@phdthesis{Pedeches2017,
  author    = {P{\´e}d{\`e}ches, Laure},
  title     = {Stochastic models for collective motions of populations},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:517-opus4-405491},
  school      = {Universit{\"a}t Potsdam},
  pages     = {187},
  year      = {2017},
  abstract  = {Stochastisches Modell f{\"u}r kollektive Bewegung von Populationen In dieser Doktorarbeit befassen wir uns mit stochastischen Systemen, die eines der mysteri{\"o}sesten biologischen Ph{\"a}nomene als Modell darstellen: die kollektive Bewegung von Gemeinschaften. Diese werden bei V{\"o}gel- und Fischschw{\"a}rmen, aber auch bei manchen Bakterien, Viehherden oder gar bei Menschen beobachtet. Dieser Verhaltenstyp spielt ebenfalls in anderen Bereichen wie Finanzwesen, Linguistik oder auch Robotik eine Rolle. Wir nehmen uns der Dynamik einer Gruppe von N Individuen, insbesondere zweier asymptotischen Verhaltenstypen an. Einerseits befassen wir uns mit den Eigenschaften der Ergodizit{\"a}t in Langzeit: Existenz einer invarianten Wahrscheinlichkeitsverteilung durch Ljapunow-Funktionen, und Konvergenzrate der {\"U}bergangshalbgruppe gegen diese Wahrscheinlichkeit. Eine ebenfalls zentrale Thematik unserer Forschung ist der Begriff Flocking: es wird damit definiert, dass eine Gruppe von Individuen einen dynamischen Konsens ohne hierarchische Struktur erreichen kann; mathematisch gesehen entspricht dies der Aneinanderreihung der Geschwindigkeiten und dem Zusammenkommen des Schwarmes. Andererseits gehen wir das Ph{\"a}nomen der "Propagation of Chaos" an, wenn die Anzahl N der Teilchen ins Unendliche tendiert: die Bewegungen der jeweiligen Individuen werden asymptotisch unabh{\"a}ngig. Unser Ausgangspunkt ist das Cucker-Smale-Modell, ein deterministisches kinetisches Molekular-Modell f{\"u}r eine Gruppe ohne hierarchische Struktur. Die Wechselwirkung zwischen zwei Teilchen variiert gem{\"a}ß deren "Kommunikationsrate", die wiederum von deren relativen Entfernung abh{\"a}ngt und polynomisch abnimmt. Im ersten Kapitel adressieren wir das asymptotische Verhalten eines Cucker-Smale-Modells mit Rauschst{\"o}rung und dessen Varianten. Kapitel 2 stellt mehrere Definitionen des Flockings in einem Zufallsrahmen dar: diverse stochastische Systeme, die verschiedenen Rauschformen entsprechen (die eine gest{\"o}rte Umgebung, den "freien Willen" des jeweiligen Individuums oder eine unterbrochene {\"U}bertragung suggerieren) werden im Zusammenhang mit diesen Begriffen unter die Lupe genommen. Das dritte Kapitel basiert auf der "Cluster Expansion"-Methode aus der statistischen Mechanik. Wir beweisen die exponentielle Ergodizit{\"a}t von gewissen nicht-Markow-Prozessen mit nicht-glattem Drift und wenden diese Ergebnisse auf St{\"o}rungen des Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses an. Im letzten Teil, nehmen wir uns der zweidimensionalen parabolisch-elliptischen Gleichung von Keller-Segel an. Wir beweisen die Existenz einer L{\"o}sung, welche in gewisser Hinsicht einzig ist, indem wir, mittels Vergleich mit Bessel-Prozessen und der Dirichlet Formtheorie, m{\"o}gliche Stoßtypen zwischen den Teilchen ermitteln.},
  language  = {en}
}