TY - BOOK A1 - Klotzek, Benno T1 - Einführung in die Differentialgeometrie : mit 58 Aufgaben und zahlreichen Beispielen Y1 - 1997 SN - 3-8171-1549-0 PB - Deutsch CY - Thun ER - TY - BOOK A1 - Klotzek, Benno T1 - Analytische Geometrie und lineare Algebra Y1 - 1997 SN - 3-8171-1532-6 PB - Deutsch CY - Thun, Frankfurt am Main ER - TY - JOUR A1 - Klotzek, Benno T1 - Über die Tatsachen, welche der Geometrie zugrunde liegen Y1 - 1996 ER - TY - GEN A1 - Klotzek, Benno T1 - Kroll, H. J., Eine Kennzeichnung der miquelschen Minkowski-Ebenen durch Transitivitätseigenschaften BT - Eine Kennzeichnung der miquelschen Minkowski-Ebenen durch Transitivitätseigenschaften Y1 - 1996 ER - TY - GEN A1 - Klotzek, Benno T1 - Röschel, O., Drehflächen zweiter Ordnung durch einen Kegelschnitt Y1 - 1996 ER - TY - JOUR A1 - Klotzek, Benno T1 - Diskontinuierliche Bewegungsgruppen verschiedenen Grades in verschiedenen Geometrien Y1 - 1998 ER - TY - BOOK A1 - Klotzek, Benno T1 - Kreisaxiome und Sylvesterscher Trägheitssatz T3 - Preprint / Universität Potsdam, Institut für Mathematik Y1 - 1997 VL - 1997, 28 PB - Univ. CY - Potsdam ER - TY - JOUR A1 - Klotzek, Benno T1 - Diskontinuierliche Bewegungsgruppen verschiedenen Grades in verschiedenen Geometrien Y1 - 1995 ER - TY - JOUR A1 - Klotzek, Benno T1 - Diskontinuierliche Bewegungsgruppen verschiedenen Grades in metrischen Räumen Y1 - 1995 ER - TY - JOUR A1 - Klotzek, Benno T1 - Über neuere Ergebnisse zu den diskontinuierlichen Bewegungsgruppen verschiedenen Grades in metrischen Räumen : Abstrakt Y1 - 1995 ER - TY - GEN A1 - Klotzek, Benno T1 - Makarov, V. S., On the fundamental polyhedron of a diskrete group of motions of a Lobachevskii space, its combinatorics and deformation Y1 - 1995 ER - TY - GEN A1 - Klotzek, Benno T1 - Ruegg, A. ; Burmeister, G., Méthodes constructives de la géométrie spatiale Y1 - 1995 ER - TY - GEN A1 - Klotzek, Benno T1 - Vermes, I., Über die synthetische Behandlung der Krümmung und des Schmiegzykels der ebenen Kurven in der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometrie Y1 - 1995 ER - TY - JOUR A1 - Klotzek, Benno T1 - Kreisaxiome und Sylvesterscher Trägheitssatz Y1 - 1997 ER - TY - JOUR A1 - Klotzek, Benno T1 - Diskontinuierliche Bewegungsgruppen verschiedenen Grades in metrischen Räumen Y1 - 1994 ER - TY - GEN A1 - Klotzek, Benno T1 - Falkner, N., A characterization of inner product spaces Y1 - 1994 ER - TY - GEN A1 - Klotzek, Benno T1 - Stammler, L., Einige Themen im Zusammenhang mit rasterbezogenem Approximieren Y1 - 1994 ER - TY - GEN A1 - Klotzek, Benno T1 - Stärk, R., Beispiele zur Anwendung eines Computeralgebrasystems in der Geometrie Y1 - 1994 ER - TY - GEN A1 - Klotzek, Benno T1 - Chandehari, M., Self-Circumference of rotors Y1 - 1996 ER - TY - JOUR A1 - Klotzek, Benno T1 - Stetigkeit und Unstetigkeit in der Geometrie N2 - Dieser Beitrag zum Band 17 der HISTORY OF MATHEMATICS (Prag 2001) stellt unter den Untertiteln 1. Messung und Stetigkeit 2. Axiomatische Fixierung der euklidischen Geometrie 3. Verallgemeinerung zur Riemannschen Geometrie 4. Liesche Gruppen 5. Diskontinuierliche Bewegungsgruppen 6. Verallgemeinerte diskontinuierliche Bewegungsggruppen eine erweiterte Fassung des gleichlautenden Beitrags zum Sammelband MATHEMATIK-INTERDISZIPLINÄR (Shaker Verlag, Aachen 2000) dar. Da es sich um das Manuskript eines Vortrages am 2. Mai 2001 vor Lehrerbildnern der Karlsuniversität handelt, wird hier zusätzlich die Ersetzung der Stetigkeitsaxiome durch die Axiome des Zirkels, die zur analytischen Geometrie des dreidimensionalen Raumes über einem euklidischen Zahlkörper führt, diskutiert. Y1 - 2001 ER - TY - BOOK A1 - Klotzek, Benno T1 - Euklidische und nichteuklidische Elementargeometrien N2 - Zwei Jahrtausende wurde die Mathematik in der Sprache der Geometrie formuliert; bis ins 18. Jahrhundert wurde Geometrie synonym für Mathematik gebraucht. Auch wenn die Geometrie nicht mehr diese Stellung in der Mathematik besitzt und den Charakter einer Naturwissenschaft verloren hat, so hat sie seitdem doch wesentlich die Entwicklung der Mathematik und Naturwissenschaft beeinflusst, und ihre Sprache bewährt sich auch in Disziplinen, die sich in unserem Jahrhundert herausgebildet haben. Überzeugt von einer verkürzten Wiederholung der Wissenschaftsentwicklung in der Ontogenese der Erkenntnis der Welt, wird man speziell der Elementargeometrie stets einen gebührenden Platz einräumen, wird man immer, wenn nicht gar mit Liebhabern, so doch mit Interessenten an diesem Gegenstand rechnen können, insbesondere unter den aktiven Lehrern und den Lehramtskandidaten. In erster Linie wird ihnen die Lektüre dieses Buches empfohlen. Dabei stehen Phänomene zwar am Anfang, aber es geht vordergründig um begriffliche Präzisierung und einen (evtl. noch zu erlernenden) folgerichtigen Aufbau, beides beispielhaft in bezug auf Elementarmathematik insgesamt, auch wenn die erworbenen Fähigkeiten in der Schule dann nur zum lokalen Ordnen genutzt werden. Es wird keine Perfektion im logischen Schließen vorausgesetzt und durch die zahlreichen Zeichnungen dem anschaulichen Überbrücken von Klippen sogar Vorschub geleistet, aber es werden metamathematische Betrachtungen eingestreut, und es wird über Beweis- und Konstruktionsaufgaben permanent "Selbsttätigkeit nach den zuvor ausgeführten Beispielen" angeregt und abverlangt. Dabei kann sich der Leser fortwährend und reflektierend an den Regeln des natürlichen Schließens und damit an den wichtigsten Beweisverfahren im Anhang 1.7 orientieren. Logische Strenge wird so als nicht ein für alle mal vorgegeben, sondern als erlern- und steigerbar begriffen. Das erste Kapitel hat die Euklidische Elementargeometrie zum Inhalt, schrittweise aufgebaut auf Grundbegriffen und Axiomen. Dabei steht eine fiktive Erfahrungswelt der Kinder im Hintergrund, beispielsweise bei den Bewegungen von Figuren oder den Geraden als angeordneten Punktmengen. Um die Geometrie relativ lange im Sinne von TARSKI elementar aufbauen zu können, werden z.B. Längen und Winkelgrößen als Äquivalenzklassen betrachtet, sichern zunächst Axiome des Zirkels Konstruktion mit Zeichengeräten und den Beweis von Kongruenzsätzen ab, werden auch Drehwinkel und Schubvektoren (gerichtete Abstände) als Äquivalenzklassen begriffen. Erst im Abschnitt 1.5 wird die Vervielfachung von gerichteten Strecken mit ganzen, rationalen und reellen Zahlen realisiert, wobei der letzte Schritt ein Stetigkeitsaxiom erforderte. Auf dieser nicht mehr ganz elementaren Stufe werden Ähnlichkeit, Flächen- und Rauminhalte sowie die Theorie der Konstruktionen mit Zirkel und Lineal erörtert, insbesondere die Unlösbarkeit gewisser Aufgaben. Das zweite Kapitel bezweckt mit der Darstellung nichteuklidischer Geometrien nicht nur eine Erweiterung bisher gewonnener geometrischer Kenntnisse, sondern eine wesentliche Vertiefung des Raumbegriffes, indem Aufgabenstellungen, die im ersten Kapitel formuliert wurden, unter veränderten Rahmenbedingungen auf Lösbarkeit untersucht werden. Das geschieht zunächst für die Lobacevskijsche Geometrie mit einem Ausblick auf elliptische Geometrie und dann für die Banach- Minkowskischen Geometrien, also ausschließlich für solche Theorien, die DAVID HILBERT in seinem berühmten Vortrag "Mathematische Probleme" 1900 in Paris auf dem 2. Internationalen Mathematikerkongress als "der euklidischen Geometrie nächststehend" bezeichnet hat. Y1 - 2001 SN - 3-8171-1583-0 PB - Deutsch CY - Frankfurt am Main ER - TY - JOUR A1 - Klotzek, Benno T1 - Stetigkeit und Unstetigkeit in der Geometrie N2 - In diesem Beitrag zum Sammelband MATHEMATIK -INTERDISZIPLINÄR wird zunächst der lange Weg von den frühen Bedürfnissen nach Messung über das Eudoxos-Archimedische Axiom bis hin zu HIBERTs Axiomen der Stetigkeit skizziert. Neben der Präzisierung der Euklidischen Raumvorstellung muss man sich in diesem Zusammenhang mit den Zweifeln an ihrer ausschließlichen Nutzung in den Anwendungen auseinandersetzen: Über die Begriffe des Hausdorffschen und des topologischen Raumes werden die Begriffe der C^r -Mannigfaltigkeit und des Riemannschen bzw. des pseudo-Riemannschen Raumes vorgestellt; somit sind die mathematischen Grundlagen der Speziellen und der Allgemeinen Relativitätstheorie von EINSTEIN begründet, wobei der Anlass - Konstanz der (Vakuum-) Lichtgeschwindigkeit nach MICHELSON - und der Beitrag von MINKOWSKI zur Geometrisierung der Physik gestreift wird. Die klassische nichteuklidische Geometrie von GAUSS, LOBACEVSKIJ und J. BOLYAI wird ebenso erwähnt wie die didaktisch begründete späte Behandlung der Stetigkeit in der Schule. Die schon für die klassische Differentialgeometrie wichtige dreimal stetige Differenzierbarkeit der betrachteten Funktionen ist Anlaß, das 5. Hilbertsche Problem "LIEs Begriff der kontinuierlichen Transformationsgruppe ohne die Annahme der Differenzierbarkeit der die Gruppe definierenden Funktionen" mit seiner positiven Lösung im 20. Jh. ebenso wie die Theorie der diskontinuierlichen oder gar schwach diskontinuierlichen Gruppen zu reflektieren. Y1 - 2000 SN - 3-8265- 7061-8 ER - TY - JOUR A1 - Klotzek, Benno T1 - About newer results to the discontinuous motion groups of different degrees with respect to different geometries Y1 - 1999 ER - TY - JOUR A1 - Klotzek, Benno T1 - About the geometry of normed space Y1 - 1999 ER - TY - JOUR A1 - Klotzek, Benno T1 - About newer results to the discontinuous motion groups of different degrees with respect to different geometries Y1 - 1999 ER - TY - JOUR A1 - Klotzek, Benno A1 - Wendland, Horst T1 - Die schwachdiskontinuierlichen Raumgruppen N2 - Diskontinuierliche Bewegungsgruppen sind als Symmetriegruppen von gewissen Mustern intuitiv zu erfassen. Diskontinuität einer Bewegungsggruppe B wird hier mittels Punktorbits definiert. Im Rahmen der euklidischen Geometrie endlicher Dimension findet man als (untereinander äquivalente) charakterisierende Eigenschaften diskontinuierlicher Bewegungsgruppen z. B. die lokale Endlichkeit (LEO) der Orbits nach Hilbert und COHN/VOSSEN und die Isoliertheit der Punkte in Ihrem Orbit (IPO) nach L. FEJES TOTH. In früheren Arbeiten wurde von KLOTZEK gezeigt, dass durch LEO und IPO in jedem unendlich dimensionalen Hilbertraum verschiedene Klassen von Gruppen beschrieben werden, andererseits sind LEO und IPO in metrischen Räumen gleichwertig, in denen jede beschränkte Menge präkompakt ist. Die Frage ob solche Bedingungen stets äquivalent sind hat die spätere Einführung eines ganzen Systems von ähnlichen Bedingungen initiert; hinzu kam der Wunsch, über verallgemeinerte diskontinuierliche Bewegungsggruppen, die noch nicht "kontinuierlich" wirken, weitere Muster zu beschreiben (vgl. etwa GRÜNBAUM). Die schwächste der in diesem Zusammenhang diskutierten Bedingungen führt zu Gruppen, die einerseits keine im dreidimensionalen Raum dichtliegende Punktorbits erzeugen, andererseits aber in jeder Umgebung der Identität weitere nichtidentische Bewegungen enthalten. Die Bestimmung aller Raumgruppen dieses Typs ist Gegenstand der vorliegenden Arbeit. Während 194 der 230 bekannten Raumgruppen unter Wahrung von kB (kristallographischen Beschränkung) 285 derartige Verallgemeinerungen zulassen, können ohne kB sogar überabzählbar viele schwachsdikontinuierliche Gruppen beschrieben werden. Y1 - 2001 ER -