@misc{ClusellaPolitiRosenblum2016,
  author    = {Clusella, Pau and Politi, Antonio and Rosenblum, Michael},
  title     = {A minimal model of self-consistent partial synchrony},
  series = {Postprints der Universit{\"a}t Potsdam : Mathematisch Naturwissenschaftliche Reihe},
  journal   = {Postprints der Universit{\"a}t Potsdam : Mathematisch Naturwissenschaftliche Reihe},
  number    = {890},
  issn      = {1866-8372},
  doi       = {10.25932/publishup-43626},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:517-opus4-436266},
  pages     = {19},
  year      = {2016},
  abstract  = {We show that self-consistent partial synchrony in globally coupled oscillatory ensembles is a general phenomenon. We analyze in detail appearance and stability properties of this state in possibly the simplest setup of a biharmonic Kuramoto-Daido phase model as well as demonstrate the effect in limit-cycle relaxational Rayleigh oscillators. Such a regime extends the notion of splay state from a uniform distribution of phases to an oscillating one. Suitable collective observables such as the Kuramoto order parameter allow detecting the presence of an inhomogeneous distribution. The characteristic and most peculiar property of self-consistent partial synchrony is the difference between the frequency of single units and that of the macroscopic field.},
  language  = {en}
}
@misc{Fischer2012,
  type      = {Master Thesis},
  author    = {Fischer, Jost},
  title     = {{\"U}ber Synchronisationsph{\"a}nomene nichtlinearer akustischer Oszillatoren},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:517-opus-63618},
  school      = {Universit{\"a}t Potsdam},
  year      = {2012},
  abstract  = {In dieser Arbeit werden die Effekte der Synchronisation nichtlinearer, akustischer Oszillatoren am Beispiel zweier Orgelpfeifen untersucht. Aus vorhandenen, experimentellen Messdaten werden die typischen Merkmale der Synchronisation extrahiert und dargestellt. Es folgt eine detaillierte Analyse der {\"U}bergangsbereiche in das Synchronisationsplateau, der Ph{\"a}nomene w{\"a}hrend der Synchronisation, als auch das Austreten aus der Synchronisationsregion beider Orgelpfeifen, bei verschiedenen Kopplungsst{\"a}rken. Die experimentellen Befunde werfen Fragestellungen nach der Kopplungsfunktion auf. Dazu wird die Tonentstehung in einer Orgelpfeife untersucht. Mit Hilfe von numerischen Simulationen der Tonentstehung wird der Frage nachgegangen, welche fluiddynamischen und aero-akustischen Ursachen die Tonentstehung in der Orgelpfeife hat und inwiefern sich die Mechanismen auf das Modell eines selbsterregten akustischen Oszillators abbilden l{\"a}sst. Mit der Methode des Coarse Graining wird ein Modellansatz formuliert.},
  language  = {de}
}
@phdthesis{Zemanova2007,
  author    = {Zemanov{\´a}, Lucia},
  title     = {Structure-function relationship in hierarchical model of brain networks},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:517-opus-18400},
  school      = {Universit{\"a}t Potsdam},
  year      = {2007},
  abstract  = {The mammalian brain is, with its numerous neural elements and structured complex connectivity, one of the most complex systems in nature. Recently, large-scale corticocortical connectivities, both structural and functional, have received a great deal of research attention, especially using the approach of complex networks. Here, we try to shed some light on the relationship between structural and functional connectivities by studying synchronization dynamics in a realistic anatomical network of cat cortical connectivity. We model the cortical areas by a subnetwork of interacting excitable neurons (multilevel model) and by a neural mass model (population model). With weak couplings, the multilevel model displays biologically plausible dynamics and the synchronization patterns reveal a hierarchical cluster organization in the network structure. We can identify a group of brain areas involved in multifunctional tasks by comparing the dynamical clusters to the topological communities of the network. With strong couplings of multilevel model and by using neural mass model, the dynamics are characterized by well-defined oscillations. The synchronization patterns are mainly determined by the node intensity (total input strengths of a node); the detailed network topology is of secondary importance. The biologically improved multilevel model exhibits similar dynamical patterns in the two regimes. Thus, the study of synchronization in a multilevel complex network model of cortex can provide insights into the relationship between network topology and functional organization of complex brain networks.},
  language  = {en}
}
@phdthesis{Fischer2014,
  author    = {Fischer, Jost Leonhardt},
  title     = {Nichtlineare Kopplungsmechanismen akustischer Oszillatoren am Beispiel der Synchronisation von Orgelpfeifen},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:517-opus-71975},
  school      = {Universit{\"a}t Potsdam},
  year      = {2014},
  abstract  = {In dieser Arbeit werden nichtlineare Kopplungsmechanismen von akustischen Oszillatoren untersucht, die zu Synchronisation f{\"u}hren k{\"o}nnen. Aufbauend auf die Fragestellungen vorangegangener Arbeiten werden mit Hilfe theoretischer und experimenteller Studien sowie mit Hilfe numerischer Simulationen die Elemente der Tonentstehung in der Orgelpfeife und die Mechanismen der gegenseitigen Wechselwirkung von Orgelpfeifen identifiziert. Daraus wird erstmalig ein vollst{\"a}ndig auf den aeroakustischen und fluiddynamischen Grundprinzipien basierendes nichtlinear gekoppeltes Modell selbst-erregter Oszillatoren f{\"u}r die Beschreibung des Verhaltens zweier wechselwirkender Orgelpfeifen entwickelt. Die durchgef{\"u}hrten Modellrechnungen werden mit den experimentellen Befunden verglichen. Es zeigt sich, dass die Tonentstehung und die Kopplungsmechanismen von Orgelpfeifen durch das entwickelte Oszillatormodell in weiten Teilen richtig beschrieben werden. Insbesondere kann damit die Ursache f{\"u}r den nichtlinearen Zusammenhang von Kopplungsst{\"a}rke und Synchronisation des gekoppelten Zwei-Pfeifen Systems, welcher sich in einem nichtlinearen Verlauf der Arnoldzunge darstellt, gekl{\"a}rt werden. Mit den gewonnenen Erkenntnissen wird der Einfluss des Raumes auf die Tonentstehung bei Orgelpfeifen betrachtet. Daf{\"u}r werden numerische Simulationen der Wechselwirkung einer Orgelpfeife mit verschiedenen Raumgeometrien, wie z. B. ebene, konvexe, konkave, und gezahnte Geometrien, exemplarisch untersucht. Auch der Einfluss von Schwellk{\"a}sten auf die Tonentstehung und die Klangbildung der Orgelpfeife wird studiert. In weiteren, neuartigen Synchronisationsexperimenten mit identisch gestimmten Orgelpfeifen, sowie mit Mixturen wird die Synchronisation f{\"u}r verschiedene, horizontale und vertikale Pfeifenabst{\"a}nde in der Ebene der Schallabstrahlung, untersucht. Die dabei erstmalig beobachteten r{\"a}umlich isotropen Unstetigkeiten im Schwingungsverhalten der gekoppelten Pfeifensysteme, deuten auf abstandsabh{\"a}ngige Wechsel zwischen gegen- und gleichphasigen Sychronisationsregimen hin. Abschließend wird die M{\"o}glichkeit dokumentiert, das Ph{\"a}nomen der Synchronisation zweier Orgelpfeifen durch numerische Simulationen, also der Behandlung der kompressiblen Navier-Stokes Gleichungen mit entsprechenden Rand- und Anfangsbedingungen, realit{\"a}tsnah abzubilden. Auch dies stellt ein Novum dar.},
  language  = {de}
}
@phdthesis{Bergner2011,
  author    = {Bergner, Andr{\´e}},
  title     = {Synchronization in complex systems with multiple time scales},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:517-opus-53407},
  school      = {Universit{\"a}t Potsdam},
  year      = {2011},
  abstract  = {In the present work synchronization phenomena in complex dynamical systems exhibiting multiple time scales have been analyzed. Multiple time scales can be active in different manners. Three different systems have been analyzed with different methods from data analysis. The first system studied is a large heterogenous network of bursting neurons, that is a system with two predominant time scales, the fast firing of action potentials (spikes) and the burst of repetitive spikes followed by a quiescent phase. This system has been integrated numerically and analyzed with methods based on recurrence in phase space. An interesting result are the different transitions to synchrony found in the two distinct time scales. Moreover, an anomalous synchronization effect can be observed in the fast time scale, i.e. there is range of the coupling strength where desynchronization occurs. The second system analyzed, numerically as well as experimentally, is a pair of coupled CO₂ lasers in a chaotic bursting regime. This system is interesting due to its similarity with epidemic models. We explain the bursts by different time scales generated from unstable periodic orbits embedded in the chaotic attractor and perform a synchronization analysis of these different orbits utilizing the continuous wavelet transform. We find a diverse route to synchrony of these different observed time scales. The last system studied is a small network motif of limit cycle oscillators. Precisely, we have studied a hub motif, which serves as elementary building block for scale-free networks, a type of network found in many real world applications. These hubs are of special importance for communication and information transfer in complex networks. Here, a detailed study on the mechanism of synchronization in oscillatory networks with a broad frequency distribution has been carried out. In particular, we find a remote synchronization of nodes in the network which are not directly coupled. We also explain the responsible mechanism and its limitations and constraints. Further we derive an analytic expression for it and show that information transmission in pure phase oscillators, such as the Kuramoto type, is limited. In addition to the numerical and analytic analysis an experiment consisting of electrical circuits has been designed. The obtained results confirm the former findings.},
  language  = {en}
}
@phdthesis{Allefeld2004,
  author    = {Allefeld, Carsten},
  title     = {Phase synchronization analysis of event-related brain potentials in language processing},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:517-0001873},
  school      = {Universit{\"a}t Potsdam},
  year      = {2004},
  abstract  = {Das Forschungsthema Synchronisation bildet einen Schnittpunkt von Nichtlinearer Dynamik und Neurowissenschaft. So hat zum einen neurobiologische Forschung gezeigt, daß die Synchronisation neuronaler Aktivit{\"a}t einen wesentlichen Aspekt der Funktionsweise des Gehirns darstellt. Zum anderen haben Fortschritte in der physikalischen Theorie zur Entdeckung des Ph{\"a}nomens der Phasensynchronisation gef{\"u}hrt. Eine dadurch motivierte Datenanalysemethode, die Phasensynchronisations-Analyse, ist bereits mit Erfolg auf empirische Daten angewandt worden. Die vorliegende Dissertation kn{\"u}pft an diese konvergierenden Forschungslinien an. Ihren Gegenstand bilden methodische Beitr{\"a}ge zur Fortentwicklung der Phasensynchronisations-Analyse, sowie deren Anwendung auf ereigniskorrelierte Potentiale, eine besonders in den Kognitionswissenschaften wichtige Form von EEG-Daten. Die methodischen Beitr{\"a}ge dieser Arbeit bestehen zum ersten in einer Reihe spezialisierter statistischer Tests auf einen Unterschied der Synchronisationsst{\"a}rke in zwei verschiedenen Zust{\"a}nden eines Systems zweier Oszillatoren. Zweitens wird im Hinblick auf den viel-kanaligen Charakter von EEG-Daten ein Ansatz zur multivariaten Phasensynchronisations-Analyse vorgestellt. Zur empirischen Untersuchung neuronaler Synchronisation wurde ein klassisches Experiment zur Sprachverarbeitung repliziert, in dem der Effekt einer semantischen Verletzung im Satzkontext mit demjenigen der Manipulation physischer Reizeigenschaften (Schriftfarbe) verglichen wird. Hier zeigt die Phasensynchronisations-Analyse eine Verringerung der globalen Synchronisationsst{\"a}rke f{\"u}r die semantische Verletzung sowie eine Verst{\"a}rkung f{\"u}r die physische Manipulation. Im zweiten Fall l{\"a}ßt sich der global beobachtete Synchronisationseffekt mittels der multivariaten Analyse auf die Interaktion zweier symmetrisch gelegener Gehirnareale zur{\"u}ckf{\"u}hren. Die vorgelegten Befunde zeigen, daß die physikalisch motivierte Methode der Phasensynchronisations-Analyse einen wesentlichen Beitrag zur Untersuchung ereigniskorrelierter Potentiale in den Kognitionswissenschaften zu leisten vermag.},
  language  = {en}
}
@phdthesis{Rosenblum2003,
  author    = {Rosenblum, Michael},
  title     = {Phase synchronization of chaotic systems : from theory to experimental applications},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:517-0000682},
  school      = {Universit{\"a}t Potsdam},
  year      = {2003},
  abstract  = {In einem klassischen Kontext bedeutet Synchronisierung die Anpassung der Rhythmen von selbst-erregten periodischen Oszillatoren aufgrund ihrer schwachen Wechselwirkung. Der Begriff der Synchronisierung geht auf den ber{\"u}hmten niederl{\"a}andischen Wissenschaftler Christiaan Huygens im 17. Jahrhundert zur{\"u}ck, der {\"u}ber seine Beobachtungen mit Pendeluhren berichtete. Wenn zwei solche Uhren auf der selben Unterlage plaziert wurden, schwangen ihre Pendel in perfekter {\"U}bereinstimmung. Mathematisch bedeutet das, daß infolge der Kopplung, die Uhren mit gleichen Frequenzen und engverwandten Phasen zu oszillieren begannen. Als wahrscheinlich {\"a}ltester beobachteter nichtlinearer Effekt wurde die Synchronisierung erst nach den Arbeiten von E. V. Appleton und B. Van der Pol gegen 1920 verstanden, die die Synchronisierung in Triodengeneratoren systematisch untersucht haben. Seitdem wurde die Theorie gut entwickelt, und hat viele Anwendungen gefunden. Heutzutage weiss man, dass bestimmte, sogar ziemlich einfache, Systeme, ein chaotisches Verhalten aus{\"u}ben k{\"o}nnen. Dies bedeutet, dass ihre Rhythmen unregelm{\"a}ßig sind und nicht durch nur eine einzige Frequenz charakterisiert werden k{\"o}nnen. Wie in der Habilitationsarbeit gezeigt wurde, kann man jedoch den Begriff der Phase und damit auch der Synchronisierung auf chaotische Systeme ausweiten. Wegen ihrer sehr schwachen Wechselwirkung treten Beziehungen zwischen den Phasen und den gemittelten Frequenzen auf und f{\"u}hren damit zur {\"U}bereinstimmung der immer noch unregelm{\"a}ßigen Rhythmen. Dieser Effekt, sogenannter Phasensynchronisierung, konnte sp{\"a}ter in Laborexperimenten anderer wissenschaftlicher Gruppen best{\"a}tigt werden. Das Verst{\"a}ndnis der Synchronisierung unregelm{\"a}ßiger Oszillatoren erlaubte es uns, wichtige Probleme der Datenanalyse zu untersuchen. Ein Hauptbeispiel ist das Problem der Identifikation schwacher Wechselwirkungen zwischen Systemen, die nur eine passive Messung erlauben. Diese Situation trifft h{\"a}ufig in lebenden Systemen auf, wo Synchronisierungsph{\"a}nomene auf jedem Niveau erscheinen - auf der Ebene von Zellen bis hin zu makroskopischen physiologischen Systemen; in normalen Zust{\"a}nden und auch in Zust{\"a}nden ernster Pathologie. Mit unseren Methoden konnten wir eine Anpassung in den Rhythmen von Herz-Kreislauf und Atmungssystem in Menschen feststellen, wobei der Grad ihrer Interaktion mit der Reifung zunimmt. Weiterhin haben wir unsere Algorithmen benutzt, um die Gehirnaktivit{\"a}t von an Parkinson Erkrankten zu analysieren. Die Ergebnisse dieser Kollaboration mit Neurowissenschaftlern zeigen, dass sich verschiedene Gehirnbereiche genau vor Beginn des pathologischen Zitterns synchronisieren. Außerdem gelang es uns, die f{\"u}r das Zittern verantwortliche Gehirnregion zu lokalisieren.},
  language  = {en}
}
@phdthesis{Toenjes2007,
  author    = {T{\"o}njes, Ralf},
  title     = {Pattern formation through synchronization in systems of nonidentical autonomous oscillators},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:517-opus-15973},
  school      = {Universit{\"a}t Potsdam},
  year      = {2007},
  abstract  = {This work is concerned with the spatio-temporal structures that emerge when non-identical, diffusively coupled oscillators synchronize. It contains analytical results and their confirmation through extensive computer simulations. We use the Kuramoto model which reduces general oscillatory systems to phase dynamics. The symmetry of the coupling plays an important role for the formation of patterns. We have studied the ordering influence of an asymmetry (non-isochronicity) in the phase coupling function on the phase profile in synchronization and the intricate interplay between this asymmetry and the frequency heterogeneity in the system. The thesis is divided into three main parts. Chapter 2 and 3 introduce the basic model of Kuramoto and conditions for stable synchronization. In Chapter 4 we characterize the phase profiles in synchronization for various special cases and in an exponential approximation of the phase coupling function, which allows for an analytical treatment. Finally, in the third part (Chapter 5) we study the influence of non-isochronicity on the synchronization frequency in continuous, reaction diffusion systems and discrete networks of oscillators.},
  language  = {en}
}
@article{Omelʹchenko2020,
  author    = {Omelʹchenko, Oleh E.},
  title     = {Nonstationary coherence-incoherence patterns in nonlocally coupled heterogeneous phase oscillators},
  series = {Chaos : an interdisciplinary journal of nonlinear science},
  volume    = {30},
  journal   = {Chaos : an interdisciplinary journal of nonlinear science},
  number    = {4},
  publisher = {American Institute of Physics},
  address   = {Melville},
  issn      = {1054-1500},
  doi       = {10.1063/1.5145259},
  pages     = {8},
  year      = {2020},
  abstract  = {We consider a large ring of nonlocally coupled phase oscillators and show that apart from stationary chimera states, this system also supports nonstationary coherence-incoherence patterns (CIPs). For identical oscillators, these CIPs behave as breathing chimera states and are found in a relatively small parameter region only. It turns out that the stability region of these states enlarges dramatically if a certain amount of spatially uniform heterogeneity (e.g., Lorentzian distribution of natural frequencies) is introduced in the system. In this case, nonstationary CIPs can be studied as stable quasiperiodic solutions of a corresponding mean-field equation, formally describing the infinite system limit. Carrying out direct numerical simulations of the mean-field equation, we find different types of nonstationary CIPs with pulsing and/or alternating chimera-like behavior. Moreover, we reveal a complex bifurcation scenario underlying the transformation of these CIPs into each other. These theoretical predictions are confirmed by numerical simulations of the original coupled oscillator system.},
  language  = {en}
}
@phdthesis{Vlasov2015,
  author    = {Vlasov, Vladimir},
  title     = {Synchronization of oscillatory networks in terms of global variables},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:517-opus4-78182},
  school      = {Universit{\"a}t Potsdam},
  pages     = {82},
  year      = {2015},
  abstract  = {Synchronization of large ensembles of oscillators is an omnipresent phenomenon observed in different fields of science like physics, engineering, life sciences, etc. The most simple setup is that of globally coupled phase oscillators, where all the oscillators contribute to a global field which acts on all oscillators. This formulation of the problem was pioneered by Winfree and Kuramoto. Such a setup gives a possibility for the analysis of these systems in terms of global variables. In this work we describe nontrivial collective dynamics in oscillator populations coupled via mean fields in terms of global variables. We consider problems which cannot be directly reduced to standard Kuramoto and Winfree models. In the first part of the thesis we adopt a method introduced by Watanabe and Strogatz. The main idea is that the system of identical oscillators of particular type can be described by a low-dimensional system of global equations. This approach enables us to perform a complete analytical analysis for a special but vast set of initial conditions. Furthermore, we show how the approach can be expanded for some nonidentical systems. We apply the Watanabe-Strogatz approach to arrays of Josephson junctions and systems of identical phase oscillators with leader-type coupling. In the next parts of the thesis we consider the self-consistent mean-field theory method that can be applied to general nonidentical globally coupled systems of oscillators both with or without noise. For considered systems a regime, where the global field rotates uniformly, is the most important one. With the help of this approach such solutions of the self-consistency equation for an arbitrary distribution of frequencies and coupling parameters can be found analytically in the parametric form, both for noise-free and noisy cases. We apply this method to deterministic Kuramoto-type model with generic coupling and an ensemble of spatially distributed oscillators with leader-type coupling. Furthermore, with the proposed self-consistent approach we fully characterize rotating wave solutions of noisy Kuramoto-type model with generic coupling and an ensemble of noisy oscillators with bi-harmonic coupling. Whenever possible, a complete analysis of global dynamics is performed and compared with direct numerical simulations of large populations.},
  language  = {en}
}
@phdthesis{Yeldesbay2014,
  author    = {Yeldesbay, Azamat},
  title     = {Complex regimes of synchronization},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:517-opus4-73348},
  school      = {Universit{\"a}t Potsdam},
  pages     = {ii, 60},
  year      = {2014},
  abstract  = {Synchronization is a fundamental phenomenon in nature. It can be considered as a general property of self-sustained oscillators to adjust their rhythm in the presence of an interaction. In this work we investigate complex regimes of synchronization phenomena by means of theoretical analysis, numerical modeling, as well as practical analysis of experimental data. As a subject of our investigation we consider chimera state, where due to spontaneous symmetry-breaking of an initially homogeneous oscillators lattice split the system into two parts with different dynamics. Chimera state as a new synchronization phenomenon was first found in non-locally coupled oscillators system, and has attracted a lot of attention in the last decade. However, the recent studies indicate that this state is also possible in globally coupled systems. In the first part of this work, we show under which conditions the chimera-like state appears in a system of globally coupled identical oscillators with intrinsic delayed feedback. The results of the research explain how initially monostable oscillators became effectivly bistable in the presence of the coupling and create a mean field that sustain the coexistence of synchronized and desynchronized states. Also we discuss other examples, where chimera-like state appears due to frequency dependence of the phase shift in the bistable system. In the second part, we make further investigation of this topic by modeling influence of an external periodic force to an oscillator with intrinsic delayed feedback. We made stability analysis of the synchronized state and constructed Arnold tongues. The results explain formation of the chimera-like state and hysteric behavior of the synchronization area. Also, we consider two sets of parameters of the oscillator with symmetric and asymmetric Arnold tongues, that correspond to mono- and bi-stable regimes of the oscillator. In the third part, we demonstrate the results of the work, which was done in collaboration with our colleagues from Psychology Department of University of Potsdam. The project aimed to study the effect of the cardiac rhythm on human perception of time using synchronization analysis. From our part, we made a statistical analysis of the data obtained from the conducted experiment on free time interval reproduction task. We examined how ones heartbeat influences the time perception and searched for possible phase synchronization between heartbeat cycles and time reproduction responses. The findings support the prediction that cardiac cycles can serve as input signals, and is used for reproduction of time intervals in the range of several seconds.},
  language  = {en}
}
@phdthesis{Peter2019,
  author    = {Peter, Franziska},
  title     = {Transition to synchrony in finite Kuramoto ensembles},
  doi       = {10.25932/publishup-42916},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:517-opus4-429168},
  school      = {Universit{\"a}t Potsdam},
  pages     = {vi, 93},
  year      = {2019},
  abstract  = {Synchronisation - die Ann{\"a}herung der Rhythmen gekoppelter selbst oszillierender Systeme - ist ein faszinierendes dynamisches Ph{\"a}nomen, das in vielen biologischen, sozialen und technischen Systemen auftritt. Die vorliegende Arbeit befasst sich mit Synchronisation in endlichen Ensembles schwach gekoppelter selbst-erhaltender Oszillatoren mit unterschiedlichen nat{\"u}rlichen Frequenzen. Das Standardmodell f{\"u}r dieses kollektive Ph{\"a}nomen ist das Kuramoto-Modell - unter anderem aufgrund seiner L{\"o}sbarkeit im thermodynamischen Limes unendlich vieler Oszillatoren. {\"A}hnlich einem thermodynamischen Phasen{\"u}bergang zeigt im Fall unendlich vieler Oszillatoren ein Ordnungsparameter den {\"U}bergang von Inkoh{\"a}renz zu einem partiell synchronen Zustand an, in dem ein Teil der Oszillatoren mit einer gemeinsamen Frequenz rotiert. Im endlichen Fall treten Fluktuationen auf. In dieser Arbeit betrachten wir den bisher wenig beachteten Fall von bis zu wenigen hundert Oszillatoren, unter denen vergleichbar starke Fluktuationen auftreten, bei denen aber ein Vergleich zu Frequenzverteilungen im unendlichen Fall m{\"o}glich ist. Zun{\"a}chst definieren wir einen alternativen Ordnungsparameter zur Feststellung einer kollektiven Mode im endlichen Kuramoto-Modell. Dann pr{\"u}fen wir die Abh{\"a}ngigkeit des Synchronisationsgrades und der mittleren Rotationsfrequenz der kollektiven Mode von Eigenschaften der nat{\"u}rlichen Frequenzverteilung f{\"u}r verschiedene Kopplungsst{\"a}rken. Wir stellen dabei zun{\"a}chst numerisch fest, dass der Synchronisationsgrad stark von der Form der Verteilung (gemessen durch die Kurtosis) und die Rotationsfrequenz der kollektiven Mode stark von der Asymmetrie der Verteilung (gemessen durch die Schiefe) der nat{\"u}rlichen Frequenzen abh{\"a}ngt. Beides k{\"o}nnen wir im thermodynamischen Limes analytisch verifizieren. Mit diesen Ergebnissen k{\"o}nnen wir Erkenntnisse anderer Autoren besser verstehen und verallgemeinern. Etwas abseits des roten Fadens dieser Arbeit finden wir außerdem einen analytischen Ausdruck f{\"u}r die Volumenkontraktion im Phasenraum. Der zweite Teil der Arbeit konzentriert sich auf den ordnenden Effekt von Fluktuationen, die durch die Endlichkeit des Systems zustande kommen. Im unendlichen Modell sind die Oszillatoren eindeutig in koh{\"a}rent und inkoh{\"a}rent und damit in geordnet und ungeordnet getrennt. Im endlichen Fall k{\"o}nnen die auftretenden Fluktuationen zus{\"a}tzliche Ordnung unter den asynchronen Oszillatoren erzeugen. Das grundlegende Prinzip, die rauschinduzierte Synchronisation, ist aus einer Reihe von Publikationen bekannt. Unter den gekoppelten Oszillatoren n{\"a}hern sich die Phasen aufgrund der Fluktuationen des Ordnungsparameters an, wie wir einerseits direkt numerisch zeigen und andererseits mit einem Synchronisationsmaß aus der gerichteten Statistik zwischen Paaren passiver Oszillatoren nachweisen. Wir bestimmen die Abh{\"a}ngigkeit dieses Synchronisationsmaßes vom Verh{\"a}ltnis von paarweiser nat{\"u}rlicher Frequenzdifferenz zur Varianz der Fluktuationen. Dabei finden wir eine gute {\"U}bereinstimmung mit einem einfachen analytischen Modell, in welchem wir die deterministischen Fluktuationen des Ordnungsparameters durch weißes Rauschen ersetzen.},
  language  = {en}
}
@article{Pikovskij2021,
  author    = {Pikovskij, Arkadij},
  title     = {Transition to synchrony in chiral active particles},
  series = {Journal of physics. Complexity},
  volume    = {2},
  journal   = {Journal of physics. Complexity},
  number    = {2},
  publisher = {IOP Publ. Ltd.},
  address   = {Bristol},
  issn      = {2632-072X},
  doi       = {10.1088/2632-072X/abdadb},
  pages     = {8},
  year      = {2021},
  abstract  = {I study deterministic dynamics of chiral active particles in two dimensions. Particles are considered as discs interacting with elastic repulsive forces. An ensemble of particles, started from random initial conditions, demonstrates chaotic collisions resulting in their normal diffusion. This chaos is transient, as rather abruptly a synchronous collisionless state establishes. The life time of chaos grows exponentially with the number of particles. External forcing (periodic or chaotic) is shown to facilitate the synchronization transition.},
  language  = {en}
}
@phdthesis{Omelchenko2021,
  author    = {Omelchenko, Oleh},
  title     = {Synchronit{\"a}t-und-Unordnung-Muster in Netzwerken gekoppelter Oszillatoren},
  doi       = {10.25932/publishup-53596},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:517-opus4-535961},
  school      = {Universit{\"a}t Potsdam},
  pages     = {152},
  year      = {2021},
  abstract  = {Synchronization of coupled oscillators manifests itself in many natural and man-made systems, including cyrcadian clocks, central pattern generators, laser arrays, power grids, chemical and electrochemical oscillators, only to name a few. The mathematical description of this phenomenon is often based on the paradigmatic Kuramoto model, which represents each oscillator by one scalar variable, its phase. When coupled, phase oscillators constitute a high-dimensional dynamical system, which exhibits complex behaviour, ranging from synchronized uniform oscillation to quasiperiodicity and chaos. The corresponding collective rhythms can be useful or harmful to the normal operation of various systems, therefore they have been the subject of much research. Initially, synchronization phenomena have been studied in systems with all-to-all (global) and nearest-neighbour (local) coupling, or on random networks. However, in recent decades there has been a lot of interest in more complicated coupling structures, which take into account the spatially distributed nature of real-world oscillator systems and the distance-dependent nature of the interaction between their components. Examples of such systems are abound in biology and neuroscience. They include spatially distributed cell populations, cilia carpets and neural networks relevant to working memory. In many cases, these systems support a rich variety of patterns of synchrony and disorder with remarkable properties that have not been observed in other continuous media. Such patterns are usually referred to as the coherence-incoherence patterns, but in symmetrically coupled oscillator systems they are also known by the name chimera states. The main goal of this work is to give an overview of different types of collective behaviour in large networks of spatially distributed phase oscillators and to develop mathematical methods for their analysis. We focus on the Kuramoto models for one-, two- and three-dimensional oscillator arrays with nonlocal coupling, where the coupling extends over a range wider than nearest neighbour coupling and depends on separation. We use the fact that, for a special (but still quite general) phase interaction function, the long-term coarse-grained dynamics of the above systems can be described by a certain integro-differential equation that follows from the mathematical approach called the Ott-Antonsen theory. We show that this equation adequately represents all relevant patterns of synchrony and disorder, including stationary, periodically breathing and moving coherence-incoherence patterns. Moreover, we show that this equation can be used to completely solve the existence and stability problem for each of these patterns and to reliably predict their main properties in many application relevant situations.},
  language  = {en}
}
@phdthesis{Topaj2001,
  author    = {Topaj, Dmitri},
  title     = {Synchronization transitions in complex systems},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:517-0000367},
  school      = {Universit{\"a}t Potsdam},
  year      = {2001},
  abstract  = {Gegenstand dieser Arbeit ist die Untersuchung generischer Synchronisierungsph{\"a}nomene in interagierenden komplexen Systemen. Diese Ph{\"a}nomene werden u.a. in gekoppelten deterministischen chaotischen Systemen beobachtet. Bei sehr schwachen Interaktionen zwischen individuellen Systemen kann ein {\"U}bergang zum schwach koh{\"a}renten Verhalten der Systeme stattfinden. In gekoppelten zeitkontinuierlichen chaotischen Systemen manifestiert sich dieser {\"U}bergang durch den Effekt der Phasensynchronisierung, in gekoppelten chaotischen zeitdiskreten Systemen durch den Effekt eines nichtverschwindenden makroskopischen Feldes. Der {\"U}bergang zur Koh{\"a}renz in einer Kette lokal gekoppelter Oszillatoren, beschrieben durch Phasengleichungen, wird im Bezug auf die Symmetrien des Systems untersucht. Es wird gezeigt, daß die durch die Symmetrien verursachte Reversibilit{\"a}t des Systems nichttriviale topologische Eigenschaften der Trajektorien bedingt, so daß das als dissipativ konstruierte System in einem ganzen Parameterbereich quasi-Hamiltonische Z{\"u}ge aufweist, d.h. das Phasenvolumen ist im Schnitt erhalten, und die Lyapunov-Exponenten sind paarweise symmetrisch. Der {\"U}bergang zur Koh{\"a}renz in einem Ensemble global gekoppelter chaotischer Abbildungen wird durch den Verlust der Stabilit{\"a}t des entkoppelten Zustandes beschrieben. Die entwickelte Methode besteht darin, die Selbstkonsistenz des makroskopischen Feldes aufzuheben, und das Ensemble in Analogie mit einem Verst{\"a}rkerschaltkreis mit R{\"u}ckkopplung durch eine komplexe lineare {\"U}bertragungssfunktion zu charakterisieren. Diese Theorie wird anschließend f{\"u}r einige theoretisch interessanten F{\"a}lle verallgemeinert.},
  language  = {en}
}
@phdthesis{Ahlers2001,
  author    = {Ahlers, Volker},
  title     = {Scaling and synchronization in deterministic and stochastic nonlinear dynamical systems},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:517-0000320},
  school      = {Universit{\"a}t Potsdam},
  year      = {2001},
  abstract  = {Gegenstand dieser Arbeit ist die Untersuchung universeller Skalengesetze, die in gekoppelten chaotischen Systemen beobachtet werden. Ergebnisse werden erzielt durch das Ersetzen der chaotischen Fluktuationen in der St{\"o}rungsdynamik durch stochastische Prozesse. Zun{\"a}chst wird ein zeitkontinuierliches stochastisches Modell f{\"u}rschwach gekoppelte chaotische Systeme eingef{\"u}hrt, um die Skalierung der Lyapunov-Exponenten mit der Kopplungsst{\"a}rke (coupling sensitivity of chaos) zu untersuchen. Mit Hilfe der Fokker-Planck-Gleichung werden Skalengesetze hergeleitet, die von Ergebnissen numerischer Simulationen best{\"a}tigt werden. Anschließend wird der neuartige Effekt der vermiedenen Kreuzung von Lyapunov-Exponenten schwach gekoppelter ungeordneter chaotischer Systeme beschrieben, der qualitativ der Abstoßung zwischen Energieniveaus in Quantensystemen {\"a}hnelt. Unter Benutzung der f{\"u}r die coupling sensitivity of chaos gewonnenen Skalengesetze wird ein asymptotischer Ausdruck f{\"u}r die Verteilungsfunktion kleiner Abst{\"a}nde zwischen Lyapunov-Exponenten hergeleitet und mit Ergebnissen numerischer Simulationen verglichen. Schließlich wird gezeigt, dass der Synchronisations{\"u}bergang in starkgekoppelten r{\"a}umlich ausgedehnten chaotischen Systemen einem kontinuierlichen Phasen{\"u}bergang entspricht, mit der Kopplungsst{\"a}rke und dem Synchronisationsfehler als Kontroll- beziehungsweise Ordnungsparameter. Unter Benutzung von Ergebnissen numerischer Simulationen sowie theoretischen {\"U}berlegungen anhand einer partiellen Differentialgleichung mit multiplikativem Rauschen werden die Universalit{\"a}tsklassen der zwei beobachteten {\"U}bergangsarten bestimmt (Kardar-Parisi-Zhang-Gleichung mit S{\"a}ttigungsterm, gerichtete Perkolation).},
  language  = {en}
}
@article{OcampoEspindolaOmel'chenkoKiss2021,
  author    = {Ocampo-Espindola, Jorge Luis and Omel'chenko, Oleh and Kiss, Istvan Z.},
  title     = {Non-monotonic transients to synchrony in Kuramoto networks and electrochemical oscillators},
  series = {Journal of physics. Complexity},
  volume    = {2},
  journal   = {Journal of physics. Complexity},
  number    = {1},
  publisher = {IOP Publ. Ltd.},
  address   = {Bristol},
  issn      = {2632-072X},
  doi       = {10.1088/2632-072X/abe109},
  pages     = {15},
  year      = {2021},
  abstract  = {We performed numerical simulations with the Kuramoto model and experiments with oscillatory nickel electrodissolution to explore the dynamical features of the transients from random initial conditions to a fully synchronized (one-cluster) state. The numerical simulations revealed that certain networks (e.g., globally coupled or dense Erdos-Renyi random networks) showed relatively simple behavior with monotonic increase of the Kuramoto order parameter from the random initial condition to the fully synchronized state and that the transient times exhibited a unimodal distribution. However, some modular networks with bridge elements were identified which exhibited non-monotonic variation of the order parameter with local maximum and/or minimum. In these networks, the histogram of the transients times became bimodal and the mean transient time scaled well with inverse of the magnitude of the second largest eigenvalue of the network Laplacian matrix. The non-monotonic transients increase the relative standard deviations from about 0.3 to 0.5, i.e., the transient times became more diverse. The non-monotonic transients are related to generation of phase patterns where the modules are synchronized but approximately anti-phase to each other. The predictions of the numerical simulations were demonstrated in a population of coupled oscillatory electrochemical reactions in global, modular, and irregular tree networks. The findings clarify the role of network structure in generation of complex transients that can, for example, play a role in intermittent desynchronization of the circadian clock due to external cues or in deep brain stimulations where long transients are required after a desynchronization stimulus.},
  language  = {en}
}
@article{Pikovskij2021,
  author    = {Pikovskij, Arkadij},
  title     = {Synchronization of oscillators with hyperbolic chaotic phases},
  series = {Izvestija vysšich učebnych zavedenij : naučno-techničeskij žurnal = Izvestiya VUZ. Prikladnaja nelinejnaja dinamika = Applied nonlinear dynamics},
  volume    = {29},
  journal   = {Izvestija vysšich učebnych zavedenij : naučno-techničeskij žurnal = Izvestiya VUZ. Prikladnaja nelinejnaja dinamika = Applied nonlinear dynamics},
  number    = {1},
  publisher = {Saratov State University},
  address   = {Saratov},
  issn      = {0869-6632},
  doi       = {10.18500/0869-6632-2021-29-1-78-87},
  pages     = {78 -- 87},
  year      = {2021},
  abstract  = {Topic and aim. Synchronization in populations of coupled oscillators can be characterized with order parameters that describe collective order in ensembles. A dependence of the order parameter on the coupling constants is well-known for coupled periodic oscillators. The goal of the study is to extend this analysis to ensembles of oscillators with chaotic phases, moreover with phases possessing hyperbolic chaos. Models and methods. Two models are studied in the paper. One is an abstract discrete-time map, composed with a hyperbolic Bernoulli transformation and with Kuramoto dynamics. Another model is a system of coupled continuous-time chaotic oscillators, where each individual oscillator has a hyperbolic attractor of Smale-Williams type. Results. The discrete-time model is studied with the Ott-Antonsen ansatz, which is shown to be invariant under the application of the Bernoulli map. The analysis of the resulting map for the order parameter shows, that the asynchronouis state is always stable, but the synchronous one becomes stable above a certain coupling strength. Numerical analysis of the continuous-time model reveals a complex sequence of transitions from an asynchronous state to a completely synchronous hyperbolic chaos, with intermediate stages that include regimes with periodic in time mean field, as well as with weakly and strongly irregular mean field variations. Discussion. Results demonstrate that synchronization of systems with hyperbolic chaos of phases is possible, although a rather strong coupling is required. The approach can be applied to other systems of interacting units with hyperbolic chaotic dynamics.},
  language  = {en}
}
@misc{BolotovSmirnovOsipovetal.2018,
  author    = {Bolotov, Maxim and Smirnov, Lev A. and Osipov, Grigory V. and Pikovskij, Arkadij},
  title     = {Complex chimera states in a nonlinearly coupled oscillatory medium},
  series = {2018 2nd School on Dynamics of Complex Networks and their Application in Intellectual Robotics (DCNAIR)},
  journal   = {2018 2nd School on Dynamics of Complex Networks and their Application in Intellectual Robotics (DCNAIR)},
  publisher = {IEEE},
  address   = {New York},
  isbn      = {978-1-5386-5818-5},
  doi       = {10.1109/DCNAIR.2018.8589210},
  pages     = {17 -- 20},
  year      = {2018},
  abstract  = {We consider chimera states in a one-dimensional medium of nonlinear nonlocally coupled phase oscillators. Stationary inhomogeneous solutions of the Ott-Antonsen equation for a complex order parameter that correspond to fundamental chimeras have been constructed. Stability calculations reveal that only some of these states are stable. The direct numerical simulation has shown that these structures under certain conditions are transformed to breathing chimera regimes because of the development of instability. Further development of instability leads to turbulent chimeras.},
  language  = {en}
}