effekt-Beziehung. Darüber hinaus sind die Indizes eine wichtige Grundlage für das eingeführte und sehr effiziente Modellreduktionsverfahren. Insgesamt stellt dies einen wichtigen Schritt zur Nutzung von Erkenntnissen über biologische Prozesse in Form von detaillierten systempharmakologischen Modellen in der Populationsanalyse klinischer Daten dar. KW - model order reduction KW - control theory KW - large-scale mechanistic systems KW - systems pharmacology KW - Modellreduktion KW - Kontrolltheorie KW - komplexe mechanistische Systeme KW - Systempharmakologie Y1 - 2019 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-440598 ER - TY - THES A1 - Friedrich, Alexander T1 - Minimizers of generalized Willmore energies and applications in general relativity N2 - Das Willmore Funktional ist eine Funktion die jeder Fläche in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit, ihre totale mittlere Krümmung zuweist. Ein klassisches Problem der Differentialgeometrie ist es geschlossene (kompakt und ohne Rand) Flächen zu finden die das Willmore funktional minimieren, beziehungsweise die kritische Punkte des Willmore Funktionals sind. In dieser Doktorarbeit entwickeln wir ein Konzept von verallgemeinerten Willmore Funktionalen für Flächen in Riemannschen Mannigfaltigkeiten, wobei wir uns von physikalischen Modellen leiten lassen. Insbesondere ist hier die Hawking Energie der allgemeinen Relativitätstheorie und die Biegungsenergie von dünnen Membranen zu nennen. Für dieses verallgemeinerten Willmore Funktionale beweisen wir die Existenz von Minimieren mit vorgeschriebenen Flächeninhalt, in einer geeigneten Klasse von verallgemeinerten Flächen. Insbesondere konstruieren wir Minimierer der oben erwähnten Biegungsenergie mit vorgeschrieben Flächeninhalt und vorgeschriebenen, eingeschlossenem Volumen. Außerdem beweisen wir, dass kritische Punkte von verallgemeinerten Willmore Funktionalen mit vorgeschriebenen Flächeninhalt abseits endlich vieler Punkte glatt sind. Dabei stützen wir uns, wie auch im folgenden, auf die bestehende Theorie für das Willmore Funktional. An diese allgemeinen Resultate schließen wir eine detailliertere Analyse der Hawking Energie an. Im Kontext der allgemeinen Relativitätstheorie beschreibt die Umgebungsmannigfaltigkeit den Raum zu einem Zeitpunkt. Daher sind wir an dem Wechselspiel zwischen der Hawking Energie und der umgebenden Mannigfaltigkeit interessiert. Wir charakterisieren Punkte in der umgebenden Mannigfaltigkeit für die es in jeder Umgebung eine kritische Fläche mit vorgeschriebenem, kleinem Flächeninhalt gibt. Diese Punnkte werden als Konzentrationspunkte der Hawking Energie interpretiert. Außerdem berechnen wir eine Entwicklung der Hawking Energie auf kleinen, runden Sphären. Dadurch können wir eine Art Energiedichte der Hawking Energie identifizieren. Hierbei ist anzumerken, dass unsere Resultate im Kontrast zu Ergebnissen in der Literatur stehen. Dort wurde berechnet, dass die Entwicklung der Hawking Energie auf Sphären im Lichtkegel eines Punktes der umgebenden Mannigfaltigkeit in führender Ordnung proportional zur der klassischen Energiedichte der allgemeinen Relativitätstheorie ist. Zu diesem Zeitpunkt ist nicht klar wie diese Diskrepanz zu begründen ist. Ferner betrachten wir asymptotisch Schwarzschild Mannigfaltigkeiten. Sie sind ein Spezialfall von asymptotisch flachen Mannigfaltigkeiten, welche in der allgemeinen Relativitätstheorie als Modelle für isolierte Systeme dienen. Die Schwarzschild Raumzeit selbst ist eine rotationssymmetrische Raumzeit die schwarzen Loch beschreibt. In diesen asymptotisch Schwarzschild Mannigfaltigkeiten konstruieren wir eine Blätterung des äußeren Bereiches durch kritische Flächen der Hawking Energie mit vorgeschriebenen Flächeninhalt. Diese Blätterung kann in einem verallgemeinertem Sinne als Schwerpunkt des isolierten Systems betrachtet werden. Außerdem zeigen wir, dass die Hawking Energie entlang der Blätterung wächst je größer die Flächen werden. N2 - The Willmore functional is a function that maps an immersed Riemannian manifold to its total mean curvature. Finding closed surfaces that minimizes the Willmore energy, or more generally finding critical surfaces, is a classic problem of differential geometry. In this thesis we will develop the concept of generalized Willmore functionals for surfaces in Riemannian manifolds. We are guided by models in mathematical physics, such as the Hawking energy of general relativity and the bending energies for thin membranes. We prove the existence of minimizers under area constraint for these generalized Willmore functionals in a suitable class of generalized surfaces. In particular, we construct minimizers of the bending energy mentioned above for prescribed area and enclosed volume. Furthermore, we prove that critical surfaces of generalized Willmore functionals with prescribed area are smooth, away from finitely many points. These results and the following are based on the existing theory for the Willmore functional. This general discussion is succeeded by a detailed analysis of the Hawking energy. In the context of general relativity the surrounding manifold describes the space at a given time, hence we strive to understand the interplay between the Hawking energy and the ambient space. We characterize points in the surrounding manifold for which there are small critical spheres with prescribed area in any neighborhood. These points are interpreted as concentration points of the Hawking energy. Additionally, we calculate an expansion of the Hawking energy on small, round spheres. This allows us to identify a kind of energy density of the Hawking energy. It needs to be mentioned that our results stand in contrast to previous expansions of the Hawking energy. However, these expansions are obtained on spheres along the light cone at a given point. At this point it is not clear how to explain the discrepancy. Finally, we consider asymptotically Schwarzschild manifolds. They are a special case of asymptotically flat manifolds, which serf as models for isolated systems. The Schwarzschild spacetime itself is a classical solution to the Einstein equations and yields a simple description of a black hole. In these asymptotically Schwarzschild manifolds we construct a foliation of the exterior region by critical spheres of the Hawking energy with prescribed large area. This foliation can be seen as a generalized notion of the center of mass of the isolated system. Additionally, the Hawking energy of grows along the foliation as the area of the surfaces grows. T2 - Minimierer von Verallgemeinerten Willmore Energien und Anwendungen in der Allgemeinen Relativitätstheorie KW - Partial Differential Equations KW - Calculus of Variation KW - Differential Geometry KW - Geometric Analysis KW - Mathematical Physics KW - Partielle Differential Gleichungen KW - Variationsrechung KW - Differential Geometrie KW - Geometrische Analysis KW - Mathematische Physik Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-481423 ER - TY - THES A1 - Bettenbühl, Mario T1 - Microsaccades T1 - Mikrosakkaden BT - Symbols in fixational eye movements BT - Symbole in den Fixationsbewegungen der Augen N2 - The first thing we do upon waking is open our eyes. Rotating them in our eye sockets, we scan our surroundings and collect the information into a picture in our head. Eye movements can be split into saccades and fixational eye movements, which occur when we attempt to fixate our gaze. The latter consists of microsaccades, drift and tremor. Before we even lift our eye lids, eye movements – such as saccades and microsaccades that let the eyes jump from one to another position – have partially been prepared in the brain stem. Saccades and microsaccades are often assumed to be generated by the same mechanisms. But how saccades and microsaccades can be classified according to shape has not yet been reported in a statistical manner. Research has put more effort into the investigations of microsaccades’ properties and generation only since the last decade. Consequently, we are only beginning to understand the dynamic processes governing microsaccadic eye movements. Within this thesis, the dynamics governing the generation of microsaccades is assessed and the development of a model for the underlying processes. Eye movement trajectories from different experiments are used, recorded with a video-based eye tracking technique, and a novel method is proposed for the scale-invariant detection of saccades (events of large amplitude) and microsaccades (events of small amplitude). Using a time-frequency approach, the method is examined with different experiments and validated against simulated data. A shape model is suggested that allows for a simple estimation of saccade- and microsaccade related properties. For sequences of microsaccades, in this thesis a time-dynamic Markov model is proposed, with a memory horizon that changes over time and which can best describe sequences of microsaccades. N2 - Beim Aufwachen jeden Morgen, ist es das erste, was wir tun: wir öffnen unsere Augen. Wir lassen die Augen rotieren und suchen unsere Umgebung ab. Gleichzeitig wird die gesammelte Information in unserem Gehirn zu einem Bild vereint. Augenbewegungen können getrennt werden in Sakkaden, welche sprunghafte Augenbewegungen darstellen, und Fixationsbewegungen der Augen, letztere bestehend aus Mikrosakkaden, Tremor und Drift. Bevor wir unsere Augen aufschlagen, wurden die Bewegungen bereits teilweise im Hirnstamm vorprogrammiert. So ist dieser Teil unseres Gehirns verantwortlich für die Auslösung einer Sakkade oder Mikrosakkade, worin man versuchen kann auch gleichzeitig einen Zusammenhang für die Generierung dieser Bewegung herzustellen. Es wird vermutet, dass Mikrosakkaden auch als kleinskaligere Sakkade verstanden werden können, welche auftreten, wenn wir versuchen unsere Augen still auf einen Punkt zu fixieren. Bisher gibt es keine statistische Untersuchung bezüglich einer Klassifizierung von Sakkaden und Mikrosakkaden aufgrund ihrer Form, d.h. ihrer räumlichen Entwicklung über die Zeit. Seit Beginn des neuen Milleniums verstärkte sich die Forschung wieder auf die Eigenschaften und Entstehung von Mikrosakkaden. Demnach stehen wir immer noch am Anfang diese Phänomene mit dynamischen Prozessen beschreiben zu können. Der Fokus dieser Arbeit konzentriert sich auf das Verstehen der generierenden Dynamik von Mikrosakkaden. Es wird ein Model für den unterliegenden Prozess entwickelt und getestet. Es wurden Aufzeichnungen von Augenbewegungen aus verschiedenen Experimenten genutzt, jeweils aufgenommen mit einem videobasiertem System. Es wird eine neue Methode zur amplitudenunabhängigen Detektion von Sakkaden eingeführt, um die Zeitpunkte des Auftretens von Mikrosakkaden und Sakkaden zu bestimmen. Dabei werden für Daten verschiedener Experimente Methoden der Zeit-Frequenz-Analyse genutzt und anschließend die Methode validiert mit simulierten Daten. Außerdem wird ein Modell vorgestellt für die formabhängigen Ausprägungen von Sakkaden und Mikrosakkaden, um die Schätzung ihrer beiden physikalisch relevanten Eigenschaften zu erleichtern. Zum Ende der Arbeit wird ein zeitdynamisches Modell für Sequenzen von Mikrosakkadensymbolen aufgezeigt. Mithilfe der Beschreibung der in Symbolsequenzen übersetzten Mikrosakkadensequenzen als Markovketten, wird diese Form der Augenbewegung durch einen stochastischen Prozess beschrieben. Hierbei bestehen zeitliche und räumliche Abhängigkeiten zwischen den aufeinanderfolgenden zeitdiskreten Symbolen und erlauben somit, ein Referenzmodell für einen Teil der Fixationsbewegungen der Augen zu haben. T3 - Potsdam Cognitive Science Series - 5 KW - Mikrosakkaden KW - Fixationsbewegungen der Augen KW - Sakkadendetektion KW - Mikrosakkadensequenzen KW - Waveletanalyse KW - microsaccades KW - fixational eye movements KW - saccade detection KW - sequences of microsaccades KW - wavelet analysis Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-72622 SN - 978-3-86956-122-6 PB - Universitätsverlag Potsdam CY - Potsdam ER - TY - THES A1 - Samaras, Stefanos T1 - Microphysical retrieval of non-spherical aerosol particles using regularized inversion of multi-wavelength lidar data T1 - Retrieval der Mikrophysik von nichtkugelförmigen Aerosolpartikeln durch regularisierte Inversion von Mehrwellenlängen-Lidardaten N2 - Numerous reports of relatively rapid climate changes over the past century make a clear case of the impact of aerosols and clouds, identified as sources of largest uncertainty in climate projections. Earth’s radiation balance is altered by aerosols depending on their size, morphology and chemical composition. Competing effects in the atmosphere can be further studied by investigating the evolution of aerosol microphysical properties, which are the focus of the present work. The aerosol size distribution, the refractive index, and the single scattering albedo are commonly used such properties linked to aerosol type, and radiative forcing. Highly advanced lidars (light detection and ranging) have reduced aerosol monitoring and optical profiling into a routine process. Lidar data have been widely used to retrieve the size distribution through the inversion of the so-called Lorenz-Mie model (LMM). This model offers a reasonable treatment for spherically approximated particles, it no longer provides, though, a viable description for other naturally occurring arbitrarily shaped particles, such as dust particles. On the other hand, non-spherical geometries as simple as spheroids reproduce certain optical properties with enhanced accuracy. Motivated by this, we adapt the LMM to accommodate the spheroid-particle approximation introducing the notion of a two-dimensional (2D) shape-size distribution. Inverting only a few optical data points to retrieve the shape-size distribution is classified as a non-linear ill-posed problem. A brief mathematical analysis is presented which reveals the inherent tendency towards highly oscillatory solutions, explores the available options for a generalized solution through regularization methods and quantifies the ill-posedness. The latter will improve our understanding on the main cause fomenting instability in the produced solution spaces. The new approach facilitates the exploitation of additional lidar data points from depolarization measurements, associated with particle non-sphericity. However, the generalization of LMM vastly increases the complexity of the problem. The underlying theory for the calculation of the involved optical cross sections (T-matrix theory) is computationally so costly, that would limit a retrieval analysis to an unpractical point. Moreover the discretization of the model equation by a 2D collocation method, proposed in this work, involves double integrations which are further time consuming. We overcome these difficulties by using precalculated databases and a sophisticated retrieval software (SphInX: Spheroidal Inversion eXperiments) especially developed for our purposes, capable of performing multiple-dataset inversions and producing a wide range of microphysical retrieval outputs. Hybrid regularization in conjunction with minimization processes is used as a basis for our algorithms. Synthetic data retrievals are performed simulating various atmospheric scenarios in order to test the efficiency of different regularization methods. The gap in contemporary literature in providing full sets of uncertainties in a wide variety of numerical instances is of major concern here. For this, the most appropriate methods are identified through a thorough analysis on an overall-behavior basis regarding accuracy and stability. The general trend of the initial size distributions is captured in our numerical experiments and the reconstruction quality depends on data error level. Moreover, the need for more or less depolarization points is explored for the first time from the point of view of the microphysical retrieval. Finally, our approach is tested in various measurement cases giving further insight for future algorithm improvements. N2 - Zahlreiche Berichte von relativ schnellen Klimaveränderungen im vergangenen Jahrhundert liefern überzeugende Argumente über die Auswirkungen von Aerosolen und Wolken auf Wetter und Klima. Aerosole und Wolken wurden als Quellen größter Unsicherheit in Klimaprognosen identifiziert. Die Strahlungsbilanz der Erde wird verändert durch die Partikelgröße, ihre Morphologie und ihre chemische Zusammensetzung. Konkurrierende Effekte in der Atmosphäre können durch die Bestimmung von mikrophysikalischen Partikeleigenschaften weiter untersucht werden, was der Fokus der vorliegenden Arbeit ist. Die Aerosolgrößenverteilung, der Brechungsindex der Partikeln und die Einzel-Streu-Albedo sind solche häufig verwendeten Parameter, die mit dem Aerosoltyp und dem Strahlungsantrieb verbunden sind. Hoch entwickelte Lidare (Light Detection and Ranging) haben die Aerosolüberwachung und die optische Profilierung zu einem Routineprozess gemacht. Lidar-Daten wurden verwendet um die Größenverteilung zu bestimmen, was durch die Inversion des sogenannten Lorenz-Mie-Modells (LMM) gelingt. Dieses Modell bietet eine angemessene Behandlung für sphärisch angenäherte Partikeln, es stellt aber keine brauchbare Beschreibung für andere natürlich auftretende beliebig geformte Partikeln -wie z.B. Staubpartikeln- bereit. Andererseits stellt die Einbeziehung einer nicht kugelförmigen Geometrie –wie z.B. einfache Sphäroide- bestimmte optische Eigenschaften mit verbesserter Genauigkeit dar. Angesichts dieser Tatsache erweitern wir das LMM durch die Approximation von Sphäroid-Partikeln. Dazu ist es notwendig den Begriff einer zweidimensionalen Größenverteilung einzuführen. Die Inversion einer sehr geringen Anzahl optischer Datenpunkte zur Bestimmung der Form der Größenverteilung ist als ein nichtlineares schlecht gestelltes Problem bekannt. Eine kurze mathematische Analyse wird vorgestellt, die die inhärente Tendenz zu stark oszillierenden Lösungen zeigt. Weiterhin werden Optionen für eine verallgemeinerte Lösung durch Regularisierungsmethoden untersucht und der Grad der Schlechtgestelltheit quantifiziert. Letzteres wird unser Verständnis für die Hauptursache der Instabilität bei den berechneten Lösungsräumen verbessern. Der neue Ansatz ermöglicht es uns, zusätzliche Lidar-Datenpunkte aus Depolarisationsmessungen zu nutzen, die sich aus der Nicht-sphärizität der Partikeln assoziieren. Die Verallgemeinerung des LMMs erhöht erheblich die Komplexität des Problems. Die zugrundeliegende Theorie für die Berechnung der beteiligten optischen Querschnitte (T-Matrix-Ansatz) ist rechnerisch so aufwendig, dass eine Neuberechnung dieser nicht sinnvoll erscheint. Darüber hinaus wird ein zweidimensionales Kollokationsverfahren für die Diskretisierung der Modellgleichung vorgeschlagen. Dieses Verfahren beinhaltet Doppelintegrationen, die wiederum zeitaufwendig sind. Wir überwinden diese Schwierigkeiten durch Verwendung vorgerechneter Datenbanken sowie einer hochentwickelten Retrieval-Software (SphInX: Spheroidal Inversion eXperiments). Diese Software wurde speziell für unseren Zweck entwickelt und ist in der Lage mehrere Datensatzinversionen gleichzeitig durchzuführen und eine große Auswahl von mikrophysikalischen Retrieval-Ausgaben bereitzustellen. Eine hybride Regularisierung in Verbindung mit einem Minimierungsverfahren wird als Grundlage für unsere Algorithmen verwendet. Synthetische Daten-Inversionen werden mit verschiedenen atmosphärischen Szenarien durchgeführt, um die Effizienz verschiedener Regularisierungsmethoden zu untersuchen. Die Lücke in der gegenwärtigen wissenschaftlichen Literatur gewisse Unsicherheiten durch breitgefächerte numerische Fälle bereitzustellen, ist ein Hauptanliegen dieser Arbeit. Motiviert davon werden die am besten geeigneten Verfahren einer gründlichen Analyse in Bezug auf ihr Gesamtverhalten, d.h. Genauigkeit und Stabilität, unterzogen. Der allgemeine Trend der Anfangsgrößenverteilung wird in unseren numerischen Experimenten erfasst. Zusätzlich hängt die Rekonstruktionsqualität vom Datenfehler ab. Darüber hinaus wird die Anzahl der notwendigen Depolarisationspunkte zum ersten Mal aus der Sicht des mikrophysikalischen Parameter-Retrievals erforscht. Abschließend verwenden wir unsere Software für verschiedene Messfälle, was weitere Einblicke für künftige Verbesserungen des Algorithmus gibt. KW - microphysics KW - retrieval KW - lidar KW - aerosols KW - regularization KW - ill-posed KW - inversion KW - Mikrophysik KW - Retrieval KW - Lidar KW - Aerosole KW - Regularisierung KW - schlecht gestellt KW - Inversion Y1 - 2016 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-396528 ER - TY - INPR A1 - Högele, Michael A1 - Pavlyukevich, Ilya T1 - Metastability of Morse-Smale dynamical systems perturbed by heavy-tailed Lévy type noise N2 - We consider a general class of finite dimensional deterministic dynamical systems with finitely many local attractors each of which supports a unique ergodic probability measure, which includes in particular the class of Morse–Smale systems in any finite dimension. The dynamical system is perturbed by a multiplicative non-Gaussian heavytailed Lévy type noise of small intensity ε > 0. Specifically we consider perturbations leading to a Itô, Stratonovich and canonical (Marcus) stochastic differential equation. The respective asymptotic first exit time and location problem from each of the domains of attractions in case of inward pointing vector fields in the limit of ε-> 0 has been investigated by the authors. We extend these results to domains with characteristic boundaries and show that the perturbed system exhibits a metastable behavior in the sense that there exits a unique ε-dependent time scale on which the random system converges to a continuous time Markov chain switching between the invariant measures. As examples we consider α-stable perturbations of the Duffing equation and a chemical system exhibiting a birhythmic behavior. T3 - Preprints des Instituts für Mathematik der Universität Potsdam - 3 (2014) 5 KW - hyperbolic dynamical system KW - Morse-Smale property KW - stable limit cycle KW - small noise asymptotic KW - multiplicative noise Y1 - 2014 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-70639 SN - 2193-6943 VL - 3 IS - 5 PB - Universitätsverlag Potsdam CY - Potsdam ER - TY - INPR A1 - Koppitz, Jörg A1 - Musunthia, Tiwadee T1 - Maximal subsemigroups containing a particular semigroup N2 - We study maximal subsemigroups of the monoid T(X) of all full transformations on the set X = N of natural numbers containing a given subsemigroup W of T(X), where each element of a given set U is a generator of T(X) modulo W. This note continues the study of maximal subsemigroups of the monoid of all full transformations on an infinite set. T3 - Preprints des Instituts für Mathematik der Universität Potsdam - 1 (2012) 8 Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-57465 ER - TY - INPR A1 - Rattana, Amornrat A1 - Böckmann, Christine T1 - Matrix methods for computing Eigenvalues of Sturm-Liouville problems of order four N2 - This paper examines and develops matrix methods to approximate the eigenvalues of a fourth order Sturm-Liouville problem subjected to a kind of fixed boundary conditions, furthermore, it extends the matrix methods for a kind of general boundary conditions. The idea of the methods comes from finite difference and Numerov's method as well as boundary value methods for second order regular Sturm-Liouville problems. Moreover, the determination of the correction term formulas of the matrix methods are investigated in order to obtain better approximations of the problem with fixed boundary conditions since the exact eigenvalues for q = 0 are known in this case. Finally, some numerical examples are illustrated. T3 - Preprints des Instituts für Mathematik der Universität Potsdam - 1(2012)13 KW - Finite difference method KW - Numerov's method KW - Boundary value methods KW - Fourth order Sturm-Liouville problem KW - Eigenvalues Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-59279 ER - TY - THES A1 - Gopalakrishnan, Sathej T1 - Mathematical modelling of host-disease-drug interactions in HIV disease T1 - Mathematische Modellierung von Pathogen-Wirkstoff-Wirt-Interaktionen im Kontext der HIV Erkrankung N2 - The human immunodeficiency virus (HIV) has resisted nearly three decades of efforts targeting a cure. Sustained suppression of the virus has remained a challenge, mainly due to the remarkable evolutionary adaptation that the virus exhibits by the accumulation of drug-resistant mutations in its genome. Current therapeutic strategies aim at achieving and maintaining a low viral burden and typically involve multiple drugs. The choice of optimal combinations of these drugs is crucial, particularly in the background of treatment failure having occurred previously with certain other drugs. An understanding of the dynamics of viral mutant genotypes aids in the assessment of treatment failure with a certain drug combination, and exploring potential salvage treatment regimens. Mathematical models of viral dynamics have proved invaluable in understanding the viral life cycle and the impact of antiretroviral drugs. However, such models typically use simplified and coarse-grained mutation schemes, that curbs the extent of their application to drug-specific clinical mutation data, in order to assess potential next-line therapies. Statistical models of mutation accumulation have served well in dissecting mechanisms of resistance evolution by reconstructing mutation pathways under different drug-environments. While these models perform well in predicting treatment outcomes by statistical learning, they do not incorporate drug effect mechanistically. Additionally, due to an inherent lack of temporal features in such models, they are less informative on aspects such as predicting mutational abundance at treatment failure. This limits their application in analyzing the pharmacology of antiretroviral drugs, in particular, time-dependent characteristics of HIV therapy such as pharmacokinetics and pharmacodynamics, and also in understanding the impact of drug efficacy on mutation dynamics. In this thesis, we develop an integrated model of in vivo viral dynamics incorporating drug-specific mutation schemes learned from clinical data. Our combined modelling approach enables us to study the dynamics of different mutant genotypes and assess mutational abundance at virological failure. As an application of our model, we estimate in vivo fitness characteristics of viral mutants under different drug environments. Our approach also extends naturally to multiple-drug therapies. Further, we demonstrate the versatility of our model by showing how it can be modified to incorporate recently elucidated mechanisms of drug action including molecules that target host factors. Additionally, we address another important aspect in the clinical management of HIV disease, namely drug pharmacokinetics. It is clear that time-dependent changes in in vivo drug concentration could have an impact on the antiviral effect, and also influence decisions on dosing intervals. We present a framework that provides an integrated understanding of key characteristics of multiple-dosing regimens including drug accumulation ratios and half-lifes, and then explore the impact of drug pharmacokinetics on viral suppression. Finally, parameter identifiability in such nonlinear models of viral dynamics is always a concern, and we investigate techniques that alleviate this issue in our setting. N2 - Das Humane Immundefiecienz-Virus (HIV) widerstanden hat fast drei Jahrzehnten eff Orts targeting eine Heilung. Eine anhaltende Unterdrückung des Virus hat noch eine Herausforderung, vor allem aufgrund der bemerkenswerten evolutionären Anpassung, dass das Virus Exponate durch die Ansammlung von Medikamenten-resistenten Mutationen in seinem Genom. Aktuelle therapeutische Strategien zielen auf das Erreichen und die Erhaltung einer niedrigen virale Belastung und umfassen in der Regel mehrere Medikamente. Die Wahl der optimalen Kombinationen dieser Medikamente ist von entscheidender Bedeutung, besonders im Hintergrund der Behandlung Fehler eingetreten, die zuvor mit bestimmten anderen Medikamenten. Ein Verständnis für die Dynamik der viralen mutierten Genotypen Aids in die Bewertung der Behandlung Fehler mit einer bestimmten Kombination und der Erkundung potenzieller Bergung Behandlungsschemata. Mathematische Modelle für virale Dynamik haben sich als unschätzbar erwiesen hat im Verständnis der viralen Lebenszyklus und die Auswirkungen von antiretroviralen Medikamenten. Allerdings sind solche Modelle verwenden in der Regel simplified und grobkörnigen Mutation Regelungen, dass Aufkantungen den Umfang ihrer Anwendung auf Arzneimittel-ganz speziellec Mutation klinische Daten, um zu beurteilen, mögliche nächste-line Therapien. Statistische Modelle der Mutation Anhäufung gedient haben gut in präparieren Mechanismen der Resistenz Evolution durch Mutation Rekonstruktion Pathways unter verschiedenen Medikamenten-Umgebungen. Während diese Modelle führen gut in der Vorhersage der Ergebnisse der Behandlung durch statistische lernen, sie enthalten keine Droge E ffect mechanistisch. Darüber hinaus aufgrund einer innewohnenden Mangel an zeitlichen Funktionen in solchen Modellen, sie sind weniger informativ auf Aspekte wie die Vorhersage mutational Fülle an Versagen der Behandlung. Dies schränkt die Anwendung in der Analyse der Pharmakologie von antiretroviralen Medikamenten, insbesondere, Zeit-abhängige Merkmale der HIV-Therapie wie Pharmakokinetik und Pharmakodynamik, und auch in dem Verständnis der Auswirkungen von Drogen e fficacy auf Mutation Dynamik. In dieser Arbeit, die wir bei der Entwicklung eines integrierten Modells von In-vivo-virale Dynamik Einbeziehung drug-ganz speziellec Mutation Systeme gelernt aus den klinischen Daten. Unsere kombinierten Modellansatz ermöglicht uns die Untersuchung der Dynamik von diff schiedene mutierten Genotypen und bewerten mutational Fülle an virologischem Versagen. Als Anwendung unseres Modells schätzen wir In-vivo-fitness Merkmale der viralen Mutanten unter di fferent drug Umgebungen. Unser Ansatz erstreckt sich auch natürlich auf mehrere-Therapien. Weitere zeigen wir die Vielseitigkeit unseres Modells zeigen, wie es können Modified zu integrieren kürzlich aufgeklärt Mechanismen der Drug Action einschließlich Molekülen, dass target host Faktoren. Zusätzlich haben wir Adresse ein weiterer wichtiger Aspekt in der klinischen Management der HIV-Erkrankung, das heißt Drogen Pharmakokinetik. Es ist klar, dass die Zeit-abhängige Änderungen in In-vivo-Wirkstoffkonzentration könnten die Auswirkungen auf die antivirale E ffect und haben auch Einfluss auf die Entscheidungen über Dosierungsintervalle. Wir präsentieren ein Framework, bietet ein integriertes Verständnis der wichtigsten Merkmale von mehreren Dosierungsschemata einschließlich Kumulation Übersetzungen und Halbwertszeiten, und untersuchen Sie die Auswirkungen von Drogen auf die Pharmakokinetik Virussuppression. Schließlich, Parameter identifiFähigkeit in solchen nichtlineare Modelle der virale Dynamik ist immer ein Anliegen, und wir untersuchen Methoden, um dieses Problem in unserer Einstellung. KW - HIV KW - mathematical modelling KW - viral fitness KW - pharmacokinetics KW - parameter estimation KW - HIV Erkrankung KW - Pharmakokinetik KW - Fitness KW - mathematische Modellierung KW - Kombinationstherapie Y1 - 2016 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-100100 ER - TY - THES A1 - Schindler, Daniel T1 - Mathematical modeling and simulation of protrusion-driven cell dynamics T1 - Mathematische Modellierung und Simulation von amöboiden Zelldynamiken N2 - Amoeboid cell motility takes place in a variety of biomedical processes such as cancer metastasis, embryonic morphogenesis, and wound healing. In contrast to other forms of cell motility, it is mainly driven by substantial cell shape changes. Based on the interplay of explorative membrane protrusions at the front and a slower-acting membrane retraction at the rear, the cell moves in a crawling kind of way. Underlying these protrusions and retractions are multiple physiological processes resulting in changes of the cytoskeleton, a meshwork of different multi-functional proteins. The complexity and versatility of amoeboid cell motility raise the need for novel computational models based on a profound theoretical framework to analyze and simulate the dynamics of the cell shape. The objective of this thesis is the development of (i) a mathematical framework to describe contour dynamics in time and space, (ii) a computational model to infer expansion and retraction characteristics of individual cell tracks and to produce realistic contour dynamics, (iii) and a complementing Open Science approach to make the above methods fully accessible and easy to use. In this work, we mainly used single-cell recordings of the model organism Dictyostelium discoideum. Based on stacks of segmented microscopy images, we apply a Bayesian approach to obtain smooth representations of the cell membrane, so-called cell contours. We introduce a one-parameter family of regularized contour flows to track reference points on the contour (virtual markers) in time and space. This way, we define a coordinate system to visualize local geometric and dynamic quantities of individual contour dynamics in so-called kymograph plots. In particular, we introduce the local marker dispersion as a measure to identify membrane protrusions and retractions in a fully automated way. This mathematical framework is the basis of a novel contour dynamics model, which consists of three biophysiologically motivated components: one stochastic term, accounting for membrane protrusions, and two deterministic terms to control the shape and area of the contour, which account for membrane retractions. Our model provides a fully automated approach to infer protrusion and retraction characteristics from experimental cell tracks while being also capable of simulating realistic and qualitatively different contour dynamics. Furthermore, the model is used to classify two different locomotion types: the amoeboid and a so-called fan-shaped type. With the complementing Open Science approach, we ensure a high standard regarding the usability of our methods and the reproducibility of our research. In this context, we introduce our software publication named AmoePy, an open-source Python package to segment, analyze, and simulate amoeboid cell motility. Furthermore, we describe measures to improve its usability and extensibility, e.g., by detailed run instructions and an automatically generated source code documentation, and to ensure its functionality and stability, e.g., by automatic software tests, data validation, and a hierarchical package structure. The mathematical approaches of this work provide substantial improvements regarding the modeling and analysis of amoeboid cell motility. We deem the above methods, due to their generalized nature, to be of greater value for other scientific applications, e.g., varying organisms and experimental setups or the transition from unicellular to multicellular movement. Furthermore, we enable other researchers from different fields, i.e., mathematics, biophysics, and medicine, to apply our mathematical methods. By following Open Science standards, this work is of greater value for the cell migration community and a potential role model for other Open Science contributions. N2 - Amöboide Zellmotilität findet bei einer Vielzahl biomedizinischer Prozesse wie Krebsmetastasierung, embryonaler Morphogenese und Wundheilung statt. Im Gegensatz zu anderen Formen der Zellmotilität wird sie hauptsächlich durch erhebliche Formveränderungen der Zelle angetrieben. Sie beruht auf dem Zusammenspiel von explorativen Membranausstülpungen an der Vorderseite und einem langsamer wirkenden Membraneinzug an der Rückseite. Die Komplexität amöboider Zellmotilität machen neue Berechnungsmodelle erforderlich, um die Dynamik der Zellform mathematisch fundiert zu analysieren und zu simulieren. Ziel dieser Arbeit ist die Entwicklung (i) eines mathematischen Frameworks zur Beschreibung der Konturendynamik in Zeit und Raum, (ii) eines Computermodells, um Eigenschaften der Membranveränderungen von einzelnen Zellen zu inferieren und gleichzeitig realistische Konturdynamiken zu simulieren, (iii) und eines ergänzenden Open-Science-Ansatzes, um die oben genannten Methoden vollständig zugänglich und leicht anwendbar zu machen. Auf der Grundlage von aufeinander folgenden Mikroskopiebildern vom Modellorganismus Dictyostelium discoideum, wenden wir einen Bayesschen Ansatz an, um glatte Darstellungen der Zellmembran, sogenannte Zellkonturen, zu erhalten. Wir führen eine einparametrige Familie von regularisierten Konturflüssen ein, um Referenzpunkte auf der Kontur (virtuelle Marker) in Zeit und Raum zu verfolgen. Auf diese Weise definieren wir ein Koordinatensystem zur Visualisierung lokaler geometrischer und dynamischer Größen der individuellen Konturdynamiken in sogenannten Kymographen-Plots. Insbesondere führen wir die lokale Marker-Dispersion ein, mit der signifikante Membranveränderungen identifiziert werden können. Dieses mathematische Framework bildet die Grundlage für unser neues Modell zur Beschreibung von Konturendynamiken. Es besteht aus drei biophysiologisch motivierten Komponenten: einem stochastischen Term, der die Membranausstülpungen steuert, und zwei deterministischen Termen, die das Membraneinziehen, unter Berücksichtigung der Konturform und -fläche, steuern. Unser Modell bietet einen vollautomatisierten Ansatz zur Inferrenz der Charakteristiken von Membranveränderungen für experimentelle Zelldaten. Außerdem ermöglicht es die Simulation von realistischen und qualitativ unterschiedlichen Konturendynamiken. Mit dem ergänzenden Open-Science-Ansatz setzen wir einen hohen Standard hinsichtlich der Nutzbarkeit unserer Methoden und der Reproduzierbarkeit unserer Forschung. In diesem Kontext stellen wir die Softwarepublikation AmoePy vor, ein Open-Source-Pythonpaket zur Segmentierung, Analyse und Simulation von amöboider Zellmotilität. Darüber hinaus beschreiben wir Maßnahmen zur Verbesserung der Benutzerfreundlichkeit und Erweiterbarkeit, z. B. durch detaillierte Ausführanweisungen und eine automatisch generierte Quellcodedokumentation, und zur Gewährleistung der Funktionalität und Stabilität, z. B. durch automatische Softwaretests, Datenvalidierung und eine hierarchische Paketstruktur. Die mathematischen Methoden dieser Arbeit stellen wesentliche Verbesserungen in der Modellierung und Analyse der amöboiden Zellmotilität dar. Wir sind der Ansicht, dass die oben genannten Methoden aufgrund ihrer Verallgemeinerbarkeit von größerem Wert für andere wissenschaftliche Anwendungen sind und potentiell einsetzbar in verschiedenen Wissenschaftsfeldern sind, u. a. Mathematik, Biophysik und Medizin. Durch die Einhaltung von Open-Science-Standards ist diese Arbeit von größerem Wert und ein potenzielles Vorbild für andere Open-Science-Beiträge. KW - amöboide Bewegung KW - Zellmotilität KW - mathematische Modellierung KW - offene Wissenschaft KW - amoeboid motion KW - cell motility KW - mathematical modeling KW - open science Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-613275 ER - TY - INPR A1 - Rafler, Mathias T1 - Martin-Dynkin Boundaries of the Bose Gas N2 - The Ginibre gas is a Poisson point process defined on a space of loops related to the Feynman-Kac representation of the ideal Bose gas. Here we study thermodynamic limits of different ensembles via Martin-Dynkin boundary technique and show, in which way infinitely long loops occur. This effect is the so-called Bose-Einstein condensation. T3 - Mathematische Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie : Preprint - 2008, 03 KW - Martin-Dynkin boundary KW - Bose-Einstein condensation KW - Point process KW - Loop space KW - Gibbs state Y1 - 2008 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-51667 ER - TY - THES A1 - Dahl, Dorothee Sophie T1 - Let's have FUN! Gamification im Mathematikunterricht N2 - Spiele und spieltypische Elemente wie das Sammeln von Treuepunkten sind aus dem Alltag kaum wegzudenken. Zudem werden sie zunehmend in Unternehmen oder in Lernumgebungen eingesetzt. Allerdings ist die Methode Gamification bisher für den pädagogischen Kontext wenig klassifiziert und für Lehrende kaum zugänglich gemacht worden. Daher zielt diese Bachelorarbeit darauf ab, eine systematische Strukturierung und Aufarbeitung von Gamification sowie innovative Ansätze für die Verwendung spieltypischer Elemente im Unterricht, konkret dem Mathematikunterricht, zu präsentieren. Dies kann eine Grundlage für andere Fachgebiete, aber auch andere Lehrformen bieten und so die Umsetzbarkeit von Gamification in eigenen Lehrveranstaltungen aufzeigen. In der Arbeit wird begründet, weshalb und mithilfe welcher Elemente Gamification die Motivation und Leistungsbereitschaft der Lernenden langfristig erhöhen, die Sozial- und Personalkompetenzen fördern sowie die Lernenden zu mehr Aktivität anregen kann. Zudem wird Gamification explizit mit grundlegenden mathematikdidaktischen Prinzipien in Verbindung gesetzt und somit die Relevanz für den Mathematikunterricht hervorgehoben. Anschließend werden die einzelnen Elemente von Gamification wie Punkte, Level, Abzeichen, Charaktere und Rahmengeschichte entlang einer eigens für den pädagogischen Kontext entwickelten Klassifikation „FUN“ (Feedback – User specific elements – Neutral elements) schematisch beschrieben, ihre Funktionen und Wirkung dargestellt sowie Einsatzmöglichkeiten im Unterricht aufgezeigt. Dies beinhaltet Ideen zu lernförderlichem Feedback, Differenzierungsmöglichkeiten und Unterrichtsrahmengestaltung, die in Lehrveranstaltungen aller Art umsetzbar sein können. Die Bachelorarbeit umfasst zudem ein spezifisches Beispiel, einen Unterrichtsentwurf einer gamifizierten Mathematikstunde inklusive des zugehörigen Arbeitsmaterials, anhand dessen die Verwendung von Gamification deutlich wird. Gamification offeriert oftmals Vorteile gegenüber dem traditionellen Unterricht, muss jedoch wie jede Methode an den Inhalt und die Zielgruppe angepasst werden. Weiterführende Forschung könnte sich mit konkreten motivationalen Strukturen, personenspezifischen Unterschieden sowie mit mathematischen Inhalten wie dem Problemlösen oder dem Wechsel zwischen verschiedenen Darstellungen hinsichtlich gamifizierter Lehrformen beschäftigen. N2 - Games and game-typical elements such as collecting points are an indispensable part of everyday life. In addition, they are used increasingly in companies or in learning environments. However, the method of gamification has been little classified for the pedagogical context and it has hardly been made accessible to teachers so far. Therefore, this bachelor’s thesis aims to present a systematic structure and reconditioning of gamification as well as innovative approaches for the implementation of game-typical elements in educational contexts, specifically in teaching mathematics. This thesis can provide a basis for other subject areas, but also for other forms of teaching and thus demonstrate the feasibility of gamification in own courses. The paper explains why and with which elements gamification can increase learners' motivation and willingness to perform in the long term, promote social and personal competences and encourage learners to become more active. Moreover, gamification is explicitly linked to basic mathematics didactic principles and thus emphasizes its relevance for mathematics teaching. Afterwards the individual elements of gamification such as points, levels, badges, characters and frame story are described schematically according to the classification “FUN” (Feedback – User specific elements – Neutral elements), developed especially for the educational context in the thesis. This includes ideas for learn-enhancing feedback, opportunities for differentiation and the design of teaching frameworks that can be implemented in courses of all kinds. The bachelor’s thesis also includes a specific example, a lesson plan for a gamified mathematics lesson including the associated working material, which illustrates the use of gamification. Gamification often offers advantages over traditional teaching, but like any method, it must be adapted to the content and the target group. Further research could focus on specific motivational structures, individual differences of students, and mathematical contents such as problem solving or changing representations regarding gamified teaching. KW - Gamification KW - Spiel KW - Motivation KW - Methode KW - Unterrichtsmethode KW - Feedback KW - Innovation KW - Lernen KW - Mathematikdidaktik KW - Mathematikunterricht KW - gamification KW - game KW - game-based KW - motivation KW - learning KW - feedback KW - method KW - teaching KW - teaching methods KW - didactics of mathematics Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-515937 ER - TY - GEN A1 - Kolbe, Benedikt Maximilian A1 - Evans, Myfanwy E. T1 - Isotopic tiling theory for hyperbolic surfaces T2 - Zweitveröffentlichungen der Universität Potsdam : Mathematisch-Naturwissenschaftliche Reihe N2 - In this paper, we develop the mathematical tools needed to explore isotopy classes of tilings on hyperbolic surfaces of finite genus, possibly nonorientable, with boundary, and punctured. More specifically, we generalize results on Delaney-Dress combinatorial tiling theory using an extension of mapping class groups to orbifolds, in turn using this to study tilings of covering spaces of orbifolds. Moreover, we study finite subgroups of these mapping class groups. Our results can be used to extend the Delaney-Dress combinatorial encoding of a tiling to yield a finite symbol encoding the complexity of an isotopy class of tilings. The results of this paper provide the basis for a complete and unambiguous enumeration of isotopically distinct tilings of hyperbolic surfaces. T3 - Zweitveröffentlichungen der Universität Potsdam : Mathematisch-Naturwissenschaftliche Reihe - 1347 KW - isotopic tiling theory KW - Delaney–Dress tiling theory KW - mapping class groups KW - Orbifolds KW - maps on surfaces KW - hyperbolic tilings Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-544285 SN - 1866-8372 IS - 1 ER - TY - THES A1 - Tschisgale, Paul T1 - Introduction to the Glauber dynamics for the Curie-Weiss Potts model N2 - This thesis aims at presenting in an organized fashion the required basics to understand the Glauber dynamics as a way of simulating configurations according to the Gibbs distribution of the Curie-Weiss Potts model. Therefore, essential aspects of discrete-time Markov chains on a finite state space are examined, especially their convergence behavior and related mixing times. Furthermore, special emphasis is placed on a consistent and comprehensive presentation of the Curie-Weiss Potts model and its analysis. Finally, the Glauber dynamics is studied in general and applied afterwards in an exemplary way to the Curie-Weiss model as well as the Curie-Weiss Potts model. The associated considerations are supplemented with two computer simulations aiming to show the cutoff phenomenon and the temperature dependence of the convergence behavior. N2 - Die vorliegende Arbeit verfolgt das Ziel, die erforderlichen Grundlagen für das Verständnis der Glauber Dynamik auf organisierte Art und Weise darzustellen. Die Glauber Dynamik stellt eine Möglichkeit der Simulation von Konfigurationen der Gibbs Verteilung des Curie-Weiss Potts Modells dar. Es werden zunächst die zum Verständnis notwendigen Grundlagen von endlichen Markov-Ketten in diskreter Zeit beleuchtet, insbesondere ihr Konvergenzverhalten und die damit verbundene Mischzeit. Darüber hinaus legt diese Arbeit einen Schwerpunkt auf eine konsistente sowie verständliche Darbietung und Analyse des Curie-Weiss Potts Modells. Schließlich wird explizit die Glauber Dynamik betrachtet und anschließend exemplarisch auf das Curie-Weiss Modell und auf das Curie-Weiss Potts Modell angewandt. Die dazugehörigen Betrachtungen werden durch zwei Computersimulationen ergänzt, welche darauf abzielen, das Cutoff-Phänomen sowie die Temperaturabhängigkeit des Konvergenzverhaltens darzustellen bzw. zu verdeutlichen. T2 - Einführung in die Glauber Dynamik des Curie-Weiss Potts Modells KW - Glauber Dynamics KW - Curie-Weiss Potts Model KW - Mixing Times KW - MCMC KW - Glauber Dynamik KW - Curie-Weiss Potts Modell KW - Mischzeiten KW - MCMC-Verfahren Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-486769 ER - TY - BOOK A1 - Kulik, Alexei Michajlovič ED - Roelly, Sylvie T1 - Introduction to Ergodic rates for Markov chains and processes BT - with applications to limit theorems N2 - The present lecture notes aim for an introduction to the ergodic behaviour of Markov Processes and addresses graduate students, post-graduate students and interested readers. Different tools and methods for the study of upper bounds on uniform and weak ergodic rates of Markov Processes are introduced. These techniques are then applied to study limit theorems for functionals of Markov processes. This lecture course originates in two mini courses held at University of Potsdam, Technical University of Berlin and Humboldt University in spring 2013 and Ritsumameikan University in summer 2013. Alexei Kulik, Doctor of Sciences, is a Leading researcher at the Institute of Mathematics of Ukrainian National Academy of Sciences. T3 - Lectures in pure and applied mathematics - 2 KW - Markov processes KW - Markovprozesse KW - long-time behaviour KW - Langzeitverhalten KW - ergodic rates KW - Konvergenzrate Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-79360 SN - 978-3-86956-338-1 SN - 2199-4951 SN - 2199-496X PB - Universitätsverlag Potsdam CY - Potsdam ER -