TY - THES A1 - Malem-Shinitski, Noa T1 - Bayesian inference and modeling for point processes with applications from neuronal activity to scene viewing T1 - Bayessche Inferenz und Modellierung für Punktprozesse mit Anwendungen von neuronaler Aktivität bis Szenenbetrachtung N2 - Point processes are a common methodology to model sets of events. From earthquakes to social media posts, from the arrival times of neuronal spikes to the timing of crimes, from stock prices to disease spreading -- these phenomena can be reduced to the occurrences of events concentrated in points. Often, these events happen one after the other defining a time--series. Models of point processes can be used to deepen our understanding of such events and for classification and prediction. Such models include an underlying random process that generates the events. This work uses Bayesian methodology to infer the underlying generative process from observed data. Our contribution is twofold -- we develop new models and new inference methods for these processes. We propose a model that extends the family of point processes where the occurrence of an event depends on the previous events. This family is known as Hawkes processes. Whereas in most existing models of such processes, past events are assumed to have only an excitatory effect on future events, we focus on the newly developed nonlinear Hawkes process, where past events could have excitatory and inhibitory effects. After defining the model, we present its inference method and apply it to data from different fields, among others, to neuronal activity. The second model described in the thesis concerns a specific instance of point processes --- the decision process underlying human gaze control. This process results in a series of fixated locations in an image. We developed a new model to describe this process, motivated by the known Exploration--Exploitation dilemma. Alongside the model, we present a Bayesian inference algorithm to infer the model parameters. Remaining in the realm of human scene viewing, we identify the lack of best practices for Bayesian inference in this field. We survey four popular algorithms and compare their performances for parameter inference in two scan path models. The novel models and inference algorithms presented in this dissertation enrich the understanding of point process data and allow us to uncover meaningful insights. N2 - Punktprozesse sind eine gängige Methode zur Modellierung von Ereignismengen. Von Erdbeben bis zu Social-Media-Posts, von den neuronalen Spikes bis zum Zeitpunkt von Verbrechen, von Aktienkursen bis zur Ausbreitung von Krankheiten - diese Phänomene lassen sich auf das Auftreten von Ereignissen reduzieren, die in Punkten konzentriert sind. Häufig treten diese Ereignisse nacheinander auf und bilden eine Zeitreihe. Modelle von Punktprozessen können verwendet werden, um unser Verständnis solcher Ereignisse für Klassifizierung und Vorhersage zu vertiefen. Solche Modelle umfassen einen zugrunde liegenden Zufallsprozess, der die Ereignisse erzeugt. In dieser Arbeit wird die Bayes'sche Methodik verwendet, um den zugrunde liegenden generativen Prozess aus den beobachteten Daten abzuleiten. Wir leisten einen doppelten Beitrag: Wir entwickeln neue Modelle und neue Inferenzmethoden für diese Prozesse. Wir schlagen ein Modell vor, das die Familie der Punktprozesse erweitert, bei denen das Auftreten eines Ereignisses von den vorherigen Ereignissen abhängt. Diese Familie ist als Hawkes-Prozesse bekannt. Während in den meisten bestehenden Modellen solcher Prozesse davon ausgegangen wird, dass vergangene Ereignisse nur eine exzitatorische Wirkung auf zukünftige Ereignisse haben, konzentrieren wir uns auf den neu entwickelten nichtlinearen Hawkes-Prozess, bei dem vergangene Ereignisse exzitatorische und hemmende Wirkungen haben können. Nach der Definition des Modells stellen wir seine Inferenzmethode vor und wenden sie auf Daten aus verschiedenen Bereichen an, unter anderem auf die neuronale Aktivität. Das zweite Modell, das in dieser Arbeit beschrieben wird, betrifft einen speziellen Fall von Punktprozessen - den Entscheidungsprozess, der der menschlichen Blicksteuerung zugrunde liegt. Dieser Prozess führt zu einer Reihe von fixierten Positionen in einem Bild. Wir haben ein neues Modell entwickelt, um diesen Prozess zu beschreiben, motiviert durch das bekannte Exploration-Exploitation-Dilemma. Neben dem Modell stellen wir einen Bayes'schen Inferenzalgorithmus vor, um die Modellparameter abzuleiten. Wir bleiben auf dem Gebiet der menschlichen Szenenbetrachtung und stellen fest, dass es in diesem Bereich keine bewährten Verfahren für die Bayes'sche Inferenz gibt. Wir geben einen Überblick über vier gängige Algorithmen und vergleichen ihre Leistungen bei der Ableitung von Parametern für zwei Scanpfadmodelle. Die in dieser Dissertation vorgestellten neuen Modelle und Inferenzalgorithmen bereichern das Verständnis von Punktprozessdaten und ermöglichen es uns, sinnvolle Erkenntnisse zu gewinnen. KW - Bayesian inference KW - point process KW - statistical machine learning KW - sampling KW - modeling KW - Bayessche Inferenz KW - Modellierung KW - Punktprozess KW - Stichprobenentnahme aus einem statistischen Modell KW - statistisches maschinelles Lernen Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-614952 ER - TY - THES A1 - Schindler, Daniel T1 - Mathematical modeling and simulation of protrusion-driven cell dynamics T1 - Mathematische Modellierung und Simulation von amöboiden Zelldynamiken N2 - Amoeboid cell motility takes place in a variety of biomedical processes such as cancer metastasis, embryonic morphogenesis, and wound healing. In contrast to other forms of cell motility, it is mainly driven by substantial cell shape changes. Based on the interplay of explorative membrane protrusions at the front and a slower-acting membrane retraction at the rear, the cell moves in a crawling kind of way. Underlying these protrusions and retractions are multiple physiological processes resulting in changes of the cytoskeleton, a meshwork of different multi-functional proteins. The complexity and versatility of amoeboid cell motility raise the need for novel computational models based on a profound theoretical framework to analyze and simulate the dynamics of the cell shape. The objective of this thesis is the development of (i) a mathematical framework to describe contour dynamics in time and space, (ii) a computational model to infer expansion and retraction characteristics of individual cell tracks and to produce realistic contour dynamics, (iii) and a complementing Open Science approach to make the above methods fully accessible and easy to use. In this work, we mainly used single-cell recordings of the model organism Dictyostelium discoideum. Based on stacks of segmented microscopy images, we apply a Bayesian approach to obtain smooth representations of the cell membrane, so-called cell contours. We introduce a one-parameter family of regularized contour flows to track reference points on the contour (virtual markers) in time and space. This way, we define a coordinate system to visualize local geometric and dynamic quantities of individual contour dynamics in so-called kymograph plots. In particular, we introduce the local marker dispersion as a measure to identify membrane protrusions and retractions in a fully automated way. This mathematical framework is the basis of a novel contour dynamics model, which consists of three biophysiologically motivated components: one stochastic term, accounting for membrane protrusions, and two deterministic terms to control the shape and area of the contour, which account for membrane retractions. Our model provides a fully automated approach to infer protrusion and retraction characteristics from experimental cell tracks while being also capable of simulating realistic and qualitatively different contour dynamics. Furthermore, the model is used to classify two different locomotion types: the amoeboid and a so-called fan-shaped type. With the complementing Open Science approach, we ensure a high standard regarding the usability of our methods and the reproducibility of our research. In this context, we introduce our software publication named AmoePy, an open-source Python package to segment, analyze, and simulate amoeboid cell motility. Furthermore, we describe measures to improve its usability and extensibility, e.g., by detailed run instructions and an automatically generated source code documentation, and to ensure its functionality and stability, e.g., by automatic software tests, data validation, and a hierarchical package structure. The mathematical approaches of this work provide substantial improvements regarding the modeling and analysis of amoeboid cell motility. We deem the above methods, due to their generalized nature, to be of greater value for other scientific applications, e.g., varying organisms and experimental setups or the transition from unicellular to multicellular movement. Furthermore, we enable other researchers from different fields, i.e., mathematics, biophysics, and medicine, to apply our mathematical methods. By following Open Science standards, this work is of greater value for the cell migration community and a potential role model for other Open Science contributions. N2 - Amöboide Zellmotilität findet bei einer Vielzahl biomedizinischer Prozesse wie Krebsmetastasierung, embryonaler Morphogenese und Wundheilung statt. Im Gegensatz zu anderen Formen der Zellmotilität wird sie hauptsächlich durch erhebliche Formveränderungen der Zelle angetrieben. Sie beruht auf dem Zusammenspiel von explorativen Membranausstülpungen an der Vorderseite und einem langsamer wirkenden Membraneinzug an der Rückseite. Die Komplexität amöboider Zellmotilität machen neue Berechnungsmodelle erforderlich, um die Dynamik der Zellform mathematisch fundiert zu analysieren und zu simulieren. Ziel dieser Arbeit ist die Entwicklung (i) eines mathematischen Frameworks zur Beschreibung der Konturendynamik in Zeit und Raum, (ii) eines Computermodells, um Eigenschaften der Membranveränderungen von einzelnen Zellen zu inferieren und gleichzeitig realistische Konturdynamiken zu simulieren, (iii) und eines ergänzenden Open-Science-Ansatzes, um die oben genannten Methoden vollständig zugänglich und leicht anwendbar zu machen. Auf der Grundlage von aufeinander folgenden Mikroskopiebildern vom Modellorganismus Dictyostelium discoideum, wenden wir einen Bayesschen Ansatz an, um glatte Darstellungen der Zellmembran, sogenannte Zellkonturen, zu erhalten. Wir führen eine einparametrige Familie von regularisierten Konturflüssen ein, um Referenzpunkte auf der Kontur (virtuelle Marker) in Zeit und Raum zu verfolgen. Auf diese Weise definieren wir ein Koordinatensystem zur Visualisierung lokaler geometrischer und dynamischer Größen der individuellen Konturdynamiken in sogenannten Kymographen-Plots. Insbesondere führen wir die lokale Marker-Dispersion ein, mit der signifikante Membranveränderungen identifiziert werden können. Dieses mathematische Framework bildet die Grundlage für unser neues Modell zur Beschreibung von Konturendynamiken. Es besteht aus drei biophysiologisch motivierten Komponenten: einem stochastischen Term, der die Membranausstülpungen steuert, und zwei deterministischen Termen, die das Membraneinziehen, unter Berücksichtigung der Konturform und -fläche, steuern. Unser Modell bietet einen vollautomatisierten Ansatz zur Inferrenz der Charakteristiken von Membranveränderungen für experimentelle Zelldaten. Außerdem ermöglicht es die Simulation von realistischen und qualitativ unterschiedlichen Konturendynamiken. Mit dem ergänzenden Open-Science-Ansatz setzen wir einen hohen Standard hinsichtlich der Nutzbarkeit unserer Methoden und der Reproduzierbarkeit unserer Forschung. In diesem Kontext stellen wir die Softwarepublikation AmoePy vor, ein Open-Source-Pythonpaket zur Segmentierung, Analyse und Simulation von amöboider Zellmotilität. Darüber hinaus beschreiben wir Maßnahmen zur Verbesserung der Benutzerfreundlichkeit und Erweiterbarkeit, z. B. durch detaillierte Ausführanweisungen und eine automatisch generierte Quellcodedokumentation, und zur Gewährleistung der Funktionalität und Stabilität, z. B. durch automatische Softwaretests, Datenvalidierung und eine hierarchische Paketstruktur. Die mathematischen Methoden dieser Arbeit stellen wesentliche Verbesserungen in der Modellierung und Analyse der amöboiden Zellmotilität dar. Wir sind der Ansicht, dass die oben genannten Methoden aufgrund ihrer Verallgemeinerbarkeit von größerem Wert für andere wissenschaftliche Anwendungen sind und potentiell einsetzbar in verschiedenen Wissenschaftsfeldern sind, u. a. Mathematik, Biophysik und Medizin. Durch die Einhaltung von Open-Science-Standards ist diese Arbeit von größerem Wert und ein potenzielles Vorbild für andere Open-Science-Beiträge. KW - amöboide Bewegung KW - Zellmotilität KW - mathematische Modellierung KW - offene Wissenschaft KW - amoeboid motion KW - cell motility KW - mathematical modeling KW - open science Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-613275 ER - TY - THES A1 - Lopez Valencia, Diego Andres T1 - The Milnor-Moore and Poincaré-Birkhoff-Witt theorems in the locality set up and the polar structure of Shintani zeta functions T1 - Die Milnor-Moore und Poincaré-Birkhoff-Witt Theoreme in der Lokalität und die polare Struktur der Shintani-Zeta-Abbildungen N2 - This thesis bridges two areas of mathematics, algebra on the one hand with the Milnor-Moore theorem (also called Cartier-Quillen-Milnor-Moore theorem) as well as the Poincaré-Birkhoff-Witt theorem, and analysis on the other hand with Shintani zeta functions which generalise multiple zeta functions. The first part is devoted to an algebraic formulation of the locality principle in physics and generalisations of classification theorems such as Milnor-Moore and Poincaré-Birkhoff-Witt theorems to the locality framework. The locality principle roughly says that events that take place far apart in spacetime do not infuence each other. The algebraic formulation of this principle discussed here is useful when analysing singularities which arise from events located far apart in space, in order to renormalise them while keeping a memory of the fact that they do not influence each other. We start by endowing a vector space with a symmetric relation, named the locality relation, which keeps track of elements that are "locally independent". The pair of a vector space together with such relation is called a pre-locality vector space. This concept is extended to tensor products allowing only tensors made of locally independent elements. We extend this concept to the locality tensor algebra, and locality symmetric algebra of a pre-locality vector space and prove the universal properties of each of such structures. We also introduce the pre-locality Lie algebras, together with their associated locality universal enveloping algebras and prove their universal property. We later upgrade all such structures and results from the pre-locality to the locality context, requiring the locality relation to be compatible with the linear structure of the vector space. This allows us to define locality coalgebras, locality bialgebras, and locality Hopf algebras. Finally, all the previous results are used to prove the locality version of the Milnor-Moore and the Poincaré-Birkhoff-Witt theorems. It is worth noticing that the proofs presented, not only generalise the results in the usual (non-locality) setup, but also often use less tools than their counterparts in their non-locality counterparts. The second part is devoted to study the polar structure of the Shintani zeta functions. Such functions, which generalise the Riemman zeta function, multiple zeta functions, Mordell-Tornheim zeta functions, among others, are parametrised by matrices with real non-negative arguments. It is known that Shintani zeta functions extend to meromorphic functions with poles on afine hyperplanes. We refine this result in showing that the poles lie on hyperplanes parallel to the facets of certain convex polyhedra associated to the defining matrix for the Shintani zeta function. Explicitly, the latter are the Newton polytopes of the polynomials induced by the columns of the underlying matrix. We then prove that the coeficients of the equation which describes the hyperplanes in the canonical basis are either zero or one, similar to the poles arising when renormalising generic Feynman amplitudes. For that purpose, we introduce an algorithm to distribute weight over a graph such that the weight at each vertex satisfies a given lower bound. N2 - Diese Arbeit schlägt eine Brücke zwischen zwei Bereichen der Mathematik, einerseits der Algebra mit dem Milnor-Moore-Theorem (auch Cartier-Quillen-Milnor-Moore-Theorem genannt) sowie dem Poincaré-Birkhoff-Witt-Theorem und andererseits der Analysis mit den Shintani-Zetafunktionen, die eine Verallgemeinerung der Mehrfach-Zetafunktionen darstellen. Der erste Teil ist einer algebraischen Formulierung des Lokalitätsprinzips in der Physik und Verallgemeinerungen von Klassifikationstheoremen wie dem Milnor-Moore- und dem Poincaré-Birkhoff-Witt-Theorem auf den Lokalitätsrahmen gewidmet. Das Lokalitätsprinzip besagt grob, dass Ereignisse, die in der Raumzeit weit voneinander entfernt stattfinden, sich nicht gegenseitig beeinflussen. Die hier erörterte algebraische Formulierung dieses Prinzips ist nützlich bei der Analyse von Singularitäten, die aus weit voneinander entfernten Ereignissen im Raum entstehen, um sie zu renormalisieren und dabei die Tatsache im Gedächtnis zu behalten, dass sie sich nicht gegenseitig beeinflussen. Wir beginnen damit, dass wir einen Vektorraum mit einer symmetrischen Relation, der so genannten Lokalitätsrelation, ausstatten, die die "lokal unabhängigen" Elemente festhält. Das Paar aus einem Vektorraum und einer solchen Relation wird als Vorlokalitäts-Vektorraum bezeichnet. Dieses Konzept wird auf Tensorprodukte erweitert, die nur Tensoren aus lokal unabhängigen Elementen zulassen. Wir erweitern dieses Konzept auf die Lokalitäts-Tensor-Algebra und die symmetrische Lokalitäts-Algebra eines Vorlokalitäts-Vektorraums und beweisen die universellen Eigenschaften jeder dieser Strukturen. Wir führen auch die Vorlokalitäts-Lie-Algebren zusammen mit den zugehörigen universellen Hüllalgebren der Lokalität ein und beweisen ihre universelle Eigenschaft. Später übertragen wir alle diese Strukturen und Ergebnisse aus dem Kontext der Vorlokalität in den Kontext der Lokalität, wobei die Lokalitätsbeziehung mit der linearen Struktur des Vektorraums kompatibel sein muss. Auf diese Weise können wir Lokalitäts-Kohlengebren, Lokalitäts-Bialgebren und Lokalitäts-Hopf-Algebren definieren. Schließlich werden alle vorherigen Ergebnisse verwendet, um die Lokalitätsversionen des Milnor-Moore- und des Poincaré-Birkhoff-Witt-Theorems zu beweisen. Es ist erwähnenswert, dass die vorgestellten Beweise nicht nur die Ergebnisse im üblichen (Nichtlokalitäts-) Aufbau verallgemeinern, sondern auch oft weniger Hilfsmittel verwenden als ihre Gegenstücke in ihren Nichtlokalitäts-Gegenstücken. Der zweite Teil ist der Untersuchung der polaren Struktur der Shintani-Zeta-Funktionen gewidmet. Diese Funktionen, die u.a. die Riemman-Zetafunktion, die multiplen Zetafunktionen und die Mordell-Tornheim-Zetafunktionen verallgemeinern, werden durch Matrizen mit reellen, nicht-negativen Argumenten parametrisiert. Es ist bekannt, dass Shintani-Zetafunktionen sich zu meromorphen Funktionen mit Polen auf affinen Hyperebenen erweitern. Wir verfeinern dieses Ergebnis, indem wir zeigen, dass die Pole auf Hyperebenen liegen, die parallel zu den Facetten bestimmter konvexer Polyeder verlaufen, die mit der Definitionsmatrix für die Shintani-Zeta-Funktion assoziiert sind. Letztere sind explizit die Newton-Polytope der Polynome, die durch die Spalten der zugrunde liegenden Matrix induziert werden. Wir beweisen dann, dass die Koeffizienten der Gleichung, die die Hyperebenen in der kanonischen Basis beschreibt, entweder Null oder Eins sind, ähnlich wie die Pole, die bei der Renormierung generischer Feynman-Amplituden entstehen. Zu diesem Zweck führen wir einen Algorithmus ein, um die Gewichte über einen Graphen so zu verteilen, dass das Gewicht an jedem Knoten eine gegebene untere Schranke erfüllt. KW - locality principle KW - multizeta functions KW - meromorphic continuation KW - Milnor Moore theorem KW - Poincaré Birkhoff Witt theorem KW - Newton polytopes KW - Satz von Milnor Moore KW - Newton Polytope KW - Satz von Poincaré Birkhoff Witt KW - Lokalitätsprinzip KW - meromorphe Fortsetzung KW - Multizeta-Abbildungen Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-594213 ER - TY - THES A1 - Gehring, Penelope T1 - Non-local boundary conditions for the spin Dirac operator on spacetimes with timelike boundary T1 - Nicht-lokale Randbedingungen für den spinorialen Dirac-Operator auf Raumzeiten mit zeitartigen Rand N2 - Non-local boundary conditions – for example the Atiyah–Patodi–Singer (APS) conditions – for Dirac operators on Riemannian manifolds are rather well-understood, while not much is known for such operators on Lorentzian manifolds. Recently, Bär and Strohmaier [15] and Drago, Große, and Murro [27] introduced APS-like conditions for the spin Dirac operator on Lorentzian manifolds with spacelike and timelike boundary, respectively. While Bär and Strohmaier [15] showed the Fredholmness of the Dirac operator with these boundary conditions, Drago, Große, and Murro [27] proved the well-posedness of the corresponding initial boundary value problem under certain geometric assumptions. In this thesis, we will follow the footsteps of the latter authors and discuss whether the APS-like conditions for Dirac operators on Lorentzian manifolds with timelike boundary can be replaced by more general conditions such that the associated initial boundary value problems are still wellposed. We consider boundary conditions that are local in time and non-local in the spatial directions. More precisely, we use the spacetime foliation arising from the Cauchy temporal function and split the Dirac operator along this foliation. This gives rise to a family of elliptic operators each acting on spinors of the spin bundle over the corresponding timeslice. The theory of elliptic operators then ensures that we can find families of non-local boundary conditions with respect to this family of operators. Proceeding, we use such a family of boundary conditions to define a Lorentzian boundary condition on the whole timelike boundary. By analyzing the properties of the Lorentzian boundary conditions, we then find sufficient conditions on the family of non-local boundary conditions that lead to the well-posedness of the corresponding Cauchy problems. The well-posedness itself will then be proven by using classical tools including energy estimates and approximation by solutions of the regularized problems. Moreover, we use this theory to construct explicit boundary conditions for the Lorentzian Dirac operator. More precisely, we will discuss two examples of boundary conditions – the analogue of the Atiyah–Patodi–Singer and the chirality conditions, respectively, in our setting. For doing this, we will have a closer look at the theory of non-local boundary conditions for elliptic operators and analyze the requirements on the family of non-local boundary conditions for these specific examples. N2 - Über nicht-lokale Randbedingungen – zum Beispiel dieAtiyah–Patodi–Singer (APS)-Bedingungen – für Dirac Operatoren auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten ist recht viel bekannt, während für die hyperbolischen Dirac Operatoren auf Lorentz-Mannigfaltigkeiten dies noch nicht der Fall ist. Kürzlich haben Bär und Strohmaier [15] und Drago, Große und Murro [27] APS-ähnliche Bedingungen für den Spin Dirac Operator auf Lorentz-Mannigfaltigkeiten mit raumartigen bzw. zeitartigen Rand eingeführt. Während Bär und Strohmaier [15] zeigten, dass der Dirac Operator mit diesen Randbedingungen Fredholm ist, bewiesen Drago, Große und Murro [27] die Wohlgestelltheit des entsprechenden Anfangsrandwertproblems unter bestimmten geometrischen Annahmen. In dieser Arbeit werden wir in die Fußstapfen der letztgenannten Autoren treten und diskutieren, ob die APS-ähnlichen Bedingungen für Dirac Operatoren auf Lorentz-Mannigfaltigkeiten mit zeitartigen Rand durch allgemeinere Bedingungen ersetzt werden können, sodass die zugehörigen Anfangsrandwertprobleme immer noch wohlgestellt sind. Wir betrachten Randbedingungen, die in der Zeit lokal und in den Raumrichtungen nicht-lokal sind. Genauer gesagt verwenden wir die Raumzeitblätterung, die sich aus der Cauchy Zeitfunktion ergibt, und spalten den Dirac Operator entlang dieser Foliation auf. Daraus ergibt sich eine Familie elliptischer Operatoren, die jeweils auf Spinoren des Spinbündels über den entsprechenden Zeitschnitt wirken. Die Theorie der elliptischen Operatoren stellt dann sicher, dass wir Familien von nichtlokalen Randbedingungen bezüglich dieser Familie von Operatoren finden können. Im weiteren Verlauf verwenden wir solche Familien von Randbedingungen, um eine Lorentzsche Randbedingung auf dem gesamten zeitartigen Rand zu definieren. Durch das Analysieren der Lorentzschen Randbedingungen finden wir dann hinreichende Bedingungen für die Familie der nicht-lokalen Randbedingungen, die zur Wohlgestelltheit der entsprechenden Cauchy-Probleme führen. Die Wohlgestelltheit selbst wird dann mit Hilfe klassischer Methoden bewiesen, einschließlich Energieabschätzungen und Annäherung durch Lösungen der regularisierten Probleme. Außerdem verwenden wir diese Theorie, um explizite Randbedingungen für den Lorentzschen Dirac Operator zu konstruieren. Genauer gesagt werden wir zwei Beispiele für Randbedingungen diskutieren - das Analogon der Atiyah-Patodi-Singer- bzw. Chiralitäts-Bedingungen für unseren Fall. Dazu werden wir uns die Theorie der nicht-lokalen Randbedingungen für elliptische Operatoren genauer ansehen und die Anforderungen an die Familie der nicht-lokalen Randbedingungen für diese Beispiele analysieren. KW - Dirac operator KW - Diracoperator KW - spacetimes with timelike boundary KW - Raumzeiten mit zeitartigen Rand KW - boundary conditions KW - Randbedingungen KW - initial boundary value problem KW - Anfangsrandwertproblem Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-577755 ER - TY - THES A1 - Hain, Tobias Martin T1 - Structure formation and identification in geometrically driven soft matter systems T1 - Strukturbildung und Identifikation in geometrisch getriebenen weiche Materie-Systemen N2 - Subdividing space through interfaces leads to many space partitions that are relevant to soft matter self-assembly. Prominent examples include cellular media, e.g. soap froths, which are bubbles of air separated by interfaces of soap and water, but also more complex partitions such as bicontinuous minimal surfaces. Using computer simulations, this thesis analyses soft matter systems in terms of the relationship between the physical forces between the system's constituents and the structure of the resulting interfaces or partitions. The focus is on two systems, copolymeric self-assembly and the so-called Quantizer problem, where the driving force of structure formation, the minimisation of the free-energy, is an interplay of surface area minimisation and stretching contributions, favouring cells of uniform thickness. In the first part of the thesis we address copolymeric phase formation with sharp interfaces. We analyse a columnar copolymer system "forced" to assemble on a spherical surface, where the perfect solution, the hexagonal tiling, is topologically prohibited. For a system of three-armed copolymers, the resulting structure is described by solutions of the so-called Thomson problem, the search of minimal energy configurations of repelling charges on a sphere. We find three intertwined Thomson problem solutions on a single sphere, occurring at a probability depending on the radius of the substrate. We then investigate the formation of amorphous and crystalline structures in the Quantizer system, a particulate model with an energy functional without surface tension that favours spherical cells of equal size. We find that quasi-static equilibrium cooling allows the Quantizer system to crystallise into a BCC ground state, whereas quenching and non-equilibrium cooling, i.e. cooling at slower rates then quenching, leads to an approximately hyperuniform, amorphous state. The assumed universality of the latter, i.e. independence of energy minimisation method or initial configuration, is strengthened by our results. We expand the Quantizer system by introducing interface tension, creating a model that we find to mimic polymeric micelle systems: An order-disorder phase transition is observed with a stable Frank-Caspar phase. The second part considers bicontinuous partitions of space into two network-like domains, and introduces an open-source tool for the identification of structures in electron microscopy images. We expand a method of matching experimentally accessible projections with computed projections of potential structures, introduced by Deng and Mieczkowski (1998). The computed structures are modelled using nodal representations of constant-mean-curvature surfaces. A case study conducted on etioplast cell membranes in chloroplast precursors establishes the double Diamond surface structure to be dominant in these plant cells. We automate the matching process employing deep-learning methods, which manage to identify structures with excellent accuracy. N2 - Die Unterteilung eines Raums durch Grenzflächen führt zu Raumaufteilungen, die für die Selbstorganisation weicher Materie relevant sind. Bekannte Beispiele sind zelluläre Medien, wie z.B. Seifenschaum, der aus Luftblasen besteht, getrennt durch Wände aus Wasser und Seife, und komplexere Partitionen, wie sie z.B. durch bikontinuierliche Minimalflächen erzeugt werden. In dieser Arbeit werden mit Hilfe von Computersimulationen Systeme weicher Materie in Bezug auf den Zusammenhang zwischen dem im System vorherrschenden, physikalischen Kräften und der Struktur der resultierenden Grenzflächen oder Partitionen untersucht. Der Schwerpunkt liegt hierbei auf zwei Systemen, eine Copolymerschmelze und das sogenannte Quantizer Problem, bei denen der treibende Faktor der Strukturbildung, nämlich die Minimierung der freien Energie, aus einem Zusammenspiel der Minimierung der Oberfläche der Grenzflächen und der gleichzeitigen Minimierung der Elastizitätsenergie besteht. Unter diesen Gegebenheiten bevorzugen solche Systeme Zellen gleichmäßiger Größe. Im ersten Teil der Arbeit befassen wir uns mit der Bildung von scharfen Grenzflächen in Systemen von Copolymeren. Wir analysieren die zylindrische Phase eines Copolymersystems, das gezwungen wird, sich auf einer kugelförmigen Oberfläche zu organisieren. Die Topologie dieser Oberfläche erlaubt es der optimalen Konfiguration, dem Sechseckgitter, nicht, sich zu bilden. Für dreiarmige Copolymere wird die entstehende Struktur durch Lösungen des sogenannten Thomson Problems beschrieben. Letzteres sucht nach der Konfigurationen von abstoßenden Ladungen auf einer Kugeloberfläche mit minimaler Energie. Auf einem Substrat haben wir eine Kombination aus drei ineinandergreifende Lösungen des Thomson Problems gefunden, wobei der Typ der Lösungen statistisch von dem Radius des Substrates abhängt. Anschließend untersuchen wir die Bildung von amorphen und kristallinen Strukturen im Quantizersystem, einem teilchenbasierenden Modell, dessen Energiefunktional keine Oberflächenspannung enthält und möglichst kugelförmige Zellen gleicher Größe begünstigt. Wird das System quasistatisch im thermodynamischen Gleichgewicht abgekühlt, kristallisiert das Quantizersystem in den geordneten BCC Grundzustand. Wird das System allerdings zu schnell abgekühlt, sodass es sich nicht mehr im thermodynamischen Gleichgewicht befindet, bildet sich eine amorphe, annähernd hyperuniforme Struktur aus. Wir konnten zeigen, dass diese Struktur bemerkenswert unabhängig von den Ausganszuständen, sowie der Art der Energieminimierung zu sein scheint. Im Ausblick erweitern wir das Quantizersystem, indem wir Oberflächenspannung einführen. Unsere Ergebnisse deutet darauf hin, dass dieses so erweiterte Modell Mizellenphasen in Polymersystem modellieren kann. Wir beobachten einen Phasenübergang von einer ungeordneten, flüssigen Phase hin zu einer festen Frank-Caspar-Phase. Der zweite Teil der Arbeit behandelt bikontinuierliche Grenzflächen, die den Raum in zwei netzwerkartige Domänen aufteilen. Wir führen eine Open-Source Software ein, das die Identifizierung von Strukturen anhand derer Mikroskopaufnahmen ermöglicht. Hierzu erweitern und verbessern wir eine Methode, die durch den Abgleich experimentell zugänglicher Projektionen in Mikroskopaufnahmen mit berechneten Projektionen potenzieller Strukturen basiert. Dieses Verfahren wurde erstmal von Deng und Mieczkowski (1998) eingeführt. Die simulierten Strukturen basieren auf einer Nodalflächenmodellierung von dreifach-periodischen Flächen konstanter mittlerer Krümmung. Wir führen eine Fallstudie an Zellmembranen von Etioplasten, den Vorläufern von Chloroplasten, durch. Wir konnten die Struktur dieser Etioplasten als die Diamond-Struktur identifizieren. Als Ausblick automatisieren wir den Identifizierungsproyess mit Hilfe von Deep-Learning-Methoden. Erste Ergebnisse zeigen, dass mit diesem Ansatz die Identifizierung von Strukturen mit ausgezeichneter Genauigkeit gelingt. KW - soft matter KW - geometry KW - self-assembly KW - structure formation KW - quantizer KW - polymer KW - Geometrie KW - Polymere KW - Quantizer KW - Selbstassemblierung KW - weiche Materie KW - Strukturbildung Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-558808 N1 - Parts of this publication are reproduced with permission from the Royal Society of Chemistry and AIP Publishing. ER - TY - THES A1 - Schanner, Maximilian Arthus T1 - Correlation based modeling of the archeomagnetic field T1 - Korrelationsbasierte Modellierung des archäomagnetischen Feldes N2 - The geomagnetic main field is vital for live on Earth, as it shields our habitat against the solar wind and cosmic rays. It is generated by the geodynamo in the Earth’s outer core and has a rich dynamic on various timescales. Global models of the field are used to study the interaction of the field and incoming charged particles, but also to infer core dynamics and to feed numerical simulations of the geodynamo. Modern satellite missions, such as the SWARM or the CHAMP mission, support high resolution reconstructions of the global field. From the 19 th century on, a global network of magnetic observatories has been established. It is growing ever since and global models can be constructed from the data it provides. Geomagnetic field models that extend further back in time rely on indirect observations of the field, i.e. thermoremanent records such as burnt clay or volcanic rocks and sediment records from lakes and seas. These indirect records come with (partially very large) uncertainties, introduced by the complex measurement methods and the dating procedure. Focusing on thermoremanent records only, the aim of this thesis is the development of a new modeling strategy for the global geomagnetic field during the Holocene, which takes the uncertainties into account and produces realistic estimates of the reliability of the model. This aim is approached by first considering snapshot models, in order to address the irregular spatial distribution of the records and the non-linear relation of the indirect observations to the field itself. In a Bayesian setting, a modeling algorithm based on Gaussian process regression is developed and applied to binned data. The modeling algorithm is then extended to the temporal domain and expanded to incorporate dating uncertainties. Finally, the algorithm is sequentialized to deal with numerical challenges arising from the size of the Holocene dataset. The central result of this thesis, including all of the aspects mentioned, is a new global geomagnetic field model. It covers the whole Holocene, back until 12000 BCE, and we call it ArchKalmag14k. When considering the uncertainties that are produced together with the model, it is evident that before 6000 BCE the thermoremanent database is not sufficient to support global models. For times more recent, ArchKalmag14k can be used to analyze features of the field under consideration of posterior uncertainties. The algorithm for generating ArchKalmag14k can be applied to different datasets and is provided to the community as an open source python package. N2 - Das geomagnetische Hauptfeld ist essenziell für das Leben auf der Erde, da es unseren Lebensraum gegen den Sonnenwind und kosmische Strahlung abschirmt. Es wird vom Geodynamo im Erdkern erzeugt und zeigt eine komplexe Dynamik auf unterschiedlichen Zeitskalen. Globale Modelle des Magnetfelds werden zur Studie der Wechselwirkung von einströmenden geladenen Teilchen genutzt, aber auch um Kerndynamiken zu untersuchen und um sie in numerische Simulationen des Geodynamos einzuspeisen. Moderne Satellitenmissionen, wie SWARM und CHAMP, stützen hochauflösende Rekonstruktionen des globalen Felds. Seit dem 19. Jahrhundert wird ein globales Netzwerk von magnetischen Observatorien aufgebaut. Es wächst stetig und globale Modelle können aus den Daten, die es liefert, konstruiert werden. Geomagnetische Feldmodelle, die weiter in der Zeit zurückreichen, basieren auf indirekten Beobachtungen des Felds, d.h. auf thermoremanenten Daten, wie gebrannten Tonen oder vulkanischen Gesteinen, und auf Sedimentdaten aus Seen und Meeren. Diese indirekten Beobachtungen werden mit (teilweise sehr hohen) Unsicherheiten geliefert, die aus den komplexen Datierungs- und Messmethoden resultieren. Ziel dieser Arbeit ist die Entwicklung einer neuen Modellierungsmethode für das globale geomagnetische Feld während des Holozäns, welche die Unsicherheiten berücksichtigt und realistische Schätzungen für die Verlässlichkeit des Modells liefert. Dabei werden lediglich thermoremanente Daten betrachtet. Diesem Ziel wird sich zunächst genähert, indem ein Schnappschuss-Modell konstruiert wird, um die unregelmäßige räumliche Verteilung der Daten und die nichtlineare Beziehung zwischen Daten und Magnetfeld zu untersuchen. In einem Bayesianischen Rahmen wird ein auf Gaussprozessen basierender Algorithmus entwickelt und zunächst auf diskretisierte Daten angewendet. Dieser Algorithmus wird dann um eine zeitabhängige Komponente ergänzt und erweitert, um Datierungsfehler zu berücksichtigen. Zuletzt wird der Algorithmus sequenzialisiert, um mit numerischen Herausforderungen umzugehen, die aufgrund der Größe des Holozän-Datensatzes bestehen. Das zentrale Ergebnis dieser Arbeit, welches alle genannten Aspekte beinhaltet, ist ein neues globales geomagnetisches Feldmodell. Es deckt das gesamte Holozän ab, bis ins Jahr 12000 BCE, und wir nennen es ArchKalmag14k. Bei Betrachtung der Unsicherheiten, die gemeinsam mit dem Modell ermittelt werden, wird deutlich, dass die thermoremanente Datenbasis nicht ausreicht, um globale Modelle vor dem Jahr 6000 BCE zu stützen. Für jüngere Zeiträume kann ArchKalmag14k genutzt werden, um Merkmale des Erdmagnetfelds unter Berücksichtigung der a posteriori Unsicherheiten zu analysieren. Der Algorithmus, mit dem ArchKalmag14k erzeugt wurde, kann auf weitere Datensätze angewendet werden und wird als quelloffenes python-Paket zur Verfügung gestellt. KW - geomagnetism KW - applied mathematics KW - Gaussian processes KW - Kalman filter KW - Gauß-Prozesse KW - Kalman Filter KW - angewandte Mathematik KW - Geomagnetismus Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-555875 ER - TY - THES A1 - Fischer, Jens Walter T1 - Random dynamics in collective behavior - consensus, clustering & extinction of populations T1 - Stochastische Dynamiken in kollektivem Verhalten: Konsens, Gruppenbildung, Aussterben von Populationen N2 - The echo chamber model describes the development of groups in heterogeneous social networks. By heterogeneous social network we mean a set of individuals, each of whom represents exactly one opinion. The existing relationships between individuals can then be represented by a graph. The echo chamber model is a time-discrete model which, like a board game, is played in rounds. In each round, an existing relationship is randomly and uniformly selected from the network and the two connected individuals interact. If the opinions of the individuals involved are sufficiently similar, they continue to move closer together in their opinions, whereas in the case of opinions that are too far apart, they break off their relationship and one of the individuals seeks a new relationship. In this paper we examine the building blocks of this model. We start from the observation that changes in the structure of relationships in the network can be described by a system of interacting particles in a more abstract space. These reflections lead to the definition of a new abstract graph that encompasses all possible relational configurations of the social network. This provides us with the geometric understanding necessary to analyse the dynamic components of the echo chamber model in Part III. As a first step, in Part 7, we leave aside the opinions of the inidividuals and assume that the position of the edges changes with each move as described above, in order to obtain a basic understanding of the underlying dynamics. Using Markov chain theory, we find upper bounds on the speed of convergence of an associated Markov chain to its unique stationary distribution and show that there are mutually identifiable networks that are not apparent in the dynamics under analysis, in the sense that the stationary distribution of the associated Markov chain gives equal weight to these networks. In the reversible cases, we focus in particular on the explicit form of the stationary distribution as well as on the lower bounds of the Cheeger constant to describe the convergence speed. The final result of Section 8, based on absorbing Markov chains, shows that in a reduced version of the echo chamber model, a hierarchical structure of the number of conflicting relations can be identified. We can use this structure to determine an upper bound on the expected absorption time, using a quasi-stationary distribution. This hierarchy of structure also provides a bridge to classical theories of pure death processes. We conclude by showing how future research can exploit this link and by discussing the importance of the results as building blocks for a full theoretical understanding of the echo chamber model. Finally, Part IV presents a published paper on the birth-death process with partial catastrophe. The paper is based on the explicit calculation of the first moment of a catastrophe. This first part is entirely based on an analytical approach to second degree recurrences with linear coefficients. The convergence to 0 of the resulting sequence as well as the speed of convergence are proved. On the other hand, the determination of the upper bounds of the expected value of the population size as well as its variance and the difference between the determined upper bound and the actual value of the expected value. For these results we use almost exclusively the theory of ordinary nonlinear differential equations. N2 - Beziehungen und damit Interaktion sowie Diskussion, aber auch Konflikt und Opposition bilden die Grundbausteine einer jeden Gesellschaft. Häufig wird Kommunikation als der übergreigende Begriff zur Beschreibung interner Strukturen einer Gesellschaft identifiziert. Dabei muss es sich aber nicht um eine Gesellschaft im Sinne von Nationen handeln, sondern kann auch schlicht eine Gruppe von Menschen umfassen, die miteinander strukturiert interagieren, beispielsweise, eine Gruppe von Angestellten, die an einem gemeinsamen Projekt arbeiten, oder die Mitglieder eines sozialen Netzwerks. In dieser Arbeit befassen wir uns mit der mathematischen Beschreibung solcher Prozesse innerhalb von Gruppen und Gesellschaften und legen dabei unseren Fokus auf die Bildung eines Konsens durch Interaktion aber auch die Konsequenzen von Konflikt und das potentielle Aussterben einer Population. Dabei werden zwei Modelle im Fokus des Interesses stehen: Das Echokammer Model sowie eine Erweiterung des Geburts-Todes Prozesses, die die Möglichkeit eines radikalen Abfalls der Populationsgr öße miteinschließt. Wir beginnen mit einer Einführung in Part I und teilen die verbleibende Arbeit in drei Teile auf, wobei sich die ersten beiden technischen Abschnitte, Part II und III, mit einer ausführlichen Analyse der Bausteine des Echokammer Models befassen und im dritten Abschnitt, in Part IV, der erweiterte Geburts- Todes Prozess untersucht wird. Dieser wird im Folgenden als Geburts-Todes Prozess mit teilweiser Katastrophe bezeichnet werden. Das Echokammer Model beschreibt die Entwicklung von Gruppen in zunächst heterogenen sozialen Netzwerken. Unter einem heterogenen sozialen Netzwerk verstehen wir dabei eine Menge von Individuen, von denen jedes exakt eine Meinungen vertritt. Meinungen werden vereinfacht durch Werte in [0, 1] modelliert. Bestehende Beziehungen unter den Individuen können dann durch einen Graphen dargestellt werden. Es handelt sich bei dem Echokammer Modell um ein zeit-diskretes Modell, das entsprechend, ähnlich einem Brettspiel, in Zügen abläuft. In jedem Zug wird zufällig gleichverteilt eine bestehende Beziehung aus dem Netzwerk ausgewählt und die beiden verbundenen Individuen interagieren. Dabei kann es zu zwei verschiedenen Interaktionen kommen. Sind die Meinungen der betroffenen Individuen hinreichend ähnlich, so nähern sie sich weiter in ihren Meinungen an, während sie im Fall von Meinungen, die zu weit von einander liegen, ihre Beziehung auflösen und sich eines der Individuen eine neue Beziehung sucht. 8 In dieser Arbeit untersuchen wir theoretisch die Bausteine dieses Modells. Dabei legen wir die Beobachtung zu Grunde, dass die Veränderungen der Beziehungsstruktur im Netzwerk durch einen System von interagierenden Partikeln auf einem abstrakteren Raum beschrieben werden kann. Dies erlaubt es insbesondere graphentheoretische überlegungen in die Analyse einfließen zu lassen. Diese überlegungen werden ausührlich in Part II diskutiert und führen zur Definition eines neuen, abstrahierten Graphens, der alle möglichen Beziehungskonfigurationen des sozialen Netzwerks umfasst. Dies erlaubt es uns einen ähnlichkeitsbegriff für Beziehungskonfigurationen auf Basis der benachbarten Knoten in besagtem Graphen zu definieren. Dies liefert uns das notwendige geometrische Verständnis um in Part III die dynamischen Komponenten des Echokammer models zu analysieren. Insbesondere fokusieren wir uns dabei auf die Dynamik der Kanten, für die bisher in der Literatur noch keine Ergebnisse existieren. Wir lassen zunächst in Abschnitt 7 die Meinungen der Individuen beiseite und nehmen an, dass die Position der Kanten sich in jedem Zug wie zuvor beschrieben ändert, um eine grundlegendes Verständnis der unterliegenden Dynamik zu erhalten. Unter der Verwendung der Theorie von Markovketten finden wir obere Schranken an die Konvergenzgeschwindigkeit einer assoziierten Markovkette gegen ihre eindeutige stationäre Verteilung und zeigen, dass es Netzwerke gibt, die miteinander identifizierbar und unter der analysierten Dynamik daheingehend ununterscheinbar sind, dass die stationäre Verteilung der assozierten Markovkette diesen Netzwerken dasselbe Gewicht zuordnet. Anschließend beweisen wir eine Reihe von quantitativen Resultaten, die sich insbesondere in Fällen, in denen die assozierte Markovkette reversibel ist, als berechenbar herausstellen. Insbesondere die explizite Form der stationären Verteilung sowie untere Schranken an die Cheeger Konstante zur Beschreibung der Konvergenzgeschwindigkeit stehen dabei im Fokus und werden ausführlich diskutiert. Nach dieser vertieften Analyse des reduzierten Modells, fügen wir die Meinungen unserer Betrachtung wieder hinzu. Das abschließende Result in Abschnitt 8, basierend auf absorbierenden Markovketten, liefert dann, dass in einer reduzierte Version des Echokammer Modells, in dem sich Individuen ähnlicher Meinung nicht annähern, eine hierarchische Struktur der Anzahl der konfliktreichen Beziehung identifiziert werden kann. Dies können wir ausnutzen, um eine obere Schranke an die erwartete Absorptionszeit, unter Zuhilfenahme einer quasi-stationären Verteilung, zu bestimmen. Diese hierarchische Struktur bildet außerdem eine Brücke zu klassischen Theorien von Geburts-Todes und, insbesondere, reinen Todes-Prozessen, für die eine reiche Literatur existiert. Wir zeigen abschließend auf, wie künftige Forschung diese Verbindung ausnutzen kann und diskutieren die Wichtigkeit der Ergbenisse als Bausteine eines vollständigen theoretischen Verständnisses des Echokammer Modells. Part IV stellt abschließend einen veröffentlichten Artikel vor, der sich dem Geburts- Todes Prozess mit teilweiser Katastrophe widmet. Besagter Artikel steht dabei auf zwei Säulen. Zum Einen der expliziten Berechnung des ersten Zeitpunkts einer Katastrophe, wenn die Population zu Beginn der Beobachtung von instabiler Größe ist. KW - Markov chains KW - graph theory KW - complex systems KW - interacting particle systems KW - Markovketten KW - komplexe Systeme KW - Graphentheorie KW - Systeme interagierender Partikel Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-553725 ER - TY - THES A1 - Hannes, Sebastian T1 - Boundary Value Problems for the Lorentzian Dirac Operator N2 - The index theorem for elliptic operators on a closed Riemannian manifold by Atiyah and Singer has many applications in analysis, geometry and topology, but it is not suitable for a generalization to a Lorentzian setting. In the case where a boundary is present Atiyah, Patodi and Singer provide an index theorem for compact Riemannian manifolds by introducing non-local boundary conditions obtained via the spectral decomposition of an induced boundary operator, so called APS boundary conditions. Bär and Strohmaier prove a Lorentzian version of this index theorem for the Dirac operator on a manifold with boundary by utilizing results from APS and the characterization of the spectral flow by Phillips. In their case the Lorentzian manifold is assumed to be globally hyperbolic and spatially compact, and the induced boundary operator is given by the Riemannian Dirac operator on a spacelike Cauchy hypersurface. Their results show that imposing APS boundary conditions for these boundary operator will yield a Fredholm operator with a smooth kernel and its index can be calculated by a formula similar to the Riemannian case. Back in the Riemannian setting, Bär and Ballmann provide an analysis of the most general kind of boundary conditions that can be imposed on a first order elliptic differential operator that will still yield regularity for solutions as well as Fredholm property for the resulting operator. These boundary conditions can be thought of as deformations to the graph of a suitable operator mapping APS boundary conditions to their orthogonal complement. This thesis aims at applying the boundary conditions found by Bär and Ballmann to a Lorentzian setting to understand more general types of boundary conditions for the Dirac operator, conserving Fredholm property as well as providing regularity results and relative index formulas for the resulting operators. As it turns out, there are some differences in applying these graph-type boundary conditions to the Lorentzian Dirac operator when compared to the Riemannian setting. It will be shown that in contrast to the Riemannian case, going from a Fredholm boundary condition to its orthogonal complement works out fine in the Lorentzian setting. On the other hand, in order to deduce Fredholm property and regularity of solutions for graph-type boundary conditions, additional assumptions for the deformation maps need to be made. The thesis is organized as follows. In chapter 1 basic facts about Lorentzian and Riemannian spin manifolds, their spinor bundles and the Dirac operator are listed. These will serve as a foundation to define the setting and prove the results of later chapters. Chapter 2 defines the general notion of boundary conditions for the Dirac operator used in this thesis and introduces the APS boundary conditions as well as their graph type deformations. Also the role of the wave evolution operator in finding Fredholm boundary conditions is analyzed and these boundary conditions are connected to notion of Fredholm pairs in a given Hilbert space. Chapter 3 focuses on the principal symbol calculation of the wave evolution operator and the results are used to proof Fredholm property as well as regularity of solutions for suitable graph-type boundary conditions. Also sufficient conditions are derived for (pseudo-)local boundary conditions imposed on the Dirac operator to yield a Fredholm operator with a smooth solution space. In the last chapter 4, a few examples of boundary conditions are calculated applying the results of previous chapters. Restricting to special geometries and/or boundary conditions, results can be obtained that are not covered by the more general statements, and it is shown that so-called transmission conditions behave very differently than in the Riemannian setting. N2 - Der Indexsatz für elliptische Operatoren auf geschlossenen Riemannschen Mannigfaltigkeiten von Atiyah und Singer hat zahlreiche Anwendungen in Analysis, Geometrie und Topologie, ist aber ungeeignet für eine Verallgemeinerung auf Lorentz-Mannigfaltigkeiten. Durch die Einführung nicht-lokaler Randbedingungen, gewonnen aus der Spektralzerlegung eines induzierten Randoperators, beweisen Atiyah, Patodi und Singer (APS) einen Indexsatz für den Fall kompakter Riemannscher Mannigfaltigkeiten mit Rand. Aufbauend auf diesem Resultat und mit Hilfe der Charakterisierung des Spektralflusses durch Philipps gelangen Bär und Strohmaier zu einem Indexsatz für den Dirac-Operator auf global hyperbolischen Lorentz-Mannigfaltigkeiten mit kompakten und raumartigen Cauchy-Hyperflächen. Ihr Ergebnis zeigt unter anderem, dass der Dirac Operator auf solchen Mannigfaltigkeiten und unter APS Randbedingungen ein Fredholm-Operator mit glattem Kern ist und das sein Index sich aus einer zum Riemannschen Fall analogen Formel berechnen lässt. Zurück im Riemannschen Setup zeigen Bär und Ballmann eine allgemeine Charakterisierung von Randbedingungen für elliptische Differentialoperatoren erster Ordnung die sowohl die Regularität von Lösungen, als auch Fredholm-Eigenschaft des resultierenden Operators garantieren. Die dort entwickelten Randbedingungen können als Deformation auf den Graphen einer geeigneten Abbildung der APS-Randbedingung auf ihr orthogonales Komplement verstanden werden. Die vorliegende Arbeit hat das Ziel die von Bär und Ballmann beschriebenen Randbedingungen auf den Dirac-Operator von global hyperbolischen Lorentz-Mannigfaltigkeiten zu übertragen um eine allgemeinere Klasse von Randbedingungen zu finden unter denen der resultierende Dirac-Operator Fredholm ist und einen glatten Lösungsraum hat. Weiterhin wird analysiert wie sich derartige Deformation von APS-Randbedingungen auf den Index solcher Operatoren auswirken und wie dieser aus den bekannten Resultaten für den APS-Index berechnet werden kann. Es wird unter anderem gezeigt, dass im Gegensatz zum Riemannschen Fall beim Übergang von Randbedingungen zu ihrem orthogonalen Komplement die Fredholm-Eigenschaft des Operators erhalten bleibt. Andererseits sind zusätzliche Annahme nötig um die Regularität von Lösungen, sowie die Fredholm-Eigenschaft für Graph-Deformationen im Fall von Lorentz-Mannigfaltigkeiten zu erhalten. Die Arbeit ist dabei wie folgt aufgebaut. In Kapitel 1 werden grundlegende Fakten zu Lorentzschen und Riemannschen Spin-Mannigfaltigkeiten, ihren Spinor-Bündeln und Dirac-Operatoren zusammengetragen. Diese Informationen dienen als Ausgangspunkt zur Definition und Analyse von Randbedingungen in späteren Kapiteln der Arbeit. Kapitel 2 definiert allgemein den Begriff der Randbedingung wie er in dieser Arbeit verwendet wird und führt zudem den sogenannten ''wave-evolution-Operator'' ein, der eine wichtige Rolle im Finden und Analysieren von Fredholm-Randbedingungen für den Dirac-Operator spielen wird. Zuletzt wird der Zusammenhang zwischen Fredholm-Paaren eines Hilbert-Raumes und Fredholm-Randbedingungen für den Dirac-Operator erklärt. Kapitel 3 beschäftigt sich mit der Berechnung des Hauptsymbols des wave-evolution-Operators und die dort erzielten Resultate werden verwendet um Fredholm-Eigenschaft, sowie Regularität von Lösungen für geeignete Deformationen von APS-Randbedingungen zu beweisen. Weiterhin werden hinreichende Bedingungen für (pseudo-)lokale Randbedingungen abgeleitet, die Fredholm-Eigenschaft und Regularität für den resultierenden Dirac-Operator garantieren. Kapitel 4 zeigt, aufbauend auf den Ergebnissen der Kapitel 1-3, einige Beispiele von lokalen und nicht-lokalen Randbedingungen für den Dirac-Operator. Unter gewissen Einschränkungen an die Geometrie der zugrunde liegenden Mannigfaltigkeit bzw. den gestellten Randbedingungen können Ergebnisse erzielt werden die in den allgemeineren Resultaten der vorangehenden Kapitel nicht enthalten sind. Zuletzt werden sogenannte Transmission-Bedingungen analysiert und die Unterschiede dieser Randbedingungen zum Riemannschen Fall aufgezeigt. T2 - Randwertprobleme für den Lorentschen Diracoperator KW - Dirac Operator KW - Boundary Value Problems KW - Lorentzian Geometry KW - Randwertprobleme KW - Diracoperator KW - Lorentzgeometrie Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-548391 ER - TY - THES A1 - Mauerberger, Stefan T1 - Correlation based Bayesian modeling T1 - Korrelationsbasierte Bayesianische Modellierung BT - with applications in travel time tomography, seismic source inversion and magnetic field modeling BT - mit Anwendungen in der Laufzeittomographie, Seismischer Quellinversion und Magnetfeldmodellierung N2 - The motivation for this work was the question of reliability and robustness of seismic tomography. The problem is that many earth models exist which can describe the underlying ground motion records equally well. Most algorithms for reconstructing earth models provide a solution, but rarely quantify their variability. If there is no way to verify the imaged structures, an interpretation is hardly reliable. The initial idea was to explore the space of equivalent earth models using Bayesian inference. However, it quickly became apparent that the rigorous quantification of tomographic uncertainties could not be accomplished within the scope of a dissertation. In order to maintain the fundamental concept of statistical inference, less complex problems from the geosciences are treated instead. This dissertation aims to anchor Bayesian inference more deeply in the geosciences and to transfer knowledge from applied mathematics. The underlying idea is to use well-known methods and techniques from statistics to quantify the uncertainties of inverse problems in the geosciences. This work is divided into three parts: Part I introduces the necessary mathematics and should be understood as a kind of toolbox. With a physical application in mind, this section provides a compact summary of all methods and techniques used. The introduction of Bayesian inference makes the beginning. Then, as a special case, the focus is on regression with Gaussian processes under linear transformations. The chapters on the derivation of covariance functions and the approximation of non-linearities are discussed in more detail. Part II presents two proof of concept studies in the field of seismology. The aim is to present the conceptual application of the introduced methods and techniques with moderate complexity. The example about traveltime tomography applies the approximation of non-linear relationships. The derivation of a covariance function using the wave equation is shown in the example of a damped vibrating string. With these two synthetic applications, a consistent concept for the quantification of modeling uncertainties has been developed. Part III presents the reconstruction of the Earth's archeomagnetic field. This application uses the whole toolbox presented in Part I and is correspondingly complex. The modeling of the past 1000 years is based on real data and reliably quantifies the spatial modeling uncertainties. The statistical model presented is widely used and is under active development. The three applications mentioned are intentionally kept flexible to allow transferability to similar problems. The entire work focuses on the non-uniqueness of inverse problems in the geosciences. It is intended to be of relevance to those interested in the concepts of Bayesian inference. N2 - Die Motivation für diese Arbeit war die Frage nach Verlässlichkeit und Belastbarkeit der seismischen Tomographie. Das Problem besteht darin, dass sehr viele Erdmodelle existieren welche die zugrundeliegenden seismischen Aufzeichnungen gleich gut beschreiben können. Die meisten Algorithmen zur Rekonstruktion von Erdmodellen liefern zwar eine Lösung, quantifizierten jedoch kaum deren Variabilität. Wenn es keine Möglichkeit gibt die abgebildeten Strukturen zu verifizieren, so ist eine Interpretation kaum verlässlich. Der ursprüngliche Gedanke war den Raum äquivalenter Erdmodelle mithilfe Bayesianische Inferenz zu erkunden. Es stellte sich jedoch schnell heraus, dass die vollständige Quantifizierung tomographischer Unsicherheiten im Rahmen einer Promotion nicht zu bewältigen ist. Um das wesentliche Konzept der statistischen Inferenz beizubehalten werden stattdessen weniger komplexe Problemstellungen aus den Geowissenschaften behandelt. Diese Dissertation hat das Ziel die Bayesianische Inferenz tiefer in den Geowissenschaften zu verankern und Wissen aus der angewandten Mathematik zu transferieren. Die zugrundeliegende Idee besteht darin auf bekannte Methoden und Techniken der Statistik zurückzugreifen um die Unsicherheiten inverser Probleme in den Geowissenschaften zu quantifizieren. Diese Arbeit gliedert sich in drei Teile: Teil I führt die notwendige Mathematik ein und soll als eine Art Werkzeugkasten verstanden werden. In Hinblick auf eine physikalische Anwendung bietet dieser Abschnitt eine kompakte Zusammenfassung aller eingesetzter Methoden und Techniken. Den Anfang macht die Einführung der Bayesianische Inferenz. Danach steht als Spezialfall die Regression mit Gauß-Prozessen unter linearen Transformationen im Vordergrund. Die Kapitel zur Herleitung von Kovarianzfunktionen und die Approximation von Nichtlinearitäten gehen etwas weiter in die Tiefe. Teil II präsentiert zwei Konzeptstudien aus dem Bereich der Seismologie. Ziel ist es bei moderater Komplexität die prinzipielle Anwendung der eingeführten Methoden und Techniken zu präsentieren. Das Beispiel zur Laufzeittomographie wendet die Näherungs\-methoden für nichtlineare Zusammenhänge an. Die Herleitung einer Kovarianzfunktion mithilfe der Wellengleichung ist am Beispiel der gedämpften Saitenschwingung gezeigt. Mit diesen beiden synthetischen Anwendungen wurde ein konsistentes Konzept zur Quantifizierung von Modellierungsunsicherheiten erarbeitet. Teil III präsentiert die Rekonstruktion des archeomagnetischen Feldes unserer Erde. Diese Anwendung nutzt den gesamten Werkzeugkasten aus Teil I und ist entsprechend umfangreich. Die Modellierung der vergangenen 1000 Jahre basiert auf echten Daten und quantifiziert zuverlässig die räumlichen Modellierungsunsicherheiten. Das präsentierte statistische Modell findet breite Anwendung und wird aktiv weiter entwickelt. Die drei genannten Anwendungen sind bewusst flexibel gehalten um die Übertragbarkeit auf ähnliche Problemstellungen zu ermöglichen. Die gesamte Arbeit legt den Fokus auf die nicht-Eindeutigkeit inverser Probleme in den Geowissenschaften. Sie will für all Jene von Relevanz sein, die sich für die Konzepte der Bayesianischen Inferenz interessieren. KW - statistical inference KW - Bayesian inversion KW - travel time tomography KW - seismic source inversion KW - magnetic field modeling KW - mit Anwendungen in der Laufzeittomographie, Seismischer Quellinversion und Magnetfeldmodellierung KW - Magnetfeldmodellierung KW - seismische Quellinversion KW - statistische Inferenz KW - Laufzeittomographie Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-537827 ER - TY - THES A1 - Perera, Upeksha T1 - Solutions of direct and inverse Sturm–Liouville problems T1 - Lösungen von direkten und inversen Sturm-Liouville-Problemen N2 - Lie group method in combination with Magnus expansion is utilized to develop a universal method applicable to solving a Sturm–Liouville Problem (SLP) of any order with arbitrary boundary conditions. It is shown that the method has ability to solve direct regular and some singular SLPs of even orders (tested up to order eight), with a mix of boundary conditions (including non-separable and finite singular endpoints), accurately and efficiently. The present technique is successfully applied to overcome the difficulties in finding suitable sets of eigenvalues so that the inverse SLP problem can be effectively solved. Next, a concrete implementation to the inverse Sturm–Liouville problem algorithm proposed by Barcilon (1974) is provided. Furthermore, computational feasibility and applicability of this algorithm to solve inverse Sturm–Liouville problems of order n=2,4 is verified successfully. It is observed that the method is successful even in the presence of significant noise, provided that the assumptions of the algorithm are satisfied. In conclusion, this work provides methods that can be adapted successfully for solving a direct (regular/singular) or inverse SLP of an arbitrary order with arbitrary boundary conditions. N2 - Die Lie-Gruppen-Methode in Kombination mit der Magnus-Expansion wird verwendet, um eine universelle Methode zu entwickeln, die zur Lösung eines Sturm-Liouville-Problems (SLP) beliebiger Ordnung mit beliebigen Randbedingungen anwendbar ist. Es wird gezeigt, dass die Methode in der Lage ist, direkte reguläre und einige singuläre SLPs gerader Ordnung (getestet bis zur 8. Ordnung) mit einer Mischung von Randbedingungen (einschließlich nicht trennbarer und endlicher singulärer Endpunkte) genau und effizient zu lösen. Die vorliegende Technik wird erfolgreich angewendet, um die Schwierigkeiten beim Finden geeigneter Sätze von Eigenwerten zu überwinden, so dass das inverse SLP-Problem effektiv gelöst werden kann. Als nächstes wird eine konkrete Implementierung des von Barcilon (1974) vorgeschlagenen inversen Sturm-Liouville-Problemalgorithmus bereitgestellt. Weiterhin wird die rechnerische Durchführbarkeit und Anwendbarkeit dieses Algorithmus zur Lösung inverser Sturm-Liouville-Probleme der Ordnung n=2,4 erfolgreich verifiziert. Es wird beobachtet, dass das Verfahren selbst bei Vorhandensein von signifikantem Rauschen erfolgreich ist, vorausgesetzt, dass die Annahmen des Algorithmus erfüllt sind. Zusammenfassend stellt diese Arbeit Methoden zur Verfügung, die erfolgreich zur Lösung eines direkten (regulär/singulären) oder inversen SLP beliebiger Ordnung mit beliebigen Randbedingungen angepasst werden können. KW - Sturm-Liouville problem KW - Inverse Sturm-Liouville problem KW - Higher-order Sturm-Liouville problem KW - Sturm-Liouville-Problem höherer Ordnung KW - Inverses Sturm-Liouville-Problem KW - Sturm-Liouville-Problem Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-530064 ER -