TY - THES A1 - Gong, Chen Chris T1 - Synchronization of coupled phase oscillators BT - theory and modelling BT - Theorie und Modellierung N2 - Oscillatory systems under weak coupling can be described by the Kuramoto model of phase oscillators. Kuramoto phase oscillators have diverse applications ranging from phenomena such as communication between neurons and collective influences of political opinions, to engineered systems such as Josephson Junctions and synchronized electric power grids. This thesis includes the author's contribution to the theoretical framework of coupled Kuramoto oscillators and to the understanding of non-trivial N-body dynamical systems via their reduced mean-field dynamics. The main content of this thesis is composed of four parts. First, a partially integrable theory of globally coupled identical Kuramoto oscillators is extended to include pure higher-mode coupling. The extended theory is then applied to a non-trivial higher-mode coupled model, which has been found to exhibit asymmetric clustering. Using the developed theory, we could predict a number of features of the asymmetric clustering with only information of the initial state provided. The second part consists of an iterated discrete-map approach to simulate phase dynamics. The proposed map --- a Moebius map --- not only provides fast computation of phase synchronization, it also precisely reflects the underlying group structure of the dynamics. We then compare the iterated-map dynamics and various analogous continuous-time dynamics. We are able to replicate known phenomena such as the synchronization transition of the Kuramoto-Sakaguchi model of oscillators with distributed natural frequencies, and chimera states for identical oscillators under non-local coupling. The third part entails a particular model of repulsively coupled identical Kuramoto-Sakaguchi oscillators under common random forcing, which can be shown to be partially integrable. Via both numerical simulations and theoretical analysis, we determine that such a model cannot exhibit stationary multi-cluster states, contrary to the numerical findings in previous literature. Through further investigation, we find that the multi-clustering states reported previously occur due to the accumulation of discretization errors inherent in the integration algorithms, which introduce higher-mode couplings into the model. As a result, the partial integrability condition is violated. Lastly, we derive the microscopic cross-correlation of globally coupled non-identical Kuramoto oscillators under common fluctuating forcing. The effect of correlation arises naturally in finite populations, due to the non-trivial fluctuations of the meanfield. In an idealized model, we approximate the finite-sized fluctuation by a Gaussian white noise. The analytical approximation qualitatively matches the measurements in numerical experiments, however, due to other periodic components inherent in the fluctuations of the mean-field there still exist significant inconsistencies. N2 - Oszillatorische Systeme unter schwacher Kopplung können durch das Kuramoto-Modell beschrieben werden. Kuramoto-Phasenoszillatoren besitzen eine Vielzahl von Modellanwendungsfällen von der Kommunikation zwischen Nervenzellen bis zu kollektiven Einflüssen auf die politische Meinungsbildung sowie ingenieurwissenschaftlichen Anwendungen wie Josephson-Kontakten und synchronisierten elektrischen Übertragungsnetzen. In dieser Dissertation werden die Beiträge der Autorin zur Theorie der Kuramoto-Oszillatorensysteme und zum Verständnis nichttrivialer dynamischer NKörpersysteme durch die Analyse ihrer reduzierten Mittelfelddynamik zusammengefasst. Der Hauptinhalt dieser Dissertation umfasst vier Teile: Zuerst wird eine teilweise integrable Theorie global gekoppelter, identischer Kuramoto-Oszillatoren so erweitert, dass sie auch den Fall reiner Phasenkopplung höherer Ordnung umfasst. Die erweiterte Theorie wird anschließend auf ein nichttriviales Modell mit harmonischer Kopplung höherer Ordnung angewendet, welches asymmetrisches Clustering aufweist. Die Theorie sagt rein auf Basis der Anfangssystembedingungen einige Eigenschaften des asymmetrischen Clustering erfolgreich voraus. Im zweiten Teil wird die Phasendynamik von Kuramoto-Oszillatoren mithilfe einer iterierten diskreten Abbildung simuliert. Diese Abbildung – eine Möbius-Abbildung – erlaubt nicht nur eine schnelle Berechnung der Phasensynchronisation sondern spiegelt die zugrundeliegende Gruppenstruktur der Phasendynamik auch exakt wieder. Die Dynamik der iterierten Abbildung wird mit verschiedenen analogen Dynamiken mit kontinuierlicher Zeitachse verglichen. Hierbei werden bekannte Phänomene, wie etwa der Phasenübergang im Kuramoto-Sakaguchi-Oszillatormodell mit einer Verteilung der natürlichen Frequenzen und “Chimärenzustände” (chimera states) bei identischen Oszillatoren nichtlokalen Kopplungstypen, repliziert. Im dritten Teil wird ein Modell von repulsiv gekoppelten, identischen, gemeinsam stochastisch getriebenen Kuramoto-Sakaguchi-Oszillatoren beschrieben, dass teilweise integrabel ist. Sowohl durch numerische Simulationen als auch theoretische Analyse wird gezeigt, dass dieses Modell keine stationären Multi-Cluster-Zustände einnehmen kann, was den Ergebnissen anderer numerischer Studien in der Literatur widerspricht. Durch eine weitergehende Analyse wird gezeigt, dass das scheinbare Auftreten von Multi-Cluster-Zuständen der Akkumulation von inhärenten Diskretisierungsfehlern der verwendeten Integrationsalgorithmen zuzuschreiben ist, welche dem Modell Phasenkopplungen höher Ordnung hinzufügen. Als Resultat dieser Effekte wird die Bedingung der teilweisen Integrabilität verletzt. Zuletzt wird die mikroskopische Kreuzkorrelation zwischen global gekoppelten, nicht identischen gemeinsam fluktuierend getriebenen Kuramoto-Oszillatoren hergeleitet. Der Korrelationseffekt entsteht auf natürliche Art und Weise in endlichen Populationen aufgrund der nichttrivialen Fluktuation des Mittelfelds. Die endliche Fluktuation wird in einem idealisierten Modell mittels gaußschem weißem Rauschen approximiert. Die analytische Annährung stimmt mit den Ergebnissen numerischer Simulationen gut überein, die inhärenten periodischen Komponenten der Fluktuation des Mittelfels verursachen allerdings trotzdem signifikante Inkonsistenzen. T2 - Synchronisation der gekoppelten Oszillatoren KW - Synchronization KW - Nonlinear Dynamics KW - Nichtlineare Dynamik KW - Synchronisation KW - Kuramoto Oscillators KW - Kuramoto-Oszillatore KW - Complex Network KW - Komplexes Netzwerk Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-487522 ER - TY - THES A1 - Kuckländer, Nina T1 - Synchronization via correlated noise and automatic control in ecological systems T1 - Synchronisation in ökologischen Systemen durch korreliertes Rauschen und automatische Kontrolle N2 - Subject of this work is the possibility to synchronize nonlinear systems via correlated noise and automatic control. The thesis is divided into two parts. The first part is motivated by field studies on feral sheep populations on two islands of the St. Kilda archipelago, which revealed strong correlations due to environmental noise. For a linear system the population correlation equals the noise correlation (Moran effect). But there exists no systematic examination of the properties of nonlinear maps under the influence of correlated noise. Therefore, in the first part of this thesis the noise-induced correlation of logistic maps is systematically examined. For small noise intensities it can be shown analytically that the correlation of quadratic maps in the fixed-point regime is always smaller than or equal to the noise correlation. In the period-2 regime a Markov model explains qualitatively the main dynamical characteristics. Furthermore, two different mechanisms are introduced which lead to a higher correlation of the systems than the environmental correlation. The new effect of "correlation resonance" is described, i. e. the correlation yields a maximum depending on the noise intensity. In the second part of the thesis an automatic control method is presented which synchronizes different systems in a robust way. This method is inspired by phase-locked loops and is based on a feedback loop with a differential control scheme, which allows to change the phases of the controlled systems. The effectiveness of the approach is demonstrated for controlled phase synchronization of regular oscillators and foodweb models. N2 - Gegenstand der Arbeit ist die Möglichkeit der Synchronisierung von nichtlinearen Systemen durch korreliertes Rauschen und automatische Kontrolle. Die Arbeit gliedert sich in zwei Teile. Der erste Teil ist motiviert durch Feldstudien an wilden Schafspopulationen auf zwei Inseln des St. Kilda Archipels, die starke Korrelationen aufgrund von Umwelteinflüssen zeigen. In einem linearen System entspricht die Korrelation der beiden Populationen genau der Rauschkorrelation (Moran-Effekt). Es existiert aber noch keine systematische Untersuchung des Verhaltens nichtlinearer Abbildungen unter dem Einfluss korrelierten Rauschens. Deshalb wird im ersten Teils dieser Arbeit systematisch die rauschinduzierte Korrelation zweier logistischer Abbildungen in den verschiedenen dynamischen Bereichen untersucht. Für kleine Rauschintensitäten wird analytisch gezeigt, dass die Korrelation von quadratischen Abbildungen im Fixpunktbereich immer kleiner oder gleich der Rauschkorrelation ist. Im Periode-2 Bereich beschreibt ein Markov-Modell qualitativ die wichtigsten dynamischen Eigenschaften. Weiterhin werden zwei unterschiedliche Mechanismen vorgestellt, die dazu führen, dass die beiden ungekoppelten Systeme stärker als ihre Umwelt korreliert sein können. Dabei wird der neue Effekt der "correlation resonance" aufgezeigt, d. h. es ergibt sich eine Resonanzkurve der Korrelation in Abbhängkeit von der Rauschstärke. Im zweiten Teil der Arbeit wird eine automatische Kontroll-Methode präsentiert, die es ermöglicht sehr unterschiedliche Systeme auf robuste Weise in Phase zu synchronisieren. Die Methode ist angelehnt an Phase-locked-Loops und basiert auf einer Rückkopplungsschleife durch einen speziellen Regler, der es erlaubt die Phasen der kontrollierten Systeme zu ändern. Die Effektivität dieser Methode zur Kontrolle der Phasensynchronisierung wird an regulären Oszillatoren und an Nahrungskettenmodellen demonstriert. KW - Markov-Prozess KW - Kontrolltheorie KW - Synchronisierung KW - Nichtlineare Dynamik KW - Theoretische Ökologie KW - Moran-Effekt KW - Stochastische Prozesse KW - Moran effect KW - Markov process KW - Theoretical ecology KW - Synchronisation KW - Nonlinear Dynamics Y1 - 2006 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-10826 ER -