TY - GEN A1 - Perera, Upeksha A1 - Böckmann, Christine T1 - Solutions of direct and inverse even-order Sturm-Liouville problems using Magnus expansion T2 - Zweitveröffentlichungen der Universität Potsdam : Mathematisch-Naturwissenschaftliche Reihe N2 - In this paper Lie group method in combination with Magnus expansion is utilized to develop a universal method applicable to solving a Sturm–Liouville problem (SLP) of any order with arbitrary boundary conditions. It is shown that the method has ability to solve direct regular (and some singular) SLPs of even orders (tested for up to eight), with a mix of (including non-separable and finite singular endpoints) boundary conditions, accurately and efficiently. The present technique is successfully applied to overcome the difficulties in finding suitable sets of eigenvalues so that the inverse SLP problem can be effectively solved. The inverse SLP algorithm proposed by Barcilon (1974) is utilized in combination with the Magnus method so that a direct SLP of any (even) order and an inverse SLP of order two can be solved effectively. T3 - Zweitveröffentlichungen der Universität Potsdam : Mathematisch-Naturwissenschaftliche Reihe - 1336 KW - higher-order Sturm–Liouville problems KW - inverse Sturm–Liouville problems KW - Magnus expansion Y1 - 2019 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-473414 SN - 1866-8372 IS - 1336 ER - TY - GEN A1 - Pornsawad, Pornsarp A1 - Sapsakul, Nantawan A1 - Böckmann, Christine T1 - A modified asymptotical regularization of nonlinear ill-posed problems T2 - Zweitveröffentlichungen der Universität Potsdam : Mathematisch-Naturwissenschaftliche Reihe N2 - In this paper, we investigate the continuous version of modified iterative Runge–Kutta-type methods for nonlinear inverse ill-posed problems proposed in a previous work. The convergence analysis is proved under the tangential cone condition, a modified discrepancy principle, i.e., the stopping time T is a solution of ∥𝐹(𝑥𝛿(𝑇))−𝑦𝛿∥=𝜏𝛿+ for some 𝛿+>𝛿, and an appropriate source condition. We yield the optimal rate of convergence. T3 - Zweitveröffentlichungen der Universität Potsdam : Mathematisch-Naturwissenschaftliche Reihe - 1335 KW - nonlinear operator KW - regularization KW - discrepancy principle KW - asymptotic method KW - optimal rate Y1 - 2019 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-473433 SN - 1866-8372 IS - 1335 ER - TY - THES A1 - Knöchel, Jane T1 - Model reduction of mechanism-based pharmacodynamic models and its link to classical drug effect models T1 - Modellreduktion von mechanistischen pharmacodynamischen Modellen und deren Verbindung zu klassischen Wirkstoff-Effekt-Modellen N2 - Continuous insight into biological processes has led to the development of large-scale, mechanistic systems biology models of pharmacologically relevant networks. While these models are typically designed to study the impact of diverse stimuli or perturbations on multiple system variables, the focus in pharmacological research is often on a specific input, e.g., the dose of a drug, and a specific output related to the drug effect or response in terms of some surrogate marker. To study a chosen input-output pair, the complexity of the interactions as well as the size of the models hinders easy access and understanding of the details of the input-output relationship. The objective of this thesis is the development of a mathematical approach, in specific a model reduction technique, that allows (i) to quantify the importance of the different state variables for a given input-output relationship, and (ii) to reduce the dynamics to its essential features -- allowing for a physiological interpretation of state variables as well as parameter estimation in the statistical analysis of clinical data. We develop a model reduction technique using a control theoretic setting by first defining a novel type of time-limited controllability and observability gramians for nonlinear systems. We then show the superiority of the time-limited generalised gramians for nonlinear systems in the context of balanced truncation for a benchmark system from control theory. The concept of time-limited controllability and observability gramians is subsequently used to introduce a state and time-dependent quantity called the input-response (ir) index that quantifies the importance of state variables for a given input-response relationship at a particular time. We subsequently link our approach to sensitivity analysis, thus, enabling for the first time the use of sensitivity coefficients for state space reduction. The sensitivity based ir-indices are given as a product of two sensitivity coefficients. This allows not only for a computational more efficient calculation but also for a clear distinction of the extent to which the input impacts a state variable and the extent to which a state variable impacts the output. The ir-indices give insight into the coordinated action of specific state variables for a chosen input-response relationship. Our developed model reduction technique results in reduced models that still allow for a mechanistic interpretation in terms of the quantities/state variables of the original system, which is a key requirement in the field of systems pharmacology and systems biology and distinguished the reduced models from so-called empirical drug effect models. The ir-indices are explicitly defined with respect to a reference trajectory and thereby dependent on the initial state (this is an important feature of the measure). This is demonstrated for an example from the field of systems pharmacology, showing that the reduced models are very informative in their ability to detect (genetic) deficiencies in certain physiological entities. Comparing our novel model reduction technique to the already existing techniques shows its superiority. The novel input-response index as a measure of the importance of state variables provides a powerful tool for understanding the complex dynamics of large-scale systems in the context of a specific drug-response relationship. Furthermore, the indices provide a means for a very efficient model order reduction and, thus, an important step towards translating insight from biological processes incorporated in detailed systems pharmacology models into the population analysis of clinical data. N2 - Die kontinuierliche Erforschung von biologischen Prozessen hat zur Entwicklung umfangreicher, mechanistischer systembiologischer Modelle von pharmakologisch relevanten Netzwerken beigetragen. Während diese Modelle in der Regel darauf ausgelegt sind, die Auswirkung von Stimuli oder Störungen auf die Systemdynamik zu untersuchen, liegt der Fokus in der pharmakologis- chen Forschung häufig auf einer bestimmten Kontrolle, z.B. der Dosis eines Wirkstoffes, und einer bestimmten Ausgangsgröße, welche in Bezug steht zu dem Wirkstoff-Effekt oder das Ansprechen auf einen Wirkstoff über einen Surrogatmarker. Die Untersuchung und ein einfaches Verständnis einer spezifischen Eingabe-Ausgabe-Beziehung wird durch die Komplexität der Interaktionen sowie der Größe des Modells erschwert. Das Ziel dieser vorliegenden Arbeit ist die Entwicklung eines mathematischen Ansatzes, insbesondere eines Modellreduktionsverfahrens, der es ermöglicht, (i) die Bedeutung der verschiedenen Zustandsvariablen für eine gegebene Eingabe-Ausgabe-Beziehung zu quantifizieren, und (ii) die Dynamik des Systems auf seine wesentlichen Merkmale zu reduzieren, während gleichzeitig die physiologische Interpretierbarkeit von Zustandsvariablen sowie eine Parameterschätzung im Rahmen von einer statistischen Analyse klinischer Daten ermöglicht wird. Unter Verwendung eines kontrolltheoretischen Settings entwickeln wir eine Modellreduktionstechnik, indem wir vorerst einen neuartigen Typ von zeitlich begrenzten Kontrolllierbarkeits- und Beobachtbarkeitsgramian für nichtlineare Systeme definieren. Anschließend zeigen wir die Überlegenkeit der zeitlich begrenzten verallgemeinerten Gramian für nichtlineare Systeme im Kontext von Balanced Truncation am Beispiel eines Benchmark-Systems aus der Kontrolltheorie. Wir nutzten das Konzept der zeitlich begrenzten Kontrolllierbarkeits- und Beobachtbarkeitsgramian, um eine neue Zustands- und zeitabhängige Größe, die als Input-Response (IR-) Index bezeichnet wird, einzuführen. Dieser Index quantifiziert die Bedeutung von Zustandsvariablen zu einem bestimmten Zeitpunkt für eine bestimmte Eingabe-Ausgabe-Beziehung. Schließlich verknüpfen wir unseren Ansatz mit der Sensitivitätsanalyse und ermöglichen so erstmals die Verwendung von Sensitivitätskoeffizienten im Rahmen der Reduktion des Zustandsraumes. Wir erhalten die sensitivitätsbasierten IR-Indizes als Produkt zweier Sensitivitätskoeffizienten. Dies ermöglicht nicht nur eine effizientere Berechnung, sondern auch eine klare Unterscheidung, inwieweit die Eingabe eine Zustandsvariable beeinflusst und inwieweit eine Zustandsvariable die Ausgabe beeinflusst. Mit Hilfe der IR-Indizes erhalten wir einen Einblick in den koordinierten Ablauf der Aktivierung von spezifischen Zustandsvariablen für eine ausgewählte Eingabe-Ausgabe-Beziehung. Unser entwickeltes Modellreduktionsverfahren resultiert in reduzierten Modelle, welche eine mechanistische Interpretation hinsichtlich der Originalgrößen und Zustandsvariablen des Ursprungssystems zulassen. Dies war eine wichtige Anforderung an das Verfahren von Seiten der Systempharmakologie und -biologie. Die reduzierten Modelle unterscheiden sich damit wesentlich von den so genannten empirischen Wirkstoff-Effekt-Modellen. Die IR-Indizes sind explizit in Bezug auf eine Referenzlösung definiert und damit vom Anfangszustand abhängig (dies ist ein wichtiges Merkmal der Indizes). Wir zeigen anhand eines Beispiels aus dem Bereich der Systempharmakologie, dass die reduzierten Modelle sehr aussagekräftig sind, um (genetische) Mängel in bestimmten physiologischen Einheiten festzustellen. Der Vergleich unseres neuartigen Modellreduktionsverfahrens mit den bereits vorhandenen Verfahren zeigt dessen Überlegenheit. Der neuartige IR-Index als Maß für die Wichtigkeit von Zustandsvariablen bietet ein leistungsfähiges mathematisches Werkzeug zum Verständnis und der Analyse der komplexen Dynamik von großen Systemen im Kontext einer bestimmten Wirkstoff-Effekt-Beziehung. Darüber hinaus sind die Indizes eine wichtige Grundlage für das eingeführte und sehr effiziente Modellreduktionsverfahren. Insgesamt stellt dies einen wichtigen Schritt zur Nutzung von Erkenntnissen über biologische Prozesse in Form von detaillierten systempharmakologischen Modellen in der Populationsanalyse klinischer Daten dar. KW - model order reduction KW - control theory KW - large-scale mechanistic systems KW - systems pharmacology KW - Modellreduktion KW - Kontrolltheorie KW - komplexe mechanistische Systeme KW - Systempharmakologie Y1 - 2019 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-440598 ER - TY - THES A1 - Lewandowski, Max T1 - Hadamard states for bosonic quantum field theory on globally hyperbolic spacetimes T1 - Hadamard-Zustände für bosonische Quantenfeldtheorie auf global hyperbolischen Raumzeiten N2 - Quantenfeldtheorie auf gekrümmten Raumzeiten ist eine semiklassische Näherung einer Quantentheorie der Gravitation, im Rahmen derer ein Quantenfeld unter dem Einfluss eines klassisch modellierten Gravitationsfeldes, also einer gekrümmten Raumzeit, beschrieben wird. Eine der bemerkenswertesten Vorhersagen dieses Ansatzes ist die Erzeugung von Teilchen durch die gekrümmte Raumzeit selbst, wie zum Beispiel durch Hawkings Verdampfen schwarzer Löcher und den Unruh Effekt. Andererseits deuten diese Aspekte bereits an, dass fundamentale Grundpfeiler der Theorie auf dem Minkowskiraum, insbesondere ein ausgezeichneter Vakuumzustand und damit verbunden der Teilchenbegriff, für allgemeine gekrümmte Raumzeiten keine sinnvolle Entsprechung besitzen. Gleichermaßen benötigen wir eine alternative Implementierung von Kovarianz in die Theorie, da gekrümmte Raumzeiten im Allgemeinen keine nicht-triviale globale Symmetrie aufweisen. Letztere Problematik konnte im Rahmen lokal-kovarianter Quantenfeldtheorie gelöst werden, wohingegen die Abwesenheit entsprechender Konzepte für Vakuum und Teilchen in diesem allgemeinen Fall inzwischen sogar in Form von no-go-Aussagen manifestiert wurde. Beim algebraischen Ansatz für eine Quantenfeldtheorie werden zunächst Observablen eingeführt und erst anschließend Zustände via Zuordnung von Erwartungswerten. Obwohl die Observablen unter physikalischen Gesichtspunkten konstruiert werden, existiert dennoch eine große Anzahl von möglichen Zuständen, von denen viele, aus physikalischen Blickwinkeln betrachtet, nicht sinnvoll sind. Dieses Konzept von Zuständen ist daher noch zu allgemein und bedarf weiterer physikalisch motivierter Einschränkungen. Beispielsweise ist es natürlich, sich im Falle freier Quantenfeldtheorien mit linearen Feldgleichungen auf quasifreie Zustände zu konzentrieren. Darüber hinaus ist die Renormierung von Erwartungswerten für Produkte von Feldern von zentraler Bedeutung. Dies betrifft insbesondere den Energie-Impuls-Tensor, dessen Erwartungswert durch distributionelle Bilösungen der Feldgleichungen gegeben ist. Tatsächlich liefert J. Hadamard Theorie hyperbolischer Differentialgleichungen Bilösungen mit festem singulären Anteil, so dass ein geeignetes Renormierungsverfahren definiert werden kann. Die sogenannte Hadamard-Bedingung an Bidistributionen steht für die Forderung einer solchen Singularitätenstruktur und sie hat sich etabliert als natürliche Verallgemeinerung der für flache Raumzeiten formulierten Spektralbedingung. Seit Radzikowskis wegweisenden Resultaten lässt sie sich außerdem lokal ausdrücken, nämlich als eine Bedingung an die Wellenfrontenmenge der Bilösung. Diese Formulierung schlägt eine Brücke zu der von Duistermaat und Hörmander entwickelten mikrolokalen Analysis, die seitdem bei der Überprüfung der Hadamard-Bedingung sowie der Konstruktion von Hadamard Zuständen vielfach Verwendung findet und rasante Fortschritte auf diesem Gebiet ausgelöst hat. Obwohl unverzichtbar für die Analyse der Charakteristiken von Operatoren und ihrer Parametrizen sind die Methoden und Aussagen der mikrolokalen Analysis ungeeignet für die Analyse von nicht-singulären Strukturen und zentrale Aussagen sind typischerweise bis auf glatte Anteile formuliert. Beispielsweise lassen sich aus Radzikowskis Resultaten nahezu direkt Existenzaussagen und sogar ein konkretes Konstruktionsschema für Hadamard Zustände ableiten, die übrigen Eigenschaften (Bilösung, Kausalität, Positivität) können jedoch auf diesem Wege nur modulo glatte Funktionen gezeigt werden. Es ist das Ziel dieser Dissertation, diesen Ansatz für lineare Wellenoperatoren auf Schnitten in Vektorbündeln über global-hyperbolischen Lorentz-Mannigfaltigkeiten zu vollenden und, ausgehend von einer lokalen Hadamard Reihe, Hadamard Zustände zu konstruieren. Beruhend auf Wightmans Lösung für die d'Alembert-Gleichung auf dem Minkowski-Raum und der Herleitung der avancierten und retardierten Fundamentallösung konstruieren wir lokal Parametrizen in Form von Hadamard-Reihen und fügen sie zu globalen Bilösungen zusammen. Diese besitzen dann die Hadamard-Eigenschaft und wir zeigen anschließend, dass glatte Bischnitte existieren, die addiert werden können, so dass die verbleibenden Bedingungen erfüllt sind. N2 - Quantum field theory on curved spacetimes is understood as a semiclassical approximation of some quantum theory of gravitation, which models a quantum field under the influence of a classical gravitational field, that is, a curved spacetime. The most remarkable effect predicted by this approach is the creation of particles by the spacetime itself, represented, for instance, by Hawking's evaporation of black holes or the Unruh effect. On the other hand, these aspects already suggest that certain cornerstones of Minkowski quantum field theory, more precisely a preferred vacuum state and, consequently, the concept of particles, do not have sensible counterparts within a theory on general curved spacetimes. Likewise, the implementation of covariance in the model has to be reconsidered, as curved spacetimes usually lack any non-trivial global symmetry. Whereas this latter issue has been resolved by introducing the paradigm of locally covariant quantum field theory (LCQFT), the absence of a reasonable concept for distinct vacuum and particle states on general curved spacetimes has become manifest even in the form of no-go-theorems. Within the framework of algebraic quantum field theory, one first introduces observables, while states enter the game only afterwards by assigning expectation values to them. Even though the construction of observables is based on physically motivated concepts, there is still a vast number of possible states, and many of them are not reasonable from a physical point of view. We infer that this notion is still too general, that is, further physical constraints are required. For instance, when dealing with a free quantum field theory driven by a linear field equation, it is natural to focus on so-called quasifree states. Furthermore, a suitable renormalization procedure for products of field operators is vitally important. This particularly concerns the expectation values of the energy momentum tensor, which correspond to distributional bisolutions of the field equation on the curved spacetime. J. Hadamard's theory of hyperbolic equations provides a certain class of bisolutions with fixed singular part, which therefore allow for an appropriate renormalization scheme. By now, this specification of the singularity structure is known as the Hadamard condition and widely accepted as the natural generalization of the spectral condition of flat quantum field theory. Moreover, due to Radzikowski's celebrated results, it is equivalent to a local condition, namely on the wave front set of the bisolution. This formulation made the powerful tools of microlocal analysis, developed by Duistermaat and Hörmander, available for the verification of the Hadamard property as well as the construction of corresponding Hadamard states, which initiated much progress in this field. However, although indispensable for the investigation in the characteristics of operators and their parametrices, microlocal analyis is not practicable for the study of their non-singular features and central results are typically stated only up to smooth objects. Consequently, Radzikowski's work almost directly led to existence results and, moreover, a concrete pattern for the construction of Hadamard bidistributions via a Hadamard series. Nevertheless, the remaining properties (bisolution, causality, positivity) are ensured only modulo smooth functions. It is the subject of this thesis to complete this construction for linear and formally self-adjoint wave operators acting on sections in a vector bundle over a globally hyperbolic Lorentzian manifold. Based on Wightman's solution of d'Alembert's equation on Minkowski space and the construction for the advanced and retarded fundamental solution, we set up a Hadamard series for local parametrices and derive global bisolutions from them. These are of Hadamard form and we show existence of smooth bisections such that the sum also satisfies the remaining properties exactly. KW - mathematische Physik KW - Quantenfeldtheorie KW - Differentialgeometrie KW - mathematical physics KW - quantum field theory KW - differential geometry Y1 - 2019 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-439381 ER - TY - THES A1 - Angwenyi, David T1 - Time-continuous state and parameter estimation with application to hyperbolic SPDEs T1 - Zeitkontinuierliche Zustands- und Parameterschätzung bei Anwendung auf hyperbolische SPDEs N2 - Data assimilation has been an active area of research in recent years, owing to its wide utility. At the core of data assimilation are filtering, prediction, and smoothing procedures. Filtering entails incorporation of measurements' information into the model to gain more insight into a given state governed by a noisy state space model. Most natural laws are governed by time-continuous nonlinear models. For the most part, the knowledge available about a model is incomplete; and hence uncertainties are approximated by means of probabilities. Time-continuous filtering, therefore, holds promise for wider usefulness, for it offers a means of combining noisy measurements with imperfect model to provide more insight on a given state. The solution to time-continuous nonlinear Gaussian filtering problem is provided for by the Kushner-Stratonovich equation. Unfortunately, the Kushner-Stratonovich equation lacks a closed-form solution. Moreover, the numerical approximations based on Taylor expansion above third order are fraught with computational complications. For this reason, numerical methods based on Monte Carlo methods have been resorted to. Chief among these methods are sequential Monte-Carlo methods (or particle filters), for they allow for online assimilation of data. Particle filters are not without challenges: they suffer from particle degeneracy, sample impoverishment, and computational costs arising from resampling. The goal of this thesis is to:— i) Review the derivation of Kushner-Stratonovich equation from first principles and its extant numerical approximation methods, ii) Study the feedback particle filters as a way of avoiding resampling in particle filters, iii) Study joint state and parameter estimation in time-continuous settings, iv) Apply the notions studied to linear hyperbolic stochastic differential equations. The interconnection between Itô integrals and stochastic partial differential equations and those of Stratonovich is introduced in anticipation of feedback particle filters. With these ideas and motivated by the variants of ensemble Kalman-Bucy filters founded on the structure of the innovation process, a feedback particle filter with randomly perturbed innovation is proposed. Moreover, feedback particle filters based on coupling of prediction and analysis measures are proposed. They register a better performance than the bootstrap particle filter at lower ensemble sizes. We study joint state and parameter estimation, both by means of extended state spaces and by use of dual filters. Feedback particle filters seem to perform well in both cases. Finally, we apply joint state and parameter estimation in the advection and wave equation, whose velocity is spatially varying. Two methods are employed: Metropolis Hastings with filter likelihood and a dual filter comprising of Kalman-Bucy filter and ensemble Kalman-Bucy filter. The former performs better than the latter. N2 - Die Datenassimilation war in den letzten Jahren aufgrund ihres breiten Nutzens ein aktives Forschungsgebiet. Im Zentrum der Datenassimilation stehen Filter-, Vorhersage- und Glättungsverfahren. Die Filterung beinhaltet die Einbeziehung von Messinformationen in das Modell, um einen besseren Einblick in einen gegebenen Zustand zu erhalten, der durch ein verrauschtes Zustandsraummodell gesteuert wird. Die meisten Naturgesetze werden von zeitkontinuierlichen nichtlinearen Modellen bestimmt. Das verfügbare Wissen über ein Modell ist größtenteils unvollständig; und daher werden Unsicherheiten mittels Wahrscheinlichkeiten angenähert. Die zeitkontinuierliche Filterung verspricht daher eine größere Nützlichkeit, denn sie bietet die Möglichkeit, verrauschte Messungen mit einem unvollkommenen Modell zu kombinieren, um mehr Einblick in einen bestimmten Zustand zu erhalten. Das Problem der zeitkontinuierlichen nichtlinearen Gaußschen Filterung wird durch die Kushner-Stratonovich-Gleichung gelöst. Leider fehlt der Kushner-Stratonovich-Gleichung eine geschlossene Lösung. Darüber hinaus sind die numerischen Näherungen, die auf der Taylor-Erweiterung über der dritten Ordnung basieren, mit rechnerischen Komplikationen behaftet. Aus diesem Grund wurde auf numerische Methoden zurückgegriffen, die auf Monte-Carlo-Methoden basieren. Die wichtigsten dieser Methoden sind sequentielle Monte-Carlo-Methoden (oder Partikelfilter), da sie die Online-Assimilation von Daten ermöglichen. Partikelfilter sind nicht unproblematisch: Sie leiden unter Partikelentartung, Probenverarmung und Rechenkosten, die sich aus der Neuabtastung ergeben. Das Ziel dieser Arbeit ist es, i) die Ableitung der Kushner-Stratonovich-Gleichung aus den ersten Prinzipien und ihre vorhandenen numerischen Approximationsmethoden zu überprüfen, ii) die Rückkopplungs-Partikelfilter zu untersuchen, um eine Neuabtastung in Partikelfiltern zu vermeiden, iii) Studieren Sie die Zustands- und Parameterschätzung in zeitkontinuierlichen Einstellungen, iv) Wenden Sie die untersuchten Begriffe auf lineare hyperbolische stochastische Differentialgleichungen an. Die Verbindung zwischen Itô Integralen und stochastischen partiellen Differentialgleichungen und denen von Stratonovich wird in Erwartung von Rückkopplungs-Partikelfiltern eingeführt. Mit diesen Ideen und motiviert durch die Varianten von Kalman-Bucy-Filtern, die auf der Struktur des Innovationsprozesses gegründet, wird ein Feedback-Partikelfilter mit zufällig gestörter Innovation vorgeschlagen. Darüber hinaus werden Rückkopplungspartikelfilter basierend auf der Kopplung von Vorhersage- und Analysemaßnahmen vorgeschlagen. Diese Feedback-Partikelfiltern haben eine bessere Leistung als der Bootstrap-Partikelfilter bei niedrigeren Ensemble-Größen. Wir untersuchen gemeinsame Zustands- und Parameterschätzungen, sowohl durch erweiterte Zustandsräume als auch durch Verwendung von Doppelfiltern. Rückkopplungs-Partikelfilter scheinen in beiden Fällen gut zu funktionieren. Schließlich wenden wir eine gemeinsame Zustands- und Parameterschätzung in der Advektions-und Wellengleichung an, deren Geschwindigkeit räumlich variiert. Es werden zwei Verfahren verwendet: Metropolis-Hastings mit Filterwahrscheinlichkeit und ein Doppelfilter bestehend aus Kalman-Bucy-Filter und Ensemble-Kalman-Bucy-Filter. Ersteres schneidet besser ab als letzteres. KW - state estimation KW - filtering KW - parameter estimation KW - Zustandsschätzung KW - Filterung KW - Parameter Schätzung Y1 - 2019 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-436542 ER - TY - THES A1 - Jakobs, Friedrich T1 - Dubrovin–rings and their connection to Hughes–free skew fields of fractions T1 - Dubrovinringe und ihre Verbindung zu Hughes-freien Quotientenschiefkörpern N2 - One method of embedding groups into skew fields was introduced by A. I. Mal'tsev and B. H. Neumann (cf. [18, 19]). If G is an ordered group and F is a skew field, the set F((G)) of formal power series over F in G with well-ordered support forms a skew field into which the group ring F[G] can be embedded. Unfortunately it is not suficient that G is left-ordered since F((G)) is only an F-vector space in this case as there is no natural way to define a multiplication on F((G)). One way to extend the original idea onto left-ordered groups is to examine the endomorphism ring of F((G)) as explored by N. I. Dubrovin (cf. [5, 6]). It is possible to embed any crossed product ring F[G; η, σ] into the endomorphism ring of F((G)) such that each non-zero element of F[G; η, σ] defines an automorphism of F((G)) (cf. [5, 10]). Thus, the rational closure of F[G; η, σ] in the endomorphism ring of F((G)), which we will call the Dubrovin-ring of F[G; η, σ], is a potential candidate for a skew field of fractions of F[G; η, σ]. The methods of N. I. Dubrovin allowed to show that specific classes of groups can be embedded into a skew field. For example, N. I. Dubrovin contrived some special criteria, which are applicable on the universal covering group of SL(2, R). These methods have also been explored by J. Gräter and R. P. Sperner (cf. [10]) as well as N.H. Halimi and T. Ito (cf. [11]). Furthermore, it is of interest to know if skew fields of fractions are unique. For example, left and right Ore domains have unique skew fields of fractions (cf. [2]). This is not the general case as for example the free group with 2 generators can be embedded into non-isomorphic skew fields of fractions (cf. [12]). It seems likely that Ore domains are the most general case for which unique skew fields of fractions exist. One approach to gain uniqueness is to restrict the search to skew fields of fractions with additional properties. I. Hughes has defined skew fields of fractions of crossed product rings F[G; η, σ] with locally indicable G which fulfill a special condition. These are called Hughes-free skew fields of fractions and I. Hughes has proven that they are unique if they exist [13, 14]. This thesis will connect the ideas of N. I. Dubrovin and I. Hughes. The first chapter contains the basic terminology and concepts used in this thesis. We present methods provided by N. I. Dubrovin such as the complexity of elements in rational closures and special properties of endomorphisms of the vector space of formal power series F((G)). To combine the ideas of N.I. Dubrovin and I. Hughes we introduce Conradian left-ordered groups of maximal rank and examine their connection to locally indicable groups. Furthermore we provide notations for crossed product rings, skew fields of fractions as well as Dubrovin-rings and prove some technical statements which are used in later parts. The second chapter focuses on Hughes-free skew fields of fractions and their connection to Dubrovin-rings. For that purpose we introduce series representations to interpret elements of Hughes-free skew fields of fractions as skew formal Laurent series. This 1 Introduction allows us to prove that for Conradian left-ordered groups G of maximal rank the statement "F[G; η, σ] has a Hughes-free skew field of fractions" implies "The Dubrovin ring of F [G; η, σ] is a skew field". We will also prove the reverse and apply the results to give a new prove of Theorem 1 in [13]. Furthermore we will show how to extend injective ring homomorphisms of some crossed product rings onto their Hughes-free skew fields of fractions. At last we will be able to answer the open question whether Hughes--free skew fields are strongly Hughes-free (cf. [17, page 53]). N2 - In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit Quotientenschiefkörpern von verschränkten Produkten F [G; η, σ], wobei G eine Gruppe und F ein Schiefkörper ist. Eine Methode Gruppen in Schiefkörper einzubetten stammt von A. I. Mal’tsev und B. H. Neumann. Ist G eine beidseitig geordnete Gruppe, so lässt sich die Menge der formalen Potenzreihen F ((G)) über F in G mit wohlgeordnetem Träger als Schiefkörper interpretieren. In diesen lässt sich jedes verschränkte Produkt F [G; η, σ] einbetten. Möchte man die Klasse der einzubettenden Gruppen erweitern, so bieten sich links–geordnete Gruppen an. In diesem Fall hat F ((G)) keine natürliche Ringstruktur, aber man kann nutzen, dass F ((G)) ein rechter F–Vektorraum ist und seinen Endomorphismenring untersuchen. Jedes Verschränkte Produkt F [G; η, σ] lässt sich derart in den Endomorphismenring einbetten, dass die zugehörigen von Null verschiedenen Endomorphismen Automorphismen sind. Der rationale Abschluss von F [G; η, σ] in End(F ((G))), den wir Dubrovinring von F [G; η, σ] nennen, ist somit ein potentieller Quotientenschiefkörper von F [G; η, σ]. Neben der Existenz von Quotientenschiefkörpern ist deren Eindeutigkeit (bis auf Isomorphie) von Interesse. Im Gegensatz zum kommutativen Fall sind Quotientenschiefkörper im Allgemeinen nicht eindeutig. So lässt sich beispielsweise die freie Gruppe mit zwei Erzeugenden in nicht–isomorphe Quotientenschiefkörper einbetten. Eine große Klasse an Ringen, die eindeutige Quotientenschiefkörper besitzen, sind Ore–Bereiche. Vermutlich lässt sich diese Klasse nicht erweitern, ohne zusätzliche Eigenschaften der Quotientenschiefkörper zu verlangen. Eine solche Eigenschaft, im Folgenden Hughes–frei genannt, wurde von I. Hughes vorgeschlagen. Er konnte beweisen, dass Hughes–freie Quotientenschiefkörper eindeutig sind, wenn sie existieren. In dieser Arbeit verbinden wir die Ideen von I. Hughes und N. I. Dubrovin. Wir zeigen, dass die Elemente von Hughes–freien Quotientenschiefkörpern als formale schiefe Laurent–Reihen dargestellt werden können und dass diese Darstellungen in gewisser Weise eindeutig sind. Dieses Ergebnis nutzen wir um zu beweisen, dass die Aussagen “F [G; η, σ] besitzt einen Hughes–freien Quotientenschiefkörper” und “Der Dubrovinring von F [G; η, σ] ist ein Schiefkörper” äquivalent sind, wenn G eine links–geordnete Gruppe von Conrad–Typ mit maximalem Rang ist. Wir stellen den nötigen Begriffsapparat zur Verfügung. Dieser basiert vorwiegend auf den Arbeiten von N. I. Dubrovin und umfasst spezielle Eigenschaften der Endomorphismen von F ((G)) sowie die Komplexität von Elementen in rationalen Abschlüssen. Des Weiteren gehen wir auf links–geordnete Gruppen von Conrad–Typ ein und untersuchen ihren Zusammenhang mit lokal indizierbaren Gruppen, die eine grundlegende Rolle für Hughes–freie Quotientenschiefkörper spielen. Wir werden zeigen können, dass Dubrovinringe, die Schiefkörper sind, stark Hughes–freie Quotientenschiefkörper sind, was die offene Frage beantwortet, ob Hughes–freie Quotientenschiefkörper stark Hughes–frei sind. Außerdem werden wir einen alternativen Beweis der Eindeutigkeit von Hughes–freien Quotientenschiefkörpern präsentieren und die Fortsetzbarkeit von Automorphismen eines verschränkten Produkts auf Hughes–freie Quotientenschiefkörper untersuchen. KW - Hughes-free KW - Dubrovinring KW - left ordered groups KW - Conradian ordered groups KW - skew field of fraction KW - locally indicable KW - series representation KW - strongly Hughes-free KW - Hughes-frei KW - Dubrovinring KW - linksgeordnete Gruppen KW - geordnete Gruppen von Conrad-Typ KW - Quotientenschiefkörper KW - lokal indizierbar KW - Reihendarstellungen KW - stark Hughes-frei Y1 - 2019 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-435561 ER -