TY - THES A1 - Conforti, Giovanni T1 - Reciprocal classes of continuous time Markov Chains T1 - Reziproke Klassen zeitkontinuierlicher Markov-Ketten N2 - In this thesis we study reciprocal classes of Markov chains. Given a continuous time Markov chain on a countable state space, acting as reference dynamics, the associated reciprocal class is the set of all probability measures on path space that can be written as a mixture of its bridges. These processes possess a conditional independence property that generalizes the Markov property, and evolved from an idea of Schrödinger, who wanted to obtain a probabilistic interpretation of quantum mechanics. Associated to a reciprocal class is a set of reciprocal characteristics, which are space-time functions that determine the reciprocal class. We compute explicitly these characteristics, and divide them into two main families: arc characteristics and cycle characteristics. As a byproduct, we obtain an explicit criterion to check when two different Markov chains share their bridges. Starting from the characteristics we offer two different descriptions of the reciprocal class, including its non-Markov probabilities. The first one is based on a pathwise approach and the second one on short time asymptotic. With the first approach one produces a family of functional equations whose only solutions are precisely the elements of the reciprocal class. These equations are integration by parts on path space associated with derivative operators which perturb the paths by mean of the addition of random loops. Several geometrical tools are employed to construct such formulas. The problem of obtaining sharp characterizations is also considered, showing some interesting connections with discrete geometry. Examples of such formulas are given in the framework of counting processes and random walks on Abelian groups, where the set of loops has a group structure. In addition to this global description, we propose a second approach by looking at the short time behavior of a reciprocal process. In the same way as the Markov property and short time expansions of transition probabilities characterize Markov chains, we show that a reciprocal class is characterized by imposing the reciprocal property and two families of short time expansions for the bridges. Such local approach is suitable to study reciprocal processes on general countable graphs. As application of our characterization, we considered several interesting graphs, such as lattices, planar graphs, the complete graph, and the hypercube. Finally, we obtain some first results about concentration of measure implied by lower bounds on the reciprocal characteristics. N2 - Diese Dissertation behandelt die reziproke zufällige Prozesse mit Sprüngen. Gegeben eine zeitkontinuierliche Markovkette als Referenzdynamik, ist die assoziierte reziproke Klasse die Menge aller Wahrscheinlichkeiten auf dem Pfadraum, die als eine Mischung ihrer Brücken geschrieben werden kann. Reziproke Prozesse zeichnen sich durch eine Form der bedingten Unabhängigkeit aus, die die Markoveigenschaft verallgemeinert. Ursprünglich ist diese Idee auf Schrödinger zurückzuführen, der nach einer probabilistischen Interpretation für die Quantenmechanik suchte. Einer reziproken Klasse wird eine Familie reziproker Charakteristiken assoziiert. Dies sind Raum-Zeit Abbildungen, die die reziproke Klasse eindeutig definieren. Wir berechnen diese Charakteristiken explizit und unterteilen sie in zwei Typen: Bogen-Charakteristiken und Kreis-Charakteristiken. Zusätzlich erhalten wir ein klares Kriterium zur Prüfung wann die Brücken von zwei verschiedenen Markovketten übereinstimmen. Wir beschreiben auf zwei verschiedene Arten reziproken Klasse und berücksichtigen auch ihre nicht-Markov Elemente. Die erste Charakterisierung basiert auf einem pfadweisen Ansatz, während die zweite kurzzeit Asymptotik benutzt. Der erste Ansatz liefert eine Familie funktionaler Gleichungen deren einzige Lösungen die Elemente der reziproken Klasse sind. Die Gleichungen können als partielle Integration auf dem Pfadraum mit einem Ableitungsoperator, der eine St¨orung der Pfade durch zusätzliche zufällige Kreise hervorruft, interpretiert werden. Die Konstruktion dieser Gleichungen benötigt eine geometrische Analyse des Problems. Wir behandeln außerdem die Fragestellung einer scharfen Charakterisierung und zeigen interessante Verbindungen zur diskreten Geometrie. Beispiele, für die wir eine solche Formel finden konnten, sind für Zählprozesse und für Irrfahrte auf abelschen Gruppen, in denen die Menge der Kreise eine Gruppenstruktur erweist. Zusätzlich zu diesem globalen Zugang, erforschen wir eine lokale Beschreibung durch die Analyse des kurzfristigen Verhaltens eines reziproken Prozesses. Analog zur Markoveigenschaft und kurzzeit Entwicklung ihrer Übergangswahrscheinlichkeit Markovketten charakterisieren, zeigen wir, dass eine reziproke Klasse charakterisiert werden kann indem wir ihre reziproke Eigenschaft und zwei Familien von Kurzzeit Entwicklungen der Brücken voraussetzen. Solche lokalen Ansatz ist geeignet, um Sprungprozesse auf allgemeine zählbaren Graphen zu studieren. Als Beispiele unserer Charakterisierung, betrachten wir Gitter, planare Graphen, komplette Graphen und die Hyperwürfel. Zusätzlich präsentieren wir erste Ergebnisse über Maßenkonzentration eines reziproken Prozesses, als Konsequenz unterer Schranken seiner Charakteristiken. N2 - In questa tesi si studiano le classi reciproche delle catene di Markov. Data una catena di Markov a tempo continuo su uno spazio numerabile, che svolge il ruolo di dinamica di riferimento, la sua classe reciproca é costituita da tutte le leggi sullo spazio dei cammini che si possono scrivere come un miscuglio dei ponti della legge di riferimento. Questi processi stocastici godono di una propriet`a di independenza condizionale che generalizza la proprietá di Markov ed é ispirata ad un’idea avuta da Schrödinger nel tentativo di derivare un’interpretazione stocastica della meccanica quantistica. A ciascuna classe reciproca é associato un insieme di caratteristiche reciproche. Una caratteristica reciproca é una proprietá della dinamica di riferimento che viene trasmessa a tutti gli elementi della classe, e viene espressa matematicamente da un opportuna combinazione di funzionali del generatore della catena di riferimento. Nella tesi, le caratteristiche vengono calcolate esplicitamente e suddivise in due famiglie principali: le caratteristiche di arco e le caratteristice di ciclo. Come sottoprodotto, otteniamo un criterio esplicito per decidere quando due catene di Markov hanno gli stessi ponti. A partire dalle caratteristiche reciproche, vengono proposte due caratterizzazioni della classe reciproca, compresi i suoi elementi non Markoviani. La prima é basata su un approccio traiettoriale, mentre la seconda si basa sul comportamento asintotico locale dei processi reciproci. Utilizzando il primo approccio, si ottiene una famiglia di equazioni funzionali che ammette come soluzioni tutti e soli gli elementi della classe reciproca. Queste equazioni sono integrazioni per parti sullo spazio dei cammini associate ad operatori differenziali che perturbano le traiettorie del processo canonico con l’aggiunta di loops casuali. Nella costruzione di queste equazioni si impiegano tecniche di geometria discreta, stabilendo un interessante collegamento con risultati recenti in questo campo. Le caratterizzazioni ottenute sono ottimali, in quanto impiegano un numero minimo di equazioni per descrivere la classe. Con questo metodo vengono studiate le classi reciproche di processi di conteggio, di camminate aleatorie su gruppi Abeliani, dove l’insieme dei cicli gode anch’esso di una struttura di gruppo. Il secondo approccio, di natura locale, si basa su stime asintotiche in tempo corto. É ben noto come una catena di Markov sia caratterizzata dal fatto di possedere la propriet`a di Markov e dal comportamento in tempo corto delle probabilitá di transizione. In questa tesi mostriamo che una classe reciproca é caratterizzata dalla propriet`a reciproca, e da due famiglie di stime asintotiche per i ponti del processo. Questo approccio locale permette di analizzare le classi reciproche di passeggiate aleatorie su grafi generali. Come applicazione dei risultati teorici, consideriamo i lattici, i grafi planari, il grafo completo, e l’ipercubo discreto. Infine, otteniamo delle stime di concentrazione della misura e sul comportamento globale dei ponti, sotto l’ipotesi di un limite inferiore per le caratteristiche reciproche. KW - reciprocal characteristics KW - random walks on graphs KW - reziproke Invarianten KW - reziproke Klassen KW - Schrödinger Problem KW - partielle Integration auf dem Pfadraum KW - Irrfahrten auf Graphen Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-82255 ER - TY - THES A1 - Murr, Rüdiger T1 - Reciprocal classes of Markov processes : an approach with duality formulae T1 - Reziproke Klassen von Markov Prozessen : ein Ansatz mit Dualitätsformeln N2 - This work is concerned with the characterization of certain classes of stochastic processes via duality formulae. In particular we consider reciprocal processes with jumps, a subject up to now neglected in the literature. In the first part we introduce a new formulation of a characterization of processes with independent increments. This characterization is based on a duality formula satisfied by processes with infinitely divisible increments, in particular Lévy processes, which is well known in Malliavin calculus. We obtain two new methods to prove this duality formula, which are not based on the chaos decomposition of the space of square-integrable function- als. One of these methods uses a formula of partial integration that characterizes infinitely divisible random vectors. In this context, our characterization is a generalization of Stein’s lemma for Gaussian random variables and Chen’s lemma for Poisson random variables. The generality of our approach permits us to derive a characterization of infinitely divisible random measures. The second part of this work focuses on the study of the reciprocal classes of Markov processes with and without jumps and their characterization. We start with a resume of already existing results concerning the reciprocal classes of Brownian diffusions as solutions of duality formulae. As a new contribution, we show that the duality formula satisfied by elements of the reciprocal class of a Brownian diffusion has a physical interpretation as a stochastic Newton equation of motion. Thus we are able to connect the results of characterizations via duality formulae with the theory of stochastic mechanics by our interpretation, and to stochastic optimal control theory by the mathematical approach. As an application we are able to prove an invariance property of the reciprocal class of a Brownian diffusion under time reversal. In the context of pure jump processes we derive the following new results. We describe the reciprocal classes of Markov counting processes, also called unit jump processes, and obtain a characterization of the associated reciprocal class via a duality formula. This formula contains as key terms a stochastic derivative, a compensated stochastic integral and an invariant of the reciprocal class. Moreover we present an interpretation of the characterization of a reciprocal class in the context of stochastic optimal control of unit jump processes. As a further application we show that the reciprocal class of a Markov counting process has an invariance property under time reversal. Some of these results are extendable to the setting of pure jump processes, that is, we admit different jump-sizes. In particular, we show that the reciprocal classes of Markov jump processes can be compared using reciprocal invariants. A characterization of the reciprocal class of compound Poisson processes via a duality formula is possible under the assumption that the jump-sizes of the process are incommensurable. N2 - Diese Arbeit befasst sich mit der Charakterisierung von Klassen stochastischer Prozesse durch Dualitätsformeln. Es wird insbesondere der in der Literatur bisher unbehandelte Fall reziproker Klassen stochastischer Prozesse mit Sprungen untersucht. Im ersten Teil stellen wir eine neue Formulierung einer Charakterisierung von Prozessen mit unabhängigen Zuwächsen vor. Diese basiert auf der aus dem Malliavinkalkül bekannten Dualitätsformel für Prozesse mit unendlich oft teilbaren Zuwächsen. Wir präsentieren zusätzlich zwei neue Beweismethoden dieser Dualitätsformel, die nicht auf der Chaoszerlegung des Raumes quadratintegrabler Funktionale beruhen. Eine dieser Methoden basiert auf einer partiellen Integrationsformel fur unendlich oft teilbare Zufallsvektoren. In diesem Rahmen ist unsere Charakterisierung eine Verallgemeinerung des Lemma fur Gaußsche Zufallsvariablen von Stein und des Lemma fur Zufallsvariablen mit Poissonverteilung von Chen. Die Allgemeinheit dieser Methode erlaubt uns durch einen ähnlichen Zugang die Charakterisierung unendlich oft teilbarer Zufallsmaße. Im zweiten Teil der Arbeit konzentrieren wir uns auf die Charakterisierung reziproker Klassen ausgewählter Markovprozesse durch Dualitätsformeln. Wir beginnen mit einer Zusammenfassung bereits existierender Ergebnisse zu den reziproken Klassen Brownscher Bewegungen mit Drift. Es ist uns möglich die Charakterisierung solcher reziproken Klassen durch eine Dualitätsformel physikalisch umzudeuten in eine Newtonsche Gleichung. Damit gelingt uns ein Brückenschlag zwischen derartigen Charakterisierungsergebnissen und der Theorie stochastischer Mechanik durch den Interpretationsansatz, sowie der Theorie stochastischer optimaler Steuerung durch den mathematischen Ansatz. Unter Verwendung der Charakterisierung reziproker Klassen durch Dualitätsformeln beweisen wir weiterhin eine Invarianzeigenschaft der reziproken Klasse Browscher Bewegungen mit Drift unter Zeitumkehrung. Es gelingt uns weiterhin neue Resultate im Rahmen reiner Sprungprozesse zu beweisen. Wir beschreiben reziproke Klassen Markovscher Zählprozesse, d.h. Sprungprozesse mit Sprunghöhe eins, und erhalten eine Charakterisierung der reziproken Klasse vermöge einer Dualitätsformel. Diese beinhaltet als Schlüsselterme eine stochastische Ableitung nach den Sprungzeiten, ein kompensiertes stochastisches Integral und eine Invariante der reziproken Klasse. Wir präsentieren außerdem eine Interpretation der Charakterisierung einer reziproken Klasse im Rahmen der stochastischen Steuerungstheorie. Als weitere Anwendung beweisen wir eine Invarianzeigenschaft der reziproken Klasse Markovscher Zählprozesse unter Zeitumkehrung. Einige dieser Ergebnisse werden fur reine Sprungprozesse mit unterschiedlichen Sprunghöhen verallgemeinert. Insbesondere zeigen wir, dass die reziproken Klassen Markovscher Sprungprozesse vermöge reziproker Invarianten unterschieden werden können. Eine Charakterisierung der reziproken Klasse zusammengesetzter Poissonprozesse durch eine Dualitätsformel gelingt unter der Annahme inkommensurabler Sprunghöhen. KW - unendliche Teilbarkeit KW - Dualitätsformeln KW - reziproke Klassen KW - Zählprozesse KW - stochastische Mechanik KW - infinite divisibility KW - duality formulae KW - reciprocal class KW - counting process KW - stochastic mechanics Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-62091 ER -