TY - THES A1 - Schröder, Sarah T1 - Modelling surface evolution coupled with tectonics T1 - Modellierung von Oberflächenprozessen gekoppelt mit Tektonik BT - A case study for the Pamir BT - Eine Fallstudie zum Pamir N2 - This study presents the development of 1D and 2D Surface Evolution Codes (SECs) and their coupling to any lithospheric-scale (thermo-)mechanical code with a quadrilateral structured surface mesh. Both SECs involve diffusion as approach for hillslope processes and the stream power law to reflect riverbed incision. The 1D SEC settles sediment that was produced by fluvial incision in the appropriate minimum, while the supply-limited 2D SEC DANSER uses a fast filling algorithm to model sedimantation. It is based on a cellular automaton. A slope-dependent factor in the sediment flux extends the diffusion equation to nonlinear diffusion. The discharge accumulation is achieved with the D8-algorithm and an improved drainage accumulation routine. Lateral incision enhances the incision's modelling. Following empirical laws, it incises channels of several cells width. The coupling method enables different temporal and spatial resolutions of the SEC and the thermo-mechanical code. It transfers vertical as well as horizontal displacements to the surface model. A weighted smoothing of the 3D surface displacements is implemented. The smoothed displacement vectors transmit the deformation by bilinear interpolation to the surface model. These interpolation methods ensure mass conservation in both directions and prevent the two surfaces from drifting apart. The presented applications refer to the evolution of the Pamir orogen. A calibration of DANSER's parameters with geomorphological data and a DEM as initial topography highlights the advantage of lateral incision. Preserving the channel width and reflecting incision peaks in narrow channels, this closes the huge gap between current orogen-scale incision models and observed topographies. River capturing models in a system of fault-bounded block rotations reaffirm the importance of the lateral incision routine for capturing events with channel initiation. The models show a low probability of river capturings with large deflection angles. While the probability of river capturing is directly depending on the uplift rate, the erodibility inside of a dip-slip fault speeds up headward erosion along the fault: The model's capturing speed increases within a fault. Coupling DANSER with the thermo-mechanical code SLIM 3D emphasizes the versatility of the SEC. While DANSER has minor influence on the lithospheric evolution of an indenter model, the brittle surface deformation is strongly affected by its sedimentation, widening a basin in between two forming orogens and also the southern part of the southern orogen to south, east and west. N2 - Im Rahmen dieser Studie werden 1D und 2D Erosionsmodelle im Gebirgsmaßstab implementiert und mit Modellen für tektonische Deformation gekoppelt. Die Kopplungsmethode erlaubt unterschiedlich räumliche und zeitliche Auflösungen im tektonischen und im Erosionsmodell. Es werden sowohl vertikale als auch horizontale Bewegungen zwischen den Modellen transferiert. Darüber hinaus enthält die Kopplungsmethode ein Glättungsverfahren, um eventuelle Instabilitäten des tektonischen Modelles zu kompensieren. Beide Erosionsmodelle beziehen Hangerosion, Flusseinschneidung und Sedimentation ein. Der 1D Code nutzt Hack's Law, um die Wassermengen zu berechnen. Er garantiert Massenerhaltung, indem er Sedimente in Senken speichert. Das 2D Erosionsmodell DANSER basiert auf einem zellulären Automaten. Ein zusätzlicher steigungsabhängiger Faktor erweitert lineare zu nichtlinearer Diffusion. Wassermengen werden mit Hilfe des D8-Algorithmus und einer veränderten Form von O'Callaghans (1984) Algorithmus akkumuliert. Laterale Einschneidung, berechnet durch einen neuen Verteilungs-Algorithmus, verbessert die Modellierung von Flusssystemen. Flüsse sind dabei repräsentiert durch eine unterschiedliche Anzahl an Zellen orthogonal zur Fließrichtung. Ihre Breite wird nach empirischen Gesetzen ermittelt. Die präsentierten Anwendungen dienen der Studie des Pamirgebirges. Zunächst werden die Modellparameter anhand von Einschneidungs- und Erosionsraten sowie Sedimentdurchflüssen kalibriert. Ein digitales Höhenmodell dient als Anfangstopographie und zur Extraktion von Flussprofilen. Laterale Einschneidung zeigt eine deutliche Verbesserung zu bisher vorhandenen Modellen. Sie ermöglicht die Erhaltung der Flussbreite und zeigt hohe Einschneidungsraten in engen Flusspassagen. Modelle von Flussanzapfungen in einem System paralleler Verwerfungen bestätigen die Wichtigkeit von lateraler Einschneidung für Flussanzapfungsmodelle, die Hangerosion einbeziehen. Während die Modelle eine geringe Wahrscheinlichkeit von Flussanzapfungen mit hohem Ablenkungswinkel zeigen, belegen sie auch, dass deren (allgemeine) Wahrscheinlichkeit direkt von der Hebungsrate der Verwerfungen abhängt. Die Erodibilität beschleunigt lediglich die Geschwindigkeit von Flussanzapfungen. Ein Modell, das die Codes SLIM 3D und DANSER koppelt, dokumentiert die vielseitige Verwendbarkeit des neuen Codes: Es zeigt einen geringen Einfluss von Oberflächenprozessen auf die Lithosphärendeformation, während die Sedimentationsroutine erheblich auf spröde Oberflächendeformationen einwirkt. Das Modell legt nahe, dass Sedimentation ein zwischen zwei entstehenden Gebirgen gelegenes Becken weitet. Außerdem weitet sich der südlich von der interkontinentalen Kollisionszone gelegene Teil des Gebirge-Models ebenfalls durch Sedimentation. KW - erosion KW - coupling KW - SEC KW - surface evolution KW - thermo-mechanics KW - surface processes KW - DANSER KW - Pamir KW - Tien-Shan KW - Tian-Shan KW - tectonics KW - modelling KW - modeling KW - numerical model KW - simulation KW - surface KW - fluvial incision KW - hillslope diffusion KW - finite differences KW - finite elements KW - Eulerian grid KW - DANSER KW - DANSER KW - Erosion KW - Modellierung KW - Tektonik KW - Koppelung KW - SEC KW - numerische Modellierung KW - Oberflächenprozesse KW - Pamir KW - Tien-Shan KW - Tian-Shan KW - Tiefendeformation KW - Software KW - Simulation KW - Oberfläche KW - fluviale Einschneidung KW - Hangerosion KW - finite Differenzen KW - finite Elemente KW - Eulerische Gitter Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-90385 ER - TY - THES A1 - Chirvasa, Mihaela T1 - Finite difference methods for 1st Order in time, 2nd order in space, hyperbolic systems used in numerical relativity T1 - Finite Differenzen für hyperbolische Gleichungen erster Ordnung in der Zeit, zweiter Ordnung im Raum in der numerischen Relativitätstheorie N2 - This thesis is concerned with the development of numerical methods using finite difference techniques for the discretization of initial value problems (IVPs) and initial boundary value problems (IBVPs) of certain hyperbolic systems which are first order in time and second order in space. This type of system appears in some formulations of Einstein equations, such as ADM, BSSN, NOR, and the generalized harmonic formulation. For IVP, the stability method proposed in [14] is extended from second and fourth order centered schemes, to 2n-order accuracy, including also the case when some first order derivatives are approximated with off-centered finite difference operators (FDO) and dissipation is added to the right-hand sides of the equations. For the model problem of the wave equation, special attention is paid to the analysis of Courant limits and numerical speeds. Although off-centered FDOs have larger truncation errors than centered FDOs, it is shown that in certain situations, off-centering by just one point can be beneficial for the overall accuracy of the numerical scheme. The wave equation is also analyzed in respect to its initial boundary value problem. All three types of boundaries - outflow, inflow and completely inflow that can appear in this case, are investigated. Using the ghost-point method, 2n-accurate (n = 1, 4) numerical prescriptions are prescribed for each type of boundary. The inflow boundary is also approached using the SAT-SBP method. In the end of the thesis, a 1-D variant of BSSN formulation is derived and some of its IBVPs are considered. The boundary procedures, based on the ghost-point method, are intended to preserve the interior 2n-accuracy. Numerical tests show that this is the case if sufficient dissipation is added to the rhs of the equations. N2 - Diese Doktorarbeit beschäftigt sich mit der Entwicklung numerischer Verfahren für die Diskretisierung des Anfangswertproblems und des Anfangs-Randwertproblems unter Einsatz von finite-Differenzen-Techniken für bestimmte hyperbolischer Systeme erster Ordnung in der Zeit und zweiter Ordnung im Raum. Diese Art von Systemen erscheinen in einigen Formulierungen der Einstein'schen-Feldgleichungen, wie zB. den ADM, BSSN oder NOR Formulierungen, oder der sogenanten verallgemeinerten harmonischen Darstellung. Im Hinblick auf das Anfangswertproblem untersuche ich zunächst tiefgehend die mathematischen Eigenschaften von finite-Differenzen-Operatoren (FDO) erster und zweiter Ordnung mit 2n-facher Genaugigkeit. Anschließend erweitere ich eine in der Literatur beschriebene Methode zur Stabilitätsanalyse für Systeme mit zentrierten FDOs in zweiter und vierter Genauigkeitsordung auf Systeme mit gemischten zentrierten und nicht zentrierten Ableitungsoperatoren 2n-facher Genauigkeit, eingeschlossen zusätzlicher Dämpfungsterme, wie sie bei numerischen Simulationen der allgemeinen Relativitätstheorie üblich sind. Bei der Untersuchung der einfachen Wellengleichung als Fallbeispiel wird besonderes Augenmerk auf die Analyse der Courant-Grenzen und numerischen Geschwindigkeiten gelegt. Obwohl unzentrierte, diskrete Ableitungsoperatoren größere Diskretisierungs-Fehler besitzen als zentrierte Ableitungsoperatoren, wird gezeigt, daß man in bestimmten Situationen eine Dezentrierung des numerischen Moleküls von nur einem Punkt bezüglich des zentrierten FDO eine höhere Genauigkeit des numerischen Systems erzielen kann. Die Wellen-Gleichung in einer Dimension wurde ebenfalls im Hinblick auf das Anfangswertproblem untersucht. In Abhängigkeit des Wertes des sogenannten Shift-Vektors, müssen entweder zwei (vollständig eingehende Welle), eine (eingehende Welle) oder keine Randbedingung (ausgehende Welle) definiert werden. In dieser Arbeit wurden alle drei Fälle mit Hilfe der 'Ghost-point-methode' numerisch simuliert und untersucht, und zwar auf eine Weise, daß alle diese Algorithmen stabil sind und eine 2n-Genauigkeit besitzen. In der 'ghost-point-methode' werden die Evolutionsgleichungen bis zum letzen Punkt im Gitter diskretisiert unter Verwendung von zentrierten FDOs und die zusätzlichen Punkte die am Rand benötigt werden ('Ghost-points') werden unter Benutzung von Randwertbedingungen und Extrapolationen abgeschätzt. Für den Zufluß-Randwert wurde zusätzlich noch eine andere Implementierung entwickelt, welche auf der sogenannten SBP-SAT (Summation by parts-simulatanous approximation term) basiert. In dieser Methode werden die diskreten Ableitungen durch Operatoren angenähert, welche die 'Summation-by-parts' Regeln erfüllen. Die Randwertbedingungen selber werden in zusätzlichen Termen integriert, welche zu den Evolutionsgleichnungen der Punkte nahe des Randes hinzuaddiert werden und zwar auf eine Weise, daß die 'summation-by-parts' Eigenschaften erhalten bleiben. Am Ende dieser Arbeit wurde noch eine eindimensionale (kugelsymmetrische) Version der BSSN Formulierung abgeleitet und einige physikalisch relevanten Anfangs-Randwertprobleme werden diskutiert. Die Randwert-Algorithmen, welche für diesen Fall ausgearbeitet wurden, basieren auf der 'Ghost-point-Methode' and erfüllen die innere 2n-Genauigkeit solange genügend Reibung in den Gleichungen zugefügt wird. KW - Finite Differenzen KW - Wellengleichung KW - numerischen Relativitätstheorie KW - finite differences KW - wave equation KW - numerical relativity Y1 - 2010 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus-42135 ER -