TY - JOUR A1 - Kortenkamp, Ulrich A1 - Kuzle, Ana A1 - Reitz-Koncebovski, Karen T1 - Fachdidaktisches Wissen aus dem Fachwissen generieren BT - Design Research zur Verknüpfung von Fachwissenschaft und Fachdidaktik in der Lehrkräftebildung Mathematik JF - PSI-Potsdam: Ergebnisbericht zu den Aktivitäten im Rahmen der Qualitätsoffensive Lehrerbildung (2019-2023) (Potsdamer Beiträge zur Lehrerbildung und Bildungsforschung ; 3) N2 - Das Mathematik-Teilprojekt SPIES-M zielt auf eine stärkere Professionsorientierung und die Verknüpfung von Fachwissenschaft und Fachdidaktik in der universitären Lehrkräftebildung. Zu allen großen Inhaltsgebieten der Mathematik wurden neue Lehrveranstaltungen konzipiert und in den Studienordnungen sämtlicher Lehrämter Mathematik an der Universität Potsdam implementiert. Für die Konzeption wurden theoriebasiert Gestaltungsprinzipien herausgearbeitet, die sowohl für das Design als auch für die Evaluation und Weiterentwicklung der Lehrveranstaltungen nach dem Design-Research-Ansatz genutzt werden können. Die Umsetzung der Gestaltungsprinzipien wird am Beispiel der Fundamentalen Idee der Proportionalität verdeutlicht und dabei aufgezeigt, wie Studierende dazu befähigt werden können, fachdidaktisches Wissen aus fachmathematischen Inhalten zu generieren. Die Entwicklung des Professionswissens der Studierenden wird mithilfe unterschiedlicher Instrumente untersucht, um Rückschlüsse auf die Wirksamkeit der neu konzipierten Lehrveranstaltungen zu ziehen. Für die Untersuchungen im Mixed-Methods-Design werden neben Beobachtungen in Lehrveranstaltungen eigens konzipierte Wissenstests, Gruppeninterviews, Unterrichtsentwürfe aus Praxisphasen und Lerntagebücher genutzt. Die Studierendenperspektive wird durch Befragungen zur wahrgenommenen (Berufs-)Relevanz der Lehrveranstaltungen erhoben. Weiteres wesentliches Element der Begleitforschung ist die kollegiale Supervision durch sogenannte „Spies“ (Spione), die die Veranstaltungen kriteriengeleitet beobachten und anschließend gemeinsam mit den Dozierenden reflektieren. Die bisherigen Ergebnisse werden hier präsentiert und hinsichtlich ihrer Implikationen diskutiert. Die im Projekt entwickelten Gestaltungsprinzipien als Werkzeug für Design und Evaluation sowie das Spies-Konzept der kollegialen Supervision werden für die Qualitätsentwicklung von Lehrveranstaltungen zum Transfer vorgeschlagen. N2 - The mathematics sub-project SPIES-M aims at a stronger professional orientation and the linking of subject-specific knowledge and subject-specific didactics in university teacher training. New courses were designed for all major mathematical content areas and implemented in the academic regulations of all mathematics teacher training programs at the University of Potsdam. For the course design, theory-based design principles were developed, which can be used both for the design, and for the evaluation and further development of the courses according to the design-research approach. The implementation of the design principles is exemplary illustrated for the fundamental idea of proportionality, by showing how students can be empowered to generate subject didactic knowledge from subject mathematical content. For this study, an explorative mixed-methods design was chosen, in which the development of the students’ professional knowledge was examined with the help of different instruments in order to draw conclusions about the effectiveness of the newly designed courses. In addition to course observations, specially designed knowledge tests, group interviews, lesson plans from practical phases, and learning diaries were used. The students’ perspective was examined through surveys on the perceived (professional) relevance of the courses. Another important element of the accompanying research was the collegial supervision by so-called „spies“, who observed the courses according to criteria and then reflected on them together with the course lecturers. Here, the current results are presented and discussed regarding their diverse implications. Lastly, the developed design principles as a tool for the design and evaluation of the mathematics courses as well as the spies concept of collegial supervision are proposed for transfer for the quality development of courses in general. KW - Lehrkräftebildung Mathematik KW - Professionswissen KW - Verknüpfung Fachwissenschaft und Fachdidaktik KW - Design Research KW - Gestaltungsprinzipien KW - kollegiale Supervision KW - teacher training mathematics KW - professional knowledge KW - linking of subject science and didactic KW - design research KW - design elements KW - collegial supervision Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-617602 SN - 978-3-86956-568-2 SN - 2626-3556 SN - 2626-4722 IS - 3 SP - 171 EP - 191 PB - Universitätsverlag Potsdam CY - Potsdam ER - TY - GEN A1 - Ehlen, Tobias A1 - Flöge, Annie A1 - Göbel, Franziska A1 - Keller, Peter A1 - Rœlly, Sylvie ED - Keller, Peter ED - Rœlly, Sylvie T1 - Übungsbuch zur Stochastik BT - Aufgaben und Lösungen ; Grundlegende Konzepte und Anwendungen N2 - Dieses Buch stellt Übungen zu den Grundbegriffen und Grundsätzen der Stochastik und ihre Lösungen zur Verfügung. So wie man Tonleitern in der Musik trainiert, so berechnet man Übungsaufgaben in der Mathematik. In diesem Sinne soll dieses Übungsbuch vor allem als Vorlage dienen für das eigenständige, eigenverantwortliche Lernen und Üben. Die Schönheit und Einzigartigkeit der Wahrscheinlichkeitstheorie besteht darin, dass sie eine Vielzahl von realen Phänomenen modellieren kann. Daher findet man hier Aufgaben mit Verbindungen zur Geometrie, zu Glücksspielen, zur Versicherungsmathematik, zur Demographie und vielen anderen Themen. N2 - This book provides exercises on the basic concepts and principles of stochastics and their solutions. Just as one trains scales in music, one calculates exercises in mathematics. In this sense, this exercise book is primarily intended to serve as a template for independent learning and practice. The beauty and uniqueness of probability theory is that it can model a variety of real phenomena. Therefore, one can find exercises with connections to geometry, gambling, actuarial mathematics, demography and many other topics. KW - Aufgabensammlung KW - Wahrscheinlichkeitstheorie KW - Stochastik KW - Wahrscheinlichkeitsverteilung KW - Zufallsvariable KW - Grenzwertsatz KW - Konfidenzintervall KW - exercise collection KW - probability theory KW - stochastics KW - probability distribution KW - random variable KW - limit theorem KW - confidence interval Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-595939 SN - 978-3-86956-563-7 PB - Universitätsverlag Potsdam CY - Potsdam ER - TY - THES A1 - Dahl, Dorothee Sophie T1 - Zahlen in den Fingern T1 - Numbers and fingers BT - eine Analyse des Lernspiels Fingu in Bezug auf den frühkindlichen Zahlerwerb im Rahmen der Artifact-Centric Activity Theory BT - an analysis of the learning game Fingu in relation to early numeracy acquisition within the framework of the artifact-centric activity theory N2 - Die Debatte über den Einsatz von digitalen Werkzeugen in der mathematischen Frühförderung ist hoch aktuell. Lernspiele werden konstruiert, mit dem Ziel, mathematisches, informelles Wissen aufzubauen und so einen besseren Schulstart zu ermöglichen. Doch allein die digitale und spielerische Aufarbeitung führt nicht zwingend zu einem Lernerfolg. Daher ist es umso wichtiger, die konkrete Implementation der theoretischen Konstrukte und Interaktionsmöglichkeiten mit den Werkzeugen zu analysieren und passend aufzubereiten. In dieser Masterarbeit wird dazu exemplarisch ein mathematisches Lernspiel namens „Fingu“ für den Einsatz im vorschulischen Bereich theoretisch und empirisch im Rahmen der Artifact-Centric Activity Theory (ACAT) untersucht. Dazu werden zunächst die theoretischen Hintergründe zum Zahlensinn, Zahlbegriffserwerb, Teil-Ganze-Verständnis, der Anzahlwahrnehmung und -bestimmung, den Anzahlvergleichen und der Anzahldarstellung mithilfe von Fingern gemäß der Embodied Cognition sowie der Verwendung von digitalen Werkzeugen und Multi-Touch-Geräten umfassend beschrieben. Anschließend wird die App Fingu erklärt und dann theoretisch entlang des ACAT-Review-Guides analysiert. Zuletzt wird die selbstständig durchgeführte Studie mit zehn Vorschulkindern erläutert und darauf aufbauend Verbesserungs- und Entwicklungsmöglichkeiten der App auf wissenschaftlicher Grundlage beigetragen. Für Fingu lässt sich abschließend festhalten, dass viele Prozesse wie die (Quasi-)Simultanerfassung oder das Zählen gefördert werden können, für andere wie das Teil-Ganze-Verständnis aber noch Anpassungen und/oder die Begleitung durch Erwachsene nötig ist. N2 - The current debate about the use of digital tools in early mathematical education has a lot of relevance these days. Educational games are designed with the aim of building mathematical informal knowledge and thus enabling a better start to school. But digital and playful implementation alone does not necessarily lead to learning. Therefore, it is important to analyze the media in detail and with regard to the theoretical constructs. In this master's thesis, a mathematical learning game called “Fingu” for preschool children is analyzed theoretically and empirically within the framework of the Artifact-Centric Activity Theory (ACAT). First, the theoretical background is described, that is the number sense, number concept acquisition, part-whole understanding, number perception and determination, number comparisons and number representation using fingers according to embodied cognition as well as the use of digital tools and multi-touch. The app itself is explained and then analyzed theoretically using the ACAT review guide. Finally, the conducted study with ten preschool children is presented. Based on those results and the scientific basis, possible improvements and development of the app are explained. For Fingu, it can be concluded that many processes such as perceptual or conceptual subitizing or counting can be improved, but for others such as part-whole understanding, adjustments and/or adult support are still necessary. KW - Zahlerwerb KW - Frühförderung KW - Lernspiele KW - Videostudie KW - ACAT KW - number KW - part-whole concept Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-607629 ER - TY - THES A1 - Günther, Claudia-Susanne T1 - Das Eigene und das Fremde BT - eine Untersuchung zum Fremdverstehen von Lehrkräften im Mathematikunterricht N2 - Die vorliegende Arbeit stellt eine Untersuchung des Fremdverstehens von Lehrkräften im Mathematikunterricht dar. Mit ‚Fremdverstehen‘ soll dabei – in Anlehnung an den Soziologen Alfred Schütz – der Prozess bezeichnet werden, in welchem eine Lehrkraft versucht, das Verhalten einer Schülerin oder eines Schülers zu verstehen, indem sie dieses Verhalten auf ein Erleben zurückführt, das ihm zugrunde gelegen haben könnte. Als ein wesentliches Merkmal des Prozesses stellt Schütz in seiner Theorie des Fremdverstehens heraus, dass das Fremdverstehen eines Menschen immer auch auf seinen eigenen Erlebnissen basiert. Aus diesem Grund wird in der Arbeit ein methodischer Zweischritt vorgenommen: Es werden zunächst die mathematikbezogenen Erlebnisse zweier Lehrkräfte nachgezeichnet, bevor dann ihr Fremdverstehen in konkreten Situationen im Mathematikunterricht rekonstruiert wird. In der ersten Teiluntersuchung (= der Rekonstruktion eigener Erlebnisse der untersuchten Lehrkräfte) erfolgt die Datenerhebung mit Hilfe biographisch-narrativer Interviews, in denen die untersuchten Lehrkräfte angeregt werden, ihre mathematikbezogene Lebensgeschichte zu erzählen. Die Analyse dieser Interviews wird im Sinne der rekonstruktiven Fallanalyse vorgenommen. Insgesamt führt die erste Teiluntersuchung zu textlichen Darstellungen der rekonstruierten mathematikbezogenen Lebensgeschichte der untersuchten Mathematiklehrkräfte. In der zweiten Teiluntersuchung (= der Rekonstruktion des Fremdverstehens der untersuchten Lehrkräfte) werden dann narrative Interviews geführt, in denen die untersuchten Lehrkräfte von ihrem Fremdverstehen in konkreten Situationen im Mathematikunterricht erzählen. Die Analyse dieser Interviews erfolgt mit Hilfe eines dreischrittigen Analyseverfahrens, welches die Autorin eigens zum Zweck der Rekonstruktion von Fremdverstehen entwickelte. Am Ende dieser zweiten Teiluntersuchung werden sowohl das rekonstruierte Fremdverstehen der Lehrkräfte in verschiedenen Unterrichtssituationen dargestellt als auch Strukturen, die sich in ihrem Fremdverstehen abzeichnen. Mit Hilfe einer theoretischen Verallgemeinerung werden schließlich – auf Basis der Ergebnisse der zweiten Teiluntersuchung – Aussagen über fünf Merkmale des Fremdverstehens von Lehrkräften im Mathematikunterricht im Allgemeinen gewonnen. Mit diesen Aussagen vermag die Arbeit eine erste Beschreibung davon hervorzubringen, wie sich das Phänomen des Fremdverstehens von Lehrkräften im Mathematikunterricht ausgestalten kann. KW - Fremdverstehen KW - Alfred Schütz KW - Mathematikunterricht KW - rekonstruktive Fallanalyse Y1 - 2023 ER - TY - THES A1 - Fabian, Melina T1 - Grundvorstellungen bei Zahlbereichserweiterungen T1 - Basic ideas ('Grundvorstellungen') for numerical extensions BT - von N nach Q+ oder von N nach Z? N2 - Die Erweiterung des natürlichen Zahlbereichs um die positiven Bruchzahlen und die negativen ganzen Zahlen geht für Schülerinnen und Schüler mit großen gedanklichen Hürden und einem Umbruch bis dahin aufgebauter Grundvorstellungen einher. Diese Masterarbeit trägt wesentliche Veränderungen auf der Vorstellungs- und Darstellungsebene für beide Zahlbereiche zusammen und setzt sich mit den kognitiven Herausforderungen für Lernende auseinander. Auf der Grundlage einer Diskussion traditioneller sowie alternativer Lehrgänge der Zahlbereichserweiterung wird eine Unterrichtskonzeption für den Mathematikunterricht entwickelt, die eine parallele Einführung der Bruchzahlen und der negativen Zahlen vorschlägt. Die Empfehlungen der Unterrichtkonzeption erstrecken sich über den Zeitraum von der ersten bis zur siebten Klassenstufe, was der behutsamen Weiterentwicklung und Modifikation des Zahlbegriffs viel Zeit einräumt, und enthalten auch didaktische Überlegungen sowie konkrete Hinweise zu möglichen Aufgabenformaten. N2 - The extension of the natural number range to include the positive fractions and the negative integers is accompanied by great mental hurdles for students and an upheaval of previously established basic concepts. This Master's thesis brings together essential changes at the level of imagination and representation for both number ranges and deals with the cognitive challenges for learners. Based on a discussion of traditional as well as alternative courses of number range extension, a teaching conception for mathematics lessons is developed that proposes a parallel introduction of fractions and negative numbers. The recommendations of the teaching conception cover the period from the first to the seventh grade, which allows a lot of time for the careful further development and modification of the number concept, and also contain didactic considerations as well as concrete hints on possible task formats. KW - Mathematikdidaktik KW - Zahlbereichserweiterung KW - Grundvorstellungen KW - negative Zahlen KW - Bruchzahlen KW - fractions KW - basic ideas ('Grundvorstellungen') KW - didactics of mathematics KW - numerical extension KW - negative numbers Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-565930 ER - TY - JOUR A1 - Lonnemann, Jan A1 - Hasselhorn, Marcus T1 - Frühe mathematische Bildung T1 - Early Mathematics Education BT - Aktuelle Forschungstrends und Perspektiven BT - Current Research Trends and Perspectives JF - Frühe Bildung N2 - Im vorliegenden Beitrag werden aktuelle Forschungstrends im Bereich der frühen mathematischen Bildung im Kontext jüngst formulierter Zieldimensionen für die frühe mathematische Bildung (siehe Benz et al., 2017) dargestellt. Es wird auf spielbasierte Fördermaßnahmen, Kompetenzen im Bereich „Raum und Form“, den Einfluss sprachlicher Parameter auf die Entwicklung mathematischer Kompetenzen sowie auf mathematikbezogene Kompetenzen frühpädagogischer Fachkräfte eingegangen. Darüber hinaus werden die Ergebnisse einer aktuellen Feldstudie zur Förderung früher mathematischer Kompetenzen (siehe Dillon, Kannan, Dean, Spelke & Duflo, 2017) vorgestellt. Abschließend wird die Entwicklung und Implementierung anschlussfähiger Bildungskonzepte als eine der zentralen Herausforderungen zukünftiger Forschungs- und Bildungsbemühungen diskutiert N2 - Current research trends in the field of early mathematical education are presented in the context of recently formulated target dimensions of early mathematical education (see Benz et al., 2017). Game-based approaches, competencies in the field of “space and form”, the influence of language skills on the development of mathematical competencies, as well as mathematics-related competencies of early childhood educators are discussed. In addition, the results of a recent field study on a preschool intervention intended to enhance children's early mathematical skills (see Dillon, Kannan, Dean, Spelke, & Duflo, 2017) are presented. Finally, we discuss the development and implementation of aligned educational concepts as one of the central challenges of future research and educational activities. KW - early mathematical education KW - target dimensions KW - conditions of success KW - alignment Y1 - 2018 U6 - https://doi.org/10.1026/2191-9186/a000379 SN - 2191-9186 SN - 2191-9194 VL - 7 IS - 3 SP - 129 EP - 134 PB - Hogrefe CY - Göttingen ER - TY - THES A1 - Engelhardt, Max Angel Ronan T1 - Zwischen Simulation und Beweis - eine mathematische Analyse des Bienaymé-Galton-Watson-Prozesses und sein Einsatz innerhalb des Mathematikunterrichts T1 - Between simulation and proof - a mathematical analysis of the Bienaymé-Galton-Watson-process and its application in mathematics lessons N2 - Die Bienaymé-Galton-Watson Prozesse können für die Untersuchung von speziellen und sich entwickelnden Populationen verwendet werden. Die Populationen umfassen Individuen, welche sich identisch, zufällig, selbstständig und unabhängig voneinander fortpflanzen und die jeweils nur eine Generation existieren. Die n-te Generation ergibt sich als zufällige Summe der Individuen der (n-1)-ten Generation. Die Relevanz dieser Prozesse begründet sich innerhalb der Historie und der inner- und außermathematischen Bedeutung. Die Geschichte der Bienaymé-Galton-Watson-Prozesse wird anhand der Entwicklung des Konzeptes bis heute dargestellt. Dabei werden die Wissenschaftler:innen verschiedener Disziplinen angeführt, die Erkenntnisse zu dem Themengebiet beigetragen und das Konzept in ihren Fachbereichen angeführt haben. Somit ergibt sich die außermathematische Signifikanz. Des Weiteren erhält man die innermathematische Bedeutsamkeit mittels des Konzeptes der Verzweigungsprozesse, welches auf die Bienaymé-Galton-Watson Prozesse zurückzuführen ist. Die Verzweigungsprozesse stellen eines der aussagekräftigsten Modelle für die Beschreibung des Populationswachstums dar. Darüber hinaus besteht die derzeitige Wichtigkeit durch die Anwendungsmöglichkeit der Verzweigungsprozesse und der Bienaymé-Galton-Watson Prozesse innerhalb der Epidemiologie. Es werden die Ebola- und die Corona-Pandemie als Anwendungsfelder angeführt. Die Prozesse dienen als Entscheidungsstütze für die Politik und ermöglichen Aussagen über die Auswirkungen von Maßnahmen bezüglich der Pandemien. Neben den Prozessen werden ebenfalls der bedingte Erwartungswert bezüglich diskreter Zufallsvariablen, die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion und die zufällige Summe eingeführt. Die Konzepte vereinfachen die Beschreibung der Prozesse und bilden somit die Grundlage der Betrachtungen. Außerdem werden die benötigten und weiterführenden Eigenschaften der grundlegenden Themengebiete und der Prozesse aufgeführt und bewiesen. Das Kapitel erreicht seinen Höhepunkt bei dem Beweis des Kritikalitätstheorems, wodurch eine Aussage über das Aussterben des Prozesses in verschiedenen Fällen und somit über die Aussterbewahrscheinlichkeit getätigt werden kann. Die Fälle werden anhand der zu erwartenden Anzahl an Nachkommen eines Individuums unterschieden. Es zeigt sich, dass ein Prozess bei einer zu erwartenden Anzahl kleiner gleich Eins mit Sicherheit ausstirbt und bei einer Anzahl größer als Eins, die Population nicht in jedem Fall aussterben muss. Danach werden einzelne Beispiele, wie der linear fractional case, die Population von Fibroblasten (Bindegewebszellen) von Mäusen und die Entstehungsfragestellung der Prozesse, angeführt. Diese werden mithilfe der erlangten Ergebnisse untersucht und einige ausgewählte zufällige Dynamiken werden im nachfolgenden Kapitel simuliert. Die Simulationen erfolgen durch ein in Python erstelltes Programm und werden mithilfe der Inversionsmethode realisiert. Die Simulationen stellen beispielhaft die Entwicklungen in den verschiedenen Kritikalitätsfällen der Prozesse dar. Zudem werden die Häufigkeiten der einzelnen Populationsgrößen in Form von Histogrammen angebracht. Dabei lässt sich der Unterschied zwischen den einzelnen Fällen bestätigen und es wird die Anwendungsmöglichkeit der Bienaymé-Galton-Watson Prozesse bei komplexeren Problemen deutlich. Histogramme bekräftigen, dass die einzelnen Populationsgrößen nur endlich oft vorkommen. Diese Aussage wurde von Galton aufgeworfen und in der Extinktions-Explosions-Dichotomie verwendet. Die dargestellten Erkenntnisse über das Themengebiet und die Betrachtung des Konzeptes werden mit einer didaktischen Analyse abgeschlossen. Die Untersuchung beinhaltet die Berücksichtigung der Fundamentalen Ideen, der Fundamentalen Ideen der Stochastik und der Leitidee „Daten und Zufall“. Dabei ergibt sich, dass in Abhängigkeit der gewählten Perspektive die Anwendung der Bienaymé-Galton-Watson Prozesse innerhalb der Schule plausibel ist und von Vorteil für die Schüler:innen sein kann. Für die Behandlung wird exemplarisch der Rahmenlehrplan für Berlin und Brandenburg analysiert und mit dem Kernlehrplan Nordrhein-Westfalens verglichen. Die Konzeption des Lehrplans aus Berlin und Brandenburg lässt nicht den Schluss zu, dass die Bienaymé-Galton-Watson Prozesse angewendet werden sollten. Es lässt sich feststellen, dass die zugrunde liegende Leitidee nicht vollumfänglich mit manchen Fundamentalen Ideen der Stochastik vereinbar ist. Somit würde eine Modifikation hinsichtlich einer stärkeren Orientierung des Lehrplans an den Fundamentalen Ideen die Anwendung der Prozesse ermöglichen. Die Aussage wird durch die Betrachtung und Übertragung eines nordrhein-westfälischen Unterrichtsentwurfes für stochastische Prozesse auf die Bienaymé-Galton-Watson Prozesse unterstützt. Darüber hinaus werden eine Concept Map und ein Vernetzungspentagraph nach von der Bank konzipiert um diesen Aspekt hervorzuheben. N2 - The Bienaymé-Galton-Watson processes can be used to study special and developing populations. These populations include individuals that reproduce identically, randomly, separately, independently of each other, and which exist only for one generation. The n-th generation is the random sum of the individuals of the (n-1)-th generation. The relevance of these processes is based on their history and their significance in mathematical and extra-mathematical contexts. The history of the Bienaymé-Galton-Watson processes is illustrated by the development of the concept to the present day. Various scientists from different disciplines who have contributed to the topic in their respective fields are listed. This illustrates moreover the significance in extra-mathematical contexts. Furthermore, the inner- mathematical magnitude is obtained by means of the superordinate concept of branching processes, which can be traced back to the Bienaymé-Galton-Watson processes. These branching processes are one of the most significant models for describing population growth. In addition, the current importance arises from the applicability of branching processes and the Bienaymé-Galton-Watson processes within epidemiology. The Ebola and Corona pandemics are mentioned as fields of application. The processes serve as a basis for political decision-making and enable statements made on the impact of pandemic measures. In addition to the processes, the conditional expectation value for discrete random variables, the probability generating function and the random sum are also introduced. These concepts simplify the description of the processes and thus form the basis of the considerations. Also, the required and further properties of the basic topics and processes are listed and demonstrated. The chapter reaches its climax with the proof of the criticality theorem, whereby a statement can be made about the extinction of the process in different cases and thus about the extinction probability. These cases are distinguished based on the expected number of offspring from the individuals. It turns out that a process with an expected number of less than one certainly becomes extinct. On the contrary, a process with a number greater than one does not necessarily has to die out. Individual examples are then given, such as the linear fractional case, the population of fibroblasts (connective tissue cells) of mice and the question of origin. These are investigated using the results obtained and some selected random dynamics are simulated in the following chapter. The simulations are carried out by a Python self-written program and are realized using the inversion method. These simulations exemplify the developments in the different criticality cases of the processes. Besides, the frequencies of the individual population sizes are displayed in the form of histograms. The difference between the individual cases can be confirmed and the analysis of the fibroblasts reveals the applicability of the Bienaymé-Galton-Watson processes to more complex problems. Histograms confirm that the individual population sizes occur only finitely often. This statement was raised by Galton and is used in the extinction-explosion dichotomy. The presented findings about the topic and the consideration of the concept are concluded with an analysis of didactic-background. This involves the fundamental ideas, the fundamental ideas of stochastics and the guiding idea of data and chance. Depending on the chosen perspective, the use of the Bienaymé-Galton-Watson processes within the school is plausible and may be beneficial for the students. For the treatment, the Rahmenlehrplan for Berlin and Brandenburg is analysed and compared with the core curriculum of Nord Rhine-Westphalia as an example. The design of the curriculum of Berlin and Brandenburg does not allow the conclusion of applying the Bienaymé-Galton-Watson processes. It can be seen that the underlying guiding idea is not fully compatible with some fundamental ideas of stochastics. Thus, a modification to the curriculum more oriented towards these fundamental ideas would allow the application of the processes. This statement is supported by the observation and transfer of a North Rhine-Westphalian teaching design for stochastic processes to the Bienaymé-Galton-Watson processes by means of chain letters. In addition, a concept map and a Vernetzungspentagraph by von der Bank are designed to highlight this aspect. KW - Bienaymé-Galton-Watson Prozess KW - Kritikalitätstheorem KW - Verzweigungsprozess KW - Populationen KW - linear fractional case KW - bedingter Erwartungswert KW - zufällige Summe KW - Simulation KW - wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion KW - Historie der Verzweigungsprozesse KW - Instabilität des Prozesses KW - Aussterbewahrscheinlichkeit KW - Geometrische Reproduktionsverteilung KW - Fibroblasten KW - Entstehungsfragestellung KW - Fundamentale Ideen KW - Leitidee „Daten und Zufall“ KW - Rahmenlehrplan KW - Markov-Ketten KW - Corona KW - Bienaymé-Galton-Watson process KW - criticality theorem KW - branching process KW - populations KW - linear fractional case KW - conditional expectation value KW - random sum KW - simulation KW - probability generating function KW - history of branching processes KW - instability of the process KW - extinction probability KW - geometric reproduction distribution KW - fibroblasts KW - question of origin KW - fundamental ideas KW - guiding idea “Daten und Zufall” KW - Rahmenlehrplan KW - Markov chains KW - Corona Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-524474 ER - TY - THES A1 - Dahl, Dorothee Sophie T1 - Let's have FUN! Gamification im Mathematikunterricht N2 - Spiele und spieltypische Elemente wie das Sammeln von Treuepunkten sind aus dem Alltag kaum wegzudenken. Zudem werden sie zunehmend in Unternehmen oder in Lernumgebungen eingesetzt. Allerdings ist die Methode Gamification bisher für den pädagogischen Kontext wenig klassifiziert und für Lehrende kaum zugänglich gemacht worden. Daher zielt diese Bachelorarbeit darauf ab, eine systematische Strukturierung und Aufarbeitung von Gamification sowie innovative Ansätze für die Verwendung spieltypischer Elemente im Unterricht, konkret dem Mathematikunterricht, zu präsentieren. Dies kann eine Grundlage für andere Fachgebiete, aber auch andere Lehrformen bieten und so die Umsetzbarkeit von Gamification in eigenen Lehrveranstaltungen aufzeigen. In der Arbeit wird begründet, weshalb und mithilfe welcher Elemente Gamification die Motivation und Leistungsbereitschaft der Lernenden langfristig erhöhen, die Sozial- und Personalkompetenzen fördern sowie die Lernenden zu mehr Aktivität anregen kann. Zudem wird Gamification explizit mit grundlegenden mathematikdidaktischen Prinzipien in Verbindung gesetzt und somit die Relevanz für den Mathematikunterricht hervorgehoben. Anschließend werden die einzelnen Elemente von Gamification wie Punkte, Level, Abzeichen, Charaktere und Rahmengeschichte entlang einer eigens für den pädagogischen Kontext entwickelten Klassifikation „FUN“ (Feedback – User specific elements – Neutral elements) schematisch beschrieben, ihre Funktionen und Wirkung dargestellt sowie Einsatzmöglichkeiten im Unterricht aufgezeigt. Dies beinhaltet Ideen zu lernförderlichem Feedback, Differenzierungsmöglichkeiten und Unterrichtsrahmengestaltung, die in Lehrveranstaltungen aller Art umsetzbar sein können. Die Bachelorarbeit umfasst zudem ein spezifisches Beispiel, einen Unterrichtsentwurf einer gamifizierten Mathematikstunde inklusive des zugehörigen Arbeitsmaterials, anhand dessen die Verwendung von Gamification deutlich wird. Gamification offeriert oftmals Vorteile gegenüber dem traditionellen Unterricht, muss jedoch wie jede Methode an den Inhalt und die Zielgruppe angepasst werden. Weiterführende Forschung könnte sich mit konkreten motivationalen Strukturen, personenspezifischen Unterschieden sowie mit mathematischen Inhalten wie dem Problemlösen oder dem Wechsel zwischen verschiedenen Darstellungen hinsichtlich gamifizierter Lehrformen beschäftigen. N2 - Games and game-typical elements such as collecting points are an indispensable part of everyday life. In addition, they are used increasingly in companies or in learning environments. However, the method of gamification has been little classified for the pedagogical context and it has hardly been made accessible to teachers so far. Therefore, this bachelor’s thesis aims to present a systematic structure and reconditioning of gamification as well as innovative approaches for the implementation of game-typical elements in educational contexts, specifically in teaching mathematics. This thesis can provide a basis for other subject areas, but also for other forms of teaching and thus demonstrate the feasibility of gamification in own courses. The paper explains why and with which elements gamification can increase learners' motivation and willingness to perform in the long term, promote social and personal competences and encourage learners to become more active. Moreover, gamification is explicitly linked to basic mathematics didactic principles and thus emphasizes its relevance for mathematics teaching. Afterwards the individual elements of gamification such as points, levels, badges, characters and frame story are described schematically according to the classification “FUN” (Feedback – User specific elements – Neutral elements), developed especially for the educational context in the thesis. This includes ideas for learn-enhancing feedback, opportunities for differentiation and the design of teaching frameworks that can be implemented in courses of all kinds. The bachelor’s thesis also includes a specific example, a lesson plan for a gamified mathematics lesson including the associated working material, which illustrates the use of gamification. Gamification often offers advantages over traditional teaching, but like any method, it must be adapted to the content and the target group. Further research could focus on specific motivational structures, individual differences of students, and mathematical contents such as problem solving or changing representations regarding gamified teaching. KW - Gamification KW - Spiel KW - Motivation KW - Methode KW - Unterrichtsmethode KW - Feedback KW - Innovation KW - Lernen KW - Mathematikdidaktik KW - Mathematikunterricht KW - gamification KW - game KW - game-based KW - motivation KW - learning KW - feedback KW - method KW - teaching KW - teaching methods KW - didactics of mathematics Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-515937 ER - TY - THES A1 - Hübner, Andrea T1 - Ein multityper Verzweigungsprozess als Modell zur Untersuchung der Ausbreitung von Covid-19 T1 - Modeling the spread of Covid-19 using a multitype branching process N2 - Im Zuge der Covid-19 Pandemie werden zwei Werte täglich diskutiert: Die zuletzt gemeldete Zahl der neu Infizierten und die sogenannte Reproduktionsrate. Sie gibt wieder, wie viele weitere Menschen ein an Corona erkranktes Individuum im Durchschnitt ansteckt. Für die Schätzung dieses Wertes gibt es viele Möglichkeiten - auch das Robert Koch-Institut gibt in seinem täglichen Situationsbericht stets zwei R-Werte an: Einen 4-Tage-R-Wert und einen weniger schwankenden 7-Tage-R-Wert. Diese Arbeit soll eine weitere Möglichkeit vorstellen, einige Aspekte der Pandemie zu modellieren und die Reproduktionsrate zu schätzen. In der ersten Hälfte der Arbeit werden die mathematischen Grundlagen vorgestellt, die man für die Modellierung benötigt. Hierbei wird davon ausgegangen, dass der Leser bereits ein Basisverständnis von stochastischen Prozessen hat. Im Abschnitt Grundlagen werden Verzweigungsprozesse mit einigen Beispielen eingeführt und die Ergebnisse aus diesem Themengebiet, die für diese Arbeit wichtig sind, präsentiert. Dabei gehen wir zuerst auf einfache Verzweigungsprozesse ein und erweitern diese dann auf Verzweigungsprozesse mit mehreren Typen. Um die Notation zu erleichtern, beschränken wir uns auf zwei Typen. Das Prinzip lässt sich aber auf eine beliebige Anzahl von Typen erweitern. Vor allem soll die Wichtigkeit des Parameters λ herausgestellt werden. Dieser Wert kann als durchschnittliche Zahl von Nachfahren eines Individuums interpretiert werden und bestimmt die Dynamik des Prozesses über einen längeren Zeitraum. In der Anwendung auf die Pandemie hat der Parameter λ die gleiche Rolle wie die Reproduktionsrate R. In der zweiten Hälfte dieser Arbeit stellen wir eine Anwendung der Theorie über Multitype Verzweigungsprozesse vor. Professor Yanev und seine Mitarbeiter modellieren in ihrer Veröffentlichung Branching stochastic processes as models of Covid-19 epidemic development die Ausbreitung des Corona Virus' über einen Verzweigungsprozess mit zwei Typen. Wir werden dieses Modell diskutieren und Schätzer daraus ableiten: Ziel ist es, die Reproduktionsrate zu ermitteln. Außerdem analysieren wir die Möglichkeiten, die Dunkelziffer (die Zahl nicht gemeldeter Krankheitsfälle) zu schätzen. Wir wenden die Schätzer auf die Zahlen von Deutschland an und werten diese schließlich aus. N2 - During the Covid-19 pandemic, the discussion about the situation has been dominated by two numbers: the number of daily new infected individuals and the reproduction rate. The latter is the average number of people, one infected individual will infect with the disease. Because the number of registered infected individuals is generally not equal to the actual number of people who carry the Corona virus, many facts about the pandemic have to be estimated and can not be known for certain. Since the reproduction rate is an important parameter to signify the course of the Pandemic, many ways to estimate it have been developed. The Institute of Robert Koch in Germany uses two reproduction rates R in their daily reports: The 4-days-R-value and the less fluctuating 7-days-Rvalue. This master thesis will develop another model to estimate the R-value and other interesting aspects of the pandemic. The first part of this thesis is dedicated to the mathematical foundations needed to understand the model. The reader is expected to already have basic understanding of stochastic processes. In the section Grundlagen we will discuss branching processes and present the results of their theory that are important for our work. We start by introducing simple branching processes and expand the results to multitype branching processes. In service of a simpler notation we will only consider twotype branching processes, but the results can be used for any number of types. The importance of the parameter λ shall be stressed. It can be seen as the average number of descendants of one individual and dictates the dynamic of the process over a long period of time. Applied to the modeling of the pandemic, λ plays the same role as the reproduction rate R. In the second part of this thesis will present an application of the previously developed theory about multitype branching processes. Prof. Yanev and his colleagues modeled in their publication Branching stochastic processes as models of Covid-19 epidemic development the spreading of the Corona virus by using a branching process with two types. We will discuss this model and deduce estimators from it. We want to estimate the reproduction rate and find a way to determine the number of not registered infected individuals. The estimators will be applied to the data from Germany and we will discuss the results. KW - Covid-19 KW - Corona KW - Reproduktionsrate KW - Verzweigungsprozess KW - Modellierung KW - Covid-19 KW - corona virus KW - reproduction rate KW - branching process KW - modeling Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-509225 ER - TY - JOUR A1 - Dombrowsky, Charlotte A1 - Und, Myriam Fradon A1 - Roelly, Sylvie T1 - Packungen aus Kreisscheiben BT - Wie eine wahrscheinlichkeitstheoretische Sichtweise eine geometrische Analyse vervollständigen kann JF - Elemente der Mathematik N2 - Der englische Seefahrer Sir Walter Raleigh fragte sich einst, wie er in seinem Schiffsladeraum moeglichst viele Kanonenkugeln stapeln koennte. Johannes Kepler entwickelte daraufhin 1611 eine Vermutung ueber die optimale Anordnung der Kugeln. Diese Vermutung sollte sich als eine der haertesten mathematischen Nuesse der Geschichte erweisen. Selbst in der Ebene sind dichteste Packungen kongruenter Kreise eine Herausforderung. 1892 und 1910 veroeffentlichte Axel Thue (kritisierte) Beweise, dass die hexagonale Kreispackung optimal sei. Erst 1940 lieferte Laszlo Fejes Toth schliesslich einen wasserdichten Beweis fuer diese Tatsache. Eine Variante des Problems verlangt, Packungen mit endlich vielen kongruenten Kugeln zu finden, die eine gewisse quadratische Energie minimieren: Diese spannende geometrische Aufgabe wurde 1967 von Toth gestellt. Sie ist auch heute noch nicht vollstaendig gelaest. In diesem Beitrag schlagen die Autorinnen eine originelle wahrscheinlichkeitstheoretische Methode vor, um in der Ebene Näherungen der Lösung zu konstruieren. Y1 - 2019 U6 - https://doi.org/10.4171/EM/381 SN - 0013-6018 SN - 1420-8962 VL - 74 IS - 2 SP - 45 EP - 62 PB - EMS Publ. CY - Zürich ER -