@masterthesis{Engelhardt2021,
  type      = {Bachelor Thesis},
  author    = {Engelhardt, Max Angel Ronan},
  title     = {Zwischen Simulation und Beweis - eine mathematische Analyse des Bienaym{\´e}-Galton-Watson-Prozesses und sein Einsatz innerhalb des Mathematikunterrichts},
  doi       = {10.25932/publishup-52447},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:517-opus4-524474},
  school      = {Universit{\"a}t Potsdam},
  pages     = {117},
  year      = {2021},
  abstract  = {Die Bienaym{\´e}-Galton-Watson Prozesse k{\"o}nnen f{\"u}r die Untersuchung von speziellen und sich entwickelnden Populationen verwendet werden. Die Populationen umfassen Individuen, welche sich identisch, zuf{\"a}llig, selbstst{\"a}ndig und unabh{\"a}ngig voneinander fortpflanzen und die jeweils nur eine Generation existieren. Die n-te Generation ergibt sich als zuf{\"a}llige Summe der Individuen der (n-1)-ten Generation. Die Relevanz dieser Prozesse begr{\"u}ndet sich innerhalb der Historie und der inner- und außermathematischen Bedeutung. Die Geschichte der Bienaym{\´e}-Galton-Watson-Prozesse wird anhand der Entwicklung des Konzeptes bis heute dargestellt. Dabei werden die Wissenschaftler:innen verschiedener Disziplinen angef{\"u}hrt, die Erkenntnisse zu dem Themengebiet beigetragen und das Konzept in ihren Fachbereichen angef{\"u}hrt haben. Somit ergibt sich die außermathematische Signifikanz. Des Weiteren erh{\"a}lt man die innermathematische Bedeutsamkeit mittels des Konzeptes der Verzweigungsprozesse, welches auf die Bienaym{\´e}-Galton-Watson Prozesse zur{\"u}ckzuf{\"u}hren ist. Die Verzweigungsprozesse stellen eines der aussagekr{\"a}ftigsten Modelle f{\"u}r die Beschreibung des Populationswachstums dar. Dar{\"u}ber hinaus besteht die derzeitige Wichtigkeit durch die Anwendungsm{\"o}glichkeit der Verzweigungsprozesse und der Bienaym{\´e}-Galton-Watson Prozesse innerhalb der Epidemiologie. Es werden die Ebola- und die Corona-Pandemie als Anwendungsfelder angef{\"u}hrt. Die Prozesse dienen als Entscheidungsst{\"u}tze f{\"u}r die Politik und erm{\"o}glichen Aussagen {\"u}ber die Auswirkungen von Maßnahmen bez{\"u}glich der Pandemien. Neben den Prozessen werden ebenfalls der bedingte Erwartungswert bez{\"u}glich diskreter Zufallsvariablen, die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion und die zuf{\"a}llige Summe eingef{\"u}hrt. Die Konzepte vereinfachen die Beschreibung der Prozesse und bilden somit die Grundlage der Betrachtungen. Außerdem werden die ben{\"o}tigten und weiterf{\"u}hrenden Eigenschaften der grundlegenden Themengebiete und der Prozesse aufgef{\"u}hrt und bewiesen. Das Kapitel erreicht seinen H{\"o}hepunkt bei dem Beweis des Kritikalit{\"a}tstheorems, wodurch eine Aussage {\"u}ber das Aussterben des Prozesses in verschiedenen F{\"a}llen und somit {\"u}ber die Aussterbewahrscheinlichkeit get{\"a}tigt werden kann. Die F{\"a}lle werden anhand der zu erwartenden Anzahl an Nachkommen eines Individuums unterschieden. Es zeigt sich, dass ein Prozess bei einer zu erwartenden Anzahl kleiner gleich Eins mit Sicherheit ausstirbt und bei einer Anzahl gr{\"o}ßer als Eins, die Population nicht in jedem Fall aussterben muss. Danach werden einzelne Beispiele, wie der linear fractional case, die Population von Fibroblasten (Bindegewebszellen) von M{\"a}usen und die Entstehungsfragestellung der Prozesse, angef{\"u}hrt. Diese werden mithilfe der erlangten Ergebnisse untersucht und einige ausgew{\"a}hlte zuf{\"a}llige Dynamiken werden im nachfolgenden Kapitel simuliert. Die Simulationen erfolgen durch ein in Python erstelltes Programm und werden mithilfe der Inversionsmethode realisiert. Die Simulationen stellen beispielhaft die Entwicklungen in den verschiedenen Kritikalit{\"a}tsf{\"a}llen der Prozesse dar. Zudem werden die H{\"a}ufigkeiten der einzelnen Populationsgr{\"o}ßen in Form von Histogrammen angebracht. Dabei l{\"a}sst sich der Unterschied zwischen den einzelnen F{\"a}llen best{\"a}tigen und es wird die Anwendungsm{\"o}glichkeit der Bienaym{\´e}-Galton-Watson Prozesse bei komplexeren Problemen deutlich. Histogramme bekr{\"a}ftigen, dass die einzelnen Populationsgr{\"o}ßen nur endlich oft vorkommen. Diese Aussage wurde von Galton aufgeworfen und in der Extinktions-Explosions-Dichotomie verwendet. Die dargestellten Erkenntnisse {\"u}ber das Themengebiet und die Betrachtung des Konzeptes werden mit einer didaktischen Analyse abgeschlossen. Die Untersuchung beinhaltet die Ber{\"u}cksichtigung der Fundamentalen Ideen, der Fundamentalen Ideen der Stochastik und der Leitidee „Daten und Zufall". Dabei ergibt sich, dass in Abh{\"a}ngigkeit der gew{\"a}hlten Perspektive die Anwendung der Bienaym{\´e}-Galton-Watson Prozesse innerhalb der Schule plausibel ist und von Vorteil f{\"u}r die Sch{\"u}ler:innen sein kann. F{\"u}r die Behandlung wird exemplarisch der Rahmenlehrplan f{\"u}r Berlin und Brandenburg analysiert und mit dem Kernlehrplan Nordrhein-Westfalens verglichen. Die Konzeption des Lehrplans aus Berlin und Brandenburg l{\"a}sst nicht den Schluss zu, dass die Bienaym{\´e}-Galton-Watson Prozesse angewendet werden sollten. Es l{\"a}sst sich feststellen, dass die zugrunde liegende Leitidee nicht vollumf{\"a}nglich mit manchen Fundamentalen Ideen der Stochastik vereinbar ist. Somit w{\"u}rde eine Modifikation hinsichtlich einer st{\"a}rkeren Orientierung des Lehrplans an den Fundamentalen Ideen die Anwendung der Prozesse erm{\"o}glichen. Die Aussage wird durch die Betrachtung und {\"U}bertragung eines nordrhein-westf{\"a}lischen Unterrichtsentwurfes f{\"u}r stochastische Prozesse auf die Bienaym{\´e}-Galton-Watson Prozesse unterst{\"u}tzt. Dar{\"u}ber hinaus werden eine Concept Map und ein Vernetzungspentagraph nach von der Bank konzipiert um diesen Aspekt hervorzuheben.},
  language  = {de}
}
@phdthesis{Fischer2014,
  author    = {Fischer, Jost Leonhardt},
  title     = {Nichtlineare Kopplungsmechanismen akustischer Oszillatoren am Beispiel der Synchronisation von Orgelpfeifen},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:517-opus-71975},
  school      = {Universit{\"a}t Potsdam},
  year      = {2014},
  abstract  = {In dieser Arbeit werden nichtlineare Kopplungsmechanismen von akustischen Oszillatoren untersucht, die zu Synchronisation f{\"u}hren k{\"o}nnen. Aufbauend auf die Fragestellungen vorangegangener Arbeiten werden mit Hilfe theoretischer und experimenteller Studien sowie mit Hilfe numerischer Simulationen die Elemente der Tonentstehung in der Orgelpfeife und die Mechanismen der gegenseitigen Wechselwirkung von Orgelpfeifen identifiziert. Daraus wird erstmalig ein vollst{\"a}ndig auf den aeroakustischen und fluiddynamischen Grundprinzipien basierendes nichtlinear gekoppeltes Modell selbst-erregter Oszillatoren f{\"u}r die Beschreibung des Verhaltens zweier wechselwirkender Orgelpfeifen entwickelt. Die durchgef{\"u}hrten Modellrechnungen werden mit den experimentellen Befunden verglichen. Es zeigt sich, dass die Tonentstehung und die Kopplungsmechanismen von Orgelpfeifen durch das entwickelte Oszillatormodell in weiten Teilen richtig beschrieben werden. Insbesondere kann damit die Ursache f{\"u}r den nichtlinearen Zusammenhang von Kopplungsst{\"a}rke und Synchronisation des gekoppelten Zwei-Pfeifen Systems, welcher sich in einem nichtlinearen Verlauf der Arnoldzunge darstellt, gekl{\"a}rt werden. Mit den gewonnenen Erkenntnissen wird der Einfluss des Raumes auf die Tonentstehung bei Orgelpfeifen betrachtet. Daf{\"u}r werden numerische Simulationen der Wechselwirkung einer Orgelpfeife mit verschiedenen Raumgeometrien, wie z. B. ebene, konvexe, konkave, und gezahnte Geometrien, exemplarisch untersucht. Auch der Einfluss von Schwellk{\"a}sten auf die Tonentstehung und die Klangbildung der Orgelpfeife wird studiert. In weiteren, neuartigen Synchronisationsexperimenten mit identisch gestimmten Orgelpfeifen, sowie mit Mixturen wird die Synchronisation f{\"u}r verschiedene, horizontale und vertikale Pfeifenabst{\"a}nde in der Ebene der Schallabstrahlung, untersucht. Die dabei erstmalig beobachteten r{\"a}umlich isotropen Unstetigkeiten im Schwingungsverhalten der gekoppelten Pfeifensysteme, deuten auf abstandsabh{\"a}ngige Wechsel zwischen gegen- und gleichphasigen Sychronisationsregimen hin. Abschließend wird die M{\"o}glichkeit dokumentiert, das Ph{\"a}nomen der Synchronisation zweier Orgelpfeifen durch numerische Simulationen, also der Behandlung der kompressiblen Navier-Stokes Gleichungen mit entsprechenden Rand- und Anfangsbedingungen, realit{\"a}tsnah abzubilden. Auch dies stellt ein Novum dar.},
  language  = {de}
}
@phdthesis{Wagner2004,
  author    = {Wagner, Anja},
  title     = {Konzeption und Aufbau eines Geoinformationssystems zur Modellierung und Simulation von Offenlandschaften},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:517-0001411},
  school      = {Universit{\"a}t Potsdam},
  year      = {2004},
  abstract  = {Zwischen 1990 und 1994 wurden rund 1000 Liegenschaften, die in der ehemaligen DDR von der Sowjetarmee und der NVA f{\"u}r milit{\"a}rische {\"U}bungen genutzt wurden, an Bund und L{\"a}nder {\"u}bergeben. Die gr{\"o}ßten Truppen{\"u}bungspl{\"a}tze liegen in Brandenburg und sind heute teilweise in Großschutzgebiete integriert, andere Pl{\"a}tze werden von der Bundeswehr weiterhin aktiv genutzt. Aufgrund des milit{\"a}rischen Betriebs sind die B{\"o}den dieser Truppen{\"u}bungspl{\"a}tze oft durch Blindg{\"a}nger, Munitionsreste, Treibstoff- und Schmier{\"o}lreste bis hin zu chemischen Kampfstoffen belastet. Allerdings existieren auf fast allen Liegenschaften neben diesen durch Munition und milit{\"a}rische {\"U}bungen belasteten Bereichen auch naturschutzfachlich wertvolle Fl{\"a}chen; gerade in den Offenlandbereichen kann dies durchaus mit einer Belastung durch Kampfmittel einhergehen. Charakteristisch f{\"u}r diese offenen Fl{\"a}chen, zu denen u.a. Zwergstrauchheiden, Trockenrasen, w{\"u}sten{\"a}hnliche Sandfl{\"a}chen und andere n{\"a}hrstoffarme baumlose Lebensr{\"a}ume geh{\"o}ren, sind Großfl{\"a}chigkeit, Abgeschiedenheit sowie ihre besondere Nutzung und Bewirtschaftung, d.h. die Abwesenheit von land- und forstwirtschaftlichem Betrieb sowie von Siedlungsfl{\"a}chen. Diese Charakteristik war die Grundlage f{\"u}r die Entwicklung einer speziell angepassten Flora und Fauna. Nach Beendigung des Milit{\"a}rbetriebs setzte dann in weiten Teilen eine großfl{\"a}chige Sukzession \– die allm{\"a}hliche Ver{\"a}nderung der Zusammensetzung von Pflanzen- und Tiergesellschaften \– ein, die diese offenen Bereiche teilweise bereits in Wald verwandelte und somit verschwinden ließ. Dies wiederum f{\"u}hrte zum Verlust der an diese Offenlandfl{\"a}chen gebundenen Tier- und Pflanzenarten. Zur Erhaltung, Gestaltung und Entwicklung dieser offenen Fl{\"a}chen wurden daher von einer interdisziplin{\"a}ren Gruppe von Naturwissenschaftlern verschiedene Methoden und Konzepte auf ihre jeweilige Wirksamkeit untersucht. So konnten schließlich die f{\"u}r die jeweiligen Standortbedingungen geeigneten Maßnahmen eingeleitet werden. Voraussetzung f{\"u}r die Einleitung der Maßnahmen sind zum einen Kenntnisse zu diesen jeweiligen Standortbedingungen, d.h. zum Ist-Zustand, sowie zur Entwicklung der Fl{\"a}chen, d.h. zur Dynamik. So kann eine Absch{\"a}tzung {\"u}ber die zuk{\"u}nftige Fl{\"a}chenentwicklung getroffen werden, damit ein effizienter Maßnahmeneinsatz stattfinden kann. Geoinformationssysteme (GIS) spielen dabei eine entscheidende Rolle zur digitalen Dokumentation der Biotop- und Nutzungstypen, da sie die M{\"o}glichkeit bieten, raum- und zeitbezogene Geometrie- und Sachdaten in großen Mengen zu verarbeiten. Daher wurde ein fachspezifisches GIS f{\"u}r Truppen{\"u}bungspl{\"a}tze entwickelt und implementiert. Die Aufgaben umfassten die Konzeption der Datenbank und des Objektmodells sowie fachspezifischer Modellierungs-, Analyse- und Pr{\"a}sentationsfunktionen. F{\"u}r die Integration von Fachdaten in die GIS-Datenbank wurde zudem ein Metadatenkatalog entwickelt, der in Form eines zus{\"a}tzlichen GIS-Tools verf{\"u}gbar ist. Die Basisdaten f{\"u}r das GIS wurden aus Fernerkundungsdaten, topographischen Karten sowie Gel{\"a}ndekartierungen gewonnen. Als Instrument f{\"u}r die Absch{\"a}tzung der zuk{\"u}nftigen Entwicklung wurde das Simulationstool AST4D entwickelt, in dem sowohl die Nutzung der (Raster-)Daten des GIS als Ausgangsdaten f{\"u}r die Simulationen als auch die Nutzung der Simulationsergebnisse im GIS m{\"o}glich ist. Zudem k{\"o}nnen die Daten in AST4D raumbezogen visualisiert werden. Das mathematische Konstrukt f{\"u}r das Tool war ein so genannter Zellul{\"a}rer Automat, mit dem die Fl{\"a}chenentwicklung unter verschiedenen Voraussetzungen simuliert werden kann. So war die Bildung verschiedener Szenarien m{\"o}glich, d.h. die Simulation der Fl{\"a}chenentwicklung mit verschiedenen (bekannten) Eingangsparametern und den daraus resultierenden unterschiedlichen (unbekannten) Endzust{\"a}nden. Vor der Durchf{\"u}hrung einer der drei in AST4D m{\"o}glichen Simulationsstufen k{\"o}nnen angepasst an das jeweilige Untersuchungsgebiet benutzerspezifische Festlegungen getroffen werden.},
  language  = {de}
}