TY - THES A1 - Peter, Franziska T1 - Transition to synchrony in finite Kuramoto ensembles T1 - Synchronisationsübergang in endlichen Kuramoto-Ensembles N2 - Synchronisation – die Annäherung der Rhythmen gekoppelter selbst oszillierender Systeme – ist ein faszinierendes dynamisches Phänomen, das in vielen biologischen, sozialen und technischen Systemen auftritt. Die vorliegende Arbeit befasst sich mit Synchronisation in endlichen Ensembles schwach gekoppelter selbst-erhaltender Oszillatoren mit unterschiedlichen natürlichen Frequenzen. Das Standardmodell für dieses kollektive Phänomen ist das Kuramoto-Modell – unter anderem aufgrund seiner Lösbarkeit im thermodynamischen Limes unendlich vieler Oszillatoren. Ähnlich einem thermodynamischen Phasenübergang zeigt im Fall unendlich vieler Oszillatoren ein Ordnungsparameter den Übergang von Inkohärenz zu einem partiell synchronen Zustand an, in dem ein Teil der Oszillatoren mit einer gemeinsamen Frequenz rotiert. Im endlichen Fall treten Fluktuationen auf. In dieser Arbeit betrachten wir den bisher wenig beachteten Fall von bis zu wenigen hundert Oszillatoren, unter denen vergleichbar starke Fluktuationen auftreten, bei denen aber ein Vergleich zu Frequenzverteilungen im unendlichen Fall möglich ist. Zunächst definieren wir einen alternativen Ordnungsparameter zur Feststellung einer kollektiven Mode im endlichen Kuramoto-Modell. Dann prüfen wir die Abhängigkeit des Synchronisationsgrades und der mittleren Rotationsfrequenz der kollektiven Mode von Eigenschaften der natürlichen Frequenzverteilung für verschiedene Kopplungsstärken. Wir stellen dabei zunächst numerisch fest, dass der Synchronisationsgrad stark von der Form der Verteilung (gemessen durch die Kurtosis) und die Rotationsfrequenz der kollektiven Mode stark von der Asymmetrie der Verteilung (gemessen durch die Schiefe) der natürlichen Frequenzen abhängt. Beides können wir im thermodynamischen Limes analytisch verifizieren. Mit diesen Ergebnissen können wir Erkenntnisse anderer Autoren besser verstehen und verallgemeinern. Etwas abseits des roten Fadens dieser Arbeit finden wir außerdem einen analytischen Ausdruck für die Volumenkontraktion im Phasenraum. Der zweite Teil der Arbeit konzentriert sich auf den ordnenden Effekt von Fluktuationen, die durch die Endlichkeit des Systems zustande kommen. Im unendlichen Modell sind die Oszillatoren eindeutig in kohärent und inkohärent und damit in geordnet und ungeordnet getrennt. Im endlichen Fall können die auftretenden Fluktuationen zusätzliche Ordnung unter den asynchronen Oszillatoren erzeugen. Das grundlegende Prinzip, die rauschinduzierte Synchronisation, ist aus einer Reihe von Publikationen bekannt. Unter den gekoppelten Oszillatoren nähern sich die Phasen aufgrund der Fluktuationen des Ordnungsparameters an, wie wir einerseits direkt numerisch zeigen und andererseits mit einem Synchronisationsmaß aus der gerichteten Statistik zwischen Paaren passiver Oszillatoren nachweisen. Wir bestimmen die Abhängigkeit dieses Synchronisationsmaßes vom Verhältnis von paarweiser natürlicher Frequenzdifferenz zur Varianz der Fluktuationen. Dabei finden wir eine gute Übereinstimmung mit einem einfachen analytischen Modell, in welchem wir die deterministischen Fluktuationen des Ordnungsparameters durch weißes Rauschen ersetzen. N2 - Synchronization – the adjustment of rhythms among coupled self-oscillatory systems – is a fascinating dynamical phenomenon found in many biological, social, and technical systems. The present thesis deals with synchronization in finite ensembles of weakly coupled self-sustained oscillators with distributed frequencies. The standard model for the description of this collective phenomenon is the Kuramoto model – partly due to its analytical tractability in the thermodynamic limit of infinitely many oscillators. Similar to a phase transition in the thermodynamic limit, an order parameter indicates the transition from incoherence to a partially synchronized state. In the latter, a part of the oscillators rotates at a common frequency. In the finite case, fluctuations occur, originating from the quenched noise of the finite natural frequency sample. We study intermediate ensembles of a few hundred oscillators in which fluctuations are comparably strong but which also allow for a comparison to frequency distributions in the infinite limit. First, we define an alternative order parameter for the indication of a collective mode in the finite case. Then we test the dependence of the degree of synchronization and the mean rotation frequency of the collective mode on different characteristics for different coupling strengths. We find, first numerically, that the degree of synchronization depends strongly on the form (quantified by kurtosis) of the natural frequency sample and the rotation frequency of the collective mode depends on the asymmetry (quantified by skewness) of the sample. Both findings are verified in the infinite limit. With these findings, we better understand and generalize observations of other authors. A bit aside of the general line of thoughts, we find an analytical expression for the volume contraction in phase space. The second part of this thesis concentrates on an ordering effect of the finite-size fluctuations. In the infinite limit, the oscillators are separated into coherent and incoherent thus ordered and disordered oscillators. In finite ensembles, finite-size fluctuations can generate additional order among the asynchronous oscillators. The basic principle – noise-induced synchronization – is known from several recent papers. Among coupled oscillators, phases are pushed together by the order parameter fluctuations, as we on the one hand show directly and on the other hand quantify with a synchronization measure from directed statistics between pairs of passive oscillators. We determine the dependence of this synchronization measure from the ratio of pairwise natural frequency difference and variance of the order parameter fluctuations. We find a good agreement with a simple analytical model, in which we replace the deterministic fluctuations of the order parameter by white noise. KW - synchronization KW - Kuramoto model KW - finite size KW - phase transition KW - dynamical systems KW - networks KW - Synchronisation KW - Kuramoto-Modell KW - endliche Ensembles KW - Phasenübergang KW - dynamische Systeme KW - Netzwerke Y1 - 2019 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-429168 ER - TY - THES A1 - Gengel, Erik T1 - Direct and inverse problems of network analysis T1 - Direkte und Inverse Probleme der Netzwerk-Analyse N2 - Selfsustained oscillations are some of the most commonly observed phenomena in biological systems. They emanate from non-linear systems in a heterogeneous environment and can be described by the theory of dynamical systems. Part of this theory considers reduced models of the oscillator dynamics by means of amplitudes and a phase variable. Such variables are highly attractive for theoretical and experimental studies. Theoretically these variables correspond to an integrable linearization of the generally non-linear system. Experimentally, there exist well established approaches to extract phases from oscillator signals. Notably, one can define phase models also for networks of oscillators. One highly active field examines effects of non-local coupling among oscillators, which is thought to play a key role in networks with strong coupling. The dissertation introduces and expands the knowledge about high-order phase coupling in networks of oscillators. Mathematical calculations consider the Stuart-Landau oscillator. A novel phase estimation scheme for direct observations of an oscillator dynamics is introduced based on numerics. A numerical study of high-order phase coupling applies a Fourier fit for the Stuart-Landau and for the van-der-Pol oscillator. The numerical approach is finally tested on observation-based phase estimates of the Morris-Lecar neuron. A popular approach for the construction of phases from signals is based on phase demodulation by means of the Hilbert transform. Generally, observations of oscillations contain a small and generic variation of their amplitude. The work presents a way to quantify how much the variations of signal amplitude spoil a phase demodulation procedure. For the ideal case of phase modulated signals, amplitude modulations vanish. However, the Hilbert transform produces artificial variations of the reconstructed amplitude even in this case. The work proposes a novel procedure called Iterative Hilbert Transform Embedding to obtain an optimal demodulation of signals. The text presents numerous examples and tests of application for the method, covering multicomponent signals, observables of highly stable limit cycle oscillations and noisy phase dynamics. The numerical results are supported by a spectral theory of convergence for weak phase modulations. N2 - Selbsterhaltende Ozillationen finden sich häufig in biologischen Systemen. Sie emergieren aus nichtlinearen Prozessen in einem heterogenen Umfeld und können durch die Theorie dynamischer Systeme beschrieben werden. Ein Teil dieser Theorie befasst ich mit reduzierten Beschreibungen von Oszillationen anhand von Amplituden-, und Phasenvariablen. Selbige sind für theoretische und experimentelle Anwendungen von großer Bedeutung. Im theoretischen Bereich korrespondieren Phasen und Amplituden zur integrablen Linearisierung eines nichtlinearen Systems. Im experimentellen Bereich existieren weit verbreitete Ansätze, Phasenvariablen aus oszillierenden Signalen zu gewinnen. Phasenmodelle können auch für Netzwerke von Oszillatoren definiert werden. Ein aktives Forschungsgebiet befasst sich in diesem Zusammenhang mit nicht-lokalen Kopplungen zwischen den Oszillatoren. Die Fachwelt geht davon aus, dass solche nicht-lokalen Kopplungen eine entscheidende Rolle spielen, wenn die Kopplungen zwischen den einzelnen Einheiten nicht schwach ist. Die Dissertation gibt eine Einführung in dieses Themengebiet und liefert einen Beitrag zum weiteren Verständnis derartiger Probleme. Mathematische Berechnungen gehen vom Stuart-Landau-Oszillator aus. Eine neue numerische Berechnungsmethode für die Phasendynamik von Oszillatoren wird vorgestellt; sie basiert auf vollständiger Kenntnis des dynamischen Systems. Eine numerische Studie der Phasenkopplungen höherer Ordnung verwendet einen Fourier-Fit. Als Beispiele dienen hier das Stuart-Landau-Modell und der van-der-Pol Oszillator. Die vollständige numerische Prozedur wird final getestet für die datengetriebene Bestimmung der Phasenkopplung dreier Morris-Lecar Neuronen. Eine der beliebtesten Methoden zur Phasenextraktion aus Messdaten basiert auf dem Prinzip der Phasendemodulation. Hierfür verwendet man die Hilbert-Transformation. Im Allgemeinen beinhalten Observablen nichtlinearer Oszillatoren kleine - als generisch anzusehende - Variationen ihrer Amplitude. Die dargelegte Arbeit präsentiert eine Möglichkeit, wie der Einfluss derartiger Variationen die Phasendemodulation behindert. Für den idealen Fall reiner Phasenmodulation in Signalen, gehen Amplitudenvariationen gegen null. Dennnoch reproduziert die Hilbert-Transformation auch in derartigen Fällen nicht die tatsächliche Phase des Signals. Die Dissertation stellt eine neue Methode vor, die dieses spezielle Problem behebt. Diese Methode trägt den Namen Iterative Hilbert-Transformations-Einbettung und erlaubt die optimale Demodulation zu finden. Im Text werden zahlreiche Beispiele vorgestellt, insbesondere Multikomponentensignale, Observablen starrer Grenzzyklen und verrauschte Phasendynamiken. Die numerischen Resultate werden unterstützt durch eine spektrale Theorie der Konvergenz für schwache Phasenmodulationen. KW - non-linear oscillators KW - Hilbert transform KW - networks KW - phase demodulation KW - phase-amplitude mixing KW - high-order phase coupling KW - Hilbert-Transformation KW - Phasenkopplungen höherer Ordnung KW - Netzwerke KW - nichtlineare Oszillationen KW - Phasendemodulation KW - Phasen-Amplituden Trennung Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-512367 ER -