@phdthesis{Rothe2020,
  author    = {Rothe, Viktoria},
  title     = {Das Yamabe-Problem auf global-hyperbolischen Lorentz-Mannigfaltigkeiten},
  doi       = {10.25932/publishup-48601},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:517-opus4-486012},
  school      = {Universit{\"a}t Potsdam},
  pages     = {ix, 65},
  year      = {2020},
  abstract  = {Im Jahre 1960 behauptete Yamabe folgende Aussage bewiesen zu haben: Auf jeder kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit (M,g) der Dimension n ≥ 3 existiert eine zu g konform {\"a}quivalente Metrik mit konstanter Skalarkr{\"u}mmung. Diese Aussage ist {\"a}quivalent zur Existenz einer L{\"o}sung einer bestimmten semilinearen elliptischen Differentialgleichung, der Yamabe-Gleichung. 1968 fand Trudinger einen Fehler in seinem Beweis und infolgedessen besch{\"a}ftigten sich viele Mathematiker mit diesem nach Yamabe benannten Yamabe-Problem. In den 80er Jahren konnte durch die Arbeiten von Trudinger, Aubin und Schoen gezeigt werden, dass diese Aussage tats{\"a}chlich zutrifft. Dadurch ergeben sich viele Vorteile, z.B. kann beim Analysieren von konform invarianten partiellen Differentialgleichungen auf kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeiten die Skalarkr{\"u}mmung als konstant vorausgesetzt werden. Es stellt sich nun die Frage, ob die entsprechende Aussage auch auf Lorentz-Mannigfaltigkeiten gilt. Das Lorentz'sche Yamabe Problem lautet somit: Existiert zu einer gegebenen r{\"a}umlich kompakten global-hyperbolischen Lorentz-Mannigfaltigkeit (M,g) eine zu g konform {\"a}quivalente Metrik mit konstanter Skalarkr{\"u}mmung? Das Ziel dieser Arbeit ist es, dieses Problem zu untersuchen. Bei der sich aus dieser Fragestellung ergebenden Yamabe-Gleichung handelt es sich um eine semilineare Wellengleichung, deren L{\"o}sung eine positive glatte Funktion ist und aus der sich der konforme Faktor ergibt. Um die f{\"u}r die Behandlung des Yamabe-Problems ben{\"o}tigten Grundlagen so allgemein wie m{\"o}glich zu halten, wird im ersten Teil dieser Arbeit die lokale Existenztheorie f{\"u}r beliebige semilineare Wellengleichungen f{\"u}r Schnitte auf Vektorb{\"u}ndeln im Rahmen eines Cauchy-Problems entwickelt. Hierzu wird der Umkehrsatz f{\"u}r Banachr{\"a}ume angewendet, um mithilfe von bereits existierenden Existenzergebnissen zu linearen Wellengleichungen, Existenzaussagen zu semilinearen Wellengleichungen machen zu k{\"o}nnen. Es wird bewiesen, dass, falls die Nichtlinearit{\"a}t bestimmte Bedingungen erf{\"u}llt, eine fast zeitglobale L{\"o}sung des Cauchy-Problems f{\"u}r kleine Anfangsdaten sowie eine zeitlokale L{\"o}sung f{\"u}r beliebige Anfangsdaten existiert. Der zweite Teil der Arbeit befasst sich mit der Yamabe-Gleichung auf global-hyperbolischen Lorentz-Mannigfaltigkeiten. Zuerst wird gezeigt, dass die Nichtlinearit{\"a}t der Yamabe-Gleichung die geforderten Bedingungen aus dem ersten Teil erf{\"u}llt, so dass, falls die Skalarkr{\"u}mmung der gegebenen Metrik nahe an einer Konstanten liegt, kleine Anfangsdaten existieren, so dass die Yamabe-Gleichung eine fast zeitglobale L{\"o}sung besitzt. Mithilfe von Energieabsch{\"a}tzungen wird anschließend f{\"u}r 4-dimensionale global-hyperbolische Lorentz-Mannigfaltigkeiten gezeigt, dass unter der Annahme, dass die konstante Skalarkr{\"u}mmung der konform {\"a}quivalenten Metrik nichtpositiv ist, eine zeitglobale L{\"o}sung der Yamabe-Gleichung existiert, die allerdings nicht notwendigerweise positiv ist. Außerdem wird gezeigt, dass, falls die H2-Norm der Skalarkr{\"u}mmung bez{\"u}glich der gegebenen Metrik auf einem kompakten Zeitintervall auf eine bestimmte Weise beschr{\"a}nkt ist, die L{\"o}sung positiv auf diesem Zeitintervall ist. Hierbei wird ebenfalls angenommen, dass die konstante Skalarkr{\"u}mmung der konform {\"a}quivalenten Metrik nichtpositiv ist. Falls zus{\"a}tzlich hierzu gilt, dass die Skalarkr{\"u}mmung bez{\"u}glich der gegebenen Metrik negativ ist und die Metrik gewisse Bedingungen erf{\"u}llt, dann ist die L{\"o}sung f{\"u}r alle Zeiten in einem kompakten Zeitintervall positiv, auf dem der Gradient der Skalarkr{\"u}mmung auf eine bestimmte Weise beschr{\"a}nkt ist. In beiden F{\"a}llen folgt unter den angef{\"u}hrten Bedingungen die Existenz einer zeitglobalen positiven L{\"o}sung, falls M = I x Σ f{\"u}r ein beschr{\"a}nktes offenes Intervall I ist. Zum Schluss wird f{\"u}r M = R x Σ ein Beispiel f{\"u}r die Nichtexistenz einer globalen positiven L{\"o}sung angef{\"u}hrt.},
  language  = {de}
}
@phdthesis{LindbladPetersen2017,
  author    = {Lindblad Petersen, Oliver},
  title     = {The Cauchy problem for the linearised Einstein equation and the Goursat problem for wave equations},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:517-opus4-410216},
  school      = {Universit{\"a}t Potsdam},
  pages     = {108},
  year      = {2017},
  abstract  = {In this thesis, we study two initial value problems arising in general relativity. The first is the Cauchy problem for the linearised Einstein equation on general globally hyperbolic spacetimes, with smooth and distributional initial data. We extend well-known results by showing that given a solution to the linearised constraint equations of arbitrary real Sobolev regularity, there is a globally defined solution, which is unique up to addition of gauge solutions. Two solutions are considered equivalent if they differ by a gauge solution. Our main result is that the equivalence class of solutions depends continuously on the corre- sponding equivalence class of initial data. We also solve the linearised constraint equations in certain cases and show that there exist arbitrarily irregular (non-gauge) solutions to the linearised Einstein equation on Minkowski spacetime and Kasner spacetime. In the second part, we study the Goursat problem (the characteristic Cauchy problem) for wave equations. We specify initial data on a smooth compact Cauchy horizon, which is a lightlike hypersurface. This problem has not been studied much, since it is an initial value problem on a non-globally hyperbolic spacetime. Our main result is that given a smooth function on a non-empty, smooth, compact, totally geodesic and non-degenerate Cauchy horizon and a so called admissible linear wave equation, there exists a unique solution that is defined on the globally hyperbolic region and restricts to the given function on the Cauchy horizon. Moreover, the solution depends continuously on the initial data. A linear wave equation is called admissible if the first order part satisfies a certain condition on the Cauchy horizon, for example if it vanishes. Interestingly, both existence of solution and uniqueness are false for general wave equations, as examples show. If we drop the non-degeneracy assumption, examples show that existence of solution fails even for the simplest wave equation. The proof requires precise energy estimates for the wave equation close to the Cauchy horizon. In case the Ricci curvature vanishes on the Cauchy horizon, we show that the energy estimates are strong enough to prove local existence and uniqueness for a class of non-linear wave equations. Our results apply in particular to the Taub-NUT spacetime and the Misner spacetime. It has recently been shown that compact Cauchy horizons in spacetimes satisfying the null energy condition are necessarily smooth and totally geodesic. Our results therefore apply if the spacetime satisfies the null energy condition and the Cauchy horizon is compact and non-degenerate.},
  language  = {en}
}
@phdthesis{Chirvasa2010,
  author    = {Chirvasa, Mihaela},
  title     = {Finite difference methods for 1st Order in time, 2nd order in space, hyperbolic systems used in numerical relativity},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:517-opus-42135},
  school      = {Universit{\"a}t Potsdam},
  year      = {2010},
  abstract  = {This thesis is concerned with the development of numerical methods using finite difference techniques for the discretization of initial value problems (IVPs) and initial boundary value problems (IBVPs) of certain hyperbolic systems which are first order in time and second order in space. This type of system appears in some formulations of Einstein equations, such as ADM, BSSN, NOR, and the generalized harmonic formulation. For IVP, the stability method proposed in [14] is extended from second and fourth order centered schemes, to 2n-order accuracy, including also the case when some first order derivatives are approximated with off-centered finite difference operators (FDO) and dissipation is added to the right-hand sides of the equations. For the model problem of the wave equation, special attention is paid to the analysis of Courant limits and numerical speeds. Although off-centered FDOs have larger truncation errors than centered FDOs, it is shown that in certain situations, off-centering by just one point can be beneficial for the overall accuracy of the numerical scheme. The wave equation is also analyzed in respect to its initial boundary value problem. All three types of boundaries - outflow, inflow and completely inflow that can appear in this case, are investigated. Using the ghost-point method, 2n-accurate (n = 1, 4) numerical prescriptions are prescribed for each type of boundary. The inflow boundary is also approached using the SAT-SBP method. In the end of the thesis, a 1-D variant of BSSN formulation is derived and some of its IBVPs are considered. The boundary procedures, based on the ghost-point method, are intended to preserve the interior 2n-accuracy. Numerical tests show that this is the case if sufficient dissipation is added to the rhs of the equations.},
  language  = {en}
}