TY - THES A1 - Peter, Franziska T1 - Transition to synchrony in finite Kuramoto ensembles T1 - Synchronisationsübergang in endlichen Kuramoto-Ensembles N2 - Synchronisation – die Annäherung der Rhythmen gekoppelter selbst oszillierender Systeme – ist ein faszinierendes dynamisches Phänomen, das in vielen biologischen, sozialen und technischen Systemen auftritt. Die vorliegende Arbeit befasst sich mit Synchronisation in endlichen Ensembles schwach gekoppelter selbst-erhaltender Oszillatoren mit unterschiedlichen natürlichen Frequenzen. Das Standardmodell für dieses kollektive Phänomen ist das Kuramoto-Modell – unter anderem aufgrund seiner Lösbarkeit im thermodynamischen Limes unendlich vieler Oszillatoren. Ähnlich einem thermodynamischen Phasenübergang zeigt im Fall unendlich vieler Oszillatoren ein Ordnungsparameter den Übergang von Inkohärenz zu einem partiell synchronen Zustand an, in dem ein Teil der Oszillatoren mit einer gemeinsamen Frequenz rotiert. Im endlichen Fall treten Fluktuationen auf. In dieser Arbeit betrachten wir den bisher wenig beachteten Fall von bis zu wenigen hundert Oszillatoren, unter denen vergleichbar starke Fluktuationen auftreten, bei denen aber ein Vergleich zu Frequenzverteilungen im unendlichen Fall möglich ist. Zunächst definieren wir einen alternativen Ordnungsparameter zur Feststellung einer kollektiven Mode im endlichen Kuramoto-Modell. Dann prüfen wir die Abhängigkeit des Synchronisationsgrades und der mittleren Rotationsfrequenz der kollektiven Mode von Eigenschaften der natürlichen Frequenzverteilung für verschiedene Kopplungsstärken. Wir stellen dabei zunächst numerisch fest, dass der Synchronisationsgrad stark von der Form der Verteilung (gemessen durch die Kurtosis) und die Rotationsfrequenz der kollektiven Mode stark von der Asymmetrie der Verteilung (gemessen durch die Schiefe) der natürlichen Frequenzen abhängt. Beides können wir im thermodynamischen Limes analytisch verifizieren. Mit diesen Ergebnissen können wir Erkenntnisse anderer Autoren besser verstehen und verallgemeinern. Etwas abseits des roten Fadens dieser Arbeit finden wir außerdem einen analytischen Ausdruck für die Volumenkontraktion im Phasenraum. Der zweite Teil der Arbeit konzentriert sich auf den ordnenden Effekt von Fluktuationen, die durch die Endlichkeit des Systems zustande kommen. Im unendlichen Modell sind die Oszillatoren eindeutig in kohärent und inkohärent und damit in geordnet und ungeordnet getrennt. Im endlichen Fall können die auftretenden Fluktuationen zusätzliche Ordnung unter den asynchronen Oszillatoren erzeugen. Das grundlegende Prinzip, die rauschinduzierte Synchronisation, ist aus einer Reihe von Publikationen bekannt. Unter den gekoppelten Oszillatoren nähern sich die Phasen aufgrund der Fluktuationen des Ordnungsparameters an, wie wir einerseits direkt numerisch zeigen und andererseits mit einem Synchronisationsmaß aus der gerichteten Statistik zwischen Paaren passiver Oszillatoren nachweisen. Wir bestimmen die Abhängigkeit dieses Synchronisationsmaßes vom Verhältnis von paarweiser natürlicher Frequenzdifferenz zur Varianz der Fluktuationen. Dabei finden wir eine gute Übereinstimmung mit einem einfachen analytischen Modell, in welchem wir die deterministischen Fluktuationen des Ordnungsparameters durch weißes Rauschen ersetzen. N2 - Synchronization – the adjustment of rhythms among coupled self-oscillatory systems – is a fascinating dynamical phenomenon found in many biological, social, and technical systems. The present thesis deals with synchronization in finite ensembles of weakly coupled self-sustained oscillators with distributed frequencies. The standard model for the description of this collective phenomenon is the Kuramoto model – partly due to its analytical tractability in the thermodynamic limit of infinitely many oscillators. Similar to a phase transition in the thermodynamic limit, an order parameter indicates the transition from incoherence to a partially synchronized state. In the latter, a part of the oscillators rotates at a common frequency. In the finite case, fluctuations occur, originating from the quenched noise of the finite natural frequency sample. We study intermediate ensembles of a few hundred oscillators in which fluctuations are comparably strong but which also allow for a comparison to frequency distributions in the infinite limit. First, we define an alternative order parameter for the indication of a collective mode in the finite case. Then we test the dependence of the degree of synchronization and the mean rotation frequency of the collective mode on different characteristics for different coupling strengths. We find, first numerically, that the degree of synchronization depends strongly on the form (quantified by kurtosis) of the natural frequency sample and the rotation frequency of the collective mode depends on the asymmetry (quantified by skewness) of the sample. Both findings are verified in the infinite limit. With these findings, we better understand and generalize observations of other authors. A bit aside of the general line of thoughts, we find an analytical expression for the volume contraction in phase space. The second part of this thesis concentrates on an ordering effect of the finite-size fluctuations. In the infinite limit, the oscillators are separated into coherent and incoherent thus ordered and disordered oscillators. In finite ensembles, finite-size fluctuations can generate additional order among the asynchronous oscillators. The basic principle – noise-induced synchronization – is known from several recent papers. Among coupled oscillators, phases are pushed together by the order parameter fluctuations, as we on the one hand show directly and on the other hand quantify with a synchronization measure from directed statistics between pairs of passive oscillators. We determine the dependence of this synchronization measure from the ratio of pairwise natural frequency difference and variance of the order parameter fluctuations. We find a good agreement with a simple analytical model, in which we replace the deterministic fluctuations of the order parameter by white noise. KW - synchronization KW - Kuramoto model KW - finite size KW - phase transition KW - dynamical systems KW - networks KW - Synchronisation KW - Kuramoto-Modell KW - endliche Ensembles KW - Phasenübergang KW - dynamische Systeme KW - Netzwerke Y1 - 2019 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-429168 ER - TY - THES A1 - Gong, Chen Chris T1 - Synchronization of coupled phase oscillators BT - theory and modelling BT - Theorie und Modellierung N2 - Oscillatory systems under weak coupling can be described by the Kuramoto model of phase oscillators. Kuramoto phase oscillators have diverse applications ranging from phenomena such as communication between neurons and collective influences of political opinions, to engineered systems such as Josephson Junctions and synchronized electric power grids. This thesis includes the author's contribution to the theoretical framework of coupled Kuramoto oscillators and to the understanding of non-trivial N-body dynamical systems via their reduced mean-field dynamics. The main content of this thesis is composed of four parts. First, a partially integrable theory of globally coupled identical Kuramoto oscillators is extended to include pure higher-mode coupling. The extended theory is then applied to a non-trivial higher-mode coupled model, which has been found to exhibit asymmetric clustering. Using the developed theory, we could predict a number of features of the asymmetric clustering with only information of the initial state provided. The second part consists of an iterated discrete-map approach to simulate phase dynamics. The proposed map --- a Moebius map --- not only provides fast computation of phase synchronization, it also precisely reflects the underlying group structure of the dynamics. We then compare the iterated-map dynamics and various analogous continuous-time dynamics. We are able to replicate known phenomena such as the synchronization transition of the Kuramoto-Sakaguchi model of oscillators with distributed natural frequencies, and chimera states for identical oscillators under non-local coupling. The third part entails a particular model of repulsively coupled identical Kuramoto-Sakaguchi oscillators under common random forcing, which can be shown to be partially integrable. Via both numerical simulations and theoretical analysis, we determine that such a model cannot exhibit stationary multi-cluster states, contrary to the numerical findings in previous literature. Through further investigation, we find that the multi-clustering states reported previously occur due to the accumulation of discretization errors inherent in the integration algorithms, which introduce higher-mode couplings into the model. As a result, the partial integrability condition is violated. Lastly, we derive the microscopic cross-correlation of globally coupled non-identical Kuramoto oscillators under common fluctuating forcing. The effect of correlation arises naturally in finite populations, due to the non-trivial fluctuations of the meanfield. In an idealized model, we approximate the finite-sized fluctuation by a Gaussian white noise. The analytical approximation qualitatively matches the measurements in numerical experiments, however, due to other periodic components inherent in the fluctuations of the mean-field there still exist significant inconsistencies. N2 - Oszillatorische Systeme unter schwacher Kopplung können durch das Kuramoto-Modell beschrieben werden. Kuramoto-Phasenoszillatoren besitzen eine Vielzahl von Modellanwendungsfällen von der Kommunikation zwischen Nervenzellen bis zu kollektiven Einflüssen auf die politische Meinungsbildung sowie ingenieurwissenschaftlichen Anwendungen wie Josephson-Kontakten und synchronisierten elektrischen Übertragungsnetzen. In dieser Dissertation werden die Beiträge der Autorin zur Theorie der Kuramoto-Oszillatorensysteme und zum Verständnis nichttrivialer dynamischer NKörpersysteme durch die Analyse ihrer reduzierten Mittelfelddynamik zusammengefasst. Der Hauptinhalt dieser Dissertation umfasst vier Teile: Zuerst wird eine teilweise integrable Theorie global gekoppelter, identischer Kuramoto-Oszillatoren so erweitert, dass sie auch den Fall reiner Phasenkopplung höherer Ordnung umfasst. Die erweiterte Theorie wird anschließend auf ein nichttriviales Modell mit harmonischer Kopplung höherer Ordnung angewendet, welches asymmetrisches Clustering aufweist. Die Theorie sagt rein auf Basis der Anfangssystembedingungen einige Eigenschaften des asymmetrischen Clustering erfolgreich voraus. Im zweiten Teil wird die Phasendynamik von Kuramoto-Oszillatoren mithilfe einer iterierten diskreten Abbildung simuliert. Diese Abbildung – eine Möbius-Abbildung – erlaubt nicht nur eine schnelle Berechnung der Phasensynchronisation sondern spiegelt die zugrundeliegende Gruppenstruktur der Phasendynamik auch exakt wieder. Die Dynamik der iterierten Abbildung wird mit verschiedenen analogen Dynamiken mit kontinuierlicher Zeitachse verglichen. Hierbei werden bekannte Phänomene, wie etwa der Phasenübergang im Kuramoto-Sakaguchi-Oszillatormodell mit einer Verteilung der natürlichen Frequenzen und “Chimärenzustände” (chimera states) bei identischen Oszillatoren nichtlokalen Kopplungstypen, repliziert. Im dritten Teil wird ein Modell von repulsiv gekoppelten, identischen, gemeinsam stochastisch getriebenen Kuramoto-Sakaguchi-Oszillatoren beschrieben, dass teilweise integrabel ist. Sowohl durch numerische Simulationen als auch theoretische Analyse wird gezeigt, dass dieses Modell keine stationären Multi-Cluster-Zustände einnehmen kann, was den Ergebnissen anderer numerischer Studien in der Literatur widerspricht. Durch eine weitergehende Analyse wird gezeigt, dass das scheinbare Auftreten von Multi-Cluster-Zuständen der Akkumulation von inhärenten Diskretisierungsfehlern der verwendeten Integrationsalgorithmen zuzuschreiben ist, welche dem Modell Phasenkopplungen höher Ordnung hinzufügen. Als Resultat dieser Effekte wird die Bedingung der teilweisen Integrabilität verletzt. Zuletzt wird die mikroskopische Kreuzkorrelation zwischen global gekoppelten, nicht identischen gemeinsam fluktuierend getriebenen Kuramoto-Oszillatoren hergeleitet. Der Korrelationseffekt entsteht auf natürliche Art und Weise in endlichen Populationen aufgrund der nichttrivialen Fluktuation des Mittelfelds. Die endliche Fluktuation wird in einem idealisierten Modell mittels gaußschem weißem Rauschen approximiert. Die analytische Annährung stimmt mit den Ergebnissen numerischer Simulationen gut überein, die inhärenten periodischen Komponenten der Fluktuation des Mittelfels verursachen allerdings trotzdem signifikante Inkonsistenzen. T2 - Synchronisation der gekoppelten Oszillatoren KW - Synchronization KW - Nonlinear Dynamics KW - Nichtlineare Dynamik KW - Synchronisation KW - Kuramoto Oscillators KW - Kuramoto-Oszillatore KW - Complex Network KW - Komplexes Netzwerk Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-487522 ER -