TY - THES A1 - Lindblad Petersen, Oliver T1 - The Cauchy problem for the linearised Einstein equation and the Goursat problem for wave equations T1 - Das Cauchyproblem für die linearisierte Einsteingleichung und das Goursatproblem für Wellengleichungen N2 - In this thesis, we study two initial value problems arising in general relativity. The first is the Cauchy problem for the linearised Einstein equation on general globally hyperbolic spacetimes, with smooth and distributional initial data. We extend well-known results by showing that given a solution to the linearised constraint equations of arbitrary real Sobolev regularity, there is a globally defined solution, which is unique up to addition of gauge solutions. Two solutions are considered equivalent if they differ by a gauge solution. Our main result is that the equivalence class of solutions depends continuously on the corre- sponding equivalence class of initial data. We also solve the linearised constraint equations in certain cases and show that there exist arbitrarily irregular (non-gauge) solutions to the linearised Einstein equation on Minkowski spacetime and Kasner spacetime. In the second part, we study the Goursat problem (the characteristic Cauchy problem) for wave equations. We specify initial data on a smooth compact Cauchy horizon, which is a lightlike hypersurface. This problem has not been studied much, since it is an initial value problem on a non-globally hyperbolic spacetime. Our main result is that given a smooth function on a non-empty, smooth, compact, totally geodesic and non-degenerate Cauchy horizon and a so called admissible linear wave equation, there exists a unique solution that is defined on the globally hyperbolic region and restricts to the given function on the Cauchy horizon. Moreover, the solution depends continuously on the initial data. A linear wave equation is called admissible if the first order part satisfies a certain condition on the Cauchy horizon, for example if it vanishes. Interestingly, both existence of solution and uniqueness are false for general wave equations, as examples show. If we drop the non-degeneracy assumption, examples show that existence of solution fails even for the simplest wave equation. The proof requires precise energy estimates for the wave equation close to the Cauchy horizon. In case the Ricci curvature vanishes on the Cauchy horizon, we show that the energy estimates are strong enough to prove local existence and uniqueness for a class of non-linear wave equations. Our results apply in particular to the Taub-NUT spacetime and the Misner spacetime. It has recently been shown that compact Cauchy horizons in spacetimes satisfying the null energy condition are necessarily smooth and totally geodesic. Our results therefore apply if the spacetime satisfies the null energy condition and the Cauchy horizon is compact and non-degenerate. N2 - In der vorliegenden Arbeit werden zwei Anfangswertsprobleme aus der Allgemeinen Relativitätstheorie betrachtet. Das erste ist das Cauchyproblem für die linearisierte Einsteingleichung auf allgemeinen global hyperbolischen Raumzeiten mit glatten und distributionellen Anfangsdaten. Wir verallgemeinern bekannte Ergebnisse, indem wir zeigen, dass für jede gegebene Lösung der linearisierten Constraintgleichungen mit reeller Sobolevregularität eine global definierte Lösung existiert, die eindeutig ist bis auf Addition von Eichlösungen. Zwei Lösungen sind äquivalent falls sie sich durch eine Eichlösung unterscheiden. Unser Hauptergebnis ist, dass die äquivalenzklasse der Lösungen stetig von der zugehörigen Äquivalenzklasse der Anfangsdaten abhängt. Wir lösen auch die linearisierten Constraintgleichungen in Spezialfällen und zeigen, dass beliebig irreguläre (nicht Eich-) Lösungen der linearisierten Einsteingleichungen auf der Minkowski-Raumzeit und der Kasner-Raumzeit existieren. Im zweiten Teil betrachten wir das Goursatproblem (das charakteristische Cauchyproblem) für Wellengleichungen. Wir geben Anfangsdaten auf einem Cauchyhorizont vor, der eine lichtartige Hyperfläche ist. Dieses Problem wurde bisher noch nicht viel betrachtet, weil es ein Anfangswertproblem auf einer nicht global hyperbolischen Raumzeit ist. Unser Hauptergebnis ist: Gegeben eine glatte Funktion auf einem nicht-leeren glatten, kompakten, totalgeodätischen und nicht-degenerierten Cauchyhorizont und eine so genannte zulässige Wellengleichung, dann existiert eine eindeutige Lösung, die auf dem global hyperbolischen Gebiet definiert ist und deren Einschränkung auf dem Cauchyhorizont die gegebene Funktion ist. Die Lösung hängt stetig von den Anfangsdaten ab. Eine Wellengleichung heißt zulässig, falls der Teil erster Ordnung eine gewisse Bedingung am Cauchyhorizont erfüllt, zum Beispiel falls er gleich Null ist. Interessant ist, dass Existenz der Lösung und Eindeutigkeit falsch sind für allgemeine Wellengleichungen, wie Beispiele zeigen. Falls wir die Bedingung der Nichtdegeneriertheit weglassen, ist Existenz von Lösungen falsch sogar für die einfachste Wellengleichung. Der Beweis benötigt genaue Energieabschätzungen für die Wellengleichung nahe am Cauchyhorizont. Im Fall, dass die Ricci-Krümmung am Cauchyhorizont verschwindet, zeigen wir, dass die Energieabschätzungen stark genug sind, um lokale Existenz und Eindeutigkeit für eine Klasse von nicht-linearen Wellengleichungen zu zeigen. Unser Ergebnis ist zum Beispiel auf der Taub-NUT-Raumzeit oder der Misner-Raumzeit gültig. Es wurde vor kurzem gezeigt, dass kompakte Cauchyhorizonte in Raumzeiten, die die Nullenergiebedingung erfüllen, notwendigerweise glatt und totalgeodätisch sind. Unsere Ergebnisse sind deshalb auf Raumzeiten gültig, die die Nullenergiebedingung erfüllen, wenn der Cauchyhorizont kompakt und nicht-degeneriert ist. KW - Cauchy horizon KW - the Goursat problem KW - the characteristic Cauchy problem KW - wave equation KW - the Cauchy problem KW - gravitational wave KW - the linearised Einstein equation KW - Cauchyhorizont KW - das Goursatproblem KW - das charakteristische Cauchyproblem KW - Wellengleichung KW - das Cauchyproblem KW - Gravitationswelle KW - die linearisierte Einsteingleichung Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-410216 ER - TY - THES A1 - Chirvasa, Mihaela T1 - Finite difference methods for 1st Order in time, 2nd order in space, hyperbolic systems used in numerical relativity T1 - Finite Differenzen für hyperbolische Gleichungen erster Ordnung in der Zeit, zweiter Ordnung im Raum in der numerischen Relativitätstheorie N2 - This thesis is concerned with the development of numerical methods using finite difference techniques for the discretization of initial value problems (IVPs) and initial boundary value problems (IBVPs) of certain hyperbolic systems which are first order in time and second order in space. This type of system appears in some formulations of Einstein equations, such as ADM, BSSN, NOR, and the generalized harmonic formulation. For IVP, the stability method proposed in [14] is extended from second and fourth order centered schemes, to 2n-order accuracy, including also the case when some first order derivatives are approximated with off-centered finite difference operators (FDO) and dissipation is added to the right-hand sides of the equations. For the model problem of the wave equation, special attention is paid to the analysis of Courant limits and numerical speeds. Although off-centered FDOs have larger truncation errors than centered FDOs, it is shown that in certain situations, off-centering by just one point can be beneficial for the overall accuracy of the numerical scheme. The wave equation is also analyzed in respect to its initial boundary value problem. All three types of boundaries - outflow, inflow and completely inflow that can appear in this case, are investigated. Using the ghost-point method, 2n-accurate (n = 1, 4) numerical prescriptions are prescribed for each type of boundary. The inflow boundary is also approached using the SAT-SBP method. In the end of the thesis, a 1-D variant of BSSN formulation is derived and some of its IBVPs are considered. The boundary procedures, based on the ghost-point method, are intended to preserve the interior 2n-accuracy. Numerical tests show that this is the case if sufficient dissipation is added to the rhs of the equations. N2 - Diese Doktorarbeit beschäftigt sich mit der Entwicklung numerischer Verfahren für die Diskretisierung des Anfangswertproblems und des Anfangs-Randwertproblems unter Einsatz von finite-Differenzen-Techniken für bestimmte hyperbolischer Systeme erster Ordnung in der Zeit und zweiter Ordnung im Raum. Diese Art von Systemen erscheinen in einigen Formulierungen der Einstein'schen-Feldgleichungen, wie zB. den ADM, BSSN oder NOR Formulierungen, oder der sogenanten verallgemeinerten harmonischen Darstellung. Im Hinblick auf das Anfangswertproblem untersuche ich zunächst tiefgehend die mathematischen Eigenschaften von finite-Differenzen-Operatoren (FDO) erster und zweiter Ordnung mit 2n-facher Genaugigkeit. Anschließend erweitere ich eine in der Literatur beschriebene Methode zur Stabilitätsanalyse für Systeme mit zentrierten FDOs in zweiter und vierter Genauigkeitsordung auf Systeme mit gemischten zentrierten und nicht zentrierten Ableitungsoperatoren 2n-facher Genauigkeit, eingeschlossen zusätzlicher Dämpfungsterme, wie sie bei numerischen Simulationen der allgemeinen Relativitätstheorie üblich sind. Bei der Untersuchung der einfachen Wellengleichung als Fallbeispiel wird besonderes Augenmerk auf die Analyse der Courant-Grenzen und numerischen Geschwindigkeiten gelegt. Obwohl unzentrierte, diskrete Ableitungsoperatoren größere Diskretisierungs-Fehler besitzen als zentrierte Ableitungsoperatoren, wird gezeigt, daß man in bestimmten Situationen eine Dezentrierung des numerischen Moleküls von nur einem Punkt bezüglich des zentrierten FDO eine höhere Genauigkeit des numerischen Systems erzielen kann. Die Wellen-Gleichung in einer Dimension wurde ebenfalls im Hinblick auf das Anfangswertproblem untersucht. In Abhängigkeit des Wertes des sogenannten Shift-Vektors, müssen entweder zwei (vollständig eingehende Welle), eine (eingehende Welle) oder keine Randbedingung (ausgehende Welle) definiert werden. In dieser Arbeit wurden alle drei Fälle mit Hilfe der 'Ghost-point-methode' numerisch simuliert und untersucht, und zwar auf eine Weise, daß alle diese Algorithmen stabil sind und eine 2n-Genauigkeit besitzen. In der 'ghost-point-methode' werden die Evolutionsgleichungen bis zum letzen Punkt im Gitter diskretisiert unter Verwendung von zentrierten FDOs und die zusätzlichen Punkte die am Rand benötigt werden ('Ghost-points') werden unter Benutzung von Randwertbedingungen und Extrapolationen abgeschätzt. Für den Zufluß-Randwert wurde zusätzlich noch eine andere Implementierung entwickelt, welche auf der sogenannten SBP-SAT (Summation by parts-simulatanous approximation term) basiert. In dieser Methode werden die diskreten Ableitungen durch Operatoren angenähert, welche die 'Summation-by-parts' Regeln erfüllen. Die Randwertbedingungen selber werden in zusätzlichen Termen integriert, welche zu den Evolutionsgleichnungen der Punkte nahe des Randes hinzuaddiert werden und zwar auf eine Weise, daß die 'summation-by-parts' Eigenschaften erhalten bleiben. Am Ende dieser Arbeit wurde noch eine eindimensionale (kugelsymmetrische) Version der BSSN Formulierung abgeleitet und einige physikalisch relevanten Anfangs-Randwertprobleme werden diskutiert. Die Randwert-Algorithmen, welche für diesen Fall ausgearbeitet wurden, basieren auf der 'Ghost-point-Methode' and erfüllen die innere 2n-Genauigkeit solange genügend Reibung in den Gleichungen zugefügt wird. KW - Finite Differenzen KW - Wellengleichung KW - numerischen Relativitätstheorie KW - finite differences KW - wave equation KW - numerical relativity Y1 - 2010 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-42135 ER -