@phdthesis{Gong2019,
  author    = {Gong, Chen Chris},
  title     = {Synchronization of coupled phase oscillators},
  doi       = {10.25932/publishup-48752},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:517-opus4-487522},
  school      = {Universit{\"a}t Potsdam},
  pages     = {xvii, 115},
  year      = {2019},
  abstract  = {Oscillatory systems under weak coupling can be described by the Kuramoto model of phase oscillators. Kuramoto phase oscillators have diverse applications ranging from phenomena such as communication between neurons and collective influences of political opinions, to engineered systems such as Josephson Junctions and synchronized electric power grids. This thesis includes the author's contribution to the theoretical framework of coupled Kuramoto oscillators and to the understanding of non-trivial N-body dynamical systems via their reduced mean-field dynamics. The main content of this thesis is composed of four parts. First, a partially integrable theory of globally coupled identical Kuramoto oscillators is extended to include pure higher-mode coupling. The extended theory is then applied to a non-trivial higher-mode coupled model, which has been found to exhibit asymmetric clustering. Using the developed theory, we could predict a number of features of the asymmetric clustering with only information of the initial state provided. The second part consists of an iterated discrete-map approach to simulate phase dynamics. The proposed map --- a Moebius map --- not only provides fast computation of phase synchronization, it also precisely reflects the underlying group structure of the dynamics. We then compare the iterated-map dynamics and various analogous continuous-time dynamics. We are able to replicate known phenomena such as the synchronization transition of the Kuramoto-Sakaguchi model of oscillators with distributed natural frequencies, and chimera states for identical oscillators under non-local coupling. The third part entails a particular model of repulsively coupled identical Kuramoto-Sakaguchi oscillators under common random forcing, which can be shown to be partially integrable. Via both numerical simulations and theoretical analysis, we determine that such a model cannot exhibit stationary multi-cluster states, contrary to the numerical findings in previous literature. Through further investigation, we find that the multi-clustering states reported previously occur due to the accumulation of discretization errors inherent in the integration algorithms, which introduce higher-mode couplings into the model. As a result, the partial integrability condition is violated. Lastly, we derive the microscopic cross-correlation of globally coupled non-identical Kuramoto oscillators under common fluctuating forcing. The effect of correlation arises naturally in finite populations, due to the non-trivial fluctuations of the meanfield. In an idealized model, we approximate the finite-sized fluctuation by a Gaussian white noise. The analytical approximation qualitatively matches the measurements in numerical experiments, however, due to other periodic components inherent in the fluctuations of the mean-field there still exist significant inconsistencies.},
  language  = {en}
}
@phdthesis{Peter2019,
  author    = {Peter, Franziska},
  title     = {Transition to synchrony in finite Kuramoto ensembles},
  doi       = {10.25932/publishup-42916},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:517-opus4-429168},
  school      = {Universit{\"a}t Potsdam},
  pages     = {vi, 93},
  year      = {2019},
  abstract  = {Synchronisation - die Ann{\"a}herung der Rhythmen gekoppelter selbst oszillierender Systeme - ist ein faszinierendes dynamisches Ph{\"a}nomen, das in vielen biologischen, sozialen und technischen Systemen auftritt. Die vorliegende Arbeit befasst sich mit Synchronisation in endlichen Ensembles schwach gekoppelter selbst-erhaltender Oszillatoren mit unterschiedlichen nat{\"u}rlichen Frequenzen. Das Standardmodell f{\"u}r dieses kollektive Ph{\"a}nomen ist das Kuramoto-Modell - unter anderem aufgrund seiner L{\"o}sbarkeit im thermodynamischen Limes unendlich vieler Oszillatoren. {\"A}hnlich einem thermodynamischen Phasen{\"u}bergang zeigt im Fall unendlich vieler Oszillatoren ein Ordnungsparameter den {\"U}bergang von Inkoh{\"a}renz zu einem partiell synchronen Zustand an, in dem ein Teil der Oszillatoren mit einer gemeinsamen Frequenz rotiert. Im endlichen Fall treten Fluktuationen auf. In dieser Arbeit betrachten wir den bisher wenig beachteten Fall von bis zu wenigen hundert Oszillatoren, unter denen vergleichbar starke Fluktuationen auftreten, bei denen aber ein Vergleich zu Frequenzverteilungen im unendlichen Fall m{\"o}glich ist. Zun{\"a}chst definieren wir einen alternativen Ordnungsparameter zur Feststellung einer kollektiven Mode im endlichen Kuramoto-Modell. Dann pr{\"u}fen wir die Abh{\"a}ngigkeit des Synchronisationsgrades und der mittleren Rotationsfrequenz der kollektiven Mode von Eigenschaften der nat{\"u}rlichen Frequenzverteilung f{\"u}r verschiedene Kopplungsst{\"a}rken. Wir stellen dabei zun{\"a}chst numerisch fest, dass der Synchronisationsgrad stark von der Form der Verteilung (gemessen durch die Kurtosis) und die Rotationsfrequenz der kollektiven Mode stark von der Asymmetrie der Verteilung (gemessen durch die Schiefe) der nat{\"u}rlichen Frequenzen abh{\"a}ngt. Beides k{\"o}nnen wir im thermodynamischen Limes analytisch verifizieren. Mit diesen Ergebnissen k{\"o}nnen wir Erkenntnisse anderer Autoren besser verstehen und verallgemeinern. Etwas abseits des roten Fadens dieser Arbeit finden wir außerdem einen analytischen Ausdruck f{\"u}r die Volumenkontraktion im Phasenraum. Der zweite Teil der Arbeit konzentriert sich auf den ordnenden Effekt von Fluktuationen, die durch die Endlichkeit des Systems zustande kommen. Im unendlichen Modell sind die Oszillatoren eindeutig in koh{\"a}rent und inkoh{\"a}rent und damit in geordnet und ungeordnet getrennt. Im endlichen Fall k{\"o}nnen die auftretenden Fluktuationen zus{\"a}tzliche Ordnung unter den asynchronen Oszillatoren erzeugen. Das grundlegende Prinzip, die rauschinduzierte Synchronisation, ist aus einer Reihe von Publikationen bekannt. Unter den gekoppelten Oszillatoren n{\"a}hern sich die Phasen aufgrund der Fluktuationen des Ordnungsparameters an, wie wir einerseits direkt numerisch zeigen und andererseits mit einem Synchronisationsmaß aus der gerichteten Statistik zwischen Paaren passiver Oszillatoren nachweisen. Wir bestimmen die Abh{\"a}ngigkeit dieses Synchronisationsmaßes vom Verh{\"a}ltnis von paarweiser nat{\"u}rlicher Frequenzdifferenz zur Varianz der Fluktuationen. Dabei finden wir eine gute {\"U}bereinstimmung mit einem einfachen analytischen Modell, in welchem wir die deterministischen Fluktuationen des Ordnungsparameters durch weißes Rauschen ersetzen.},
  language  = {en}
}