TY - JOUR A1 - Klotzek, Benno T1 - Stetigkeit und Unstetigkeit in der Geometrie N2 - Dieser Beitrag zum Band 17 der HISTORY OF MATHEMATICS (Prag 2001) stellt unter den Untertiteln 1. Messung und Stetigkeit 2. Axiomatische Fixierung der euklidischen Geometrie 3. Verallgemeinerung zur Riemannschen Geometrie 4. Liesche Gruppen 5. Diskontinuierliche Bewegungsgruppen 6. Verallgemeinerte diskontinuierliche Bewegungsggruppen eine erweiterte Fassung des gleichlautenden Beitrags zum Sammelband MATHEMATIK-INTERDISZIPLINÄR (Shaker Verlag, Aachen 2000) dar. Da es sich um das Manuskript eines Vortrages am 2. Mai 2001 vor Lehrerbildnern der Karlsuniversität handelt, wird hier zusätzlich die Ersetzung der Stetigkeitsaxiome durch die Axiome des Zirkels, die zur analytischen Geometrie des dreidimensionalen Raumes über einem euklidischen Zahlkörper führt, diskutiert. Y1 - 2001 ER - TY - JOUR A1 - Klotzek, Benno A1 - Wendland, Horst T1 - Die schwachdiskontinuierlichen Raumgruppen N2 - Diskontinuierliche Bewegungsgruppen sind als Symmetriegruppen von gewissen Mustern intuitiv zu erfassen. Diskontinuität einer Bewegungsggruppe B wird hier mittels Punktorbits definiert. Im Rahmen der euklidischen Geometrie endlicher Dimension findet man als (untereinander äquivalente) charakterisierende Eigenschaften diskontinuierlicher Bewegungsgruppen z. B. die lokale Endlichkeit (LEO) der Orbits nach Hilbert und COHN/VOSSEN und die Isoliertheit der Punkte in Ihrem Orbit (IPO) nach L. FEJES TOTH. In früheren Arbeiten wurde von KLOTZEK gezeigt, dass durch LEO und IPO in jedem unendlich dimensionalen Hilbertraum verschiedene Klassen von Gruppen beschrieben werden, andererseits sind LEO und IPO in metrischen Räumen gleichwertig, in denen jede beschränkte Menge präkompakt ist. Die Frage ob solche Bedingungen stets äquivalent sind hat die spätere Einführung eines ganzen Systems von ähnlichen Bedingungen initiert; hinzu kam der Wunsch, über verallgemeinerte diskontinuierliche Bewegungsggruppen, die noch nicht "kontinuierlich" wirken, weitere Muster zu beschreiben (vgl. etwa GRÜNBAUM). Die schwächste der in diesem Zusammenhang diskutierten Bedingungen führt zu Gruppen, die einerseits keine im dreidimensionalen Raum dichtliegende Punktorbits erzeugen, andererseits aber in jeder Umgebung der Identität weitere nichtidentische Bewegungen enthalten. Die Bestimmung aller Raumgruppen dieses Typs ist Gegenstand der vorliegenden Arbeit. Während 194 der 230 bekannten Raumgruppen unter Wahrung von kB (kristallographischen Beschränkung) 285 derartige Verallgemeinerungen zulassen, können ohne kB sogar überabzählbar viele schwachsdikontinuierliche Gruppen beschrieben werden. Y1 - 2001 ER - TY - JOUR A1 - Klotzek, Benno T1 - Stetigkeit und Unstetigkeit in der Geometrie N2 - In diesem Beitrag zum Sammelband MATHEMATIK -INTERDISZIPLINÄR wird zunächst der lange Weg von den frühen Bedürfnissen nach Messung über das Eudoxos-Archimedische Axiom bis hin zu HIBERTs Axiomen der Stetigkeit skizziert. Neben der Präzisierung der Euklidischen Raumvorstellung muss man sich in diesem Zusammenhang mit den Zweifeln an ihrer ausschließlichen Nutzung in den Anwendungen auseinandersetzen: Über die Begriffe des Hausdorffschen und des topologischen Raumes werden die Begriffe der C^r -Mannigfaltigkeit und des Riemannschen bzw. des pseudo-Riemannschen Raumes vorgestellt; somit sind die mathematischen Grundlagen der Speziellen und der Allgemeinen Relativitätstheorie von EINSTEIN begründet, wobei der Anlass - Konstanz der (Vakuum-) Lichtgeschwindigkeit nach MICHELSON - und der Beitrag von MINKOWSKI zur Geometrisierung der Physik gestreift wird. Die klassische nichteuklidische Geometrie von GAUSS, LOBACEVSKIJ und J. BOLYAI wird ebenso erwähnt wie die didaktisch begründete späte Behandlung der Stetigkeit in der Schule. Die schon für die klassische Differentialgeometrie wichtige dreimal stetige Differenzierbarkeit der betrachteten Funktionen ist Anlaß, das 5. Hilbertsche Problem "LIEs Begriff der kontinuierlichen Transformationsgruppe ohne die Annahme der Differenzierbarkeit der die Gruppe definierenden Funktionen" mit seiner positiven Lösung im 20. Jh. ebenso wie die Theorie der diskontinuierlichen oder gar schwach diskontinuierlichen Gruppen zu reflektieren. Y1 - 2000 SN - 3-8265- 7061-8 ER - TY - JOUR A1 - Klotzek, Benno T1 - Diskontinuierliche Bewegungsgruppen verschiedenen Grades in verschiedenen Geometrien Y1 - 1998 ER - TY - JOUR A1 - Klotzek, Benno T1 - Kreisaxiome und Sylvesterscher Trägheitssatz Y1 - 1997 ER - TY - JOUR A1 - Klotzek, Benno T1 - Über die Tatsachen, welche der Geometrie zugrunde liegen Y1 - 1996 ER - TY - JOUR A1 - Klotzek, Benno T1 - Diskontinuierliche Bewegungsgruppen verschiedenen Grades in verschiedenen Geometrien Y1 - 1995 ER - TY - JOUR A1 - Klotzek, Benno T1 - Diskontinuierliche Bewegungsgruppen verschiedenen Grades in metrischen Räumen Y1 - 1995 ER - TY - JOUR A1 - Klotzek, Benno T1 - Über neuere Ergebnisse zu den diskontinuierlichen Bewegungsgruppen verschiedenen Grades in metrischen Räumen : Abstrakt Y1 - 1995 ER - TY - JOUR A1 - Klotzek, Benno T1 - Diskontinuierliche Bewegungsgruppen verschiedenen Grades in metrischen Räumen Y1 - 1994 ER -