TY - THES A1 - Ma, Siyuan T1 - Analysis of Teukolsky equations on slowly rotating Kerr spacetimes T1 - Analyse von Teukolsky-Gleichungen auf langsam rotierende Kerr-Raumzeiten N2 - In this thesis, we treat the extreme Newman-Penrose components of both the Maxwell field (s=±1) and the linearized gravitational perturbations (or "linearized gravity" for short) (s=±2) in the exterior of a slowly rotating Kerr black hole. Upon different rescalings, we can obtain spin s components which satisfy the separable Teukolsky master equation (TME). For each of these spin s components defined in Kinnersley tetrad, the resulting equations by performing some first-order differential operator on it once and twice (twice only for s=±2), together with the TME, are in the form of an "inhomogeneous spin-weighted wave equation" (ISWWE) with different potentials and constitute a linear spin-weighted wave system. We then prove energy and integrated local energy decay (Morawetz) estimates for this type of ISWWE, and utilize them to achieve both a uniform bound of a positive definite energy and a Morawetz estimate for the regular extreme Newman-Penrose components defined in the regular Hawking-Hartle tetrad. We also present some brief discussions on mode stability for TME for the case of real frequencies. This says that in a fixed subextremal Kerr spacetime, there is no nontrivial separated mode solutions to TME which are purely ingoing at horizon and purely outgoing at infinity. This yields a representation formula for solutions to inhomogeneous Teukolsky equations, and will play a crucial role in generalizing the above energy and Morawetz estimates results to the full subextremal Kerr case. N2 - In dieser Arbeit behandeln wir die extremen Newman-Penrose-Komponenten des Maxwell-Feldes (s=±1) und die linearisierten Gravitationsstörungen (kurz "linearisierte Gravitation") (s=±2) im Äußeren eines langsam rotierenden Kerr-Schwarzen Lochs. Nach verschiedenen Reskalierungen können wir Spin s-Komponenten erhalten, die die separierbare Teukolsky-Master-Gleichung (TME) erfüllen. Für jede dieser spin s-Komponenten, die in der Kingersley-Tetrade definiert sind, werden die resultierenden Gleichungen durch Ausführen eines Differentialoperators erster Ordnung einmal und zweimal (zweimal nur für s=±2) zusammen mit dem TME ausgeführt. liegen in Form einer "inhomogenen spin-weighted wave equation" (ISWWE) mit unterschiedlichen Potentialen vor und bilden ein lineares spingewichtetes Wellensystem. Wir zeigen dann Energie und integrierte lokale Zerfall (Morawetz) Schätzungen für diese Art von ISWWE, und nutzen sie, um sowohl eine einheitliche Grenze einer positiven bestimmten Energie und eine Morawetz-Schätzung für die regulären extremen Newman-Penrose-Komponenten zu erreichen definiert in der regulären Hawking-Hartle-Tetrade. Wir präsentieren auch einige kurze Diskussionen über die Modenstabilität für TME für den Fall von echten Frequenzen. Dies besagt, dass es in einer festen subextremalen Kerr-Raumzeit keine nicht-trivialen getrennten Modenlösungen für TME gibt, die rein am Horizont und rein im Unendlichen ausgehen. Dies ergibt eine Repräsentationsformel für Lösungen zu inhomogenen Teukolsky-Gleichungen und wird eine entscheidende Rolle bei der Verallgemeinerung der obigen Energie- und Morawetz-Schätzergebnisse auf den vollen sutextremalen Kerr-Fall spielen. KW - energy estimate KW - Morawetz estimate KW - Teukolsky equations KW - slowly rotating Kerr spacetimes KW - mode stability KW - Energieschätzung KW - Morawetz-Schätzung KW - Teukolsky-Gleichungen KW - langsam rotierende Kerr-Raumzeiten KW - Modenstabilität Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-414781 ER - TY - THES A1 - Paganini, Claudio Francesco T1 - The role of trapping in black hole spacetimes T1 - Über die Rolle gefangener lichtartiger Kurven in Raumzeiten mit Schwarzen Löchern N2 - In the here presented work we discuss a series of results that are all in one way or another connected to the phenomenon of trapping in black hole spacetimes. First we present a comprehensive review of the Kerr-Newman-Taub-NUT-de-Sitter family of black hole spacetimes and their most important properties. From there we go into a detailed analysis of the bahaviour of null geodesics in the exterior region of a sub-extremal Kerr spacetime. We show that most well known fundamental properties of null geodesics can be represented in one plot. In particular, one can see immediately that the ergoregion and trapping are separated in phase space. We then consider the sets of future/past trapped null geodesics in the exterior region of a sub-extremal Kerr-Newman-Taub-NUT spacetime. We show that from the point of view of any timelike observer outside of such a black hole, trapping can be understood as two smooth sets of spacelike directions on the celestial sphere of the observer. Therefore the topological structure of the trapped set on the celestial sphere of any observer is identical to that in Schwarzschild. We discuss how this is relevant to the black hole stability problem. In a further development of these observations we introduce the notion of what it means for the shadow of two observers to be degenerate. We show that, away from the axis of symmetry, no continuous degeneration exists between the shadows of observers at any point in the exterior region of any Kerr-Newman black hole spacetime of unit mass. Therefore, except possibly for discrete changes, an observer can, by measuring the black holes shadow, determine the angular momentum and the charge of the black hole under observation, as well as the observer's radial position and angle of elevation above the equatorial plane. Furthermore, his/her relative velocity compared to a standard observer can also be measured. On the other hand, the black hole shadow does not allow for a full parameter resolution in the case of a Kerr-Newman-Taub-NUT black hole, as a continuous degeneration relating specific angular momentum, electric charge, NUT charge and elevation angle exists in this case. We then use the celestial sphere to show that trapping is a generic feature of any black hole spacetime. In the last chapter we then prove a generalization of the mode stability result of Whiting (1989) for the Teukolsky equation for the case of real frequencies. The main result of the last chapter states that a separated solution of the Teukolsky equation governing massless test fields on the Kerr spacetime, which is purely outgoing at infinity, and purely ingoing at the horizon, must vanish. This has the consequence, that for real frequencies, there are linearly independent fundamental solutions of the radial Teukolsky equation which are purely ingoing at the horizon, and purely outgoing at infinity, respectively. This fact yields a representation formula for solutions of the inhomogenous Teukolsky equation, and was recently used by Shlapentokh-Rothman (2015) for the scalar wave equation. N2 - In Newtons Gravitationstheorie bewegt sich Licht auf geraden Linien durch den Raum. Entsprechend beeinflussen Massen den Verlauf von Lichtstrahlen nicht. In Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie führt die Präsenz von Massen dazu, dass sich die Raumzeit, sprich das Koordinatensystem für alle physikalischen Vorgänge, verkrümmt. Da das Licht immer den kürzesten Weg nimmt, wird es nun auch abgelenkt wenn es nahe an einem Körper mit grosser Masse vorbeikommt. Der Nachweis der Lichtablenkung durch die Masse der Sonne bei einer Sonnenfinsternis durch Eddington 1919 war der erste direkte Nachweis, dass Einstein mit seiner Allgemeinen Relativitätstheorie richtig liegt. Eine der erstaunlichsten Vorhersagen aus Einsteins Relativitätstheorie ist die Existenz von Schwarzen Löchern. Es wird gemeinhin angenommen, dass Schwarzen Löcher die dichtesten Objekte sind, welche im Universum existieren können. Ein Schwarzes Loch ist eine Raumzeit, die so stark verkrümmt ist, dass ein Bereich existiert aus welchem nicht einmal mehr Licht entfliehen kann. Die Grenze dieses Bereiches bezeichnet man als Ereignishorizont. Beobachter, welche den Ereignishorizont überqueren, können danach nicht mehr mit Beobachtern ausserhalb kommunizieren. Die Krümmung der Raumzeit in der Nähe des Ereignishorizontes ist so stark, dass sehr gewisse Lichtstrahlen, ähnlich der Planeten im Sonnensystem, auf Kreisbahnen bewegen. Das heisst, dass das Licht weder ins Schwarze Loch fällt, noch ins unendliche davon läuft. Die Bahn solcher Lichtstrahlen bezeichnet man als gefangene lichtartige Kurven. Solche Kurven existieren nur in einem beschränkten Bereich in der Nähe des Ereignishorizontes. Allerdings ist es an jedem Ort der Raumzeit möglich, lichtartige Kurven durch diesen Punkt zu finden, welche sich in der Zukunft einer gefangenen lichtartigen Kurve beliebig annähern und weder ins Schwarze Loch fallen noch ins unendliche davon laufen. Die Gesamtheit aller möglichen Lichtstrahlen durch einen Punkt kann durch eine Kugel, der Himmelssphäre des Beobachters, bestehend aus allen möglichen Raumrichtungen beschrieben werden. In unserer Arbeit zeigen wir, dass die Strahlen, welche sich in der Zukunft einer gefangenen lichtartigen Kurve annähern, die Himmelssphäre in zwei Bereiche unterteilt. Der eine Teil besteht aus jenen Richtungen, in welche der Lichtstrahl im Schwarzen Loch endet, der andere Teil aus jenen Richtungen in welche der Lichtstrahl ins unendliche davon läuft. Die Richtungen in welcher sich die Lichtstrahlen in der Zukunft einer gefangenen lichtartigen Kurve annähern bilden eine geschlossene Kurve auf der Himmelssphäre. Diese Kurve, zusammen mit den Richtungen unter welchen das Licht im Schwarzen Loch endet, bilden den Schatten des Schwarzen Loches auf der Himmelssphäre des Beobachters. Wir konnten zeigen, dass die Form dieses Schattens Rückschlüsse auf die physikalischen Parameter, wie Ladung und Drehmoment des Schwarzen Loches, sowie die Distanz zwischen Beobachter und Schwarzem Loch zulässt. Ausserdem haben wir gezeigt, dass für masselose Felder (Skalarfelder, elektromagnetische Felder, linearisierte Gravitation) auf Raumzeiten mit einem rotierenden Schwarzen Loch, die sogenannte Modenstabillität gilt. Modenlösungen für partielle Differentialgleichungen sind Lösungen, welche ein Produkt von Lösungen in einzelner Koordinatenrichtungen sind. Modenstäbilität bedeutet nun, dass es zu diesen Feldgleichungen, auf diesen Raumzeiten keine Modenlösungen mit realen Frequenzen gibt, welche nur Energie aus der Raumzeit hinaustragen. KW - black hole KW - trapping KW - black hole shadows KW - Teukolsky master equation KW - mode stability KW - Schwarzes Loch KW - gefangene lichtartige Kurven KW - Schatten eines Schwarzen Lochs KW - Teukolsky Gleichung KW - Moden Stabilität Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:517-opus4-414686 ER -